Sifat kendala Pemrograman Kerucut Order Dua Dengan Norma Infinit
Vol. 7, No. 2, Desember 2012
SIFAT KENDALA PEMROGRAMAN KERUCUT ORDER DUA
DENGAN NORMA ∞
Caturiyati1, Ch. Rini Indrati2, Lina Aryati2
Mahasiswa Pemrograman Studi S3 Matematika FMIPA UGM dan
dosen Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
2
Dosen Jurusan Matematika FMIPA UGM
1
[email protected], [email protected], [email protected]
Abstrak
Masalah pemrograman kerucut order dua (Second Order Cone Programming/SOCP) dengan norma ∞
merupakan suatu masalah yang merupakan bentuk khusus dari masalah pemrograman kerucut order dua
dengan norma 2. Pada makalah ini dikembangkan pengertian kerucut order dua (Second Order
Cone/SOC) dengan norma ∞ dan sifat sifat kendala pemrograman kerucut order dua dengan Norma ∞
berdasarkan pada pengertian kerucut order dua dengan norma 2 dan pemrograman kerucut order dua
dengan norma 2. Paper ini ditulis dengan menguraikan pengertian kerucut order dua dengan norma 2 dan
pemrograman kerucut order dua dengan norma 2, dilanjutkan dengan mengembangkan pengertian kerucut
order dua dengan norma ∞ dan pemrograman kerucut order dua dengan norma ∞ besera sifat-sifat yang
dihasilkannya.
Kata kunci: Second Order Cone (SOC), Second Order Cone Programming
Tal and Nemirovski (2001) didefinisikan
PENDAHULUAN
Kerucut order dua (SOC) dalam Ben
= (
=
, …,
) ∈ℝ
dan pemrograman kerucut order dua (SOCP)
adalah masalah konik:
|
−
≥
+ ⋯+
≥ 2,
,
(konveks) sebagai kasus khusus (Andersen
1998). Dalam beberapa tahun terakhir,
},
dengan kerucut
≥
et. Al., 2002, Cao et.al., 2010, Lobo et. Al.,
meminimumkan
{
sebagai
masalah SOCP mendapat perhatian para
merupakan hasil kali
peneliti karena jangkauan aplikasinya yang
langsung (direct product) dari beberapa
luas
kerucut order dua:
Andersen et. Al., 2002). Masalah optimisasi
×
=
dan ≥
≥
order
kerucut
× …×
menyatakan urutan konik, yaitu
⟺
−
≥
⟺
−
∈ .
suatu
fungsi
linear
order
and
dua
Goldfarb,
2003,
secara teori dapat
diselesaikan secara efisien menggunakan
metode titik interior.
Dalam
Pada masalah pemrograman kerucut
dua,
(Alizadeh
perkembangan
penelitian
dibidang optimisasi terdapat pergeseran-
diminimumkan atas irisan himpunan afine
pergeseran
dan hasil kali langsung beberapa kerucut
mengajukan metode principal component
order
analysis
dua.
SOCP merupakan
masalah
konveks nonlinear dengan pemrograman
linear
dan
pemrograman
kuadratik
struktur.
(PCA)
Kwak
(2008)
berdasarkan
teknik
optimisasi yang dikerjakan dengan norma
.
Metode
tersebut
merupakan
9
Sifat Kendala Pemrograman Kerucut...... (Caturiyati dkk)
pengembangan dari PCA berdasarkan norma
penghalusan;
keempat,
menyelesaikan
. Metode PCA tersebut lebih sederhana
menggunakan suatu metode optimal order
dan mudah diimplementasikan. Sehingga
satu. Kegunaan pendekatan ini adalah
dirasakan
fleksibilitasnya.
perkembangan
optimisasi
akhir-akhir
penelitian
ini
mempunyai
Suatu
estimator
yang
dipandang efektif secara teori dan praktek
kecenderungan menggantikan norma
adalah pemilih Dantzig (Candes and Tao,
dengan norma
2005),
(Schmidt, 2005).
Sementara itu Kahl and Hartley
yang
ide
sederhananya
adalah
mendapatkan estimasi konsisten dari data
(2008) menyajikan kerangka kerja baru
observasi dan meminimumkan norma
untuk menyelesaikan struktur geometri dan
Pemilih Dantzig merupakan solusi masalah
masalah gerakan berdasar pada norma
pemrograman konveks sebagai berikut
∞
∗(
komputasi estimasi global yang efisien,
kendala ‖
dalam arti solusinya invarian terhadap
kolom matriks
.
Kerangka
kerja
ini
menghasilkan
‖ ‖ ,
meminimumkan
daripada menggunakan fungsi cost norma
dengan
)‖
−
dengan
≤ ,
skalar dan diasumsikan
dinormalisasikan.
