Bahan Mata Kuliah Matematika Ekonomi Gratis Terbaru - Kosngosan Situs Anak Kost Mahasiswa Pelajar Course 6
HUBUNGAN
NON-LINIER
(Course 6)
OLEH
SYAIFUL HADI
DJAIMI BAKCE
JURUSAN AGRIBISNIS
FAKULTAS PERTANIAN
UNIVERSITAS RIAU
FUNGSI
Fungsi adalah hubungan antara 2 buah variabel atau
lebih, dimana masing-masing dari dua variabel atau
lebih tersebut saling pengaruh mempengaruhi.
Variabel merupakan suatu besaran yang sifatnya tidak
tetap tetapi berubah-ubah dan saling pengaruh
mempengaruhi.
Terdapat beberapa jenis fungsi antara lain fungsi
Aljabar, fungsi Eksponensial dan fungsi Logaritmik.
Fungsi Aljabar terdiri dari fungsi linier, fungsi kuadrat,
fungsi pangkat banyak dan fungsi pecahan.
FUNGSI KUADRAT
Fungsi kuadrat dalah suatu fungsi non linier (garis tidak lurus)
yang variabel bebasnya berpangkat dua. Grafik dari fungsi
kuadrat ini apabila digambarkan merupakan garis tidak lurus
yang berbentuk parabola.
Bentuk umum fungsi kuadrat:
1. Dalam bentuk y = f(x) yaitu y= ax2 + bx + c
dimana: a, b dan c adalah konstanta.
x adalah variabel bebas (independent variable)
y adalah variabel tidak bebas (dependent variable)
2. Dalam bentuk x = f(y) yaitu x = ay2 + by + c
dimana: a, b dan c adalah konstanta.
y adalah variabel bebas (independent variable)
x adalah variabel tidak bebas (dependent variable)
Jika diketahui y = x2 – 5x + 6
Dengan cara yang sederhana yaitu dengan menggunakan tabel x dan
y yang dinamakan ‘curve tracing process’, kita tentukan terlebih
dahulu nilai x sebagai variabel bebas, kemudian dengan memasukan
nilai x tersebut ke dalam fungsi, maka kita dapatkan besaran nilai y.
X
-2
-1
0
1
2,5
3
4
5
y
20
12
6
2
-1/4
0
2
6
Dengan menempatkan
titik-titik koordinat
tersebut pada bidang
datar, dimana sumbu x
sebagai sumbu x dan
sumbu y sebagai sumbu
vertikal, maka dapatlah
grafik tsb kita
gambarkan
Ada beberapa ciri-ciri matematis penting dari fungsi kuadrat,
yaitu: Bila y= f(x) adalah y = ax2 + bx + c, maka cirinya:
Titik potong fungsi denga sumbu y adalah pada x=0, maka y = c. Jadi
titiknya adalah A (0,c). jadi titik potongnya adalah A (0,6)
Titik potong fungsi dengan sumbu x adalah pada y=0, menjadi 0 = ax 2 +
bx + c, maka ada 3 kemungkinan yang terjadi yaitu:
a. Bila dikriminan (D) yaitu b2 - 4ac, adalah lebih besar dari nol (jadi b2 –
4ac > 0) maka terdapat 2 buah titik potong:
1. x1 = -b + b2 – 4ac , jadi titiknya: B1(-b + b2 – 4ac ; 0)
2a
2a
= 5 + 25 – 4(6) = 5 + 1 = 3, jadi titiknya B1 (3,0)
2
2
2. x2 = -b - b2 – 4ac , jadi titiknya:
2a
B2(-b + b2 – 4ac ; 0)
2a
= 5 - 25 – 4(6) = 5 - 1 = 2, jadi titiknya B2 (2,0)
2
2
b. Bila dikriminan (D) yaitu b 2 – 4ac adalah sama dengan nol (jadi b 2 – 4
ac = 0), maka hanya terdapat satu buah titik potong, yaitu : x 1 = x2 =
b1/2a. Jadi titiknya :
B (-b/2a ; 0)
c. Bila dikriminan (D) yaitu b2 – 4 ac adalah lebih kecil dari nol (jadi b 2
– 4ac < 0) maka tidak terdapat titik potong fungsi kuadrat dengan
sumbu x.
