PENGARUH MICRO-TEXTURING PADA PERMUKAAN KONTAK TERLUBRIKASI DENGAN KONDISI BATAS NO-SLIP UNTUK FLUIDA NON-NEWTONIAN - Diponegoro University | Institutional Repository (UNDIP-IR)

LAMPIRAN A
PENURUNAN REYNOLD NON-NEWTONIAN

A.1 Penurunan Persamaan Reynold
Persamaan momentum untuk aliran satu dimensi:
∂p ∂τ
=
∂x ∂z

(A.1)

Model power law untuk fluida non-Newtonian
∂u
τ =η
∂z

n −1

∂u
∂u
= ηe

∂z
∂z

(A.2)

= viskositas ekuivalen

(A.3)

dimana
∂u
ηe = η
∂z

n −1

Kecepatan u ditentukan dengan istilah ε, yang merupakan parameter amplitudo tak
berdimensi yang kecil. (Dien & Elrod, 1983)

u = u0 ( x, z ) + ε u1 ( x, z ) + ...

(A.4)

misal

I=

∂u
∂z

(A.5)

maka

I=

∂u ∂u0
∂u
=
+ε 1

∂z
∂z
∂z

(A.6)

dapat kita tulis menjadi

I = I 0 + ε I1

dimana

I0 =

∂u0
∂z

(A.7)
dan

I1 =

∂u1
∂z

(A.8)

Dengan menggunakan metode yang sama, viskositas ekuivalen, ηe dan tekanan fluid
film, p dapat diuraikan dalam bentuk

48

49

ηe = η0 + εη1

(A.9)

p = p0 + ε p1

(A.10)

Dari persamaan (A.2)

∂u
∂z
= ηe I

τ = ηe

= ηe ( I 0 + ε I1 )
= (η0 + εη1 )( I 0 + ε I1 )
= η0 I 0 + ε (η0 I1 + η1 I 0 ) + ε 2η1 I1

(A.11)

dengan mengabaikan nilai ε 2 (terlalu kecil), menjadi

τ = η0 I 0 + ε (η0 I1 + η1 I 0 ) + ε 2η1 I1

(A.12)

Substitusikan persamaan (A.10) dan persamaan (A.12) ke dalam persamaan (A.1)
∂p ∂τ
=
∂x ∂z

∂
∂
( p0 + ε p1 ) = [η0 I 0 + ε (η0 I1 + η1I 0 )]
∂x
∂z
∂p0
∂I
∂p
∂
+ ε 1 = η 0 0 + ε (η0 I1 + η1 I 0 )
∂x
∂x
∂z

∂z
(A.13)
Dengan asumsi aliran adalah Couette dominated, gradien tekanan dapat ditulis sebagai

∇p = ε∇p1
dengan

(A.14)

∂p0
=0
∂x

Jadi, dari persamaan (A.13):

ε

∂I
∂p1
∂

= η0 0 + ε (η 0 I1 + η1 I 0 )
∂x
∂z
∂z

(A.15)

50

dengan menyamakan koefisien dari equal power dari ε, kita peroleh

η0

∂I 0
=0
∂z

η0

∂ 2 u0

=0
∂z 2

(A.16)

dan

∂p1 ∂
= (η0 I1 + η1 I 0 )
∂x ∂z
∂u 
∂p1 ∂  ∂u1
= η 0
+ η1 0 
∂x ∂z  ∂z
∂z 

(A.17)

Integralkan persamaan (A.16) dengan kondisi batas

u0 = ub saat z = 0
u0 = us saat z = h
Jadi, dari persamaan (A.16)

∂u 0
+ c1 = 0
∂z

(A.18)

u0 + c1 z + c2 = 0

(A.19)

saat z = 0 , u0 = ub ;

ub + c1 (0) + c2 = 0
c2 = −ub

(A.20)

saat z = h , u0 = us ;

us + c1h − ub = 0
c1 =

ub − us
h

(A.21)

51

Dari persamaan (A.19)
 u − us
u0 +  b
 h


 z − ub = 0


u −u 
u0 = ub +  s b  z
 h 

jadi

(A.22)

dimana: ub = kecepatan permukaan bawah (moving surface)

us = kecepatan slip (stationary surface)
h = tebal lapisan (film thickness)
Dari persamaan (9), viskositas ekuivalen, ηe dapat ditulis sebagai

ηe = η0 + εη1
dimana

η0 = ηe ( I 0 )
 ∂η e 
 .I1
 ∂I  I = I 0

η1 = 

(A.23)

(A.24)

Substitusikan persamaan (A.23) dan (A.24) kedalam (A.17)


∂p1 ∂ 
 ∂η 
= ηe I 0 I1 + I1  e  I 0 
∂x ∂z 
 ∂I  I = I0 

∂p1 ∂I1 
 ∂ηe 
η
=
+
I
I
 e 0 
0

∂x ∂z 
 ∂I  I = I0 

jadi

∂p1
∂ 2u
= η ' 21
∂x
∂z

dimana

η ' = η0 + I 0 




 ∂ηe  
 
 ∂I  I = I0 

(A.25)

(A.26)

52

Integralkan persamaan (A.25) dengan kondisi batas

u1 = 0 saat z = 0
u1 = 0 saat z = h

η'
η ' u1 =

∂ 2u1 ∂p1
=
∂z 2
∂x
z 2 ∂p1
+ c1 z + c2
2 ∂x

(A.27)

saat z = 0 , u1 = 0 ;
0 = 0 + c1 (0) + c2
c2 = 0
saat z = h , u1 = 0 ;
h 2 ∂p1
+ c1h
2 ∂x
h 2 ∂p1
c1h = −
2 ∂x
h ∂p1
c1 = −
2 ∂x
0=

