METODE SECANT-MIDPOINT NEWTON UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Supriadi Putra sputraunri.ac.id Laboratorium Komputasi Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293) ABSTRAK - MET

  

METODE SECANT-MIDPOINT NEWTON

UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR

Supriadi Putra

  Laboratorium Komputasi Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau

  Kampus Binawidya Pekanbaru (28293)

  

ABSTRAK

Pada artikel ini akan dibahas metode baru yang dikembangkan dari kombinasi metode Secant dan metode

Midpoint Newton untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Penerapan metode Midpoint Newton yang

memiliki orde kekonvergenan tiga kedalam metode Secant yang memiliki orde kekonvergenan superlinear

akan menghasilkan metode dengan orde kekonvergenan empat. Uji komputasi akan diberikan untuk

menunjukkan bahwa metode baru ini cukup sebanding dengan metode Secant-Trapesium Newton yang

diusulkan oleh Jain [2] terhadap beberapa contoh persamaan nonlinear.

  Kata Kunci: Metode Newton, Metode Midpoint Newton, Metode Secant, Metode Secant-Midpoint Newton, Orde Kekonvergenan.

  

ABSTRACT

This article discuss a new method that was developed from a combination of the Secant method and

Midpoint Newton method to solve nonlinear equations. Application of Midpoint Newton method of the

order of convergence three into the Secant method has order of convergence superlinear will generate

method with order of convergence four. Numerical computation will be given to show that the new method

is quite comparable with Secant-Trapezoid Newton method that proposed by Jain [2] for some examples of

nonlinear equations.

  Key Words: Newton’s method, Midpoint Newton method, Secant’s method, Secant-Midpoint Newton method, Order of Convergence.

  PENDAHULUAN dan metode Secant

   x  x  f ( x ). (3) _{n 1 n n}

  Menentukan akar dari suatu persamaan x x _{n n}  ₁

  

  nonlinear,

  f ( x )  f ( x ) _{n n 1}  f ( x )  , (1)

  Dalam beberapa tahun terakhir pengembangan metode iterasi untuk adalah masalah yang sering muncul dari menentukan akar persamaan nonlinear telah penerapan matematika dalam menyelesaikan dilakukan dengan cara memodifikasi metode masalah teknik dan sains. Dalam banyak kasus, yang ada ataupun mengkombinasikan menemukan akar analitik dari suatu persamaan pemakaiannya secara bersama-sama. Seperti nonlinear terkadang tidak memungkinkan. yang dilakukan oleh Weerakoon dan Fernando

  Untuk alasan itulah metode numerik banyak [6] dengan menggunakan teorema Newton dikembangkan. _x

  Dua metode numerik dasar yang sering

  f ( x )  f ( x )  f ' ( t ) dt (4) _n  x _n

  digunakan adalah metode Newton

  f ( x ) dan mengaproksimasi nilai integral dengan _n x x , n ,

  

  1 , 2 ,  (2) _{n 1 n}   

  aturan Trapesium, yaitu

  f ' ( x ) _n

    ) ( ' ) ( '

  2 ) ( ' _n ^{n x} _x x f x f x x dt t f _n  

        

  

  (5) Apabila persamaan (5) ini disubstitusikan ke persamaan (4) akan diperoleh formula iterasi yang dikenal dengan nama metode Trapesium Newton

  Dengan menggunakan ide Jain [2] ini, penulis akan mengkombinasikan pemakaian metode Secant dan Midpoint Newton.

METODOLOGI PENELITIAN

  2 _{* n n n}

  Apabila persamaan error ini dapat ditentukan untuk sembarang metode iterasi, maka nilai p disebut sebagai orde kekonvergenan.

  , ) ( ' ) ( '

  Penelitian ini akan dilakukan melalui kajian pustaka terhadap beberapa metode iterasi untuk menyelesaikan persamaan nonlinear, diantaranya [1-6]. Selanjutnya metode yang diusulkan akan formulasikan. Untuk meyakinkan metode ini dapat digunakan, maka akan dilakukan kajian teoritis untuk menunjukkan orde kekonvergenannya.

