Tugas Akhir - Fungsi kabur - USD Repository

  FUNGSI KABUR Tugas Akhir

  Diajukan untuk memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

  Program Studi Matematika Disusun oleh:

  Nama : Retno Triyanti NIM : 023114012 PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

FUZZY FUNCTION FINAL ASSIGNMENT

  Presented for the Partial Fulfillment of the Requirement To Obtain the Sarjana Sains Degree

  Study Program of Mathematics By:

  Name : Retno Triyanti Student Number : 023114012 STUDY PROGRAM OF MATHEMATICS SAINS AND TECHNOLOGY FACULTY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

HALAMAN PERSEMBAHAN

  Kegagalan bukan berarti anda gagal Tetapi anda belum sukses Kegagalan bukan berarti anda tak mencapai apa-apa Tetapi anda telah mempelajari sesuatu Kegagalan bukan berarti anda bodoh karena pernah mencoba Itu pertanda anda berani, berhati teguh, bersemangat baja Maka berbanggalah dengan diri anda sendiri Kegagalan bukan berarti anda tidak akan sukses Tetapi dibutuhkan kesabaran Kegagalan bukan berarti anda sudah berakhir Tetapi anda masih punya peluang untuk memulainya kembali, dan berusaha mencari sesuatu yang baru Kegagalan bukan berarti Tuhan telah meninggalkan anda Tetapi Dia punya rencana yang lebih baik Jadi berarti bahwa kegagalan tidak akan pernah berakhir …

  (Dr. Robert Schuller) Tugas Akhir ini aku persembahkan kepada:

  1. Kedua orangtua tercinta

  2. Kakak-kakakku semua dan dek Tarra tersayang

  3. Keluarga besarku

  

ABSTRAK

  Fungsi kabur diklasifikasikan menjadi tiga kelompok, yaitu fungsi tegas dengan kendala kabur, fungsi tegas yang menularkan kekaburan dari variabel be- bas ke variabel tak bebas, dan fungsi pengaburan dengan variabel tegas. Untuk menentukan nilai maksimum fungsi tegas dengan daerah asal tegas maupun ka- bur dipakai himpunan pemaksimum dan himpunan peminimum. Integral kabur diklasifikasikan menjadi dua macam yaitu integral fungsi kabur pada interval tegas dan integral fungsi tegas pada interval kabur. Diferensial fungsi tegas pada himpunan kabur dikerjakan dengan menggunakan prinsip perluasan.

  

ABSTRACT

  Fuzzy functions can be classified into three groups, namely crisp functions with fuzzy constraint, crisp functions that propagate fuzziness of independent variable to dependent variable, and fuzzifying functions of crisp variable. To find the maximum value of crisp function with crisp or fuzzy domain we use maximi- zing set and minimizing set. Fuzzy integration is classified into two groups, namely integration of fuzzy function on crisp interval and integration of crisp function on fuzzy interval. Differentiation of crisp function on fuzzy set is carried out using extension principle.

KATA PENGANTAR

  Alhamdullilahhirobil’alamin, puji syukur kepada Allah SWT yang telah memberikan anugerah, kekuatan, kesabaran, kesehatan, dan kebahagiaan sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan tugas akhir yang berjudul “FUNGSI KABUR”. Tugas akhir ini disusun guna memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika.

  Dalam kesempatan ini, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar- besarnya kepada:

  1. Romo Frans Susilo, S.J., selaku dosen pembimbing yang telah memberi- kan bimbingan dan pengarahan dalam penulisan tugas akhir ini.

  2. Romo Ir. Gregorius Heliarko, S.J., S.S., B.S.T., M.A., M.Sc, selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi

  3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si, selaku Ketua Program Studi Matematika.

  4. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku Dosen Pembimbing Akademik.

  5. Bapak dan Ibu dosen Fakultas Sains dan Teknologi, khususnya Program Studi Matematika.

  6. Segenap karyawan Universitas Sanata Dharma yang berada di perpusta- kaan, Sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi, BAA, dan AUK.

  7. Bapak dan Ibu, yang telah memberikan kasih sayang, kepercayaan, doa, semangat, dan kesabaran menunggu kelulusan saya.

  8. Semua kakakku dan dik Tarra terima kasih atas kasih sayang, dukungan dan doanya.

  9. Teman-teman angkatan 2002, terima kasih atas dukungan dan doanya.

  10. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini.

  Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih banyak kesalahan dan ke- kurangan yang harus diperbaiki, oleh karena itu kritik dan saran sangat penulis harapkan demi kesempurnaan tugas akhir ini.

  Yogyakarta, …………………………. 2008 Penulis

  Retno Triyanti

  

DAFTAR ISI

  HALAMAN JUDUL …………………………………………..……… ….… i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ………………………….....… ii HALAMAN PENGESAHAN ……………………………………………....… iii HALAMAN PERSEMBAHAN ………………………………………………. iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ………………………………….…… v ABSTRAK ……………………………………………………..……………… vi ABSTRACT ………………………………………………….……………….. vii KATA PENGANTAR ………………………………………...…….…….…... viii DAFTAR ISI ………………………………………………………………….. x DAFTAR TABEL …………………………………………………………….. xii DAFTAR GAMBAR …………………………………………………………. xiii

  BAB I PENDAHULUAN ………………………………………...…….…..….. 1 A. Latar belakang Masalah ……………………………….………...…..…. 1 B. Rumusan Masalah …………….………………………..………………. 2 C. Batasan Masalah ……………………………….………………………. 3 D. Tujuan Penulisan …………………………...……….………………….. 3 E. Metode Penulisan ……………………………….….…….…………….. 3 F. Manfaat Penulisan …………………………………….……..…………. 3 G. Sistimatika Penulisan …………………….…......................…………… 4 BAB II FUNGSI TEGAS DAN HIMPUNAN KABUR ……….…….…..…….. 5 A. Fungsi Tegas …..…………………………………………..……….…… 5

  1. Pengertian Fungsi ………………,,……………………….………. 5

  2. Nilai maksimum dan Minimum Fungsi ………….……….……… 8

  3. Diferensial ………………………………………..….…………… 9

  4. Integral …………………………………….….…………………. 16

  B. Himpunan Kabur …………………………………………….………... 20

  1. Pengertian Himpunan Kabur ……………………….…………… 20

  2. Fungsi Keanggotaan …………………………….…….…………. 25

  4. Potongan- α dari Himpunan Kabur ……………………………... 34

  5. Prinsip Perluasan ……………………………………….………. 34

  BAB III FUNGSI KABUR ………….........................................................…... 37 A. Jenis- jenis Fungsi Kabur …………………………….……………….. 37

  1. Fungsi Tegas dengan Kendala Kabur ……….………………….. 37

  2. Penularan Kekaburan oleh Fungsi Tegas ………….……………. 39

  3. Fungsi Pengaburan dengan Variabel Tegas ………….…………. 40

  B. Ekstrim Kabur dari Fungsi ……………………………….…………… 44

  1. Himpunan Pemaksimum dan Peminimum …………….…….….. 44

  2. Nilai Maksimum dari Fungsi tegas ……………….……..………. 47

  a. Daerah Asal Tegas ………………………..…………………. 47

  b. Daerah Asal Kabur ………………………….………………. 48

  C. Integral dan Diferensial Kabur ………………….…………………….. 51

  1. Integral ………………………………………….................……. 51

  a. Integral Fungsi Kabur dengan Interval tegas ……….………. 52

  b. Integral Fungsi Tegas dengan Interval kabur ……….….…… 54

  2. Diferensial ………………………………………….…………… 56

  D. Soal – soal ………………………………………………….………… 58

  BAB IV KESIMPULAN ……………………………………….…………….. 70 DAFTAR PUSTAKA …………………………………………….…….…….. 73

  

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1. Integral Kabur ………………………………………………………. 56Tabel 3.2. Integral Kabur dari fungsi f ( x ) = x 1 …………………………… 64

  ² +

  

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1. Fungsi f yang mempunyai nilai maksimum relatif di c ………….. 8Gambar 2.2. Fungsi f yang mempunyai nilai minimum relatif di c ………..….. 9Gambar 2.3. Fungsi s(x) = f(x) - g(x) ……………………….…………………15Gambar 2.4. Sebuah partisi dari [a, b] dengan titik-titik sampel x ….………. 18 iGambar 2.5. Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur

  “bilangan real yang dekat dengan 4” ……………………….…... 26

Gambar 2.6. Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur

  “bilangan real yang dekat dengan 4”……………………………. 27

Gambar 2.7. Grafik fungsi keanggotaan Segitiga (x ; 3 , 6 , 15 ) ……………...... 28Gambar 2.8. Grafik fungsi keanggotaan Trapesium (x ; 3 , 6 , 9 , 15 ) …………... 29Gambar 2.9. Grafik fungsi keanggotaan Gauss (x ; 8 , 8 ) ………………..….…. 30Gambar 2.10. Grafik fungsi keanggotaan Cauchy (x ; 4 , 1 , 8 ) …………...…….. 31Gambar 3.1. Fungsi pengaburan …………………………………………..….. 41Gambar 3.2. Himpunan kabur fungsi-fungsi tegas ………..………………….. 44Gambar 3.3. Contoh himpunan pemaksimum ……………………...…………. 45Gambar 3.4. Himpunan pemaksimum dari fungsi sinus ……………..……….. 46Gambar 3.5. Nilai maksimum dengan daerah asal tegas ……………..………. 48Gambar 3.6. Nilai maksimum sebagai skalar ………………………..……….. 49

• Gambar 3.7. Nilai maksimum dari f ( x ) = x − 2 dengan daerah asal kabur .. 50

Gambar 3.8. Nilai maksimum f ( x ) = cos x dengan daerah asal kabur ……..... 51Gambar 3.9. Integral fungsi kabur dengan interval tegas ……………..….…... 54Gambar 3.10. Interval kabur …………………………………………..……… 54

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai gejala kekaburan, yaitu

  suatu himpunan yang tidak mempunyai batasan yang jelas. Misalkan kita ambil contoh dalam kehidupan nyata, manusia dapat dibagi menjadi dua yaitu laki-laki dan perempuan. Batasan laki-laki dan perempuan adalah jelas, tetapi tidak demikian dengan perempuan yang cantik dan perempuan tidak cantik. Himpunan perempuan yang cantik merupakan himpunan dengan obyek-obyek yang keanggo- taanya tidak dapat ditentukan dengan tegas karena himpunan perempuan yang cantik dan himpunan perempuan yang tidak cantik mempunyai batasan yang tidak jelas. Karena himpunan perempuan yang cantik itu tergantung oleh penilaian se- seorang. Misalnya menurut Anton mungkin Krisdayanti itu cantik sekali, tetapi menurut Budi itu mungkin hanya biasa saja. Jadi tidak jelas mana yang meru- pakan anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan.

  Dengan adanya permasalahan yang tidak dapat diselesaikan dengan him- punan tegas, maka diperlukan konsep himpunan kabur. Konsep himpunan kabur diperkenalkan oleh Lotfi Asker Zadeh, seorang guru besar di University of Cali- fornia, Berkeley, Amerika Serikat. Konsep himpunan kabur tersebut memperluas konsep himpunan tegas menjadi konsep himpunan kabur. Dalam teori klasik, himpunan didefinisikan sebagai suatu kumpulan obyek-obyek yang terdefinisi se- punan itu atau tidak. Himpunan tegas A dapat didefinisikan menggunakan fungsi χ dengan nilai pada himpunan {0,1},yang disebut fungsi karakteristik dari him- _A punan A. Di mana nilai fungsi dari χ (x ) adalah: _A 1 jika x ∈ A

  ⎧ χ ( x ) = _A

  ⎨ jika x ∉ A ⎩ untuk setiap x ∈

  X .

  Dengan memperluas konsep fungsi karakteristik tersebut, himpunan kabur didefinisikan dengan menggunakan fungsi keanggotaan, yang nilainya berada dalam selang tertutup [0, 1]. Sehingga keanggotaan dalam himpunan kabur tidak lagi merupakan sesuatu yang tegas, melainkan sesuatu yang berderajat secara kon- tinu.

  Dalam perkuliahan telah dipelajari konsep himpunan tegas dan fungsi tegas, termasuk integral dan diferensial suatu fungsi. Dalam penulisan makalah ini akan dibahas tentang apakah fungsi kabur serta jenis-jenisnya, penggunaan himpunan pemaksimum dan peminimum, selain itu juga integral dan diferensial kabur.

B. Rumusan Masalah

  Permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini dapat dirumuskan seba- gai berikut

  1. Jenis-jenis dari fungsi kabur dan pengertiannya?

  2. Apa yang dimaksud dengan himpunan pemaksimum dan peminimum dan ba- gaimana menentukan nilai maksimumnya?

  3. Apa yang dimaksud integral dan diferensial kabur?

  C. Batasan Masalah

  Pembahasan masalah dalam penulisan makalah ini hanya dibatasi pada teori fungsi kabur serta integral dan diferensial kabur.

