Residue Calculus Evaluation of Infinite Integrals

i‚R$IZ‚ ]sj{ZjZR e%sjZs$Bt BP ytht$‚
yt‚„sjR
yt‚„sjR BP ]‚„s$t is$Btsj 3Zt{$BtR
$BtR BP s {B8}j‚- %s„$sAj‚ F s,$t Y‚ PB„8
W wFD )

G‚ {BtR$I‚„ „s$Btsj PZt{T

€wFD
,
RwFD

bY‚„‚ €wFD stI RwFD s„‚ }BjktB8$sjR $t F b$Y „‚sj {B‚^{$‚tRU
€wFD ) €( F E L €d F Ed L N N N L €Ed F L €E , E  (,
RwFD ) R( F z L Rd F zd L N N N L Rzd F L Rz , z  E L 13
yt sII$$Bt b‚ RZ}}BR‚ Ys RwFD YsR tB 9‚„BR Bt Y‚ „‚sj s-$R G‚ bst B
‚%sjZs‚ $t‚„sjR BP Y‚ PB„8
8




W w?D Q? )

8



€w?D
Q?3
Rw?D

7$t{‚ RwFD YsR „‚sj {B‚^{$‚tR stI YsR tB 9‚„BR Bt Y‚ „‚sj s-$R sjj BP $R
9‚„BR B{{Z„ $t {B8}j‚- {Bt`Zs‚ }s$„R stI b‚ {Bt{jZI‚ z ) 1" G‚ 8sk
RZ}}BR‚ Ys RwFD YsR 9‚„BR
Fd , Fd , F1 , F1 , N N N , F" , F" ,
stI b‚ b$jj RZ}}BR‚ Ys Fd , F1 , N N N F" s„‚ Y‚ 9‚„BR $t Y‚ Z}}‚„ YsjP }jst‚
G‚ {BtR„Z{ s }BR$$%‚jk B„$‚t‚I X}sY B„ X{BtBZ„" a„ {BtR$R$t BP
Y‚ $t‚„%sj >„, „H Bt Y‚ „‚sj s-$R B‚Y‚„ b$Y Y‚ R‚8${$„{j‚
?„ ) \ F / /F/ ) „, i‚ F k ( i 3
d


3Z„Y‚„ b‚ „‚R„${ {BtR$I‚„s$Bt B %sjZ‚R BP „ RZ{Y Ys „ k /F> / , > )
d, 1, 333, " V}}jk$t Y‚ i‚R$IZ‚ qY‚B„‚8 b‚ Ys%‚
8



qY‚t

C

8 „



e

8
"
3
€wFD

€w?D
Q? ) 1$7
'> 
QF3
Rw?D
?„ RwFD
>)d

qY‚ $I‚s tBb $R B RYBb Ys j$8„
Ys
e
e
e €wFD e
e
e
e
e
e RwFD e

)


I

"
"
3
3
€wFD
€wFD ee
O # 1$7
e
i‚R
QF ) 1$7 H
'> 3
RwFD
RwFD eF )F>
>)d
>)d

€wF D


?„ RwFD QF

$




) ( qB Y$R ‚tI b‚ BAR‚„%‚

  
  