Titik puncak yaitu titik dimana arah dari grafik fungsi kuadrat
(parabola) kembali ke arah semula. Titik puncaknyanya adalah
P(x = -b = -D = - (b2 – 4ac)
2a
4a
4a
Titik puncak pada contoh sebelumnya:
P(x = 5 = 2,5 ; y = - (25) – 4(6) = -0,25
2
4
Sumbu simetris adalah sumbu yang membagi/membelah dua grafik
fungsi kuadrat menjadi dua bagian yang sama besar. Garis sumbu
simetrisbergerak melalui titik puncak. Persamaan summu simetris ini
adalah: x = -b/2a
Sumbu simetris pada contoh sebelumnya adalah x = 5/2 = 2,5
REMEMBER
A quadratic equation takes the form
Ax2 + bx + c = 0
You can solve it graphically,
Or sometimes by factorizing it,
Y = 5x2 -20x Factorize: 5x(x – 4) = 0
Jika 5x = 0, maka x = 0 dan Jika (x – 4) = 0, maka x = 4
Or by using the formula
-b b2 – 4ac
x=
2a
where a is the coefficient of x2, b is the coefficient of x
and c is the constant term.
INTERSECTION OF MC WITH MR OR
AVC
Sebuah firma mempunyai fungsi marginal cost, MC = 3Q2 – 32Q
+96 dan Marginal Revenue, MR = 236 – 16Q. Cari profit
maximizing dari perusahaan tersebut.
Untuk memaksimumkan profit, perusahaan tsb memilih untuk
berproduksi dimana marginal cost sama dengan marginal
revenue, Persamaan dari fungsi MC dan MR kita dapatkan sbb:
3Q2 – 32Q + 96 = 236 – 16Q
Subracting sisi sebelah kanan 3Q2 -32Q + 96 - (236 – 16Q) = 0
Hapus tanda kurung 3Q2 -32Q + 96 - 236 + 16Q = 0
3Q2 -16Q - 140 = 0
Gunakan rumus ABC Q = -b b2 – 4ac
2a
Dimana : a = 3, b= -16 dan c =-140, sehingga diperoleh
b2 – 4 ac = (-16)2 – ((4*3)*(-140))= 256 + 1680 = 1936
Jadi akar pangkat dari b2 – 4 ac = 44
Sehingga kita dapatkan:
Q = 16 44 = 60 or -28
2*3
6
6
Jadi:
Q = 10 atau Q = -4,67.
Oleh karena hanya nilai positif yang secara ekonomi digunakan,
maka profit maksimum pada Q = 10.
Sebuah perusahaan yang berada pada persaingan sempurna mempunyai average
variable cost function, AVC = 0,85Q2 – 11,9Q + 102 dan marginal cost function , MC
= 2,55Q2 – 23,8Q + 102. Berapakah minimum supply price perusahaan tsb ?
Sebuah perusahaan yang berada pada persaingan sempurna, curva demand
bentuknya mendatar. Curva supply adalah curve marginal cost dimana MC dan AVC
berpotongan. Melalui persamaan MC dan AVC, kita dapatkan output terendah yang
ditawarkan perusahaan.
2,55Q2 – 23,8Q + 102 = 0,85Q2 – 11,9Q + 102
Subsitusikan sisi sebelah kanan:
2,55Q2 – 23,8Q + 102 – (0,85Q2 – 11,9Q + 102) = 0
2,55Q2 – 23,8Q + 102 – 0,85Q2 + 11,9Q - 102 = 0
Sehingga: 1,7Q2 – 11,9Q = 0
Factorizing, sehingga didapatkan: Q(1,7Q – 11,9) = 0
Jika Q = 0 atau (1,7Q – 11,9) = 0, kita akan melihat MC memotong AVC dari bawah.
Jika 1,7Q = 11,9, maka Q = 7 sebagai output, dimana MC berpotongan dengan AVC.
Jika pada garis harga horizontal memotongan MC pada titik tsb, maka output
sebanyak 7 unit ditawarkan dan harga sama dengan nilai MC. Oleh karna itu, kita
substitusikan Q = 7 pada fungsi marginal cost untuk mendapatkan harga
disyaratkan:
MC = 2,55(7)2 – 23,8(7) + 102 = 60,35
Jadi minimun supply price adalah 60,35.
Cost
100
M
C
Supply
80
60
AV
C
Minimum Supply
Price
40
20
0
Q
2
4
6
8
10
QUIS III
Berapakah profit maximizing output untuk sebuah firma
dengan fungsi marginal cost, MC = 1,6Q2 – 15Q + 60 dan
fungsi marginal revenue, MR = 280 – 20Q).
Berapakah minimum supply price untuk perusahaan yang
berada pada persaingan sempurna dimana perusahaan
tersebut mempunyai fungsi average variable cost , AVC =
1,4Q2 - 24Q + 250 dan fungsi marginal cost, MC = 4,2Q2 – 48Q
+ 250.