  D. Tujuan Penulisan

  Penulisan makalah ini bertujuan untuk memenuhi salah satu persyaratan untuk memperoleh gelar Sarjana Sains dalam bidang Matematika. Selain itu penu- lisan makalah ini bertujuan untuk:

  1. Memahami dan memperdalam tentang jenis – jenis fungsi kabur dan pengertiannya.

  2. Mengetahui apa yang dimaksud himpunan pemaksimum dan peminimum.

  3. Mengetahui apa yang dimaksud integral dan diferensial kabur.

  E. Metode Penulisan

  Penulisan makalah ini menggunakan metode studi pustaka yaitu dengan mempelajari bagian materi dari buku-buku yang berkaitan dengan fungsi kabur.

  F. Manfaat Penulisan

  Manfaat yang diharapkan dalam penulisan makalah ini adalah: 1. Dapat memperdalam pemahaman mengenai fungsi kabur.

  2. Dapat memperdalam pemahaman tentang himpunan pemaksimum dan peminimum, serta integral dan diferensial kabur.

G. Sistematika Penulisan

  BAB I Pendahuluan Menjelaskan tentang latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan serta sis- tematika penulisan.

  BAB II Teori himpunan kabur dan Fungsi Menguraikan tentang teori himpunan kabur dan fungsi tegas. Dalam himpunan kabur akan dibahas tentang pengertian dari teori kabur dan operasi- operasi dalam himpunan kabur serta prinsip perluasan. Sedangkan dalam fungsi akan dibahas tentang penegertian dari fungsi, nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi, intergral dan diferensial.

  BAB III Fungsi Kabur Menguraikan tentang masalah yang diangkat dalam penulisan ini yaitu tentang fungsi kabur, yang di dalamnya berisi tentang pegertian dari fungsi kabur, jenis-jenis fungsi kabur, himpunan pemaksimum dan peminimum serta me- nentukan nilai maksimum, integral dan diferensial kabur.

  BAB IV Kesimpulan

BAB II FUNGSI TEGAS DAN HIMPUNAN KABUR A. Fungsi Tegas Banyak contoh yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari di mana nilai sua-

  tu besaran bergantung pada nilai besaran lainnya. Misalnya balas jasa seseorang bergantung pada banyaknya jam kerja; jarak yang ditempuh oleh mobil bergan- tung pada waktu sejak bergerak dari suatu titik tertentu; tahanan suatu kabel listrik dengan panjang tertentu bergantung pada garis tengahnya, dan lain-lain. Hubung- an di antara besaran-besaran tersebut dapat dinyatakan dengan suatu fungsi.

1. Pengertian Fungsi

  Suatu fungsi melibatkan tiga hal, yaitu sebuah himpunan tak kosong yang disebut daerah asal fungsi, sebuah himpunan tak kosong lainnya yang disebut

  daerah kawan fungsi , dan suatu aturan pengaitan yang menentukan elemen dalam daerah kawan yang dikaitkan dengan tiap elemen dalam daerah asal.

  Definisi 2.1

  adalah suatu aturan pengaitan antara elemen-elemen dua himpunan tak

  Fungsi

  kosong, yaitu daerah asal dan daerah kawan fungsi, yang mengaitkan tiap elemen dalam daerah asal dengan tepat satu elemen dari daerah kawan. Dengan kata lain sebuah fungsi memetakan tiap elemen di daerah asal ke tepat satu elemen di dae- rah kawan.

  Fungsi biasanya disajikan dengan hurur-huruf seperti f, g, F, φ, ψ. Jika x elemen dalam daerah asal f, maka f(x) adalah elemen dalam daerah kawan f yang dikaitkan dengan x. Elemen f(x) ini dinamakan nilai fungsi f di x, atau peta dari x.

  Himpunan semua nilai fungsi disebut daerah nilai (range) dari fungsi itu. Daerah nilai merupakan himpunan bagian dari daerah kawan. Suatu fungsi dapat ditulis sebagai berikut:

  f x → f x

: ( ) .

  Definisi 2.2 y = f

  Misalkan suatu fungsi ditentukan oleh persamaan (x ) , maka x dinamakan

  

variabel bebas (independent variable) atau argumen dari f, sedangkan y dina-

makan variabel tak bebas (dependent variable).

