KARAKTERISTIK NILAI EIGEN DARI MATRIKS LAPLACIAN
JMP : Volume 3 Nomor 1, Juni 2011
KARAKTERISTIK NILAI EIGEN DARI MATRIKS LAPLACIAN
Siti Rahmah Nurshiami, Mutia Nur Estri, Noor Sofiyati
Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknik
Universitas Jenderal soedirman, Purwokerto
E-mail : nurshiami@yahoo.co.id
ABSTRAK. Matriks Laplacian dari suatu graf G adalah matriks diagonal
dikurangi dengan matriks ketetanggaan. Paper ini membahas karakteristik nilai
eigen dari matriks Laplacian dan hubungan nilai eigen matriks Laplacian dengan
nilai eigen matriks ketetanggaan dari graf reguler.
Kata kunci : Matriks Laplacian, Nilai Eigen, Nilai Eigen Laplacian, Graf
Reguler
ABSTRACT. The Laplacian matrix of a graph G is a diagonal matrix minus the
neighborhood matrix. This paper discusses about the characteristics of the
Laplacian matrix eigenvalues and the relationships of Laplacian matrix
eigenvalues with neighborhood matrix eigenvalues of regular graphs.
Keywords: Laplacian matrix, Eigen Values, Eigen Value Laplacian, Regular
Graph
1.
Pendahuluan
Sebuah graf dapat direpresentasikan ke dalam matriks Laplacian. Jika
D(G) merupakan matriks diagonal dengan entri pada diagonal utamanya
merupakan derajat dari titik vi pada graf G, dan A(G) merupakan matriks
ketetanggaan dari graf G, maka matriks Laplacian đż(G) merupakan
bujur sangkar
yang
diperoleh
dari
matriks
matriks diagonal dikurangi matriks
ketetanggaan. Nilai eigen dari matriks Laplacian dapat diperoleh dengan
menggunakan polinomial karakteristik. Pada tahun 1973, Fiedler mempelajari
salah satu karakteristik nilai eigen dari matriks Laplacian, yaitu nilai eigen
terkecil kedua. Sementara itu, Juhasz(1982) mempelajari nilai eigen dari graf
reguler beserta multiplisitasnya, yang dikenal dengan spektrum graf. Paper ini
mengkaji karakteristik lain nilai eigen dari matriks Laplacian.
S. Rahmah Nurshiami, dkk.
2.
34
Matriks Laplacian
Suatu graf dikatakan reguler berderajat r (r-reguler) jika untuk setiap
titiknya mempunyai derajat r. Misalkan G = (V, E) adalah graf sederhana dengan
n titik dan m sisi. Matriks ketetanggaan dari graf G adalah matriks đ´đĂđ = đ´(đş)
dengan entri
đđđ = {
1, jika (đŁđ , đŁđ ) â đ¸(đş)
0, jika (đŁđ , đŁđ ) â đ¸(đş).
Matriks insidensi N dari graf berarah G adalah matriks berukuran n Ă m dengan
entri :
+1,
N= [nij ] = {â1,
0,
jika titik đŁđ merupakan titik awal dari sisi đđ = (đŁđ , đŁđ )
jika titik đŁđ merupakan titik akhir dari sisi đđ = (đŁđ , đŁđ )
lainnya.
Matriks Laplacian dari graf berarah atau tak berarah G adalah â(G) =
D(G) â A(G) dengan D(G) matriks diagonal dari graf G dan A(G) matriks
ketetanggaan dari graf G. Matriks DnĂ n = [đđđ ] merupakan matriks diagonal dari
graf G dengan entri
đđđ (đŁđ ),
đđđ = {
0,
jika đŁđ = đŁđ
jika đŁđ â đŁđ
Dengan demikian, entri matriks Laplacian â(G) adalah
âđĂđ
â1,
= [đđđ ] = {đđđ(đŁđ ),
0,
jika (đŁđ , đŁđ ) â đ¸(đş)
jika đŁđ = đŁđ
jika (đŁđ , đŁđ ) â đ¸(đş).
Karakteristik dari matriks Laplacian untuk sembarang graf G diberikan
oleh proposisi berikut;
Proposisi 1 [9]
Karakteristik matriks Laplacian dari graf G, â(đş) adalah sebagai berikut :
1.
2.
Jumlah entri setiap baris pada matriks Laplacian â(G) sama dengan nol.
Matriks â(G) adalah matriks berukuran nĂn dimana n menyatakan
banyaknya titik dari graf G.
3.