Berdasarkan
transformasi proyektif pada sistem koordinat
.
referensi
yang
dunia dan similaritas transformasi dalam
diuraikan tersebut dan terutama berdasarkan
bidang gambar, karena metrik jarak gambar
paper Lobo, et. al. (1998) yang menguraikan
dari kesalahan proyeksi ulangnya juga
masalah pemrograman kerucut order dua
invarian
yang
maka pada paper ini akan dibahas masalah
tidak
SOCP dengan mengubah fungsi kendala
memerlukan normalisasi koordinat gambar.
menjadi fungsi norma ∞ dengan domain ℝ .
terhadap
dimaksud.
Dengan
transformasi
kata
lain
Selain itu berbagai masalah struktur dan
gerakan,
seperti
triangulasi,
pembagian
PEMBAHASAN
ulang kamera dan estimasi homografi dapat
1.
dinyatakan ulang sebagai masalah optimisasi
Sebelum
quasi konveks yang dapat diselesaikan
kerucut order dua (SOCP), akan dibicarakan
menggunakan pemrograman kerucut order
terlebih dahulu mengenai kerucut order dua
dua (SOCP).
(SOC) sebagai berikut.
Becker et.al. (2011) membangun
Kerucut Order Dua
kerucut
berbagai masalah kerucut konveks dengan
≻
berikut:
=
⟺
pertama,
parsial,
menentukan formulasi konik dari masalah;
pointed
kedua, menentukan dualnya; ketiga, aplikasi
berikut:
10
sebagai
pemrograman
Ben Tal dan Nemirovski mengatakan suatu
suatu kerangka kerja untuk menyelesaikan
pendekatan
membicarakan
−
≻
∈ℝ
,
dengan
dan ≻ suatu urutan
adalah suatu
yang
≻
kerucut
memenuhi
konveks
syarat-syarat
Vol. 7, No. 2, Desember 2012
1.
tak kosong dan tertutup terhadap
penjumlahan,
2.
∈
,
∈
himpunan konik,
∈
3.
∈
pointed,
=
.
⟹
′∈
+
= (
1. Ortan
ℝ
3. Kerucut semidefinit positif,
kerucut dalam ruang
yaitu ruang
matriks
×
=
≥ 0, = 1, …, }
) |
, …,
2. Kerucut order dua
,
,
nonnegatif,
{ = (
⟹
, …,
di
ℝ terdapat tiga macam kerucut berikut:
, ≥0⟹
dan − ∈
=
Dengan urutan parsial pada himpunan
) ∈ℝ
dengan ≥
kerucut
∑
≥
.
urutan parsial pada himpunan
. Jika
adalah hasil kali langsung
dan
beberapa SOC, maka masalah pemrograman
memuat semua matriks semidefinit
konik tersebut disebut dengan masalah
positif
SOCP. Secara umum SOCP dimodelkan
berukuran
berukuran
.
×
sebagai berikut (Lobo et al),
2.
meminimumkan
Pemrograman Kerucut Order Dua
Diberikan
definisi
pemrograman
dengan kendala ‖
konik
berikut dari Ben Tal dan Nemirovski.
suatu kerucut di ℝ
Misalkan
kosong). Diberikan
berukuran
×
∈ ℝ , matriks kendala
, dan vektor ruas kanan
∈ ℝ , masalah optimisasi berikut disebut
dengan pemrograman konik,
meminimumkan
kendala
−
,
dengan
≥
= 1,
‖ ≤
+
( = 1, …, )
(1)
dengan
parameter
ℝ
‖
,
+
∈ℝ
∈ℝ
variabel keputusan, dan
∈ℝ ,
‖≤
SOC berdimensi
dan
∈ ℝ(
)×
∈ ℝ.
disebut
+
,
∈
Kendala
kendala
. Berdasarkan definisi,
SOC standar berdimensi
didefinisikan
sebagai,
∈ℝ
= {( , ) |
Untuk
+
(konveks,
pointed, tertutup, dan dengan interior tak
,
= { | ∈ ℝ, 0 ≤ }, dan
, ∈ ℝ, ‖ ‖ ≤ }.
Gambar 1 berikut.
secara geometris dapat digambarkan seperti
.
0
t
Gambar 1. SOC
11
Sifat Kendala Pemrograman Kerucut...... (Caturiyati dkk)
Untuk
dan secara geometris digambarkan seperti
= 2,
= {( , ) | ∈ ℝ, ∈ ℝ, ‖ ‖ ≤ }
= {( , ) |
{( , ) |
Gambar 2 berikut.
∈ ℝ, ∈ ℝ, | | ≤ } =
∈ ℝ, ∈ ℝ, − ≤
≤ },
= −
=
Gambar 2. SOC
Untuk
= 3,
=
( , , ) ( , ) ∈ ℝ , ∈ ℝ,
+
, dan
{( , , ) |( , ) ∈ ℝ , ∈ ℝ, ‖( , ) ‖ ≤ }
secara
geometris
digambarkan
≤
seperti
Gambar 3 berikut.
