Determinan (Dr. Edi Sukirman)
Determinan
Determinan
Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran(nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang
disebut determinan matriks tersebut dan ditulis
dengan det(A) atau |A|.Untuk menghitung determinan ordo n terlebih dahulu diberikan cara menghitung determinan ordo 2
Menghitung determinan
Hitunglah determinan matriks berikut ini:
3
1 Det(A) = (3) (-2)
A =
- – (1)(4) = -10
4 2
1
2 B = Det(B) = (1)(4)
- – (2)(2) = 0
2
4 2 1 3
C = Det(C) = tidak didefinisikan
3 1 2
32
32
21
22
33 a a a a a a a a a
31
11
23
22
21
13
12
11
12
a a a a
11
33 a a a a a a a a a
31 a
22 a
21 a
12 a
11 a
a
32
11
31
23
22
21
13
12
a a a a
12
- – (a
33
A
22 .a
11 .a
2 ) = a
Det(A
2 =
12 .a
21
)
12 .a
22)
11 .a
1 ) = (a
1 = Det(A
Aturan Sarrus A
- a
- a
- – (a
23
.a21
31
13 .a
21 .a
32
22
- a
- a
31
23
.a
32
12 .a
21 .a
33 )
22 .a
13 .a
11 .a
Det(M) = 3.-2
- – (1.4) = -10 Det(K) = 3.2.5+2.3.4+2.1.4- (2.2.4 + 3.3.4 + 2.1.5) = 30 + 24 +8
- – (16+36+10) = 62 – 62 = 0
2
3 2 1 2 4 4
5
4
4
3
2
1
3
2
2
4
1
3
5x5 dst?
M = K = Pertanyaan: Apakah metode di atas dapat diterapkan pada matriks 4x4,
Aturan Sarrus (lanjt)
ENGHITUNG DETERMINAN DENGAN KOFAKTOR
2n : : : : a i1 a i2
11 a
12 …….a
1j ……a
1n a
21 a
22 ……a
2j …….a
……a ij
= det
…….. a in
: : : : a n1 a n2
……a nj
……. a nn
C ij
=(-1) i+j
M i j
M
a
Untuk keperluan menghitung ordo n dengan n≥3 perlu lebih dahulu definisikan pengertian minor dan kofaktor sbb : Minor M
ij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j.
1j ……a
Kofaktor C
13 adalah (-1) i+j
M ij
A =
a
11 a
12 …….a
1n a
……. a nn
21 a
22 ……a
2j …….a
2n : : : : a i1 a i2
……a ij
…….. a in
: : : : a n1 a n2
……a nj
M ij
Definisi determinan matriks
dengan kofaktora a …….a ……a
11 12 1j 1n a a
……a …….a
21 22 2j 2n : : : :
A= a a
……a …….. a i1 i2 ij in
: : : : a a ……a ……. a n1 n2 nj nn
M det matriks yang diperoleh dengan menghapus baris ke i kolom ke
ij j matriks A. i+jC =(-1) M ij ij
Definisi: Determinan matriks A (dengan ekspansi baris ke i, atau ekspansi kolom ke j) adalah :
n n Det(A) =
a C
=
a C
ij ij ij ij
i=1 j=1 Contoh: Minor dan kofaktor
Minor M adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j.
ij i+jKofaktor C adalah (-1) M 13 ij a a a
11
12
13 a
a
21
22 A a a a M
21
22
23 =
= det
13
a a
31
32
a a a
31
32
33
1+3
C = (-1) M
13
13
a a a
11
12
13 a
a
21
22 a a a
A M
21
22
23 = = det
13
a a
31
32
a a a
31
32
33
1+3
C = (-1) M
13
13 i+j C = (-1) M ij ij
C
6 ? ? ? ? ? ?