  Untuk mendukung hasil yang diperoleh akan dilakukan uji komputasi dengan metode yang sebanding yang dalam hal ini digunakan metode yang diusulkan oleh Jain [2] terhadap beberapa contoh persamaan nonlinear. Berikut adalah beberapa definisi yang akan digunakan.

  Definisi 1

  Misalkan ) (x f adalah fungsi real dengan akar sederhana

  

  dan

  } { _n x

  adalah barisan bilangan real yang konvergen ke .  Apabila

     _{n n}

  x e

  adalah error pada iterasi ke-n, maka relasi

    . ¹ ₁  

     ^p _n ^p _{n n} Ce e e (11) disebut persamaan error.

  Definisi 2

  x dihitung dengan menggunakan

  Misalkan

  , , _{1 n n} x x 

  dan _{1  n}

  x

  adalah tiga buah nilai iterasi berturut-turut yang dekat dengan  maka orde kekonvergenan secara komputasi

  (COC) dapat diaproksimasi dengan

         

  . / ln

  / ln _{1 1}    

     

  

    _{n n} ^{n n} x x x x

  COC (12) HASIL DAN PEMBAHASAN Metode Secant – Midpoint Newton

  Dengan menggunakan ide Jain [2] di atas, apabila penggunaan metode Trapesium Newton

  metode Newton. Metode ini adalah varian baru dan telah ditunjukkan memiliki orde kekonvergenan empat.

  (10) dengan

• ^* _n

  x f x f x f x x

     

    

  

  (6) dimana

• ^* _n

  x dihitung dengan menggunakan

  metode Newton. Metode Trapesium Newton ini telah ditunjukkan Weerakoon dan Fernando [6] memiliki orde kekonvergenan tiga.

  Apabila nilai integral diaproksimasi dengan metode Midpoint (titik tengah), yaitu

       

      

  

  2 ' ) ( ' ⁿ _n ^x _x x x f x x dt t f _n

  (7) Ozban [5] berhasil memperoleh formula yang dikenal dengan nama metode Midpoint Newton dengan bentuk iterasi

  ,

  2 '

  ) ( _{* 1}    

    

    

   _{n n} ^{n n n} x x f x f x x (8)

  dimana ^* _n

  x dihitung dengan menggunakan

  metode Newton. Metode Midpoint Newton ini telah ditunjukkan memiliki orde kekonvergenan tiga.

  Perkembangan selanjutnya Jain [2] mengkombinasikan pengunaan metode Secant (3) dan Trapesium Newton (6) ini dengan bentuk

  ), ( ) ( ) ( ^{1 n} _{n n} ^{n n n n}

  x f x f x f x x x x

   

   

  

  (9) dimana ,

  ) ( ' ) ( ' ) (

  ) (

  x f x f x f x x

  2 _{* n n n n n}

  (6) diganti dengan metode Midpoint Newton

  f ' ' (  ) ₂ f ( x ) f (  ) f ' (  ) e e _{n n n}   

  (8), akan memberikan bentuk iterasi baru yaitu 2 !

  f ' ' ' (  ) x x ^{3 4} _{n n} 

  ( )  e   e

  x  x  f ( x ), (13) n n _{n 1 n n} 

  3 !

  f ( x )  f ( x ) _{n n}

  Karena (  )  dan f ' (  )  maka setelah

  f

  dimana disederhanakan persamaan terakhir menjadi

  f ( x ) _n x  x  , n  , _{n n} 1 , 2 ,  (14) ^{2 3}

   ^*

  f ( x )  e f ' ( )

  1  C e  C e   ( e )  

  x x _{n n}

    

  f '

   

  2 (16)