=
Gambar 3. SOC
Lemma 1. (Ben Tal dan Nemirovski, 2001)
kerucut
order
Himpunan titik-titik yang memenuhi kendala
pemetaan afine:
dua
satuan
terhadap
kerucut order dua adalah image invers dari
‖
+
dan konveks, i=1,2,...,N.
Bukti:
Tanpa
diasumsikan
=
‖ ≤
+
mengurangi
keumuman,
= 1,
,
= 2=
,
=
, =
=
ℎ
,
ℎ
⟺
,
∈
+
=
∈ ℝ, maka parameter masalah
SOCP berdimensi 2 adalah
= (
,
) .
12
Vol. 7, No. 2, Desember 2012
Kendala masalah SOCP berdimensi 2: ‖
⟺
⟺
⟺ (
⟺
+
+
+
+
+
+
+
+
+ ℎ
ℎ
⟺
3.
≤ [ℎ
+
+
∈
ℎ ]
≤ℎ
+ ℎ
) + (
+
+
+
‖ ≤
+
+
) ≤ℎ
+
∈
.
+ ℎ
∗
Kerucut Order Dua (SOC) pada
Untuk
SOCP dengan Norma ∞
{ | ∈ ℝ, 0 ≤ } =
∗
(1) diubah menjadi fungsi kendala bernorma
∞, maka diperoleh masalah SOCP:
meminimumkan
+
‖ ≤
( = 1, …, )
(2)
dengan
∈ℝ
adalah variabel keputusan,
∈ℝ ,
dan parameter
,
∈ℝ
membahas
dan
masalah
∈ ℝ(
∈ ℝ.
SOCP
)×
,
∈
Sebelum
(2),
sebagai berikut:
∈ℝ
Namun
dengan
, ∈ ℝ, ‖ ‖
pengubahan
∗
≤ }.
tersebut
berikut:
Sementara itu untuk ( , , ) ∈
∗
≤ }
{( , , ) |( , ) ∈ ℝ , ∈ ℝ, | | + | | ≤ } ≠
.
Contoh
example
=
berlaku
suatu
counter
menunjukkan
adanya
Merupakan
1.
yang
perbedaan antara SOC norma 2 dengan SOC
norma ∞ mulai
Ambil
= ,
∗
= 3 sebagai berikut.
= , = 1, , , ∈ ℝ. Akan
≠
Untuk ( , , ) ∈
(3)
= 3,
=
(norma 2) dengan SOC norma ∞ sebagai
+
.
{( , , ) |( , ) ∈ ℝ , ∈ ℝ, ‖( , ) ‖
ditunjukkan
≤ ⟺
= 2,
=
terdapat perbedaan antara SOC standar
+
.
perlu
didefinisikan pengertian SOC norma ∞
= {( , ) |
≤ }=
∈ ℝ, ∈ ℝ, | | ≤ } =
Untuk
+
= { | ∈ ℝ, ‖0‖
∈ ℝ, ∈ ℝ, ‖ ‖ ≤ }
= {( , ) |
= {( , ) |
,
dengan kendala ‖
= 1,
+
Untuk
norma pada fungsi kendala masalah SOCP
∗
+
+
Diberikan masalah SOCP (1). Apabila
ℝ
+
+
, berlaku
< 1.
=
+
.
=
> 1.
13
Sifat Kendala Pemrograman Kerucut...... (Caturiyati dkk)
∗
(4)
Dari (3) dan (4) terbukti
∗
≠
.
Berikut ini adalah hasil yang diperoleh yang
=
{( , , ) |( , ) ∈ ℝ , ∈ ℝ, ‖( , ) ‖
≤ }
dinyatakan dalam Lemma 2 dan Lemma 3.
=
Lemma 2. Jika
,
,
norma ‖. ‖
∗
∗
{( , , ) |( , ) ∈ ℝ , ∈ ℝ, | | + | | ≤ } ≠
dan
,
adalah SOC
,
norma ‖. ‖ , maka berlaku
, tetapi
Bukti:
∗
≠
.
∗
Jelas
sedangkan untuk
∗
∗
adalah SOC
∗
=
∗
dan
=
,
∗
=
=
.
∗
Terbukti
=
∗
,
, tetapi
=
∗
≠
.
,
menurut definisinya
Secara geometris perbedaan antara
terlihat seperti Gambat 4 berikut:
∗
dan
∗
∗
Gambar 4. SOC
Lemma 3. Diberikan
+
, , ∈ ℝ berlaku
≤ ⇎| |+ | |≤ .