Misalkan N merupakan matriks insidensi dari graf berarah G dengan n
titik. Maka matriks Laplacian â(đş) dapat dinyatakan dengan â = NNt
Karakteristik Nilai Eigen
35
4.
Perubahan pelabelan sisi pada graf G tidak berpengaruh pada matriks
5.
Laplacian â(G).
6.
3.
Matriks â(G) merupakan matriks singular.
Matriks Laplacian â(G) merupakan matriks simetris dan semidefinit
positif.
Nilai Eigen Matriks Laplacian
Misalkan G adalah graf sederhana dengan n titik dan matriks
ketetanggaan dari G adalah A(G). Polinomial karakteristik dari graf G dinotasikan
dengan đ(đş; ďŹ), dinyatakan sebagai
đ(đş; ďŹ) = det(ďŹđźđ ď A(G))
= ďŹđ + đś1 ďŹđâ1 + đś2 ďŹđâ2 + ⯠+ đśđ
dengan ďŹ adalah nilai eigen dari matriks ketetanggaan A(G). Karena A(G) = [đđđ ]
= [đđđ ] , sehingga matriks A(G) adalah matriks riil dan simetri. Akibatnya nilai
eigen ďŹ adalah bilangan riil, dan multiplisitas dari ďŹ adalah dimensi dari ruang
eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen ďŹ.
Karakteristik dari suatu graf G reguler berderajat r, diberikan dalam
proposisi 2 berikut;
Proposisi 2[2]
Misalkan G adalah graf r-reguler dengan n titik. Maka:
i.
r adalah nilai eigen dari G;
ii.
Jika G adalah graf terhubung, maka multiplisitas r adalah 1;
iii.
Untuk setiap nilai eigen ďŹ dari G, berlaku |đ| ⤠đ.
Selanjutnya, karakteristik dari nilai eigen matriks Laplacian
diberikan dalam proposisi 3 berikut;
â(G)
Proposisi 3
Jika ď0 ďŁ ď1 ďŁ
i.
ii.
ďŁ ďnď1 merupakan nilai eigen dari matriks Laplacian â(G), maka
ď0 = 0, dengan vektor eigen [1,1,âŚ,1];
Jika G graf terhubung, ď1 > 0;
S. Rahmah Nurshiami, dkk.
36
Jika G graf regular berderajat k, maka ď p ď˝ k ď ďŹ p , dengan p = 0, 1,2,âŚ,n-
iii.
1 dengan ď p adalah nilai eigen dari matriks ketetanggaan graf G dengan
ďŹ0 ďł ďŹ1 ďł ... ďł ďŹnď1 .
Bukti :
i. Misalkan âđĂđ = [đđđ ] adalah matriks Laplacian dari G. Karena đ0 nilai
eigen dari matriks Laplacian â(đş) maka, âx = đđ x,
[đĽ1
đĽ2
âŚ
dengan đđ .
đĽđ ]đĄ = [1 1
⌠1]đĄ vektor
eigen
yang
dengan đĽ =
bersesuaian
Perhatikan bahwa
âş
ďŠ l11 l12
ďŞl
ďŞ 21 l22
ďŞ
ďŞ
ďŤln1 ln 2
âx = đđ x
l1n ďš ďŠ1ďš
ďŠ1ďš
ďş
ďŞ
ďş
ďŞ ďş
l2 n ďş 1
ďŞ ďş = ď ďŞ1ďş
0
ďşďŞ ďş
ďŞ ďş
ďşďŞ ďş
ďŞ ďş
lnn ďť ďŤ1ďť
ďŤ1ďť
ďŠ n
ďš
ďŞ ďĽ l1 j ďş
ďŞ j ď˝1 ďş
ďŠ ď0 ďš
ďŞ n
ďş
ďŞď ďş
ďŞ ďĽ l2 j ďş
ďŞ 0ďş
ďŞ j ď˝1 ďş = ďŞ ďş .
ďŞ
ďş
ďŞ ďş
ďŞ n ďş
ďŤ ď0 ďť
ďŞ
ďş
ďŞ ďĽ lnj ďş
ďŤ j ď˝1 ďť
âş
Karena jumlah entri dari setiap baris pada matriks Laplacian sama dengan
n
nol, maka
ďĽl
j ď˝1
ij
= 0, dengan i = 1, 2, ..., n. Akibatnya ď0 = 0.
ii. Misalkan ď p dengan
p = 0, 1, âŚ, n-1 merupakan nilai eigen dari â.