    _* Selanjutnya dengan menggunakan (15) dengan x dihitung dengan menggunakan _n diperoleh metode Newton. Metode ini diperkenalkan ₂ dengan nama metode Secant-Midpoint Newton. f ( x )  f (   e )  e f ' (  )   ( e ) _{n n n n} atau _{3 6} Analisa Kekonvergenan

  ( ) ' (  ) ( ). (17)

  f x  Ae f   e _{n n n} Teorema 1

  Misalkan   D adalah akar sederhana dari Sehingga dengan menggunakan persamaan (16) fungsi terdiferensialkan secukupnya dan (17) diperoleh

  f D  R  R untuk interval buka D dengan

  :

  f ( x )  f ( x ) _{n n} ' (  )  . Jika cukup dekat ke maka f x  _{3 6}

  ' (  ) ( ) metode Secant-Midpoint Newton yang  Ae f   e

   n n  _{2 3}

  diberikan oleh persamaan (13) dan (14)

  e f ' (  )

  1 C e C e ( e )     

   n  ^{2 n 3 n n  } memiliki orde kekonvergenan empat. _{2 3} e f ' (  ) _n

• Perhatikan bahwa

  1 C e ( A C ) e ( e ) _{2 n 3 n n}        

  Bukti: _{1 2 3} 

  1  C e  ( A  C ) e   ( e ) Misalkan e dan e masing-masing adalah error  _{n n} ^{2 n 3 n n } untuk x dan x , yaitu x   e dan _{n n n n}  ^{2 3}

       

  1 C e ( A C ) e ( e ) _{2 n 3 n n}   x e . _{n n}    _{2 3 2 3}

        

  C e ( A C ) e ( e ) ( e )  ^{2 n 3 n n  n}

  Telah ditujukkan oleh Ozban [5] error metode Midpoint Newton (8) diberikan oleh ^{2 3 2 2 3}

   1  C e  ( A  C ) e   ( e )  C e   ( e ) _{2 1 3 4 3 4}  ^{2 n 3 n n } _{2 2 3} ^{2 n n} . e  C  C e   ( e )  Ae   ( e ).  _{n  2 4 3  n n n n} 1  C e  ( A  C  C ) e   ( e ) _{2 n 3 2 n n}

  (15) dimana Sehingga diperoleh

  f f 1 ' ' (  ) 1 ' ' ' (  )

  1

  1 C  , C  _{2 3}  

  f f 2 ! ' (  ) 3 ! ' (  ) f ( x ) f ( x ) e f ' (  ) _{n n n}  ₂ C _{3 2 2 3} A  C 

  (18) dan . _{2       }

  1 C e ( A C C ) e ( e )

   ^{2 n 3 2 n n }

  4 Polinomial Taylor dari f ( x ) disekitar x   _{n n}

  Kita juga mempunyai, dapat dituliskan dalam bentuk

  x x e e e e . _{n n n n n n}              atau dengan menggunakan persamaan (15)

  Uji Komputasi

  menjadi _{3 4} ada bagian ini, akan dilakukan uji komputasi untuk membandingkan banyak iterasi (n),

  x  x  A e  e   ( e ). _{n n n n n}

  (19) banyak fungsi yang dievaluasi pada setiap Selanjutnya dengan menggunakan persamaan iterasinya (NOFE) dan Orde kekonvergenan (17)-(19) diperoleh komputasi (COC) untuk dua metode dengan orde kekonvergenan empat yang dibandingkan :

  x  x _{n n}

  metode Secant-Trapesium Newton (Sec-

  f ( x ) _{n n n}  _{3 4 3 6} TrapNewt) dan metode Secant-Midpoint Newton (Sec-MidNewt).