  Suatu fungsi membangun himpunan pasangan terurut, sedemikian se- hingga dalam tiap pasangan elemen yang pertama adalah elemen daerah asal fungsi dan elemen yang kedua adalah nilai fungsi itu yang berkaitan dengan ele- men pertama tersebut.

  Sekarang akan kita definisikan operasi-operasi pada fungsi, yaitu operasi jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi dari fungsi-fungsi.

  Definisi 2.3

  Diberikan dua buah fungsi f dan g dengan daerah asal A dan daerah kawan B yang merupakan himpunan semua bilangan real. Maka

  f g x f x g x

  i. ( )( ) = ( ) ( )

  f g x f x g x

  ii. ( − )( ) = ( ) − ( )

  f g x f x g x

  iii. ( . )( ) = ( ). ( ) ⎛ f ⎞ f ( x ) iv. ( x ) = , g ( x ) ≠ ⎜⎜ ⎟⎟

  g g ( x )

  ⎝ ⎠ untuk setiap x ∈ A .

  Definisi 2.4

  Andaikan f suatu fungsi dari A ke B dan g adalah fungsi dari B ke C. Komposisi

  g f

fungsi dari dua fungsi itu adalah fungsi o dari A ke C yang didefinisikan se-

  bagai berikut

  

g f x = g f x

( o )( ) ( ( ))

untuk setiap x ∈ A .

  Contoh 2.1

  Misalkan diberikan daerah asal f adalah himpunan semua bilangan real tak negatif dan daerah asal dari g adalah himpunan semua bilangan asli. Fungsi f dan g dide- finisikan oleh ₂ dan ( )

  4

  f ( x ) = x g x = − x Jawab:

  o F ( x ) = ( f g )( x )

  = f ( g ( x )) ₂ = f ( 4 − x ) ₂ =

  4 − x

  Jadi daerah asal F adalah himpunan bilangan real sedemikian sehingga ₂

  − x ≥ − 4 , yaitu semua bilangan real dalam selang [

  2 , 2 ] .

2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Definisi 2.5

  Misalkan A = [a, b] adalah daerah asal fungsi f yang memuat titik c dan B daerah kawan fungsi f adalah himpunan semua bilangan real. Fungsi f dikatakan mem-

  f c ≥ f x punyai nilai maksimum relatif di c jika ( ) ( ) untuk semua x di A.

Gambar 2.1 menunjukkan sebagian grafik suatu fungsi yang mempunyai nilai maksimum di c.Gambar 2.1. Fungsi f yang mempunyai nilai maksimum relatif di c

  Definisi 2.6

  Misalkan A = [a, b] adalah daerah asal fungsi f yang memuat titik c dan B daerah kawan fungsi f adalah himpunan semua bilangan real. Fungsi f dikatakan mem-

  f c f x punyai nilai minimum relatif di c jika ( ) ≤ ( ) untuk semua x di A.

Gambar 2.2 menunjukkan sebagian grafik suatu fungsi yang mempunyai nilai minimum di c.Gambar 2.2. Fungsi f yang mempunyai nilai minimum relatif di c

  Bila suatu fungsi f mempunyai nilai maksimum relatif atau nilai minimum relatif di c, maka dikatakan f mempunyai nilai ekstrim relatif di c.

3. Diferensial Definisi 2.7 Diberikan fungsi f dengan daerah asal dan daerah kawan himpunan bilangan real.

  f ′

Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya untuk sebarang elemen x adalah

• f ( x Δ x ) − f ( x ) ′

  f ( x ) = lim _x Δ →

  Δ x Jika suatu fungsi f mempunyai turunan di x, maka fungsi tersebut dikatakan ter- diferensialkan (terturunkan) di x.

  y′

  Jika (x, y) suatu titik pada grafik f, maka y = f(x), dan juga digunakan untuk menyatakan turunan dari f(x). Dengan fungsi f didefinisikan y = f(x), dapat diperoleh

• Δ y = f x Δ x − f x ( ) ( ) Δ y

  di mana adalah pertambahan dari y dan menyatakan suatu perubahan nilai

  f ′

  fungsi bila x berubah sebesar Δ . Oleh karena itu x dapat diganti dengan:

  

dy Δ y

lim .