Karena matriks Laplacian â(G) merupakan matriks semidefinit positif,
maka ď p ďł 0 . Dari (i) vektor eigen yang bersesuaian dengan ď0 = 0 adalah
vektor đĽ = [1
1 ⌠1]đĄ . Sehingga ruang eigen dari â yang bersesuaian
Karakteristik Nilai Eigen
37
dengan nilai eigen ď0 = 0 dapat ditulis
={đź[1
1 ⌠1]đĄ |đź â 0, đź â đ }.
Selanjutnya dapat dibuktikan bahwa
đ đ¸(0)
ďťď¨1,1,...,1ďŠ ď˝
t
basis dari đ đ¸(0). Jadi,
multiplisitas dari nilai eigen ď0 ď˝ 0 adalah 1. Karena ď p ďł 0 untuk p =
0,1,âŚ,n-1 dan ď0 = 0 maka ď1 ďž 0.
iii. Misalkan đ merupakan nilai eigen dari matriks ketetanggaan A(G), sehingga
Ax p ď˝ ďŹ p x p dengan đą đ â âđ , đą đ â 0, đ = 0,1,2, ⌠. , đ â 1.
Karena đ merupakan nilai eigen dari matriks Laplacian â(đş) sehingga â
x p ď˝ ď px p
dimana đą đ adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen ke p dan
đą đ â 0.
Karena đˇ(G) merupakan matriks diagonal dari graf G reguler berderajat k
sehingga menurut proposisi 1(i), nilai eigennya adalah k. Akibatnya
Dx p ď˝ kx p .
Dari definisi matriks Laplacian diperoleh âđą đ = Dđą đ â Ađą đ untuk suatu
đą đ â âđ . Akibatnya
Sehingga
đđ đą đ = đđą đ â Îťđ đą đ.
đĽ1
đĽ1
đĽ1
đĽ2
đĽ2
đĽ2
đđ [ ⎠] = đ [ ⎠] â Îťđ [ ⎠]
đĽđ
đĽđ
đĽđ
âş
âş
âş
Sehingga đđ = đ â Îťđ
đđ đĽ1
đđĽ1 â đđ đĽ1
đđ đĽ2
đđĽ1 â đđ đĽ2
[ ⎠] =
âŽ
đđ đĽđ
đđĽ
â
[ 1 đđ đĽđ ]
đđ đĽ1
đĽ1
đđ đĽ2
đĽ2
[ ⎠] = (đ â đđ ) [ ⎠]
đĽđ
đđ đĽđ
đđ đą đ = (đ â đđ )đą đ.
, đ = 0,1,2, ⌠. , đ â 1.
S. Rahmah Nurshiami, dkk.
4.
38
Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan mengenai matriks Laplacian, dapat disimpulkan
bahwa jika ď0 ďŁ ď1 ďŁ
ďŁ ďnď1 merupakan nilai eigen dari matriks Laplacian
â(G), maka nilai eigen yang pertama adalah nol dengan multiplisitasnya 1. Lebih
dari itu, jika G graf terhubung maka nilai eigen kedua lebih besar dari 0.
Sementara jika G graf reguler berderajat k, maka jumlah dari nilai eigen matriks
Laplacian dan nilai eigen matriks ketetanggaan sama dengan k.
DAFTAR PUSTAKA
[1]
Anton, Howard. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linear. Edisi 7, Jilid 1.
Interaksara,
[2] Biggs, Norman. 1993. Algebraic Graph Theory. Second Edition. Cambridge
University Press, New York.
[3] Fiedler, Miroslav. 1973. Algebraic Connectivity of Graphs. Czechoslovak
Mathematical Journal vol. 23. Praha.
[4] Jacob, Bill. 1990. Linear Algebra. W. H. Freeman and Company, New
York.
[5]
Juhasz, F. 1982. On The Spectrum of a Random
Colloq.Math.Soc.J.Bolyai 25. North-Holland,Amsterdam.
Graph.
[6] Kolman, Bernard. 2004. Elemetary Linear Algebra. 8th Edition. Pearson
Education, New Jersey.
[7] Leon, Steven. 2001. Aljabar Linier dan Aplikasinya Edisi ke-5. Erlangga,
Jakarta.
[8] Wilson, Robin J., and John J. Watkins. 1990. Graph An Introductory
Approach: A First Course in Discrete Mathematics. John Willey & Sons,
Inc, New York.
[9]
Yacoub, Wafa.2004. A Thesis : Eigenvalues of Graphs :Algebraic
Connectivity and Acyclic Matrices. The faculty of The Department of
Mathematics. San Jose State University, San Jose States.