         Ae e ( e ) Ae f ' (  ) ( e )

   n n n   n n  

1 Persamaan nonlinear yang digunakan adalah

  _{2 2 3}  1  C e  ( A  C  C ) e   ( e )

   ^{2 n 3 2 n n }

  seperti yang juga digunakan oleh Weerakon dan

  e f ' (  ) _{n 3 4 2 6} Fernando [6], yaitu :  Ae  e   ( e )  e f ' (  ) Ae   ( e )

   n n n  n  n n  _{3 2}

  1. f ( x )  x  ₁ 4 x  10 , 

  1 _{2 2 3}  1  C e  ( A  C  C ) e   ( e ) dengan  1.36523001 3414097

   ² _{n n n} ^{3 2  } e f ' (  ) _{n 2 2 3 2 5 6}

  2. f ( x )  sin ( x )  x  ₂ 1 ,  Ae  A e   ( e )

   n n n 

  1.40449164 8215341 _{2 2 3} dengan   _{2 x}

         1 C e ( A C C ) e ( e ) .

   ^{2 n 3 2 n n }    

  3. f ( x ) x e ₃ 3 x 2 , dengan   0.25753028 5439861 atau

   

  4. f ( x ) cos( x ) x , ₄

  x  x _{n n 3 4 5} f x Ae AC e e dengan  0.73908513 3215161 ( )     ( )  _{n n 2 n n} f x  f x

  ( ) ( ) _{n n} ³

  5. f ( x )  x (  ₅ 1 )  1 , (20) 2.00000000 0000000 dengan   ₃

  6.  x 

  f ( x ) 10 ,

  Akhirnya diperoleh ⁶ 2.15443469 0031884 dengan  

  

  e  x  _{n 1 n 1}   _x ² ₂

     

  7. f ( x ) xe sin ( x ) ₇ 3 cos( x ) 5 ,

  x  x _{n n} x f ( x ) 

     _{n n dengan  -1.2076478 27130919} 

  f ( x ) f ( x ) _{n n}  _{2 2 x cos( x ) sin( x )} ²

  8. f ( x )  x sin ( x )  e  ₈ 28 ,

  x x _{n n} 

   x    f ( x ) dengan 3.43747174 3421766

    _{n n}   ₂ f ( x )  f ( x ) _{n n x 7 30}

   x 

  9. f ( x )  e  ₇ 1 ,

  x  x _{n n} 3.00000000 0000000.

  dengan    e  f ( x ). _{n n}

  f ( x ) f ( x ) _{n n} 

  Dengan mensubstitusikan persamaan (15) Dalam melakukan komputasi, kriteria dan (20) ke dalam persamaan terakhir ini akan pemberhentian iterasi yang digunakan adalah diperoleh _{3 3 4 5} sama untuk semua metode, yaitu apabila:

  ( )

  e  Ae  Ae  AC e   e _{n 1 n  n 2 n n }  x  toleransi ,

     nilai mutlak errror n atau

  ( ) ,

  f x  toleransi _{4 5}  nilai mutlak fungsi n  iterasi maksimum telah terpenuhi. e AC e ( e ). _{n 1}    _{2 n n}

  

  (21) Dalam hal ini toleransi yang digunakan adalah ₁₅

  

  sebesar 1  10 dan jumlah iterasi maksimum Berdasarkan Definisi 2, maka dapat kita adalah sebanyak 100 iterasi. katakan bahwa metode Secant-Midpoint

  Hasil komputasi dari metode yang Newton memiliki orde kekonvergenan dibandingkan disajikan dalam Tabel 1 berikut. empat □

  