33 =
Det 2 0 4 5
= 10 Det
1 0 4 5 = 5
Det 1 2 4 4
= -4
15
C
11 = (-1)
1+1 10 = 10
C
12 = (-1)
1+2 5 = -5
C
- 4 = -4
13 = (-1)
- 12
21 =
C
M
Contoh: Hitunglah semua minor dan kofaktor matriks berikut ini:
3 0 0 1 2 0 4 4 5
M
11 =
C
22 =
13 =
31 =
C
23 =
C
32 =
M
12 =
C
1+3
Menghitung determinan dengan ekspansi
baris/kolom
A21
22
31
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
11
11
12
12
13
13
a C a C a C
21
31 13 21 32
22
22
23
23 a C a C a C
Det(A) =
C
12 C
13 Ekspansi baris pertama
Ekspansi baris kedua
13
23
= (1 1) (1 2) 1 3
Det(A) = Det(A) = Det(A) =
11
22
33
23
32 12 21 33
23
31 13 21 32
22
31 ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) a a a a a a a a a a a a a a a
11
12
12
13
21
22
23
31
32
33 a a a a a a a a a
11 22 33 11 23
32 12 21 33
11 C
Menghitung determinan dengan ekspansi baris/kolom
22
23
23 a C a C a C
11
11
21
21
31
31 a C a C a C
21
21
22
22
23
23
a C a C a C
21
21
22
22
23
23 a C a C a C
= =
=
ekspansi baris pertama ekspansi baris kedua ekspansi baris ketiga ekspansi kolom pertama
22
21
A =
11
Det(A) =
11
12
13
21
22
23
31
32
33
a a a a a a a a a
11
21
12
12
13
13
a C a C a C
= =
21
21
22
22
23
23 a C a C a C
? ? Contoh:
3 0 0 1 2 0 4 4 5
32 = 0
Det(A) = 4x0 + 4x0 + 5x6 = 30 Determinan A dengan ekspansi kolom ketiga:
= 0 Determinan A dengan ekspansi baris ketiga:
21
C
33 = 6
C
31 = 0
C
= -5
12
C
C
C
= -12
23
C
= -4
13
C
= 15
22
C
= 10
11
Det(A) = 5x6 = 30 ada 9 (= 3x3) kofaktor Determinan matriks 4x4 dengan kofaktor
11
14
34 = det C
34 =(-1)
3+4 M
34 Ada berapa banyak kofaktor?
Ada 16 kofaktor C ij
, i, j = 1, 2, 3, 4 Det(A) = ekspansi baris pertama
= ekspansi ……… Ada ……. cara menghitung determinan A dengan kofaktor
8 baris ke tiga
11
12
13
21
22
23
24
31
32
33
34
41
42
43
44 a a a a a a a a a a a a a a a a
A= M
43 a a a a a a a a a
11
32
12
12
13
13
14
14
a C +a C +a C +a C 1 n ij ij j a C
31
31
32
33
42
33
34
34
a C +a C +a C +a C
11
12
13
21
22
23
41
Menghitung determinan matriks 4x4 dengan kofaktor 1
1 1
1
1
1
3
2 A
matriks 4x4 berikut:
4
2
1
3
3
1 1
4
Ekspansi baris 1:
Det ( A ) a . C a . C a . C a . C
11
11
12
12
13
13
14
14
1
3 2
1
3
2
7
7
(
14 70 ) 56 C
2
1 3
7
7
11
10
2
3 1
4
10
2
1
3
2
1
3
2 11
5
C
4
1 3 11
5
12 ( 110 40 )
70
8
10
3 1 4 8
10
6
5 1
1
2 1
1
2
60
30
6
10
4
2 3 6
5 C
30
13
3 3
4 6
10 1
1
3 1
1
3 6
11
C
4
2 1 6
11
14 ( 48 66 )
18
6
8
3
3
1 6
8
DETERMINAN SIFAT - SIFAT
Sifat 1 t det(A ) = det(A)
Contoh :
5
5
2
4 t
A
A
4
3
2
3
t det(A) = 7 det(A ) = 7
Sifat 2 Jika matriks B adalah hasil dari matriks A dengan menukarkan dua baris sebarang, maka det(B) = - det(A)
Contoh Diberikan matriks maka det(A) = 6.
1 A
1
3
1
2
3
3
1
2
2
Jika , maka det(B) = -det(A) = -6.
3
2
1
3
3
1
2
2 B
Sifat 3
Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan
mengalikan bil.real k dengan satu baris (kolom) dari
matriks A, maka det(B) = k.det(A)Contoh:
1
2
3 Diberikan matriks A dgn det(A) = 6
2
1
3
1
1
1
2
3
4
2
Jika det(B) = 2 x det(A) = 2x6 = 12
6 B
1
1 Sifat 4
Jika matriks B diperoleh dari matriks A dgn
mengalikan satu baris(kolom) dari A dgn bil.real
sebarang kemudian menambahkannya ke baris
(kolom) lain, maka det(B) = det(A)Contoh :
1
2
3
A
4
2
6 Diberikan matriks , det(A) = 12.
1
1
1
2
3 Jika , maka det(B) = det(A) = 12
B
4
2
6
1
3 Sifat 5
Jika suatu matriks terdiri dari dua baris (kolom)
yang elemen- – elemennya sama, maka determinannya adalah nol.