‖
(ii)
‖ ≤
+
Bukti:
Tanpa
diperoleh berupa hubungan kendala SOCP
,
=
keumuman
= 1,
,
berlaku hubungan sebagai berikut:
(i)
14
‖
+
+
‖ ≤
∈
+
∗
⟺
=
∈ ℝ, maka parameter masalah
=
hubungannya dengan pemetaan afine.
kendala SOCP (2) terhadap pemetaan afine
= 2=
SOCP berdimensi 2 adalah
standar dengan kendala SOCP norma ∞ dan
Lemma 4. Untuk kendala SOCP (1) dan
.
⇎
mengurangi
diasumsikan
Berikut ini akan ditunjukkan hasil yang
∗
∈
+
Bukti: (dengan counter example) pada
Contoh 1.
+
(i)
,
=
(
,
ℎ
,
ℎ
, =
) .
=
Diperoleh
‖
⟺|
‖ ≤
+
+
+
|≤ℎ
+
+
|+ |
+ ℎ
+
+
Vol. 7, No. 2, Desember 2012
⟺
+
+
+ ℎ
ℎ
⟺
+
+
+
(ii) Didapatkan
‖
‖ ≤
+
⟺
(
+ ℎ
⟺
ℎ
⟺
Kompetensi Dasar Matematika
∗
SMP/MTs
Bransford, J. dan B.S. Stein. (1993). The
IDEAL Problem Solver: A Guide
) + (
+
+
+
+
+
+ ℎ
∈
+
∈
in education. In G. Phye &
.
∗
≠
,
∗
.
b.
=
order
dua
∞
norma
sebagai
, tetapi
∗
∗
berikut
≠
.
SOCP
(1)
menjadi
∗
.
Dengan adanya perbedaan tersebut
maka
classroom
learning
pada
masalah
Cognitive
(pp.49-82).
Orlando, FL: Academic Press.
SOCP
Traditional
Methods:
Thousand
Student
Mechanics
Test
Introductory
Six-
Survey
Of
Data
For
Physics
Courses.
American Journal of Physics, 66
(1), 64-67.
tidak
ekuivalen dengan pemetaan afine di
c.
=
Akibat adanya perbedaan tersebut maka
kendala
(Eds.),
v.s
order dua norma 2 mulai pada kerucut
∗
T.Andre
Hake, R. (1998). Interactive Engagement
mempunyai perbedaan dengan kerucut
,
Thinking,
Grabe, M. (1986). Attentional processes
KESIMPULAN
3
Improving
ed). New York: W.H. Freeman.
+
+
+
dengan pemetaan afine di
dimensi
for
) ≤
Learning, and Creativity (2nd
+
sehingga kendala SOCP (1) tidak ekuivalen
Kerucut
Isi
dan Menengah. Jakarta.
Sementara telah diketahui
a.
dalam Standar
untuk Satuan Pendidikan Dasar
.
+
+
ℎ
∗
∈
+
∈
(2)
diperlukan sejumlah teori tambahan
agar teori-teori pada SOCP (1) berlaku
pada SOCP (2).
DAFTAR PUSTAKA
Badan Standar Nasional Pendidikan.
(2006). Standar Kompetensi dan
Henton, J., Baden. R.M. dan Kieren, D.,
(1979). Problem Solving in the
The
Classroom.
Family
Coordinator, 28 (1), 61-66.
Jonassen, D.H. (1997). Instructional
Design
Models
Structured
for
Well-
and
lll-structured
Problem-Solving
Learning
Outcomes.
Technology
Educational
Research
and
Development, 45 (1), 65-94.
15
Sifat Kendala Pemrograman Kerucut...... (Caturiyati dkk)
Sobel M.A & E.M. Maletsky. (2001).
W.
S.
Mengajar Matematika. Sebuah
Pengajaran.
Buku
Yogyakarta.
Sumber
Alat
Peraga,
Aktivitas dan Strategi. Jakarta:
Erlangga.
Sudjana, N. (2005).
Penilaian Hasil
Proses Belajar Mengajar. Jakarta:
PT. Remaja Rosdakarya.
Sukestiyarno, YL. (2012). Olah Data
Penelitian
berbantuan
SPSS.
Semarang: UNNES.
Thiagarajan, S., D. S. Semmel and M. I.
(1974). Instructional
Semmel.
Development
for
Teachers
of
Children.
A
Training
Exceptional
Source
Book.
Blomington: Indiana University.
Tisngati,
U.
(2012).
Karakter
“Membangun
Dalam Pembelajaran
Matematika Melalui Ketrampilan
Komunikasi”. Prosiding. seminar
nasional
matematika
pendidikan
dan
matematika.
10
November 2012. Yogyakarta :
Universitas Negeri Yogyakarta.
Widyantini, Th. (2008). Paket Fasilitasi
Pemberdayaan KKG dan MGMP
Matematika. Yogyakarta: Pusat
Pengembangan
Pemberdayaan
dan
Pendidik
dan
Tenaga Kependidikan (PPPPTK)
Matematika.