KARAKTERISTIK NILAI EIGEN DARI MATRIKS LAPLACIAN
Siti Rahmah Nurshiami, Mutia Nur Estri, Noor Sofiyati
Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknik
Universitas Jenderal soedirman, Purwokerto
E-mail : nurshiami@yahoo.co.id
ABSTRAK. Matriks Laplacian dari suatu graf G adalah matriks diagonal
dikurangi dengan matriks ketetanggaan. Paper ini membahas karakteristik nilai
eigen dari matriks Laplacian dan hubungan nilai eigen matriks Laplacian dengan
nilai eigen matriks ketetanggaan dari graf reguler.
Kata kunci : Matriks Laplacian, Nilai Eigen, Nilai Eigen Laplacian, Graf
Reguler
ABSTRACT. The Laplacian matrix of a graph G is a diagonal matrix minus the
neighborhood matrix. This paper discusses about the characteristics of the
Laplacian matrix eigenvalues and the relationships of Laplacian matrix
eigenvalues with neighborhood matrix eigenvalues of regular graphs.
Keywords: Laplacian matrix, Eigen Values, Eigen Value Laplacian, Regular
Graph
1.
Pendahuluan
Sebuah graf dapat direpresentasikan ke dalam matriks Laplacian. Jika
D(G) merupakan matriks diagonal dengan entri pada diagonal utamanya
merupakan derajat dari titik vi pada graf G, dan A(G) merupakan matriks
ketetanggaan dari graf G, maka matriks Laplacian đż(G) merupakan
bujur sangkar
yang
diperoleh
dari
matriks
matriks diagonal dikurangi matriks
ketetanggaan. Nilai eigen dari matriks Laplacian dapat diperoleh dengan
menggunakan polinomial karakteristik. Pada tahun 1973, Fiedler mempelajari
salah satu karakteristik nilai eigen dari matriks Laplacian, yaitu nilai eigen
terkecil kedua. Sementara itu, Juhasz(1982) mempelajari nilai eigen dari graf
reguler beserta multiplisitasnya, yang dikenal dengan spektrum graf. Paper ini
mengkaji karakteristik lain nilai eigen dari matriks Laplacian.
S. Rahmah Nurshiami, dkk.
2.
34
Matriks Laplacian
Suatu graf dikatakan reguler berderajat r (r-reguler) jika untuk setiap
titiknya mempunyai derajat r. Misalkan G = (V, E) adalah graf sederhana dengan
n titik dan m sisi. Matriks ketetanggaan dari graf G adalah matriks đ´đĂđ = đ´(đş)
dengan entri
đđđ = {
1, jika (đŁđ , đŁđ ) â đ¸(đş)
0, jika (đŁđ , đŁđ ) â đ¸(đş).
Matriks insidensi N dari graf berarah G adalah matriks berukuran n Ă m dengan
entri :
+1,
N= [nij ] = {â1,
0,
jika titik đŁđ merupakan titik awal dari sisi đđ = (đŁđ , đŁđ )
jika titik đŁđ merupakan titik akhir dari sisi đđ = (đŁđ , đŁđ )
lainnya.
Matriks Laplacian dari graf berarah atau tak berarah G adalah â(G) =
D(G) â A(G) dengan D(G) matriks diagonal dari graf G dan A(G) matriks
ketetanggaan dari graf G. Matriks DnĂ n = [đđđ ] merupakan matriks diagonal dari
graf G dengan entri
đđđ (đŁđ ),
đđđ = {
0,
jika đŁđ = đŁđ
jika đŁđ â đŁđ
Dengan demikian, entri matriks Laplacian â(G) adalah
âđĂđ
â1,
= [đđđ ] = {đđđ(đŁđ ),
0,
jika (đŁđ , đŁđ ) â đ¸(đş)
jika đŁđ = đŁđ
jika (đŁđ , đŁđ ) â đ¸(đş).
Karakteristik dari matriks Laplacian untuk sembarang graf G diberikan
oleh proposisi berikut;
Proposisi 1 [9]
Karakteristik matriks Laplacian dari graf G, â(đş) adalah sebagai berikut :
1.
2.
Jumlah entri setiap baris pada matriks Laplacian â(G) sama dengan nol.
Matriks â(G) adalah matriks berukuran nĂn dimana n menyatakan
banyaknya titik dari graf G.
3.