PR
SELESAIKAN FUNGSI BERIKUT
y=
y=
y=
y=
Y=
3x2 – 18x + 15
4x2 – 12x + 9
-8x2 + 6x + 50
7x2 – 63x
5x2 – 9x + 18
NON-LINIER
(Course 6)
OLEH
SYAIFUL HADI
DJAIMI BAKCE
JURUSAN AGRIBISNIS
FAKULTAS PERTANIAN
UNIVERSITAS RIAU
FUNGSI
Fungsi adalah hubungan antara 2 buah variabel atau
lebih, dimana masing-masing dari dua variabel atau
lebih tersebut saling pengaruh mempengaruhi.
Variabel merupakan suatu besaran yang sifatnya tidak
tetap tetapi berubah-ubah dan saling pengaruh
mempengaruhi.
Terdapat beberapa jenis fungsi antara lain fungsi
Aljabar, fungsi Eksponensial dan fungsi Logaritmik.
Fungsi Aljabar terdiri dari fungsi linier, fungsi kuadrat,
fungsi pangkat banyak dan fungsi pecahan.
FUNGSI KUADRAT
Fungsi kuadrat dalah suatu fungsi non linier (garis tidak lurus)
yang variabel bebasnya berpangkat dua. Grafik dari fungsi
kuadrat ini apabila digambarkan merupakan garis tidak lurus
yang berbentuk parabola.
Bentuk umum fungsi kuadrat:
1. Dalam bentuk y = f(x) yaitu y= ax2 + bx + c
dimana: a, b dan c adalah konstanta.
x adalah variabel bebas (independent variable)
y adalah variabel tidak bebas (dependent variable)
2. Dalam bentuk x = f(y) yaitu x = ay2 + by + c
dimana: a, b dan c adalah konstanta.
y adalah variabel bebas (independent variable)
x adalah variabel tidak bebas (dependent variable)
Jika diketahui y = x2 – 5x + 6
Dengan cara yang sederhana yaitu dengan menggunakan tabel x dan
y yang dinamakan ‘curve tracing process’, kita tentukan terlebih
dahulu nilai x sebagai variabel bebas, kemudian dengan memasukan
nilai x tersebut ke dalam fungsi, maka kita dapatkan besaran nilai y.
X
-2
-1
0
1
2,5
3
4
5
y
20
12
6
2
-1/4
0
2
6
Dengan menempatkan
titik-titik koordinat
tersebut pada bidang
datar, dimana sumbu x
sebagai sumbu x dan
sumbu y sebagai sumbu
vertikal, maka dapatlah
grafik tsb kita
gambarkan
Ada beberapa ciri-ciri matematis penting dari fungsi kuadrat,
yaitu: Bila y= f(x) adalah y = ax2 + bx + c, maka cirinya:
Titik potong fungsi denga sumbu y adalah pada x=0, maka y = c. Jadi
titiknya adalah A (0,c). jadi titik potongnya adalah A (0,6)
Titik potong fungsi dengan sumbu x adalah pada y=0, menjadi 0 = ax 2 +
bx + c, maka ada 3 kemungkinan yang terjadi yaitu:
a. Bila dikriminan (D) yaitu b2 - 4ac, adalah lebih besar dari nol (jadi b2 –
4ac > 0) maka terdapat 2 buah titik potong:
1. x1 = -b + b2 – 4ac , jadi titiknya: B1(-b + b2 – 4ac ; 0)
2a
2a
= 5 + 25 – 4(6) = 5 + 1 = 3, jadi titiknya B1 (3,0)
2
2
2. x2 = -b - b2 – 4ac , jadi titiknya:
2a
B2(-b + b2 – 4ac ; 0)
2a
= 5 - 25 – 4(6) = 5 - 1 = 2, jadi titiknya B2 (2,0)
2
2
b. Bila dikriminan (D) yaitu b 2 – 4ac adalah sama dengan nol (jadi b 2 – 4
ac = 0), maka hanya terdapat satu buah titik potong, yaitu : x 1 = x2 =
b1/2a. Jadi titiknya :
B (-b/2a ; 0)
c. Bila dikriminan (D) yaitu b2 – 4 ac adalah lebih kecil dari nol (jadi b 2
– 4ac < 0) maka tidak terdapat titik potong fungsi kuadrat dengan
sumbu x.