16
Winkel,
(2009).
Media
Psikologi
Abadi:
SIFAT KENDALA PEMROGRAMAN KERUCUT ORDER DUA
DENGAN NORMA ∞
Caturiyati1, Ch. Rini Indrati2, Lina Aryati2
Mahasiswa Pemrograman Studi S3 Matematika FMIPA UGM dan
dosen Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
2
Dosen Jurusan Matematika FMIPA UGM
1
[email protected], [email protected], [email protected]
Abstrak
Masalah pemrograman kerucut order dua (Second Order Cone Programming/SOCP) dengan norma ∞
merupakan suatu masalah yang merupakan bentuk khusus dari masalah pemrograman kerucut order dua
dengan norma 2. Pada makalah ini dikembangkan pengertian kerucut order dua (Second Order
Cone/SOC) dengan norma ∞ dan sifat sifat kendala pemrograman kerucut order dua dengan Norma ∞
berdasarkan pada pengertian kerucut order dua dengan norma 2 dan pemrograman kerucut order dua
dengan norma 2. Paper ini ditulis dengan menguraikan pengertian kerucut order dua dengan norma 2 dan
pemrograman kerucut order dua dengan norma 2, dilanjutkan dengan mengembangkan pengertian kerucut
order dua dengan norma ∞ dan pemrograman kerucut order dua dengan norma ∞ besera sifat-sifat yang
dihasilkannya.
Kata kunci: Second Order Cone (SOC), Second Order Cone Programming
Tal and Nemirovski (2001) didefinisikan
PENDAHULUAN
Kerucut order dua (SOC) dalam Ben
= (
=
, …,
) ∈ℝ
dan pemrograman kerucut order dua (SOCP)
adalah masalah konik:
|
−
≥
+ ⋯+
≥ 2,
,
(konveks) sebagai kasus khusus (Andersen
1998). Dalam beberapa tahun terakhir,
},
dengan kerucut
≥
et. Al., 2002, Cao et.al., 2010, Lobo et. Al.,
meminimumkan
{
sebagai
masalah SOCP mendapat perhatian para
merupakan hasil kali
peneliti karena jangkauan aplikasinya yang
langsung (direct product) dari beberapa
luas
kerucut order dua:
Andersen et. Al., 2002). Masalah optimisasi
×
=
dan ≥
≥
order
kerucut
× …×
menyatakan urutan konik, yaitu
⟺
−
≥
⟺
−
∈ .
suatu
fungsi
linear
order
and
dua
Goldfarb,
2003,
secara teori dapat
diselesaikan secara efisien menggunakan
metode titik interior.
Dalam
Pada masalah pemrograman kerucut
dua,
(Alizadeh
perkembangan
penelitian
dibidang optimisasi terdapat pergeseran-
diminimumkan atas irisan himpunan afine
pergeseran
dan hasil kali langsung beberapa kerucut
mengajukan metode principal component
order
analysis
dua.
SOCP merupakan
masalah
konveks nonlinear dengan pemrograman
linear
dan
pemrograman
kuadratik
struktur.
(PCA)
Kwak
(2008)
berdasarkan
teknik
optimisasi yang dikerjakan dengan norma
.
Metode
tersebut
merupakan
9
Sifat Kendala Pemrograman Kerucut...... (Caturiyati dkk)
pengembangan dari PCA berdasarkan norma
penghalusan;
keempat,
menyelesaikan
. Metode PCA tersebut lebih sederhana
menggunakan suatu metode optimal order
dan mudah diimplementasikan. Sehingga
satu. Kegunaan pendekatan ini adalah
dirasakan
fleksibilitasnya.
perkembangan
optimisasi
akhir-akhir
penelitian
ini
mempunyai
Suatu
estimator
yang
dipandang efektif secara teori dan praktek
kecenderungan menggantikan norma
adalah pemilih Dantzig (Candes and Tao,
dengan norma
2005),
(Schmidt, 2005).
Sementara itu Kahl and Hartley
yang
ide
sederhananya
adalah
mendapatkan estimasi konsisten dari data
(2008) menyajikan kerangka kerja baru
observasi dan meminimumkan norma
untuk menyelesaikan struktur geometri dan
Pemilih Dantzig merupakan solusi masalah
masalah gerakan berdasar pada norma
pemrograman konveks sebagai berikut
∞
∗(
komputasi estimasi global yang efisien,
kendala ‖
dalam arti solusinya invarian terhadap
kolom matriks
.
Kerangka
kerja
ini
menghasilkan
‖ ‖ ,
meminimumkan
daripada menggunakan fungsi cost norma
dengan
)‖
−
dengan
≤ ,
skalar dan diasumsikan
dinormalisasikan.