  =

_x

Δ →

dx Δ x

dy d

  dinyatakan sebagai notasi turunan, dalam hal ini berarti ( y ) , yaitu turunan

  dx dx dari y terhadap x.

  Pengambilan turunan dari f adalah pengoperasian pada f yang menghasil- kan f ′ . Seringkali kita memakai huruf D untuk menunjukkan operasi ini, se- hingga dapat dituliskan Df = f ′ atau Df(x) = f ′ (x ) .

  Teorema 2.1

  Jika f(x) = k dengan k suatu konstanta, maka

  f ′ (x ) = 0.

  Bukti:

• f ( x h ) − f ( x ) k − k f ′ ( x ) = lim = lim = lim = .

  ■

  Teorema 2.2 _n

  Jika f ( x ) = x , dengan n bilangan bulat positif, maka _{n − 1} ′ ( ) .

  f x = nx

  Bukti: _{n n}

  f ( x h ) − f ( x ) ( x h ) − x

  f ′ ( x ) lim lim

  = = _{h h}

  → → h h _{n n 1 n} n ( n −

  1 ) _{2 2 n 1 n n}

  − − − x nx h x h ... nxh h − x

  2 = lim _h

  → _{n 1 n} h n ( n −

  1 ) ^{2 n 2 n 1}

  − − − − h ( nx x h ... nxh h )

  2 lim = _h

  → _{n 1} h − = nx .

  ■

  Teorema 2.3

  Misalkan f suatu fungsi, k suatu konstanta, dan g adalah fungsi yang didefinisikan oleh g(x) = k.f(x). Jika f ′ ada, maka

  (x ) ′ ′

g x = k f x .

  

( ) . ( )

  Bukti:

• g ( x h ) − g ( x ) kf ( x h ) − kf ( x )

  g ′ ( x ) = lim = lim _{h → h →} h h

• f ( x h ) − f ( x ) ⎡ ⎤ lim k = _h

  → h

  ⎢⎣ ⎥⎦

• f ( x h ) f ( x )

  − = k lim _h → h = k ′ f (x ) .

  ■

  Teorema 2.4

  Misalkan f dan g adalah fungsi dan F adalah fungsi yang didefinisikan oleh

• F x = f x g x . Jika f ′ dan g ′ ada, maka ( ) ( ) ( ) (x ) (x ) ′ ′ ′ + F x = f x g x .

  

( ) ( ) ( )

  Bukti:

• F ( x h ) − F ( x ) ( f ( x h ) g ( x h )) − ( f ( x ) g ( x )) ( ) lim lim

  F x = = _{h h} → → h h f ( x h ) f ( x ) g ( x h ) g ( x )

  ⎡ − − ⎤ + + = + lim _h → h h

  ⎢⎣ ⎥⎦

• f ( x h ) − + f ( x ) g ( x h ) − g ( x ) = + lim lim _{h h}

  → → h h

• = f ′ x g ′ x ( ) ( ) .

  ■

  Contoh 2.2 ³ +

  Diberikan fungsi f ( x ) = x − 3 x 1 . Tentukan turunan dari fungsi tersebut. Jawab:

  3 x

  1 = − ³ ₂

• f ( x ) x

  f ′ ( x ) =

  3 x − 3 .

  Teorema 2.5 f ′

  Jika f didefinisikan pada selang [a, b], mempunyai ekstrim relatif di c, dan (c )

  f ′ c = ada, maka ( ) .

  Bukti:

  f c f x x a b

  Jika f(c) nilai maksimum relatif f pada [a, b], maka ( ) ≥ ( ), ∀ ∈ [ , ] atau

  Untuk x < c atau x - c < 0 diperoleh

  f ( x ) − f ( c ) .

  ≥ x − c

  Jika limitnya ada, maka

  f ( x ) − f ( c ) lim ≥ . _{x c}

  (1)

  → x − c

  Untuk x > c atau x - c > 0 diperoleh

  f ( x ) f ( c ) − ≤ . x − c

  Jika limitnya ada, maka

  ( ) ( ) f x − f c lim ≤ . _{x c}

  (2)

  → x c

  − f = Dari (1) dan (2), diperoleh ′ c ( ) .

  Jika f(c) nilai minimum relatif f pada [a, b], maka f c ≤ f x ∀ x ∈ a b atau

  ( ) ( ), [ , ]

f x − f c ≥ ∀ x ∈ a b .