Titik puncak yaitu titik dimana arah dari grafik fungsi kuadrat
(parabola) kembali ke arah semula. Titik puncaknyanya adalah
P(x = -b = -D = - (b2 – 4ac)
2a
4a
4a
Titik puncak pada contoh sebelumnya:
P(x = 5 = 2,5 ; y = - (25) – 4(6) = -0,25
2
4
Sumbu simetris adalah sumbu yang membagi/membelah dua grafik
fungsi kuadrat menjadi dua bagian yang sama besar. Garis sumbu
simetrisbergerak melalui titik puncak. Persamaan summu simetris ini
adalah: x = -b/2a
Sumbu simetris pada contoh sebelumnya adalah x = 5/2 = 2,5
REMEMBER
A quadratic equation takes the form
Ax2 + bx + c = 0
You can solve it graphically,
Or sometimes by factorizing it,
Y = 5x2 -20x Factorize: 5x(x – 4) = 0
Jika 5x = 0, maka x = 0 dan Jika (x – 4) = 0, maka x = 4
Or by using the formula
-b b2 – 4ac
x=
2a
where a is the coefficient of x2, b is the coefficient of x
and c is the constant term.
INTERSECTION OF MC WITH MR OR
AVC
Sebuah firma mempunyai fungsi marginal cost, MC = 3Q2 – 32Q
+96 dan Marginal Revenue, MR = 236 – 16Q. Cari profit
maximizing dari perusahaan tersebut.
Untuk memaksimumkan profit, perusahaan tsb memilih untuk
berproduksi dimana marginal cost sama dengan marginal
revenue, Persamaan dari fungsi MC dan MR kita dapatkan sbb:
3Q2 – 32Q + 96 = 236 – 16Q
Subracting sisi sebelah kanan 3Q2 -32Q + 96 - (236 – 16Q) = 0
Hapus tanda kurung 3Q2 -32Q + 96 - 236 + 16Q = 0
3Q2 -16Q - 140 = 0
Gunakan rumus ABC Q = -b b2 – 4ac
2a
Dimana : a = 3, b= -16 dan c =-140, sehingga diperoleh
b2 – 4 ac = (-16)2 – ((4*3)*(-140))= 256 + 1680 = 1936
Jadi akar pangkat dari b2 – 4 ac = 44
Sehingga kita dapatkan:
Q = 16 44 = 60 or -28
2*3
6
6
Jadi:
Q = 10 atau Q = -4,67.
Oleh karena hanya nilai positif yang secara ekonomi digunakan,
maka profit maksimum pada Q = 10.
Sebuah perusahaan yang berada pada persaingan sempurna mempunyai average
variable cost function, AVC = 0,85Q2 – 11,9Q + 102 dan marginal cost function , MC
= 2,55Q2 – 23,8Q + 102. Berapakah minimum supply price perusahaan tsb ?
Sebuah perusahaan yang berada pada persaingan sempurna, curva demand
bentuknya mendatar. Curva supply adalah curve marginal cost dimana MC dan AVC
berpotongan. Melalui persamaan MC dan AVC, kita dapatkan output terendah yang
ditawarkan perusahaan.
2,55Q2 – 23,8Q + 102 = 0,85Q2 – 11,9Q + 102
Subsitusikan sisi sebelah kanan:
2,55Q2 – 23,8Q + 102 – (0,85Q2 – 11,9Q + 102) = 0
2,55Q2 – 23,8Q + 102 – 0,85Q2 + 11,9Q - 102 = 0
Sehingga: 1,7Q2 – 11,9Q = 0
Factorizing, sehingga didapatkan: Q(1,7Q – 11,9) = 0
Jika Q = 0 atau (1,7Q – 11,9) = 0, kita akan melihat MC memotong AVC dari bawah.
Jika 1,7Q = 11,9, maka Q = 7 sebagai output, dimana MC berpotongan dengan AVC.
Jika pada garis harga horizontal memotongan MC pada titik tsb, maka output
sebanyak 7 unit ditawarkan dan harga sama dengan nilai MC. Oleh karna itu, kita
substitusikan Q = 7 pada fungsi marginal cost untuk mendapatkan harga
disyaratkan:
MC = 2,55(7)2 – 23,8(7) + 102 = 60,35
Jadi minimun supply price adalah 60,35.
Cost
100
M
C
Supply
80
60
AV
C
Minimum Supply
Price
40
20
0
Q
2
4
6
8
10
QUIS III
Berapakah profit maximizing output untuk sebuah firma
dengan fungsi marginal cost, MC = 1,6Q2 – 15Q + 60 dan
fungsi marginal revenue, MR = 280 – 20Q).
Berapakah minimum supply price untuk perusahaan yang
berada pada persaingan sempurna dimana perusahaan
tersebut mempunyai fungsi average variable cost , AVC =
1,4Q2 - 24Q + 250 dan fungsi marginal cost, MC = 4,2Q2 – 48Q
+ 250.
PR
SELESAIKAN FUNGSI BERIKUT
y=
y=
y=
y=
Y=
3x2 – 18x + 15
4x2 – 12x + 9
-8x2 + 6x + 50
7x2 – 63x
5x2 – 9x + 18