Misalkan N merupakan matriks insidensi dari graf berarah G dengan n
titik. Maka matriks Laplacian â(đş) dapat dinyatakan dengan â = NNt
Karakteristik Nilai Eigen
35
4.
Perubahan pelabelan sisi pada graf G tidak berpengaruh pada matriks
5.
Laplacian â(G).
6.
3.
Matriks â(G) merupakan matriks singular.
Matriks Laplacian â(G) merupakan matriks simetris dan semidefinit
positif.
Nilai Eigen Matriks Laplacian
Misalkan G adalah graf sederhana dengan n titik dan matriks
ketetanggaan dari G adalah A(G). Polinomial karakteristik dari graf G dinotasikan
dengan đ(đş; ďŹ), dinyatakan sebagai
đ(đş; ďŹ) = det(ďŹđźđ ď A(G))
= ďŹđ + đś1 ďŹđâ1 + đś2 ďŹđâ2 + ⯠+ đśđ
dengan ďŹ adalah nilai eigen dari matriks ketetanggaan A(G). Karena A(G) = [đđđ ]
= [đđđ ] , sehingga matriks A(G) adalah matriks riil dan simetri. Akibatnya nilai
eigen ďŹ adalah bilangan riil, dan multiplisitas dari ďŹ adalah dimensi dari ruang
eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen ďŹ.
Karakteristik dari suatu graf G reguler berderajat r, diberikan dalam
proposisi 2 berikut;
Proposisi 2[2]
Misalkan G adalah graf r-reguler dengan n titik. Maka:
i.
r adalah nilai eigen dari G;
ii.
Jika G adalah graf terhubung, maka multiplisitas r adalah 1;
iii.
Untuk setiap nilai eigen ďŹ dari G, berlaku |đ| ⤠đ.
Selanjutnya, karakteristik dari nilai eigen matriks Laplacian
diberikan dalam proposisi 3 berikut;
â(G)
Proposisi 3
Jika ď0 ďŁ ď1 ďŁ
i.
ii.
ďŁ ďnď1 merupakan nilai eigen dari matriks Laplacian â(G), maka
ď0 = 0, dengan vektor eigen [1,1,âŚ,1];
Jika G graf terhubung, ď1 > 0;
S. Rahmah Nurshiami, dkk.
36
Jika G graf regular berderajat k, maka ď p ď˝ k ď ďŹ p , dengan p = 0, 1,2,âŚ,n-
iii.
1 dengan ď p adalah nilai eigen dari matriks ketetanggaan graf G dengan
ďŹ0 ďł ďŹ1 ďł ... ďł ďŹnď1 .
Bukti :
i. Misalkan âđĂđ = [đđđ ] adalah matriks Laplacian dari G. Karena đ0 nilai
eigen dari matriks Laplacian â(đş) maka, âx = đđ x,
[đĽ1
đĽ2
âŚ
dengan đđ .
đĽđ ]đĄ = [1 1
⌠1]đĄ vektor
eigen
yang
dengan đĽ =
bersesuaian
Perhatikan bahwa
âş
ďŠ l11 l12
ďŞl
ďŞ 21 l22
ďŞ
ďŞ
ďŤln1 ln 2
âx = đđ x
l1n ďš ďŠ1ďš
ďŠ1ďš
ďş
ďŞ
ďş
ďŞ ďş
l2 n ďş 1
ďŞ ďş = ď ďŞ1ďş
0
ďşďŞ ďş
ďŞ ďş
ďşďŞ ďş
ďŞ ďş
lnn ďť ďŤ1ďť
ďŤ1ďť
ďŠ n
ďš
ďŞ ďĽ l1 j ďş
ďŞ j ď˝1 ďş
ďŠ ď0 ďš
ďŞ n
ďş
ďŞď ďş
ďŞ ďĽ l2 j ďş
ďŞ 0ďş
ďŞ j ď˝1 ďş = ďŞ ďş .
ďŞ
ďş
ďŞ ďş
ďŞ n ďş
ďŤ ď0 ďť
ďŞ
ďş
ďŞ ďĽ lnj ďş
ďŤ j ď˝1 ďť
âş
Karena jumlah entri dari setiap baris pada matriks Laplacian sama dengan
n
nol, maka
ďĽl
j ď˝1
ij
= 0, dengan i = 1, 2, ..., n. Akibatnya ď0 = 0.
ii. Misalkan ď p dengan
p = 0, 1, âŚ, n-1 merupakan nilai eigen dari â.