( ) ( ) , [ , ]

  Untuk x > c atau x - c > 0 diperoleh

  f ( x ) f ( c ) − ≥ . x − c

  Jika limitnya ada, maka

  f ( x ) f ( c ) − lim ≥ . _{x c}

  (3)

  → x c

  −

  Untuk x < c atau x - c < 0 diperoleh

  f ( x ) − f ( c ) ≤ . x c

  −

  ( ) ( ) f x − f c lim ≤ . _{x → c}

  (4)

  x c − f = Dari (3) dan (4), diperoleh ′ c ( ) .

  ■

  Teorema 2.6

  Jika f kontinu pada selang [a, b] dan terdiferensial pada selang (a, b), sedangkan

  f ′ c = f (a) = f(b) = 0, maka ada bilangan c pada (a, b) sedemikian sehingga ( ) .

  Bukti: Karena f kontinu pada selang [a, b], maka fungsi f mempunyai nilai maksimum maupun nilai minimum pada [a, b]. Jika kedua nilai tersebut sama dengan 0, maka

  (x) = 0 pada [a, b], akibatnya f ′ x = untuk semua x dalam (a, b). Apabila sa-

  f ( )

  lah satu nilai maksimum atau nilai minimum tidak sama dengan 0 dan

  f a f b c a

( ) = ( ) = , maka nilai ekstrim tersebut dicapai pada suatu titik ∈ ( b , ) .

f Karena f terdiferensial pada selang (a, b), maka menurut Teorema 2.5 ′ c ( ) = .

  ■

  Teorema 2.7

  Jika f kontinu pada selang [a, b] dan terdiferensial pada titik-titik dalam (a, b), maka terdapat bilangan c dalam (a, b) sedemikian sehingga

  f ( b ) − f ( a )

f ′ ( c ) = . b − a Bukti:

Gambar 2.3. Fungsi s(x) = f(x) - g(x)

  Misalkan fungsi s(x) = f(x) - g(x), dengan g adalah garis yang melalui (a, f(a)) dan (b, f(b)). Karena garis g ini mempunyai kemiringan (f(b) – f(a))/(b - a) dan melalui (a, f(a)), maka persamaannya adalah

  f ( b ) − f ( a )

g ( x ) − f ( a ) = ( x − a )

b − a

  sehingga

  f ( b ) − f ( a )

s ( x ) = f ( x ) − f ( a ) − ( x − a ) .

b − a

  Fungsi s kontinu dalam [a, b] karena merupakan selisih dua fungsi kontinu, dan

  

s (a) = s(b) = 0. Fungsi s terdiferensialkan dalam (a, b), karena s mempunyai tu-

  runan di setiap titik dalam (a, b) yaitu

  f ( b ) − f ( a )

′ ′ .

s ( x ) = f ( x ) − b − a

  Maka terdapat suatu bilangan c ∈ a b sedemikian sehingga s ′ c = . Jadi

  ( , ) ( ) f ( b ) − f ( a )

  ′ ′ s ( c ) = f ( c ) − b − a f ( b ) f ( a )

  − ′ = f ( c ) −

  ( ) ( ) f b − f a f ′ ( c ) = .

  ■

  b a −

4. Integral Definisi 2.8

  Fungsi F disebut anti turunan dari fungsi f pada suatu selang I jika untuk setiap

  ′ x ∈ I berlaku F ( x ) = f ( x ) .

  Pengintegralan merupakan cara untuk mendapatkan himpunan semua anti turunan dari suatu fungsi yang diberikan. Pengintegralan tersebut didefinisikan sebagai berikut:

  f ( x )

=

• dx F ( x ) C

  ∫

  dan disebut integral tak tentu, di mana menyatakan lambang integral dan C

  

∫

merupakan konstanta sembarang.

  Teorema 2.8

  Misalkan r adalah sebarang bilangan rasional kecuali –1, maka ^{r 1}

• x

^r

• x dx = C .

  1 Bukti: _{r 1} ⎡ ⎤

• r

• x

  1 _{r r}

  D (

  1 ) _x

• C = r x = x .

  ■ ⎢ ⎥

  r

• 1 r

  1 ⎣ ⎦

• + = +

• = + dx x g D dx x f D dx x g dx x f D _{x x x}
• x g x f = .

  

dx x g dx x f dx x g x f

dx x g dx x f dx x g x f

) ( ) ( )) ( ) ( (

) ( ) ( )) ( ) ( (

  ) 1 ( ( ] ) ( ) ( [ ) ( ) ( x g x f − = .

  

) ( ) (

) ( ) ) 1 ( ( ) ( )

  D dx x g dx x f D

D dx x g dx x f D

D dx x g dx x f D dx x g dx x f D _{x x x x x x x}

  − = − + = − + = −

  ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

  ) ( ) ( ] ) ( ) ( [ ) ( ) (

  ∫ ∫ ∫ ∫

  Bukti:

  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

− = −

  Teorema 2.9

  Misalkan f dan g mempunyai anti turunan, maka

  Teorema 2.10

  ■

  D dx x f c dx x f c D _{x x} ) ( ] ) ( [ ) (x cf = .

  ∫ ∫ =

  Bukti:

  ∫ ∫ = dx x f c dx x cf ) ( ) ( .

  Misalkan f suatu fungsi dan c suatu konstanta, maka

  ■

  Contoh 2.3 ₃ Tentukan intergral dari fungsi f ( x ) = x

  3 x + + 1 . Jawab: Integral dari fungsi tersebut adalah ₃

  f ( x ) dx = ( x

• 3 x

  1 ) dx

  ∫ ∫

  1 ₄

  3 ₂ .

  = x x x c + + +

  4

  2 Misalkan sebuah fungsi f didefinisikan pada selang tertutup [a, b].

  Pandang suatu partisi P pada selang [a, b] yang terdiri dari n selang bagian yang memakai titik-titik ... dan andaikan

  

a = x < x < x < < x < x = b

_{1 2 n n} −1

  Δ x = x − x . Pada tiap selang bagian [ x , x ] , ambil sebarang titik x yang _{i i i 1 i 1 i i}

  − −

  disebut titik sampel untuk selang bagian ke-i. Contoh partisi dapat dilihat dalam Gambar 2.9 dengan n = 6.

Gambar 2.4. Sebuah partisi dari [a, b] dengan titik-titik sampel x i

  Bentuk jumlahan sebagai berikut _n

  R f ( x ) x _{p i i} = Δ ∑ _{i 1}

  = yang disebut jumlah Riemann untuk f dengan partisi P.

  Definisi 2.9

  Misalkan fungsi f didefinisikan pada selang tertutup [a, b]. Jika _n

  lim f ( x ) Δ x _{i i} ∑ _P → _{i = 1}

  ada, maka fungsi f dikatakan terintegralkan pada [a, b], di mana | P | yang disebut , adalah panjang selang bagian yang terpanjang dari partisi P. Selanjut-

  norma P

  nya, _{b n}

  

f ( x ) dx = lim f ( x ) Δ x

_{i i} ∑ ∫ P _a → _{i = 1} disebut integral tentu fungsi f dalam [a, b].

  Teorema 2.11

  Integral tentu fungsi f dalam [a, b] adalah _b

  

f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a )

∫ _a di mana F adalah anti turunan dari fungsi f.

  Bukti: Misalkan P : a x x x ... x x b adalah sebarang partisi dari

  = < < < < < = _{i 2 n n}

  −1

  [a, b], maka

  F ( b ) F ( a ) F ( x ) F ( x ) F ( x ) F ( x ) ... F ( x ) F ( x ) − = − − − _{n n n − 1 n − 1 n − 2} + + + ₁ = [ F ( x ) − F ( x )] . _{i i 1}

  − ∑ _{i = 1} Menurut Teorema 2.6, terdapat x ∈ ( x , x ) sedemikian sehingga _{i i 1 i}

  − F ( x ) − F ( x ) = F ′ ( x )( x − x ) = f ( x ) Δ x . Jadi _n .

  F ( b ) − F ( a ) = f ( x ) Δ x _i ∑ _{i = 1} Apabila kedua ruas diambil limitnya untuk P → , maka diperoleh _n | | _b F ( b ) F ( a ) lim f ( x ) x f ( x ) dx .

  − = Δ = _{i ■ | P | ∫} ∑

  → _{i 1} = _a Contoh 2.4

  Diketahui fungsi ( ) 2 . Hitungah integral tentu dari fungsi tersebut

  f x = x ² + dalam interval [1, 2].

  Jawab: _{2 2 2}

  1 ₃ ⎤ ( x 2 ) dx = x + + 2 x

  ∫ _{1 ⎥⎦}

  3 ₁

  20

  7

  1 4 . = − =