Jadi, dari persamaan (A.27)
z 2 ∂p1 hz ∂p1
η ' u1 =
+
2 ∂x 2 ∂x

( z 2 − hz ) ∂p1
u1 =
2η ' ∂x

(A.28)

u = u0 + ε u1

(A.29)

Dari persamaan (A.4)

53

Substitusikan persamaan (A.22) dan (A.28) ke dalam persamaan (A.29)


 u −u
u = ub +  s b
 h


 ( z 2 − hz ) ∂p1 
 
ε
+
z


 
 
 2η ' ∂x 

(A.30)

Dari persamaan (A.10)

p = p0 + ε p1
p1 =

1

ε

( p − p0 )

∂p1 1  ∂p ∂p0 
=
−
∂x ε  ∂x ∂x 
Dengan asumsi aliran adalah Couette dominated
∂p1 1  ∂p 
=  
∂x ε  ∂x 

(A.31)

Substitusikan persamaan (A.31) ke dalam persamaan (A.30)
2

 u − u    ( z − hz ) ∂p 
u = ub +  s b  z  + 

 h    2η ' ∂x 


Dari persamaan (A.23)

(A.32)

η0 = ηe ( I 0 )

dimana dari persamaan (A.3), viskositas ekuivalan, ηe didefinisikan sebagai:

ηe ( I ) = η

∂u
∂z

n −1

=η I

n −1

n −1

jadi

η0 = η I 0

dan

 ∂η e 
= (n − 1)η I 0
 ∂I 

 I = I0

(A.33)
n−2

n −1

I
= (n − 1)η 0
I0

(A.34)

54

Dari persamaan (A.26)
 ∂η e 

 ∂I  I = I0

η ' = η0 + I 0 

Substitusikan persamaan (A.33) dan (A.34) ke dalam persamaan (A.26)

η ' = η I0

n −1

= η I0

n −1

n −1

I0 
+ I 0 (n − 1)η

I 0 


+ nη I 0

n −1

−η I0

n −1

n −1

= nη I 0

∂u
= nη 0
∂z

n −1

u −u
η ' = nη b s
h

n −1

(A.35)

Substitusikan persamaan (A.35) ke dalam persamaan (A.32)





2

( z − hz )
∂p 
 u −u  
u = ub +  s b  z  + 
n −1
 h   

 ub − us  ∂x 
 2nη 


 h 



(A.36)

Persamaan kontinuitas untuk aliran fluida tiga dimensi (3D) dinyatakan sebagai
∂ρ u ∂ρ v ∂ρ w
+
+
=0
∂x
∂x
∂x

(A.37)

Untuk aliran satu dimensi arah x, persamaan (A.37) disederhanakan menjadi
∂ρ u
=0
∂x
Integralkan persamaan (A.38) dengan batas z = 0 sampai

∫

h

0

∂ρ u
dz = 0
∂x

(A.38)

z=h
(A.39)

55

Substitusikan persamaan kecepatan, u dari persamaan (A.36) ke dalam persamaan
(A.39)



∂ h 
 u −u
ρ ub +  s b
∫
0

∂x
 h




∂ρ 
 u −u
ub z +  s b
∂x 
 2h


∂ρ
∂x

∂ρ
∂x
∂ρ
∂x



u h +  us − ub
 b  2h




u h +  us − ub
 b  2



 u −u
ub h +  s b
 2



z+


( z 2 − hz )
 u −u 
2nη  b s 
 h 

n −1



∂p 
dz = 0
∂x 


y=h

3

 2
z +


2

z hz
)
−
3
2
n −1
 ub − us 
2nη 

 h 
(



∂p 
=0
∂x 

 y =0



(h )
∂p 
 2
h
−
=0

n −1

 ub − us  ∂x 
12nη 


 h 



( h3 )
∂p 

=0
h−
n −1

 ub − us  ∂x 
12nη 


 h 

h3 . h n −1
∂p 

h
−
=0

n −1
 12nη ( ub − us ) ∂x 
3

hn+ 2
∂ρ 
∂p 
 u −u 
ub h +  s b  h −
=0
∂x 
2  12nη ( ub − us )n −1 ∂x 



∂p
hn+ 2
∂ρ
∂ρ  ub + us  
∂x
=
h
n −1
∂x 12nη ( ub − us )
∂x  2  
∂ h n + 2 ∂p
n −1  u + u s  ∂
= 12η ( ub − us )  b
 h
∂x n ∂x
 2  ∂x

(A.40)

56

A.2 Pembuktian
Jika n=1 dan us=0 maka persamaan (A.40) akan menjadi persamaan reynold klasik
dimana η = µ n
∂  h n + 2 ∂p 
n −1  ub + u s  ∂
n

 = 12 µ ( ub − us ) 
 h
∂x  n ∂x 
 2  ∂x
1
∂  h1+ 2 ∂p 
1−1  ub + 0  ∂
1
µ
12
0
=
−
u
( b ) 


 h
∂x  1 ∂x 
 2  ∂x

∂  3 ∂p 
 ub  ∂
h
 = 12 µ   h
∂x  ∂x 
 2  ∂x
∂  3 ∂p 
∂
h
 = 6 µ ub h
∂x  ∂x 
∂x