Karena matriks Laplacian â(G) merupakan matriks semidefinit positif,
maka ď p ďł 0 . Dari (i) vektor eigen yang bersesuaian dengan ď0 = 0 adalah
vektor đĽ = [1
1 ⌠1]đĄ . Sehingga ruang eigen dari â yang bersesuaian
Karakteristik Nilai Eigen
37
dengan nilai eigen ď0 = 0 dapat ditulis
={đź[1
1 ⌠1]đĄ |đź â 0, đź â đ }.
Selanjutnya dapat dibuktikan bahwa
đ đ¸(0)
ďťď¨1,1,...,1ďŠ ď˝
t
basis dari đ đ¸(0). Jadi,
multiplisitas dari nilai eigen ď0 ď˝ 0 adalah 1. Karena ď p ďł 0 untuk p =
0,1,âŚ,n-1 dan ď0 = 0 maka ď1 ďž 0.
iii. Misalkan đ merupakan nilai eigen dari matriks ketetanggaan A(G), sehingga
Ax p ď˝ ďŹ p x p dengan đą đ â âđ , đą đ â 0, đ = 0,1,2, ⌠. , đ â 1.
Karena đ merupakan nilai eigen dari matriks Laplacian â(đş) sehingga â
x p ď˝ ď px p
dimana đą đ adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen ke p dan
đą đ â 0.
Karena đˇ(G) merupakan matriks diagonal dari graf G reguler berderajat k
sehingga menurut proposisi 1(i), nilai eigennya adalah k. Akibatnya
Dx p ď˝ kx p .
Dari definisi matriks Laplacian diperoleh âđą đ = Dđą đ â Ađą đ untuk suatu
đą đ â âđ . Akibatnya
Sehingga
đđ đą đ = đđą đ â Îťđ đą đ.
đĽ1
đĽ1
đĽ1
đĽ2
đĽ2
đĽ2
đđ [ ⎠] = đ [ ⎠] â Îťđ [ ⎠]
đĽđ
đĽđ
đĽđ
âş
âş
âş
Sehingga đđ = đ â Îťđ
đđ đĽ1
đđĽ1 â đđ đĽ1
đđ đĽ2
đđĽ1 â đđ đĽ2
[ ⎠] =
âŽ
đđ đĽđ
đđĽ
â
[ 1 đđ đĽđ ]
đđ đĽ1
đĽ1
đđ đĽ2
đĽ2
[ ⎠] = (đ â đđ ) [ ⎠]
đĽđ
đđ đĽđ
đđ đą đ = (đ â đđ )đą đ.
, đ = 0,1,2, ⌠. , đ â 1.
S. Rahmah Nurshiami, dkk.
4.
38
Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan mengenai matriks Laplacian, dapat disimpulkan
bahwa jika ď0 ďŁ ď1 ďŁ
ďŁ ďnď1 merupakan nilai eigen dari matriks Laplacian
â(G), maka nilai eigen yang pertama adalah nol dengan multiplisitasnya 1. Lebih
dari itu, jika G graf terhubung maka nilai eigen kedua lebih besar dari 0.
Sementara jika G graf reguler berderajat k, maka jumlah dari nilai eigen matriks
Laplacian dan nilai eigen matriks ketetanggaan sama dengan k.
DAFTAR PUSTAKA
[1]
Anton, Howard. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linear. Edisi 7, Jilid 1.
Interaksara,
[2] Biggs, Norman. 1993. Algebraic Graph Theory. Second Edition. Cambridge
University Press, New York.
[3] Fiedler, Miroslav. 1973. Algebraic Connectivity of Graphs. Czechoslovak
Mathematical Journal vol. 23. Praha.
[4] Jacob, Bill. 1990. Linear Algebra. W. H. Freeman and Company, New
York.
[5]
Juhasz, F. 1982. On The Spectrum of a Random
Colloq.Math.Soc.J.Bolyai 25. North-Holland,Amsterdam.
Graph.
[6] Kolman, Bernard. 2004. Elemetary Linear Algebra. 8th Edition. Pearson
Education, New Jersey.
[7] Leon, Steven. 2001. Aljabar Linier dan Aplikasinya Edisi ke-5. Erlangga,
Jakarta.
[8] Wilson, Robin J., and John J. Watkins. 1990. Graph An Introductory
Approach: A First Course in Discrete Mathematics. John Willey & Sons,
Inc, New York.
[9]
Yacoub, Wafa.2004. A Thesis : Eigenvalues of Graphs :Algebraic
Connectivity and Acyclic Matrices. The faculty of The Department of
Mathematics. San Jose State University, San Jose States.