e
wE dD
e€ L € F d L N N N L €
d
E dF
e (
z E ee

R( L Rd F d L N N N L Rz d F wz dD
/F/

d



L €E F E ee
e3
L Rz F z e
e

P„B8 bY${Y $ $R {j‚s„ Ys Y‚„‚ s„‚ }BR$$%‚ tZ8A‚„R € stI „( RZ{Y Ys

;?„

8s-

F


e
e
e €wFD e
e
e
e
e
e RwFD e



€
, „  „( 3
„1

qY‚t b‚ {st ZR‚ Y‚ ‚R$8s‚ %sj$I PB„ „  „( 
e8
e
e
e

e



e

e

e

e €wFD e
€$
€wFD ee
€
e
QF e  8s- ee
e j‚tY w?„ D  1 $ „ )
e
e
e

F
;?
„ RwFD
RwFD
„
„

B R‚‚ Ys $ $R $tI‚‚I „Z‚ Ys j$8„
{sR‚ b‚ tBb Ys%‚
8



€wF D

?„ RwFD QF

$

) ( qYs A‚$t Y‚


8
"
3
€w?D
€wFD
Q? ) „j$8
QF
)
1$7
'> ,
a„ RwFD
Rw?D
>)d

Y‚ '> , > ) d, 1, N N N , " A‚$t Y‚ „‚R$IZ‚R BP

€wF D
RwF D


jk$t $t Y‚ Z}}‚„ YsjP }jst‚

G‚ {YBBR‚ sR BZ„ h„R ‚-s8}j‚ st $t‚„sj bY${Y {st A‚ ‚%sjZs‚I ZR$t
Y‚ RstIs„I 8‚YBIR BP {sj{ZjZR
1

G‚ ‚%sjZs‚ Y‚ $t‚„sj

e-s8}j‚ d
jZR b‚ Ys%‚
8





$

Q?

dL?1 

3„B8 Y‚ RstIs„I {sj{ZT

Q?
dw?Deee„ ) $   $
)
j$8
st
„
d L ?1
1
„ 1
e

w

W

) $3

=R$t Y‚ „‚R$IZ‚ {sj{ZjZR b‚ tB‚ Ys dLdF 1 ) wF 7Dwd FL7D YsR s R$tj‚ $RBjs‚I
R$tZjs„$k $t Y‚ Z}}‚„ YsjP }jst‚ s F ) 7 qYs R$tZjs„$k $R s }Bj‚ BP
B„I‚„ d RB Y‚ „‚R$IZ‚ Y‚„‚ $R



j$8 wF  7D

F

7

d
d
d
) j$8
) 3
F 7 F L 7
wF  7DwF L 7D
17

qY‚t
8



Q?
d
) $3
)
1$7
d L ?1
17

qY‚ t‚- ‚-s8}j‚ $R Bt‚ PB„ bY${Y Y‚ ZR‚ BP Y‚ RstIs„I {sj{ZjZR bBZjI
A‚ RZARst$sjjk 8B„‚ I$^{Zj
e-s8}j‚ 1

G‚ {B8}Z‚



$

?1 Q?

dL?; 

qY‚ 9‚„BR BP RwFD ) d L F ; s„‚ Y‚ PBZ„Y „BBR BP d !P Y‚R‚ Btjk
d L 7
dL7
Fd ) $ , F1 ) $ ,
1
1
j$‚ $t Y‚ Z}}‚„ YsjP }jst‚ G„$$t
F1
F1
p
Q,
)
$
d L F;
wF  Fd D wF  F1 D F 1 L 17 F  d
Y‚ „‚R$IZ‚ s Fd )
j$8 wF  Fd D
F F
d

$

dL7
1

$R
F1

F1
Q ) j$8
p
Q
$
$
F Fd
wF  Fd D wF  F1 D F 1 L 17 F  d
wF  F1 D F 1 L 17 F  d
p

n

7
d7
7
Q ) $
) p dL7 dL7 Q p
) $ 3
$ dL7
$  $
1 1w7  dD
; 1
7 L 17 $1  d
1
1

d7
V R$8$js„ {B8}Zs$Bt $%‚R Y‚ „‚R$IZ‚ s F1 ) $dL1 7 sR 1$1w7 7dD ) ;$

1
qY‚ %sjZ‚ BP Y‚ $t‚„sj $R YZR

8

d7
?1 Q?
d  7
$ L $
) 1$7
;
dL?
; 1
; 1
X



$

e%sjZs$Bt BP yt‚„sjR BP Y‚ 3B„8 

€w?D
Rw?D

~

l

$
) $ 3
1

{BR
?
Q?
R$t
?
M

„ „H sjBt Y‚ „‚sj s-$R Y‚
;