Berdasarkan
transformasi proyektif pada sistem koordinat
.
referensi
yang
dunia dan similaritas transformasi dalam
diuraikan tersebut dan terutama berdasarkan
bidang gambar, karena metrik jarak gambar
paper Lobo, et. al. (1998) yang menguraikan
dari kesalahan proyeksi ulangnya juga
masalah pemrograman kerucut order dua
invarian
yang
maka pada paper ini akan dibahas masalah
tidak
SOCP dengan mengubah fungsi kendala
memerlukan normalisasi koordinat gambar.
menjadi fungsi norma ∞ dengan domain ℝ .
terhadap
dimaksud.
Dengan
transformasi
kata
lain
Selain itu berbagai masalah struktur dan
gerakan,
seperti
triangulasi,
pembagian
PEMBAHASAN
ulang kamera dan estimasi homografi dapat
1.
dinyatakan ulang sebagai masalah optimisasi
Sebelum
quasi konveks yang dapat diselesaikan
kerucut order dua (SOCP), akan dibicarakan
menggunakan pemrograman kerucut order
terlebih dahulu mengenai kerucut order dua
dua (SOCP).
(SOC) sebagai berikut.
Becker et.al. (2011) membangun
Kerucut Order Dua
kerucut
berbagai masalah kerucut konveks dengan
≻
berikut:
=
⟺
pertama,
parsial,
menentukan formulasi konik dari masalah;
pointed
kedua, menentukan dualnya; ketiga, aplikasi
berikut:
10
sebagai
pemrograman
Ben Tal dan Nemirovski mengatakan suatu
suatu kerangka kerja untuk menyelesaikan
pendekatan
membicarakan
−
≻
∈ℝ
,
dengan
dan ≻ suatu urutan
adalah suatu
yang
≻
kerucut
memenuhi
konveks
syarat-syarat
Vol. 7, No. 2, Desember 2012
1.
tak kosong dan tertutup terhadap
penjumlahan,
2.
∈
,
∈
himpunan konik,
∈
3.
∈
pointed,
=
.
⟹
′∈
+
= (
1. Ortan
ℝ
3. Kerucut semidefinit positif,
kerucut dalam ruang
yaitu ruang
matriks
×
=
≥ 0, = 1, …, }
) |
, …,
2. Kerucut order dua
,
,
nonnegatif,
{ = (
⟹
, …,
di
ℝ terdapat tiga macam kerucut berikut:
, ≥0⟹
dan − ∈
=
Dengan urutan parsial pada himpunan
) ∈ℝ
dengan ≥
kerucut
∑
≥
.
urutan parsial pada himpunan
. Jika
adalah hasil kali langsung
dan
beberapa SOC, maka masalah pemrograman
memuat semua matriks semidefinit
konik tersebut disebut dengan masalah
positif
SOCP. Secara umum SOCP dimodelkan
berukuran
berukuran
.
×
sebagai berikut (Lobo et al),
2.
meminimumkan
Pemrograman Kerucut Order Dua
Diberikan
definisi
pemrograman
dengan kendala ‖
konik
berikut dari Ben Tal dan Nemirovski.
suatu kerucut di ℝ
Misalkan
kosong). Diberikan
berukuran
×
∈ ℝ , matriks kendala
, dan vektor ruas kanan
∈ ℝ , masalah optimisasi berikut disebut
dengan pemrograman konik,
meminimumkan
kendala
−
,
dengan
≥
= 1,
‖ ≤
+
( = 1, …, )
(1)
dengan
parameter
ℝ
‖
,
+
∈ℝ
∈ℝ
variabel keputusan, dan
∈ℝ ,
‖≤
SOC berdimensi
dan
∈ ℝ(
)×
∈ ℝ.
disebut
+
,
∈
Kendala
kendala
. Berdasarkan definisi,
SOC standar berdimensi
didefinisikan
sebagai,
∈ℝ
= {( , ) |
Untuk
+
(konveks,
pointed, tertutup, dan dengan interior tak
,
= { | ∈ ℝ, 0 ≤ }, dan
, ∈ ℝ, ‖ ‖ ≤ }.
Gambar 1 berikut.
secara geometris dapat digambarkan seperti
.
0
t
Gambar 1. SOC
11
Sifat Kendala Pemrograman Kerucut...... (Caturiyati dkk)
Untuk
dan secara geometris digambarkan seperti
= 2,
= {( , ) | ∈ ℝ, ∈ ℝ, ‖ ‖ ≤ }
= {( , ) |
{( , ) |
Gambar 2 berikut.
∈ ℝ, ∈ ℝ, | | ≤ } =
∈ ℝ, ∈ ℝ, − ≤
≤ },
= −
=
Gambar 2. SOC
Untuk
= 3,
=
( , , ) ( , ) ∈ ℝ , ∈ ℝ,
+
, dan
{( , , ) |( , ) ∈ ℝ , ∈ ℝ, ‖( , ) ‖ ≤ }
secara
geometris
digambarkan
≤
seperti
Gambar 3 berikut.
