Interpolasi (Dr. Edi Sukirman)

  INTERPOLASI 

  

Para rekayasawan dan ahli ilmu alam

sering bekerja dengan sejumlah data diskrit (yang umumnya disajikan dalam bentuk tabel). Data didalam tabel mungkin diperoleh dari hasil pengamatan dilapangan, hasil pengukuran dilaboratorium, atau tabel yang diambil dari buku-buku acuan. Contoh :

Sebuah pengukuran fisika untuk menentukan

hubungan antara tegangan yang diberikan

kepada baja tahan karat dan waktu yang diperlukan hingga baja tsb patah. x

  5

  10

  15

  20

  25

  30

  35 y

  40

  30

  25

  40

  18

  20

  22

  2 x = Tegangan yang diterapkan, kg/mm

  

  Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi pada ke-2 titik tersebut sudah diketahui

  

  dpl. : cara menentukan harga fungsi f dititik x* ,x ] ε [x

  n

  dengan menggunakan informasi dari seluruh atau sebagian titik-titik yang diketahui ( x , x , …., x )

  1 n x x x x x …….

  1 2 n

  

Perbedaan Interpolasi dan

Ekstrapolasi

  Teknik Umum yang digunakan : (i) Membentuk polinomial berderajat ≤ n

yg mempunyai harga fungsi di titik-

titik yang diketahui 

  Polinomial Interpolasi (ii) Masukkan titik yang ingin dicari harga fungsinya ke dalam polinomial interpolasi

   Interpolasi Linier

   Interpolasi Kuadrat

   Interpolasi Lagrange

   Interpolasi Newton

  Jenis Interpolasi

  f(x) L(x)

  Interpolasi Linier Interpolasi Kudrat f(x)

  L(x)

Interpolasi Qubic

  

f(x)

L(x)

  

INTERPOLASI LINIER (1)



  Misalkan ada m bilangan : x

  1 , x

  2 , …., x m dan bilangan lain yang berkaitan : y

  1 , y

  2 , …., y m

   maka masalahnya : berapa harga y* pada x* ε [x k

  ,x k+1

  ] ? y y k+1 y k y* ?

   Ambil ruas garis yang menghubungkan titik (x k

  ,y k

  ) dan (x k+1

  

,y

k+1

  ) 

  Diperoleh persamaan garisnya : ) (

¹

  1 ^{k k k k k k} y y x x x x y y

      

  



 ^{k k k k k k} x x y y x x y y

     

     ₁ ¹

  INTERPOLASI LINIER (2)

   Jadi persamaan garisnya adalah :

¹

  ) (

  1 ^{k k k k k k} y y x x x x y y

      

    y y k+1 y* ?

  INTERPOLASI LINIER (3)

  Contoh – 1 : (1)

Diketahui data sebagai berikut :

  x -3 -2 -1

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7 y

  9

  4

  1

  1

  4

  9

  16

  25

  36

  49 Tentukan harga y pada x = 6,5 ! Jawab : x = 6,5 terletak antara x=6 & x=7 _k x x _{k k }  _{1 k} y  y  ( y  y ) _k

  1 k  x  x Alternatif 2 : x = 6,5 terletak antara x=1 & x=7 ) (

  1

  1 k k k k k k y y x x x x y y

      

   

  45 ) 48 ( ) 5 ,

  5 ( 1 ) 1 49 (

  )

  1 5 , 6 (

  1     

    y Contoh – 1 : (2)

Contoh – 1 : (3)

  x -3 -2 -1

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7 y

  9

  4

  1

  1

  4

  9

  16

  25

  36

  49 

  

Bandingkan hasil kedua jawaban tersebut !!



  Mana yang mendekati jawaban yang sesungguhnya ..??

  2 

  Karena hub. x & y adalah y = x maka untuk

  2 harga x = 6,5 didapat y = (6,5) = 42,25 Contoh – 1 : (4) Kesalahan mutlak (E), untuk : =

y = 42,5  |42,5 – 42,25| = 0,25 25 %

Sedangkan untuk y = 45  |45 – 42,25| = 3,25 = 325 %

  Contoh-2 : Diketahui tabel akar bilangan sbb :

  ….

  N 2,14 2,15 2,16 ….

  1/2 N 1,46287 1,46629 1,46969 ….

  ….

  Tentukan akar dari 2,155

  1/2

  (2,155) = 1,46629 + (0,005/0,010) (1,46969 – 1,46629) = 1,46629 + 0,00170

  1/2

  ( 2,155) = 1,46799 Kesalahan mutlaknya |1,4679918 -1,46799| = 0,0000018

  Contoh 3: 

  Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan. Data percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang dibutuhkan untuk menghentikan kendaraan.