R‚ w„  {BtR$R$t BP bB RZATs„{R BP ?„ I‚ht‚I Ak
w„ ) \ F ) ? L 7r ; ?„ / ( c r 



/?/

stI
F„ ) \ F ) ? L 7r ; ?„ / ( c
yt Y‚ Z}}‚„ YsjP }jst‚ r k ( b‚ Ys%‚
e
e
e 7
F e
e e



k

k

/?/ c r 3

e
e
) ee
r 7
? ee ) 
r ,

bY${Y $t }s„${Zjs„ $R j‚RR Yst d =R$t 8Z{Y Y‚ Rs8‚ ‚R$8s‚ sR $t Y‚
‚s„j$‚„ I$R{ZRR$Bt b‚ {st Y‚t R‚‚ Ys PB„ „  „( stI & {YBR‚t RB Ys Y‚
$
j‚tY BP Bt‚ BP Y‚ s„{R BP w„ $R j‚RR Yst B„ ‚JZsj B wd L &D „ PB„ „  „( 
e8
e
e
e
e



€wFD 7
F ee
QF ee  8sF ;w„
RwFD
e

y $R {j‚s„ Y‚t Ys

e
e
e €wFD e
e
e
e
e
e RwFD e

„

j$8

j‚tY ww„ D  1wd L &D

e8
e
e
e
e



€$
€
„ ) 1wd L &D $ 3
„
„

€wFD 7
F ee
QF ee ) (3
RwFD
e

!t F„  Bt Y‚ BY‚„ YstI b‚ Ys%‚
e
e
e 7
F e
e e

stI b‚ R‚‚ Ys
e8
e
e
e
e



€wFD 7
F ee
QF e  8se
F ;F„
RwFD
e

e
e
$
) ee
r 7
? ee ) 
r  
„ ,
e
e
e €wFD 7
F e
e
e
e
e
e RwFD e

$
€  
„
(, „
j‚tY wF„ D 
„

]B8A$t$t Y‚ bB „‚RZjR b‚ R‚‚ Ys
j$8
„

8



€wFD 7
F
QF ) (
RwFD

x

3

RB Ys s,$t Y‚ j$8$ sR „
`ZR sR A‚PB„‚ stI I‚ht$t Y‚ „‚R$IZ‚R
'> sR A‚PB„‚
8
"
3
€w?D 7
?
Q? ) 1$7
'> 3
 Rw?D
>)d
qYs A‚$t Y‚ {sR‚ b‚ Y‚t Ys%‚
8
8



"
3
€wFD {BR
F QF
'> ,
) i‚ 1$7
RwFD
>)d



"
3
€wFD {BR
F QF
) y8 1$7
'> 3
RwFD
>)d

~

X

X

~

1? Q?
G‚ {B8}Z‚  ? R$t
dL?1  qY‚ {B„„‚R}BtI$t {BtBZ„ $tT
7 1F
$
‚„sj $R a„ F dLF1QF  qY‚ Btjk R$tZjs„$k BP Y‚ $t‚„stI $t Y‚ $t‚„$B„ BP
a„  PB„ „ k d B{{Z„R s F ) 7 bY‚„‚ Y‚ „‚R$IZ‚ $R
$

e-s8}j‚ n

F 7

j$8 wF  7D

? R$t 1? Q?
1
)
y8
1$7
d L ?1
1

qYZR
8

F  7 1F
F 7 1F
7  1
1
) j$8
)
)
3
F 7 F L 7
wF  7DwF L 7D
17
1
X



~

) $  1 3

]B„„‚R}BtI$tjk
8



 1
? {BR 1? Q?
)

1$7
d L ?1
1
X

~

) (,

bY${Y $R {j‚s„ $t stk {sR‚ A‚{sZR‚ Y‚ $t‚„stI $R st BII PZt{$Bt BP ?

E