Contoh
1
1
1 Matriks determinannya = nol.
A
2
3
1
1
1 Sifat 6
Jika suatu matriks terdiri dari satu baris (kolom)
dengan elemen nol, maka determinannya adalah nol. Sifat 7 Jika matriks A=[a ij
], 1 i n, 1 j n, adalah matriks segitiga atas (bawah) maka det(A) = a
11
.a22 . … .a nn Contoh : Diberikan matriks maka det(A) = 1.(-2).2 = -4
2
1
2
3
2
1 A Sifat 8 Jika matriks A dan B dapat dikalikan,maka
det(AB) = det(A).det(B)
Sifat 9 Jika matriks A invertible, maka
1
- -1 det(A ) =
A det( ) Determinan matriks sederhana
Matriks diagonal … … a
11 … …
0 a
22 Det(A) = a a a
…a
11
22 33 nn : : :
A= …
0 0 …a ij
: : : 0 0… 0 .... a nn
Setiap hasil kali elementer pasti memuat entri dari baris terakhir Matriks segitiga
(yaitu 0), kecuali a a a …a
11
22 33 nn. a a
…a …a
11 12 1j 1n 0 a
…a …a 22 2j 2n
B= : : : : 0 0 …a ….a
Det(B) = a a a ij in
…a
11
22 33 nn : : : 0 0… 0 .... a nn
Determinan matriks segitiga sama dengan hasil kali entri diagonal utama. Determinan matriks dengan baris/kolom nol
Pertanyaan: apakah matriks yang tidak mempunyai inverse determinannya no? Matriks dengan baris / kolom nol
: : : : 0 0…… 0……. 0 a
0……a nj
: : : : a n1
…….. a in
0……a ij
2n : : : : a i1
2j …….a
21 0……a
1n a
1j ……a
11 0…….a
…….. a in
A= Det(A) = 0
……a ij
2n : : : : a i1 a i2
2j …….a
22 ……a
21 a
1n a
1j ……a
12 …….a
11 a
Det(B) =0 B= a
Setiap hasil kali elementer pasti memuat entri dari baris terakhir (yaitu 0). Jadi semua hasil kali elementer adalah nol.
……. a nn
Contoh :
Hitunglah dengan cepat nilai determinan matriks berikut ini:
19
D Det(D) =0
0 18
12 27 56 11
13 1 23 90
Det(B) =0 B
11 35
11
41
14
98 42
15
11
54
K Det(K) =0
70
42
31
82
74
66
41 10 14
M 41 10
14 Det(M) =0
9
1
Determinan dan operasi baris elementer Pengaruh tukar baris pada nilai determinan
1
1
det(X’) = -det(X)
menukar dua baris tanda dari setiap hasil kali elementer bertanda berubah determinannya (-1) kali determinan semula.
R1 R3
Det(A’) = 2 Det(B’) = -45
R1 R2
Det(B) = 45 Det(A) = -2
4
2
3 A
1
6
3
3
2
3 A'
2 B
4
1
2
4
1
1
2
6 B'
3
3
4
2
X X’ dengan tukar baris Pengaruh perkalian baris dengan skalar pada nilai determinan
1
4
3
6
1
3 A
2
1
Det(B) = 45
Det(A) = -2 R2
10 R2 Det(A’) = -20
Det(B’) = 15 = 1/3 det(B) R3
1/3 R3
satu baris dikalikan dengan konstanta k setiap hasil kali elementer bertandanya dikalikan k determinannya adalah k kali determinan matriks semula.
det(X’) =
3
2
3 A'
2
20
40
1
4
2 B'
1
2 B
1
1
2
1
4
k det(X) X X’ dengan mengalikan baris dengan k Pengaruh jumlahan baris dengan kelipatan baris lain pada nilai determinan
1
6
1
3 A
2
4
Det(B) = 45
3
Det(A) = -2 R2
R2 + 2R1 Det(A’) = -2
Det(B’) = 45 = det(B) R2
R2 +1/3 R3
Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain tidak mengubah hasil kali elementer bertanda, jadi nilai determinannya tidak berubah.
det(X’) = det(X)
3
1
3 A' 4 10
3
1
4
2 B'
3
1
3
2
3
6
1
4
2 B
X X’ dengan menjumlahkan brs dengan kelipatan baris lain:
Pengaruh operasi baris elementer pada nilai
determinan
Kesimpulan: menukar dua baris tanda dari setiap hasil kali elementer bertanda berubah determinannya (-1) kali determinan semula.
satu baris dikalikan dengan konstanta k setiap hasil kali elementer bertandanya dikalikan k determinannya adlah k kali determinan matriks semula.
Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain tidak mengubah hasil kali elementer bertanda, jadi nilai determinannya tidak berubah. Menghitung determinan dengan operasi baris elementer (OBE)
Bentuk ebt A A mempunyai inverse
A
I
r kali tukar baris
Det(A) Det(I) = 1
s kali perkalian baris dengan skalar (k , k , k ),
1
2 3 , …, k s t kali jumlahkan baris dengan kelipatan baris lain r
Det(I) = (-1) k k k det(A) … k
1
2 3 s A mempunyai inverse maka r
1 = (-1) k k k det(A) … k
1
2 3 s det(A) ≠ 0
r
Det(A) = (-1) / (k k k ) … k
1
2 3 s Menghitung determinan dengan operasi baris elementer Bentuk ebt A Mempunyai baris nol
A TIDAK mempunyai inverse A
0 0 … 0
r kali tukar baris
Det(A) Det(A’) = 0
s kali perkalian baris dengan skalar (k , k , k ),
1
2 3 , …, k s t kali jumlahkan baris dengan kelipatan baris lain r
k k k det(A) Det(A’) = (-1) … k
1
2 3 s r 0 = (-1) k k k det(A)
… k
1
2 3 s A TIDAK mempunyai inverse
Det(A) = 0 Contoh: menghitung determinan dengan operasi baris elementer 0 4 0 0 4 0 1 0 0
B = 0 0 1 1 0 0 0 4 0 R R 2 3 R R
2 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 1 R ¼ * R 2 2 B direduksi menjadi matriks identitas dengan
2
1 0 0 2 kali tukar baris,
0 1 0 sekali mengalikan dengan konstanta ¼
0 0 1
2 I
Det(B ) = (-1) 1/( ¼ )
2 = (+1) . 1/(1/4) = 1/( ¼ ) = 4
Aplikasi determinan:
Aturan Cramer
Aplikasi determinan untuk
menyelesaiakan Sistem Persamaan
Linier
Penyajian SPL dengan persamaan matriks
a x + a x + a x x = b
- … + a
11
1
12
2
13 3 1n n
1 a x + a x + a x x = b
- …+ a
21
1
22
2
23 3 2n n
2 SPL : a x + a x + a x x = b
- …+ a
n
1 1 n
2 2 n
3 3 nn n n matriks koefisien
x b
a a a a
1
1
11 12 1n 13 … a a a
… a
21
22 23 2n
x b
2
2 A =
x =
: b =: :
a a a … a
n
1 n 2 n 3 nn
b x n n
Ax = b
Aturan Cramer x
= a
a
1n
a
1 …
12 … b
a
11
1
a
nn A
… a
2 … a n j
n
a
n
b
21
22 … b
… a
nn
)/ det(A)
j
= det(A
j
x
) = Penyelesaian SPL:
Det(A j
… a
2
2 … b n
n
a
1
n
a
2n :
… a
2n :
2j
= b = a
a
1
n
a
2n :
… a
2j
22 … a
21
n
a
1n
a
1j …
a
12 …
a
11
a
2 … a n j
22 … a
12 …
a
2
b
1n
a
1j …
a
a
… a
1
b
A =
2 : b n
1 b
2 : x n b
1 x
nn x
j = 1, 2, …, n Contoh: x y z
2
1 SPL
x y z
2
1 A
x y z
2
3 x
1 1 1 2 =
SPL dalam persamaan matriks y
1 2 -1 -1 1 -1 2 z -3
Det(A) = 10 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 -1 -1 A2= 2 1 -1 2 -1 1
A1= A3=
- 3 -1 2 1 -3 2 1 -1 -3
Det(A1) = -10 Det(A2) = -20 Det(A3) = 10
X = det(A1)/det(A) =-10/(-10) = 1 y = det(A2)/det(A) =-20/(-10) = 2 z = det(A3)/det(A) = 10/(-10) = -1
Kapan Aturan Cramer bisa diterapkan
SPL: Ax = b Dengan Aturan Cramer, penyelesaian dapat diperoleh dengan rumus berikut ini j = 1, 2, …, n
x = det(A )/ det(A)
j j
Kapan Aturan Cramer bisa diterapkan?
Karena menggunakan determinan matriks koefisien sebagai pembagi, maka Aturan Cramer dapat diterapkan jika matriks koefisiennya persegi dan determinannya tidak nol (atau matriks koefisien mempunyai inverse.