=
Gambar 3. SOC
Lemma 1. (Ben Tal dan Nemirovski, 2001)
kerucut
order
Himpunan titik-titik yang memenuhi kendala
pemetaan afine:
dua
satuan
terhadap
kerucut order dua adalah image invers dari
‖
+
dan konveks, i=1,2,...,N.
Bukti:
Tanpa
diasumsikan
=
‖ ≤
+
mengurangi
keumuman,
= 1,
,
= 2=
,
=
, =
=
ℎ
,
ℎ
⟺
,
∈
+
=
∈ ℝ, maka parameter masalah
SOCP berdimensi 2 adalah
= (
,
) .
12
Vol. 7, No. 2, Desember 2012
Kendala masalah SOCP berdimensi 2: ‖
⟺
⟺
⟺ (
⟺
+
+
+
+
+
+
+
+
+ ℎ
ℎ
⟺
3.
≤ [ℎ
+
+
∈
ℎ ]
≤ℎ
+ ℎ
) + (
+
+
+
‖ ≤
+
+
) ≤ℎ
+
∈
.
+ ℎ
∗
Kerucut Order Dua (SOC) pada
Untuk
SOCP dengan Norma ∞
{ | ∈ ℝ, 0 ≤ } =
∗
(1) diubah menjadi fungsi kendala bernorma
∞, maka diperoleh masalah SOCP:
meminimumkan
+
‖ ≤
( = 1, …, )
(2)
dengan
∈ℝ
adalah variabel keputusan,
∈ℝ ,
dan parameter
,
∈ℝ
membahas
dan
masalah
∈ ℝ(
∈ ℝ.
SOCP
)×
,
∈
Sebelum
(2),
sebagai berikut:
∈ℝ
Namun
dengan
, ∈ ℝ, ‖ ‖
pengubahan
∗
≤ }.
tersebut
berikut:
Sementara itu untuk ( , , ) ∈
∗
≤ }
{( , , ) |( , ) ∈ ℝ , ∈ ℝ, | | + | | ≤ } ≠
.
Contoh
example
=
berlaku
suatu
counter
menunjukkan
adanya
Merupakan
1.
yang
perbedaan antara SOC norma 2 dengan SOC
norma ∞ mulai
Ambil
= ,
∗
= 3 sebagai berikut.
= , = 1, , , ∈ ℝ. Akan
≠
Untuk ( , , ) ∈
(3)
= 3,
=
(norma 2) dengan SOC norma ∞ sebagai
+
.
{( , , ) |( , ) ∈ ℝ , ∈ ℝ, ‖( , ) ‖
ditunjukkan
≤ ⟺
= 2,
=
terdapat perbedaan antara SOC standar
+
.
perlu
didefinisikan pengertian SOC norma ∞
= {( , ) |
≤ }=
∈ ℝ, ∈ ℝ, | | ≤ } =
Untuk
+
= { | ∈ ℝ, ‖0‖
∈ ℝ, ∈ ℝ, ‖ ‖ ≤ }
= {( , ) |
= {( , ) |
,
dengan kendala ‖
= 1,
+
Untuk
norma pada fungsi kendala masalah SOCP
∗
+
+
Diberikan masalah SOCP (1). Apabila
ℝ
+
+
, berlaku
< 1.
=
+
.
=
> 1.
13
Sifat Kendala Pemrograman Kerucut...... (Caturiyati dkk)
∗
(4)
Dari (3) dan (4) terbukti
∗
≠
.
Berikut ini adalah hasil yang diperoleh yang
=
{( , , ) |( , ) ∈ ℝ , ∈ ℝ, ‖( , ) ‖
≤ }
dinyatakan dalam Lemma 2 dan Lemma 3.
=
Lemma 2. Jika
,
,
norma ‖. ‖
∗
∗
{( , , ) |( , ) ∈ ℝ , ∈ ℝ, | | + | | ≤ } ≠
dan
,
adalah SOC
,
norma ‖. ‖ , maka berlaku
, tetapi
Bukti:
∗
≠
.
∗
Jelas
sedangkan untuk
∗
∗
adalah SOC
∗
=
∗
dan
=
,
∗
=
=
.
∗
Terbukti
=
∗
,
, tetapi
=
∗
≠
.
,
menurut definisinya
Secara geometris perbedaan antara
terlihat seperti Gambat 4 berikut:
∗
dan
∗
∗
Gambar 4. SOC
Lemma 3. Diberikan
+
, , ∈ ℝ berlaku
≤ ⇎| |+ | |≤ .