  

  Perkirakan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kenderaan yang melaju dengan kecepatan 45 Contoh 3 :

   maka untuk mencari nilai x=45 maka,

  

  Banyak kasus, penggunaan interpolasi linier tidak memuaskan karena fungsi yang diinterpolasi berbeda cukup besar dari fungsi linier

  

  Untuk itu digunakan polinomial lain yg berderajat dua (interpolasi kuadrat) atau lebih mendekati fungsinya

  

  Caranya : Pilih 3 titik & buat polinomial berderajat dua melalui

• ke - 3 titik tsb., shg dpt dicari harga fgs. pada x = x* Pemilihan ke-3 ttk tsb., dapat :
• x < x < x atau
• k-1 k k+1
• k-1 k k+1

  x < x* < x < x Persamaan umum Polinomial kuadrat :

  

2

P(x) = a + a x + a x

  …..(*)

  1

  2

  3 titik (x ,y ), (x ,y ) & (x ,y ) dilalui fgs. P(x) berarti:

  k-1 k-1 k k k+1 k+1

  2

  y = a + a x + a x

  k-1 1 k-1 2 k-1 2 …………………………. (**)

  y = a + a x + a x

  k 1 k 2 k

  2

  y = a + a x + a x

  k+1 1 k+1 2 k+1

  => Akan diperoleh dari 3 pers. yaitu a , a dan a kemudian

  1

  2

  subst. ke (*) & diperoleh pers. kuadrat, shg dapat dicari

  2

  nilai fgs. untuk x = x* yaitu P(x*) = a + a x* + a x*

  1

  2

  => Sistim pers. non homogen (**) memp. solusi dan

  Contoh : 

  Diberikan titik ln(8) = 2.0794, ln(9) = 2.1972, ln(9.5) = 2.2513. Tentukan nilai ln(9.2) dengan interpolasi kuadrat

   Sistem Pers Linier yang terbentuk.

   64 a + 8 b + c = 2.0794

   81 a + 9 b + c = 2.1972

   90.25 a + 9.5 b + c = 2.2513

  

  Penyelesaian a= -0.0064 b = 0.2266 c = 0.6762

  

  Interpolasi Lagrange adalah salah satu formula untuk interpolasi berselang tidak sama selain formula interpolasi Newton umum & metoda Aitken. Walaupun demikian dapat digunakan pula untuk interpolasi berselang sama.

  

  Misalkan fgs. y(x) kontinu & diferensiabel sampai turunan (n+1) dalam interval buka (a,b). Diberikan (n+1) titik (x ,y ), (x ,y ,y ) dengan nilai x tidak perlu

  ), …, (x

  1 1 n n

  berjarak sama dengan yang lainnya, dan akan dicari suatu n. polinom berderajat Untuk pemakaian praktis, formula

  Formula Interpolasi Lagrange Jika y(x) : nilai yang diinterpolasi; x : nilai yg berkorespondensi dg y(x)

  : nilai y

  y x x x x x x x x x x x x _n ⁿ .

  ) )...( )( (

     _{1 1 2 1 1} ² ) )...( )( (

     

  ) )...( )( ( ) ( y x x x x x x x x x x x x x y _n ⁿ

          _{2 1} ^{2 1} ) )...( )( (

  n

  x , x

  , …., y

  

1

  : nilai x dan y , y

  n

  , …., x

  1

  . Contoh 1:

  10 Nilai yg. berkorespondensi dengan y = log x adalah : X 300 304 305 307

  10 log x 2,4771 2,4829 2,4843 2,4871

  10 Carilah log 301 ?

  10 Untuk menghitung y(x) = log 301 dimana x = 301, maka nilai diatas menjadi x = 300 x = 304 x = 305 x = 307

  1

  2

  3 Dengan menggunakan interpolasi lagrange    

      4771 ,

  2 ) 307 300 )( 305 300 )( 304 300 ( ) 307 301 )( 305 301 )( 304 301 ( )

  (x y

        

  4829 ,

  2 ) 307 304 )( 305 304 )( 300 304 ( ) 307 301 )( 305 301 )( 300 301 (

        

  4843 ,

  2 ) 307 305 )( 304 305 )( 300 305 ( ) 307 301 )( 304 301 )( 300 301 (

  4871 ,

  2 ) 305 307 )( 304 307 )( 301 307 ( ) 305 301 )( 304 301 )( 300 301 (

        Polinom Newton 

  Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek karena :

   Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali interpolasi adalah besar. Interpolasi untuk nilai x yang lain memerlukan jumlah komputasi yang sama karena tidak ada

bagian komputasi sebelumnya yang dapat digunakan.

  

Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil

komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan. Karena tidak ada hubungannya antara p (x) dan p (x) pada polinom n-1 n

  Lagrange 

  Polinom yang dibentuk sebelumnya dapat digunakan untuk membentuk polinom derajat yang lebih tinggi. Polinom Newton 

  Persamaan Polinom Linier

  1

    

   

  1 x x x f x f x x y y a

  1

  1

  1

  1

  ) ( ) (

  ) ( ) ( ) (

  ) (  x f y a 

  1  x x a a x p  

    ) ( ) (

  

    

  1 x x x x y y y x p

  1

  1

  ) ( ) (

  ) ( ) (

  (2)

  Dan

  (1) 

  Yang dalam hal ini

  

  Bentuk pers ini dapat ditulis :

   Polinom Newton 

  Polinom kuadratik p ( x )  a  a ( x  x )  a ( x  x )( x  x )

  2

  1

  2

  1 

  Atau p ( x ) p ( x ) a ( x x )( x x )

     

  2

  1

  

2

  1 

  

Dari pers ini menunjukkan bahwa p (x) dapat dibentuk dari pers

  2 sebelumnya p (x). Nilai a dapat ditemukan dengan mengganti

  1

  2 x=x untuk mendapatkan

  (3)

  2 f ( x ) a a ( x x ) ₂    _{1 2} a ₂  ( x x )( x x ) ₂   _{2 1}

   Nilai a dan a pada pers 1 dan 2 dimasukkan pada pers 3

  1 Polinom Newton 

Dengan melakukan utak-atik aljabar, pers ini lebih disukai

  2 ^{1 1 2 2 1 1 1 2 2 2} ] , [ ] , [ ) ( ) ( ) ( ) ( x x x x f x x f x x x x x f x f x x x f x f a

     

  





 

    Polinom Newton 

  Jadi tahapan pembentukan polinom Newton : ( ) ( ) ( ) p x  p x  a x  x _{1 1} p ( x )  a  a ( x  x )

  1

  1 p ( x ) p ( x ) a ( x x )( x x )

     

  2

  1

  2

  1 ( ) ( ) ( )( ) p x  a  a x  x  a x  x x  x

  2

  1

  2

  1

  ( ) ( ) ( )( )( )

  p x  p x  a x  x x  x x  x

  3

  2

  3

  1

  2 Polinom Newton 

  Nilai konstanta a , a , a , merupakan nilai selisih terbagi , dg ,…, a 1 2 n nilai a  f ( x ) a  f [ x , x ] _{1 1}

  [ , , ] a  f x x x _{2 2 1} a  f [ x , x ,..., x , x ] _{n n n  1 1}

   Yang dalam hal ini

  ( ) ( )  f x f x _{i j}

  [ , ] f x x  _{i j}

   x x _{i j}

  [ , ] [ , ]



f x x f x x

_{i j j k}

  [ , , ] f x x x  _{i j k}

  



Karena a0, a1,a2, …an, merupakan nilai selisih terbagi, maka polinom Newton dinamakan polinom interpolasi

  selisih terbagi Newton. Nilai selisih terbagi dapat dihitung dengan menggunakan tabel yng disebut tabel selisih terbagi.

  Polinom Newton 

  

Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis

dalam hub rekursif sebagai : 

  Rekurens

  

  basis

  

Atau dalam bentuk polinom yang lengkap sbb :

  ] , ,..., , [ ) )...( )( ( ) ( ) (

  1

  1

  1

  

1

  1 x x x x f x x x x x x x p x p n n n n n

  

  

    

  ) ( ) (

   x f x p

  ] , , [ ) )( ( ] , [ ) ( ) ( ) ( Contoh Soal : 

  

Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tiga dan empat

yang menghampiri f(x)=cos(x) dalam range[0.0, 4] dan jarak

antar titik adalah 1.0. Lalu taksirlah f(x) dengan x=2.5 dengan Polinom Newton derajat 3. x i y i

  0.0 1 -0.4597 -0.2484 0.1466 -0.0147 1.0 0.5403 -0.9564 0.1913 0.0880 2.0 -0.4161 -0.5739 0.4551 3.0 -0.99 0.3363 Contoh Soal : 

Contoh cara menghitung nilai selisih terbagi pada tabel :

  2484 .

  2 . 9564 4597 . ) ( ] , [ ] , [

  ] , , [ 9564 .

  1

  2 . 4161 5403 . ) ( ) ( ) (

  ] , [ 4597 .

  1

. 1 5403

) ( ) ( ) (

  ] , [ Contoh Soal : 

  2 ^{1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1}   

      

     

  

 

  

    



     

   x x x x f x x f x x x f x x x f x f x x f x x x f x f x x f

  Maka polinom Newton derajat 1,2 dan 3 dengan x = 0 sebagai titik pertama :

  

  . 3 )( . 2 )( . 1 )( ( 0147 . ) . . 2 )( . 1 )( ( 1466 .

  ) . . 1 )( ( 2484 . ) . ( 4597 . . ( 1 ) ) cos( ) .

  . 2 )( . 1 )( ( 1466 .

  ) . . 1 )( ( 2484 . ) . ( 4597 . . ( 1 ) ) cos( ) .

  . 1 )( ( 2484 . ) . ( 4597 . . ( 1 ) ) cos( ) . ( 4597 . . ( 1 ) ) cos(

  4 ^{3 2 1}        

                    

            

x x x x x x x

x x x x p x x x x x x x x p x x x x x p x x x p x