Tabel 1. Perbandingan Hasil Uji Komputasi untuk Beberapa Metode Iterasi

Persamaan (n, NOFE, COC) Akar ( ) x

  

  nonlinear Sec-TrapNewt Sec-MidNewt

• 0.5

  8

  32

  4.00

  7

  28

  4.00 

  f ( x ) ₁

  1.365230013414097

  1.0

  3

  12

  4.00

  3

  12

  4.00

  1.0

  3

  12

  3.99

  3

  12

  3.99

  f ( x )  ₂

  1.404491648215341

  3.0

  3

  12

  4.00

  3

  12

  3.97

  2.0

  3

  12

  4.00

  3

  12

  4.00

  ( )  f x ₃

  0.257530285439861

  3.0

  3

  12

  3.92

  3

  12

  4.09

  1.0

  2

  8

  3.80

  2

  8

  3.95

   f ( x ) ₄

  0.739085133215161

• 0.3

  3

  12

  3.98

  3

  12

  3.98

  3.5

  4

  16

  4.00

  4

  16

  4.00

  f ( x )  ₅

  2.000000000000000

  2.5

  3

  12

  4.00

  3

  12

  4.00

  1.5

  3

  12

  3.99

  3

  12

  4.00

  f ( x )  ₆

  2.154434690031884

  3.0

  3

  12

  4.00

  3

  12

  4.00

• 2.0

  4

  16

  3.99

  4

  16

  4.00

   f ( x ) ₇

• 1.207647827130919 2.0 div

  17

  68

  4.00

  3.5

  3

  12

  4.00

  3

  12

  4.00

  f ( x )  ₈

  3.437471743421766

  5.0

  6

  24

  4.00

  6

  24

  4.00

  3.5

  6

  24

  3.98

  6

  24

  4.00

  f ( x )  ₉

  3.000000000000000

  3.25

  5

  20

  4.00

  4

  12

  3.99 Pada Tabel 1 di atas, untuk setiap metode yang

  x 

  2 . metode Secant-Trapesium Newton dibandingkan dihitung n untuk banyak iterasi, gagal tetapi Secant-Midpoint Newton sukses

  NOFE untuk banyak fungsi yang dievaluasi

  meskipun dengan iterasi yang cukup lama, yaitu pada setiap iterasinya, dan COC untuk orde 17 iterasi. kekonvergenan komputasi. Div menunjukkan bahwa metode divergen atau tidak menemukan

DAFTAR PUSTAKA

  akar. Secara umum hasil komputasi menunjukkan kedua metode memilki orde [1] Atkinson. K.E. (1989), An Introduction to kekonvergenan empat. Dilihat dari banyak

  Numerical Analysis , second ed., John Wiley

  iterasi dan NOFE, metode Secant-Midpoint & Sons, New York. Newton yang diusulkan cukup sebanding [2]

  Jain, D. (2013). Family of Newton-like dengan metode Secant-Trapesium Newton. methods with fourt-order convergence. Int.

  of Journal Computer Mathematics , KESIMPULAN DOI:10.1080/00207160.2012.746670.

  [3] Sharma, J.R. Guha, R.K. and Sharma R,. Dalam artikel ini, kita telah mendisikusikan

  (2011). Some modified newton’s methods metode baru yang dikembangkan dari with fourth-order convergence, Advances in kombinasi metode Secant dan metode Midpoint

  applied Science Research , 2(1): 240-247.

  Newton. Metode ini memerlukan dua kali [4]

  Frontini M., Sormani E, (2003), Some evaluasi fungsi dan dua kali evaluasi turunan variants of Newton’s method with third- pertama fungsi. Melalui uji komputasi, kita juga order convergence, Appl. Math. Comput. telah menunjukkan bahwa kedua metode 140, 419 –426. memiliki orde kekonvergenan empat. Secara

  [5] Ozban, A.Y. (2004). Some New Variants of umum metode iterasi Secant-Midpoint Newton

  Newton’s Methods, App. Math. Letter 17, yang diusulkan cukup sebanding dengan 677-682. metode Secant-Trapesium Newton yang

  [6] Weerakoon, S. & Fernando, T. G. I. 2000. A sebelumnya diusulkan Jain [2]. Bahkan relatif variant of Newton’s Method With lebih baik, terlihat dari hasil komputasi dimana Accelerated Third-Order Convergence.

  

  untuk persamaan nonlinear f ( x ) dengan ₇ Applied Mathematics Letters . 13: 87 –93.