‖
(ii)
‖ ≤
+
Bukti:
Tanpa
diperoleh berupa hubungan kendala SOCP
,
=
keumuman
= 1,
,
berlaku hubungan sebagai berikut:
(i)
14
‖
+
+
‖ ≤
∈
+
∗
⟺
=
∈ ℝ, maka parameter masalah
=
hubungannya dengan pemetaan afine.
kendala SOCP (2) terhadap pemetaan afine
= 2=
SOCP berdimensi 2 adalah
standar dengan kendala SOCP norma ∞ dan
Lemma 4. Untuk kendala SOCP (1) dan
.
⇎
mengurangi
diasumsikan
Berikut ini akan ditunjukkan hasil yang
∗
∈
+
Bukti: (dengan counter example) pada
Contoh 1.
+
(i)
,
=
(
,
ℎ
,
ℎ
, =
) .
=
Diperoleh
‖
⟺|
‖ ≤
+
+
+
|≤ℎ
+
+
|+ |
+ ℎ
+
+
Vol. 7, No. 2, Desember 2012
⟺
+
+
+ ℎ
ℎ
⟺
+
+
+
(ii) Didapatkan
‖
‖ ≤
+
⟺
(
+ ℎ
⟺
ℎ
⟺
Kompetensi Dasar Matematika
∗
SMP/MTs
Bransford, J. dan B.S. Stein. (1993). The
IDEAL Problem Solver: A Guide
) + (
+
+
+
+
+
+ ℎ
∈
+
∈
in education. In G. Phye &
.
∗
≠
,
∗
.
b.
=
order
dua
∞
norma
sebagai
, tetapi
∗
∗
berikut
≠
.
SOCP
(1)
menjadi
∗
.
Dengan adanya perbedaan tersebut
maka
classroom
learning
pada
masalah
Cognitive
(pp.49-82).
Orlando, FL: Academic Press.
SOCP
Traditional
Methods:
Thousand
Student
Mechanics
Test
Introductory
Six-
Survey
Of
Data
For
Physics
Courses.
American Journal of Physics, 66
(1), 64-67.
tidak
ekuivalen dengan pemetaan afine di
c.
=
Akibat adanya perbedaan tersebut maka
kendala
(Eds.),
v.s
order dua norma 2 mulai pada kerucut
∗
T.Andre
Hake, R. (1998). Interactive Engagement
mempunyai perbedaan dengan kerucut
,
Thinking,
Grabe, M. (1986). Attentional processes
KESIMPULAN
3
Improving
ed). New York: W.H. Freeman.
+
+
+
dengan pemetaan afine di
dimensi
for
) ≤
Learning, and Creativity (2nd
+
sehingga kendala SOCP (1) tidak ekuivalen
Kerucut
Isi
dan Menengah. Jakarta.
Sementara telah diketahui
a.
dalam Standar
untuk Satuan Pendidikan Dasar
.
+
+
ℎ
∗
∈
+
∈
(2)
diperlukan sejumlah teori tambahan
agar teori-teori pada SOCP (1) berlaku
pada SOCP (2).
DAFTAR PUSTAKA
Badan Standar Nasional Pendidikan.
(2006). Standar Kompetensi dan
Henton, J., Baden. R.M. dan Kieren, D.,
(1979). Problem Solving in the
The
Classroom.
Family
Coordinator, 28 (1), 61-66.
Jonassen, D.H. (1997). Instructional
Design
Models
Structured
for
Well-
and
lll-structured
Problem-Solving
Learning
Outcomes.
Technology
Educational
Research
and
Development, 45 (1), 65-94.
15
Sifat Kendala Pemrograman Kerucut...... (Caturiyati dkk)
Sobel M.A & E.M. Maletsky. (2001).
W.
S.
Mengajar Matematika. Sebuah
Pengajaran.
Buku
Yogyakarta.
Sumber
Alat
Peraga,
Aktivitas dan Strategi. Jakarta:
Erlangga.
Sudjana, N. (2005).
Penilaian Hasil
Proses Belajar Mengajar. Jakarta:
PT. Remaja Rosdakarya.
Sukestiyarno, YL. (2012). Olah Data
Penelitian
berbantuan
SPSS.
Semarang: UNNES.
Thiagarajan, S., D. S. Semmel and M. I.
(1974). Instructional
Semmel.
Development
for
Teachers
of
Children.
A
Training
Exceptional
Source
Book.
Blomington: Indiana University.
Tisngati,
U.
(2012).
Karakter
“Membangun
Dalam Pembelajaran
Matematika Melalui Ketrampilan
Komunikasi”. Prosiding. seminar
nasional
matematika
pendidikan
dan
matematika.
10
November 2012. Yogyakarta :
Universitas Negeri Yogyakarta.
Widyantini, Th. (2008). Paket Fasilitasi
Pemberdayaan KKG dan MGMP
Matematika. Yogyakarta: Pusat
Pengembangan
Pemberdayaan
dan
Pendidik
dan
Tenaga Kependidikan (PPPPTK)
Matematika.
16
Winkel,
(2009).
Media
Psikologi
Abadi: