Bangun Ruang Sisi Datar
Bangun Ruang Sisi Datar
Bangun Ruang Bangun Ruang Sisi Datar
Sisi Datar Tidak Beraturan
Beraturan
Menaksir Menaksir Permukaan Permukaan
Luas Luas
Volume Volume
90 Kelas VIII SMP/MTs Semester 2
Archimedes dari Syracusa (287 SM - 212 SM). Ia belajar di kota Alexandria, Mesir. Pada waktu itu yang menjadi raja di Sirakusa adalah Hieron
II, sahabat Archimedes. Archimedes sendiri adalah seorang matematikawan, astronom, filsuf, fisikawan, dan insinyur berbangsa Yunani. Ia dibunuh oleh seorang prajurit Romawi pada penjarahan kota Syracusa, meskipun ada perintah dari jendral Romawi, Marcellus bahwa ia tak boleh dilukai. Sebagian sejarahwan matematika memandang Archimedes sebagai salah satu matematikawan terbesar dalam sejarah, bersama-sama Newton dan Gauss.
Archimedes dikenal karena ide sainsnya mengenai teori mengembang dan tenggelam. Menurut cerita, pada suatu hari ia dimintai Raja Hieron II untuk menyelidiki apakah
Archimedes
mahkota emasnya dicampuri perak atau tidak.
(287 SM - 212 SM)
Archimedes memikirkan masalah ini dengan sungguh-sungguh. Hingga ia merasa sangat letih
dan menceburkan dirinya dalam bak mandi umum penuh dengan air. Lalu, ia memperhatikan ada air yang tumpah ke lantai dan seketika itu pula ia menemukan jawabannya. Ia bangkit berdiri, dan berlari sepanjang jalan ke rumah dengan telanjang bulat. Setiba di rumah ia berteriak pada istrinya, "Eureka. Eureka." yang artinya "sudah kutemukan. sudah kutemukan."
Archimedes hanya perlu memperoleh jumlah kuantitas emas yang digunakan untuk membuat mahkota itu, lalu menentukan berat jenisnya dengan proses yang sama. Jika berat jenis mahkota itu tidak sama, berarti emas itu mengandung emas campuran. Ia berhasil menemukan cara mengetahui volume berat jenis benda tersebut dengan memasukkannya ke dalam air. Kemudian, mengukur berapa banyak air yang didorong oleh benda tersebut.Ia juga dikenal sebagai matematikawan yang sangat hebat, salah satu penemukannya adalah menemukan rumus bangun datar dan volume bangun ruang.
Beberapa hikmah yang mungkin bisa kita petik antara lain:
1. Setiap apa yang kita lakukan, buatlah menjadi sesuatu yang sangat berarti.
2. Jika kita dihadapkan dengan suatu masalah, berusahalah dengan sekuat tenaga untuk segera mencari solusinya. Salahsatu cara supaya masalah cepat selesai adalah dengan menenangkan diri dan merenungkan tentang masalah tersbut dan munculkanlah pertanyaan-pertanyaan yang sesuai dengan kontek permasalahan. Misalkan: bagaimana cara untuk mengetahuinya? Apa yang harus dilakukan? Kenapa seperti ini? Kenapa tidak begitu? Dan lain-lain.
3. Kita harus bisa menerapkan materi yang satu dengan materi yang lainnya untuk memecahkan masalah yang ada di sekitar kita.
4. Segala sesuatu yang dapat kita amati pada fenomena alam ini dan bisa mempertanyakannya serta bisa memperoleh jawabannya, maka kita akan memperoleh pengetahuan baru yang sangat bermanfaat bagi diri kita pada khususnya dan orang lain pada umumnya.
Luas Permukaan Bangun Ruang
Bisakah kalian menyusun suatu objek seperti Gambar 4.1 berikut:
Sumber: info-bangunan.blogspot.com
(a)
Sumber: matematohir.wordpress.com
Sumber: v-nix.nl
(b) (c)
Gambar 4.1 (a) Batu bata merah, (b) potongan buah-buahan dan (c) bola emas
Coba perhatikan susunan batu bata merah, potongan buah-buahan, dan bola emas pada gambar 4.1. Batu bata merah, potongan buah-buahan, dan bola emas tersebut disusun dengan rapi dan membentuk
kubus atau balok, bagian luarnya terbentuk bidang-bidang yang merupakan bidang sisi balok. Dapatkah kalian menghitung luas bidang sisinya? Ada berapa batu bata yang digunakan? Perhatikan
perpotongan antar bidang sisinya. Dapatkah kalian menjelaskan apakah yang terjadi? Coba amati, adakah tiga rusuk yang berpotongan di satu titik? Jika ada, sebutkan dan berapa banyaknya?
Untuk mengetahui lebih jauh tentang bidang sisi, rusuk dan titik sudut pada kubus dan balok lakukan kegiatan berikut.
92 Kelas VIII SMP/MTs Semester 2
Menentukan Luas Permukaan
K egiatan 4.1 Kubus dan Balok
Masalah 4.1
Perhatikan gambar berikut ini atau ambillah dua kotak kue atau kardus kecil yang berbentuk kubus dan balok (kotak kue atau kardus kecil yang diambil harus berbeda dengan kelompok yang lain), kemudian amatilah.
Sumber: indonetwork.co.id
(a)
Sumber: iitaminingsih.wordpress.com
(b) Gambar 4.2 Kotak kue dan kardus
1) Irislah beberapa rusuk pada bangun yang berbentuk Balok sehingga apabila dibuka dan direbahkan pada bidang datar akan membentuk bangun datar, sehingga akan didapat apa yang disebut jaring-jaring balok.
2) Selanjutnya irislah beberapa rusuk dengan pola irisan yang berbeda pada bangun yang berbentuk Kubus sehingga apabila dibuka dan direbahkan pada bidang datar akan membentuk bangun datar, maka akan didapat apa yang disebut jaring-jaring Kubus.
3) Bandingkan kedua bentuk jaring-jaring tersebut, kemudian ukurlah dan hitunglah luasnya.
Alternatif Pemecahan Masalah
Salah satu jawaban dari pertanyaan pada masalah 4.1 di atas adalah sebagai berikut:
MATEMATIKA
Ayo Kita Amati
1. Perhatikan gambar kotak roti berikut:
Gambar 4.3 Kotak roti dan jaring-jaringnya
Gambar 4.3 di atas merupakan gambar kotak roti yang digunting (diiris) pada tiga buah rusuk alas dan atasnya serta satu buah rusuk tegaknya, yang direbahkan pada bidang datar sehingga membentuk jaring-jaring kotak roti. Pada gambar (iii) di dapat sebagai berikut:
L 1 =L 5 ,L 2 =L 4 , dan L 3 =L 6 Sehingga luas seluruh permukaan kotak roti = L 1 +L 2 +L 3 +L 4 +L 5 +L 6
= (L 1 +L 5 ) + (L 2 +L 4 ) + (L 3 +L 6 ) = (2 × L 1 ) + (2 × L 2 ) + (2 × L 3 ) = (2 × 7 × 20) + (2 × 7 × 14) + (2 × 14 × 20) = (280) + (196) + (560) = 1.036
Jadi, luas seluruh permukaan kotak roti adalah 1.036 cm 2 .
2. Perhatikan gambar kotak kue berikut: Lakukanlah langkah-langkah seperti Gambar 4.3.
Gambar 4.4 Kotak Kue Gambar 4.4 merupakan kotak kue yang berbentuk kubus. Coba kalian gambar sendiri pada kotak
persegipanjang di atas dengan petunjuk nomor 2. Gambar 4.2, yakni irislah beberapa rusuk dengan pola irisan yang berbeda kotak kue tersebut dan gambarlah juga jaring-jaringnya serta ukurlah kotak kue tersebut dan tentukan luasnya.
94 Kelas VIII SMP/MTs Semester 2
Jika suatu kotak roti yang berbentuk balok diiris pada tiga buah rusuk alasnya dan atasnya, serta satu buah rusuk tegaknya, kemudian direbahkan sehingga terjadi bangun datar, maka bangun datar itu dinamakan jaring-jaring balok.
Demikian juga pada kotak kue yang berbetuk kubus, apabila diiris pada rusuk-rusuk tertentu dan direbahkan pada bangun datar, maka bangun datar itu dinamakan jaring-jaring kubus.
Kesimpulan apa yang dapat kalian ambil dari pengamatan di atas?
? Ayo Kita
Menanya
Jika kamu ingin membuat kotak pernik-pernik berbentuk kubus dari kertas karton, dimana kotak pernik-pernik tersebut memiliki panjang rusuk 12 cm, maka buatlah pertanyaan yang memuat kata- kata berikut:
1. “Kubus” dan “panjang rusuk 12 cm”
2. “kubus” dan “kertas karton”
3. “banyak” dan “pernik-pernik” Tulislah pertanyaan kalian di lembar kerja/buku tulis.
Sedikit Informasi
Luas permukaan balok adalah jumlah seluruh luas sisi balok tersebut. Ada dua luas sisi yang berhadapan sama. Sedangkan luas permukaan kubus sama halnya dengan luas permukaan balok, akan tetapi kalau kubus luas setiap sisi-sisinya adalah sama, sehingga karena sisi balok ada 6, maka luas permukaan kubus adalah luas satu sisinya dikalikan 6.
Contoh 4.1
H G Hitunglah luas permukaan kubus ABCD.EFGH pada Gambar 4.5 di samping.
Penyelesaian
4 cm Luas permukaan kubus = 6 s 2
B Jadi, luas permukaan bangun yang bentuk kubus adalah 96 cm 2
Gambar 4.5 Kubus ABCD.EFGH
MATEMATIKA
Contoh 4.2
H G Hitunglah luas permukaan balok pada Gambar 4.6.
Penyelesaian
8 cm
C Luas permukaan balok = 2 (pl +pt + lt)
Gambar 4.6 Balok ABCD.EFGH
Jadi, luas permukaan bangun yang bentuk balok adalah 516 cm 2 .
Contoh 4.3
Sebuah balok memiliki sisi-sisi yang luasnya 24 cm 2 , 32 cm 2 , dan 48 cm 2 . Berapakah jumlah panjang semua rusuk balok tersebut?
Penyelesaian
t Perhatikangambar berikut:
Menurut informasi dari soal, maka di dapat pl = 48, pt = 32, dan lt = 24.
l Dengan menyelesaikan sistem persamaan yang ada,
maka di peroleh sebagai berikut: pl × pt
48 Sehingga jumlah panjang semua rusuk balok = 4(p + l + t) = 4(8 + 6 + 4) = 4(18) = 72 cm.
96 Kelas VIII SMP/MTs Semester 2
= + + Ayo Kita Menggali Informasi
Coba temukan pada buku tertentu, di internet, atau membuat sendiri jika diketahui luas permukaan balok adalah 108 cm 2 . Bagaimana cara menemukan ukuran panjang, lebar, dan tinggi balok tersebut? Berapa banyak kemungkinan ukuran-ukuran yang kalian temukan?
Ayo Kita Menalar
Sebuh karton berukuran 0,5 m × 1 m. Karton tersebut akan dibuat untuk mebungkus kado yang berukuran 2 cm × 3 cm × 5 cm. Jika kado yang akan dibuat sebanyak 500 buah, maka berapa banyak minimal karton yang dibutuhkan?
Ayo Kita Berbagi
Setelah selesai menjawab, tukarkan hasil jawaban kalian dengan kelompok yang lain. Kemudian bandingkan hasil jawabannya, diksusikan dengan kelompok tersebut. Tulislah kesimpulan kalian pada lembar kerja/buku tulis yang sudah kalian sediakan.
Latihan 4.1
1. Akan dibuat model kerangka balok dari kawat yang panjangnya 10 m. Jika ukuran panjang lebar dan tingginya adalah 30 cm × 20 cm × 10 cm .
a. hitunglah banyak kerangka balok yang dapat dibuat.
b. Berapakah sisa kawat dari yang telah digunakan untuk membuat balok
2. Sebuah Aula berbentuk balok dengan ukuran panjang 9 meter, lebar 7 meter, dan tingginya 4 mater. Dinding bagian dalamnya akan dicat dengan biaya Rp.50.000,00- per meter persegi. Tentukan seluruh biaya pengecatan Aula tersebut.
3. Perbandingan panjang, lebar dan tinggi sebuah balok adalah 4 : 3 : 2. Jika luas alas balok tersebut adalah 108 cm 2 , maka hitunglah luas permukaan balok tersebut.
4. Diketahui luas suatu jaring-jaring balok adalah 484 cm 2 . Bagaimana cara menemukan ukuran balok tersebut?
5. Perhatikan gambar kubus di samping. Jika sisi atas dan sisi bawah kubus tersebut dicat dengan warna merah, sedang sisi lain dicat dengan warna biru, kemudian kubus dipotong-potong menjadi 64 kubus satuan. Tentukan anyak kubus satuan yang memiliki warna biru saja.
6. Diketahui pada setiap sisi kubus dituliskan sebuah bilangan asli. Setiap titik sudutnya diberi nilai yang merupakan hasil kali dari tiga bilangan pada tiga sisi yang berpotongan di titik sudut tersebut. Jika jumlah semua bilangan pada titik-titik sudut tersebut sama dengan 231, tentukan jumlah semua bilangan yang dituliskan pada sisi-sisi kubus tersebut.
MATEMATIKA
Menentukan
K egiatan 4.2 Luas Permukaan Prisma
Pernahkah kalian menjumpai bagian atap gubuk dan tenda perkemahan seperti gambar berikut? Dimanakah kalian menjumpainya?
Sumber: matematohir.wordpress.com Sumber: smkwikrama.net
Gambar 4.7 Gubuk dan tenda
Pada bagian atas gubuk dan tenda dapat digambar sebagai berikut Dalam matematika Gambar 4.7 di atas disebut dengan prisma. Perhatikan prisma pada gambar di samping. Pada gambar tersebut dibatasi oleh dua sisi yang berbentuk segitiga
yang kongruen dan sejajar, serta tiga sisinya yang Gambar 4.8 Prisma berbentuk persegi panjang. Perhatikan model prisma
pada gambar di bawah ini.
Prisma Segitiga
Prisma Segi empat
Prisma Segi lima
Prisma Segi delapan
Gambar 4.9 Model-model Prisma
Untuk lebih jelasnya ikutilah langkah-langkah kegiatan belajar berikut ini.
Masalah 4.2
Perhatikan kembali gambar 4.9 di atas. Pada model-model prisma tersebut ada dua sisi yang saling berhadapan luasnya adalah sama. Dua sisi yang luasnya sama masing-masing dinamakan sisi alas dan sisi atas. Sedang sisi lain yang berbentuk persegi panjang atau jajar genjang disebut sisi tegak. Masalahnya sekarang, bagaimanakah langkah-langkah mencari luas permukaan prisma tersebut? Hal-hal apa saja yang harus diperhatikan pada prisma tersebut?
98 Kelas VIII SMP/MTs Semester 2
Alternatif Pemecahan Masalah
Ayo Kita Amati
Berikut gambar prisma segitiga, segiempat, dan segienam beraturan dilengkapi dengan jaring-jaringnya
Tabel 4.1a Jaring-jaring prisma
No. Prisma
Jaring-jaring
alas
a c b alas
alas
p alas
alas d e f
alas
MATEMATIKA
Tabel 4.1b Luas permukaan prisma No.
Jaring-jaring Prisma Potongan jaring-jaring prisma
100 Kelas VIII SMP/MTs Semester 2
Kesimpulan apa yang dapat kalian ambil dari pengamatan di atas?
? Ayo Kita ?
Menanya
Berdasarkan hasil pengamatan kalian, coba buatlah pertanyaan yang memuat kata-kata berikut:
1. “dua sisi yang saling berhadapan” dan “sisi alas”
2. “sisi alas” dan “sisi atas”
3. “keliling” dan “bidang tegak” Tulislah pertanyaan kalian di lembar kerja/buku tulis.
Sedikit Informasi
alas
Balok juga dapat dikatakan prisma segi empat, sehingga luas permukaan prisma bisa didapat dari luas permukaan balok. Akan
l tetapi pada luas permukaan prisma yang ditekankan adalah luas
alas, keliling alas, dan tinggi. Perhatikan gambar 4.10 di samping ini, untuk luas permukaan prisma segi empat sama dengan luas permukaan balok, yaitu L = 2 (pl + pt + lt)
L = 2pl + 2pt + 2lt L = 2pl + (2pt + 2lt) L = 2 × Luas alas + (2p + 2l)t L = 2 × Luas alas + Keliling alas × tinggi
l Sehingga luas prisma secara umum adalah
p L = 2 × Luas alas + Keliling alas × tinggi
alas
Gambar 4.10 Prisma segi empat
Contoh 4.4
Gambar 4.11 merupakan prisma tegak segitiga siku-siku. Tentukan luas permukaan prisma tersebut.
Penyelesaian
E Untuk mencari luas permukaan prisma segitiga tersebut,
terlebih dulu kita cari panjang semua alasnya, yaitu
2 AB 2 = AC + BC = 4 + 3 = 16 + 9 = 25 = 5
8 cm
Sehingga L = 2 × Luas alas + Keliling alas × tinggi
C =2×
3 cm
4 cm = 12 + (12) × 8 = 12 + 96 = 108
Gambar 4.11 Prisma segitiga
Jadi, luas permukaan prisma tegak segitiga siku-siku adalah 108 cm 2 .
siku-siku
MATEMATIKA 101
Contoh 4.5
Dikatahui luas permukaan prisma segi empat adalah 256 cm 2 . Alas prisma tersebut berbentuk persegipanjang dengan ukuran panjang 5 cm dan lebar 4 cm. Tetukan tinggi prisma tersebut.
Alternatif Penyelesaian
Luas permukaan prisma segi empat = 500 cm 2 Panjang alas 5 cm dan lebar alas 4 cm.
L = 2 × Luas alas + Keliling alas × tinggi 256
= 2 × panjang × lebar + 2 × (panjang + lebar) × tinggi = 2 × 5 × 4 + 2 × (5 + 4) × tinggi = 40 + 2 × (9) × tinggi
256 = 40 + 18 × tinggi 256 – 40
= 18 × tinggi 216
= 18 × tinggi tinggi
Jadi, tinggi prisma tersebut adalah 12 cm 2 .
Ayo Kita Menalar
Perhatikan kembali Tabel 4.1a pada nomor 3. Bagaimana caranya kalian menentukan luas permukaannya? Jika a = 10 cm dan t = 40 cm. Jelaskan.
Ayo Kita Selidiki
Coba terapkan hasil penalaran kalian pada soal-soal berikut:
2m
1. Pernahkah kamu berkemah? Berbentuk apakah tenda yang kamu pakai? Bila tenda yang kamu pakai seperti gambar tenda di samping, dapatkah kamu menghitung luas kain terkecil yang diperlukan untuk membuat tenda itu? Coba hitunglah.
3m 4m
2. Sebuah prisma tegak segi enam beraturan ABCDEF.GHIJKL Gambar 4.12 Tenda mempunyai panjang rusuk alas 10 cm, panjang rusuk tegak 80 cm.
a. Gambarlah bangun prismanya.
b. Tentukan luas bidang tegaknya.
c. Tentukan luas permukaan prisma.
Ayo Kita Berbagi
Kemudian lakukan diskusi dalam kelompok kalian untuk menjawab kedua soal tersebut yang dipandu oleh Gurumu sehingga diperoleh pemahaman dan kesimpulan yang sama. Tulislah pemahaman dan kesimpulan yang sudah diperoleh pada buku kalian.
102 Kelas VIII SMP/MTs Semester 2
Latihan 4.2
1. Alas sebuah prisma berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi 12 cm, 5 cm dan 13
cm. Jika tinggi prisma adalah 20 cm. Hitunglah luas permukaan prisma tersebut.
2. Gambar di bawah adalah prisma ABCD.EFGH. Dengan ABFE sejajar DCGH. Panjang AB
= 4 cm, BC = 6 cm, AE = 8 cm, dan FB = 5 cm. Tentukan luas permukaannya.
3. Sebuah prisma alasnya berbentuk belah ketupat dengan panjang diagonal 16 cm dan 12 cm. Tentukan tinggi prisma jika luas permukaannya adalah 672 cm 2 .
4. Diketahui luas permukaan prisma tegak segi empat beraturan 864 cm 2 dan tinggi prisma 12 cm. Tentukan panjang sisi alas prisma tersebut.
5. Perhatikan gambar prisma berikut ini.
Alas prisma tersebut berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang BC = 3 cm dan AC = 4
cm. Jika luas permukaan prisma 108 cm 2 , tentukan tinggi prisma tersebut. Bagaimana cara kalian mencari luas bidang ABF? Jelaskan.
6. Diketahui luas permukaan prisma segi empat adalah 500 cm 2 dengan tinggi 10 cm. Jika alas prisma tersebut berbentuk persegipanjang, maka tentukan kemungkinan-kemungkinan uku- ran panjang dan lebar prisma itu.
MATEMATIKA 103
K egiatan 4.3 Menentukan Luas Permukaan Limas
Perhatikan bagian atap bangunan di bawah ini. Berbentuk apakah bagian atap itu?
Sumber: matematohir.wordpress.com Sumber: gambar-rumah88.blogspot.com
Gambar 4.13 Rumah
Pada bagian atap rumah dapat digambar sebagai berikut.
Dalam matematika gambar disebut dengan limas. Perhatikan limas pada Gambar 4.14 di samping. Pada gambar tersebut dibatasi oleh satu alas yang berbentuk persegipanjang dan empat sisi tegak yang berbentuk segitiga. Perhatikan model limas pada Gambar 4.15 di bawah ini.
Gambar 4.14 Limas beraturan
Gambar 4.15 Model-model limas
Untuk lebih jelasnya ikutilah langkah-langkah kegiatan belajar berikut ini.
104 Kelas VIII SMP/MTs Semester 2
Masalah 4.3
Tabel 4.2 berikut akan disajikan gambar limas beserta ukuran-ukuran yang diketahui:
Tabel 4.2 Kasus luas permukaan limas
Bisa / No.
Gambar
Keterangan
Tidak Bisa
Diketahui alas limas tersebut berbentuk persegi
1 D C dengan panjang TE = 5 cm dan AB = 6 cm.
Bisa Apakah Luas Permukaannya bisa ditentukan?
Diketahui alas limas tersebut berbentuk persegi dengan panjang TA = 5 cm, TC = 7 cm
2 D C dan AB = 6 cm.
Tidak Bisa Apakah Luas Permukaannya bisa ditentukan?
Sebuah limas alasnya berbentuk segitiga dengan panjang AC= 3 cm, BC = 4 cm, dan AB = 5 cm.
3 C Apabila tinggi limas 10 cm.
Bisa Apakah Luas Permukaannya bisa ditentukan?
AT
Sebuah limas alasnya berbentuk segitiga dengan panjang AC= 3 cm, BC = 4 cm, AB = 5cm, TA =
Tidak Bisa Apakah Luas Permukaannya bisa ditentukan?
4 C 9 cm, TB = 10 cm dan TC = 10 cm.
MATEMATIKA 105
Alternatif Pemecahan Masalah
Ayo Kita Amati
Pada gambar 1:
Diketahui alas limas tersebut berbentuk persegi dengan panjang TE = 5 cm dan AB = 6 cm. Apakah luas permukaannya bisa ditentukan?
E Penyelesaian
Soal tersebut bisa diselesaikan, karena bentuk alasnya persegi dengan ukuran sisi
6 cm dan tinggi bidang tegaknya juga sudah diketahui ukurannya, yaitu 5 cm. Dengan demikian, selanjutnya tinggal cari
luas permukaannya denga rumus: L=6 2 L = luas alas + jumlah luas bidang tegak 1 +4× ×6×5
L = 36 + 60 2 L = 96 cm 2
Pada gambar 2:
Diketahui alas limas tersebut berbentuk persegi dengan panjang TA = 5 cm, TC = 7 cm, dan AB = 6 cm.
D C Apakah luas permukaannya bisa ditentukan?
Penyelesaian
A B Soal tersebut tidak bisa diselesaikan, karena panjang rusuk tegak TA tidak sama dengan panjang
rusuk tegak TC sehingga tidak akan membentuk bangun limas segi empat dan tinggi dari masing- masing bidang tegaknya juga tidak diketahui, walaupun sudah diketahui bahwa alasnya berbentuk persegi dengan ukuran sisi 6 cm.
Pada gambar 3:
Sebuah limas alasnya berbentuk segitiga den g a n p a n j a ng AC = 3 cm, BC = 4 cm, dan AB = 5 cm. Apabila tinggi limas 10 cm.
C Apakah luas permukaannya bisa ditentukan?
Penyelesaian
A Soal tersebut bisa diselesaikan, karena alas limas tersebut berbentuk segitiga siku-siku dengan ukuran
sudah diketahui. Sudah diketahui juga ukuran tinggi limasnya. Dengan demikian, selanjutnya luas masing- masing bidang, yaitu luas bidang ACB, bidang ACT, bidang BCT, dan bidang ABT. Khusus untuk mencari luas bidang ABT carilah terlebih dulu panjang AT dan BT dengan menggunakan Pythagoras. Coba kalian lanjutkan untuk menentukan luas permukaan limas tersebut.
106 Kelas VIII SMP/MTs Semester 2
Pada gambar 4:
T Sebuah limas alasnya berbentuk segitiga dengan
panjang AC = 3 cm, BC = 4 cm, AB = 5cm, TA = 9 cm, TB = 10 cm dan TC = 10 cm.
C Apakah Luas Permukaannya bisa ditentukan?
A Soal tersebut tidak bisa diselesaikan, karena panjang rusuktegaknya tidak sama, yaitu TA = 9 cm,
Penyelesaian
TB = 10 cm dan TC = 10 cm. walaupun sudah diketahui bahwa alasnya berbentuk segitiga siku-siku dengan ukuran AC = 3 cm, BC = 4 cm, AB = 5cm.
Ayo Kita Menanya
Berdasarkan hasil pengamatan kalian, coba buatlah pertanyaan yang memuat kata-kata berikut:
1. “syarat diketahui” dan “luas permukaan limas”
2. “sisi alas” dan “rusuk tegak”
3. “bidang tegak” dan “limas” Tulislah pertanyaan kalian di lembar kerja/buku tulis.
Ayo Kita Menggali Informasi
Coba temukan minimal 10 soal pada buku tertentu, di internet, atau membuat sendiri beserta jawabannya yang berkenaan dengan luas permukaan limas.
Ayo Kita Menalar
Berdasarkan kegiatan menggali informasi yang telah kalian dapatkan. Sekarang coba kalian jelaskan bagaimana cara menentukan ukuran alas suatu limas segiempat beraturan jika diketahui luas
permukaan limas tersebut adalah 360 cm 2 dan luas sisi tegaknya adalah 100 cm. Berapa banyak ukuran alas yang kalian temukan?
Ayo Kita Berbagi
Setelah selesai menjawab pertanyaan pada kegiatan bernalar di atas. Kemudian tukarkan hasil kesimpulan kalian dengan kelompok yang lain. Selanjutnya bandingkan hasil kesimpulannya, diksusikan dengan kelompok tersebut..
MATEMATIKA 107
Latihan 4.3
1. Perhatikan limas segi empat beraturan
K.PQRS di bawah. Sebutkan semua:
a. rusuk
b. bidang sisi tegak
c. tinggi limas
2. Kerangka model limas dengan alas berbentuk pergi panjang dengan panjang lebarnya masing- masing 16 cm dan 12 cm, sedangkan tinggi limas 24 cm. Tentukan panjang kawat yang diperlukan untuk membuat kerangka
model limas tersebut.
3. Sebuah limas tingginya 36 cm dan tinggi rusuk tegaknya 39 cm. Jika alasnya berbentuk persegi maka
36 39 tentukan:
a. keliling persegi
b. luas permukaan limas
4. Alas sebuah limas berbentuk persegi dengan panjang sisi 12 cm. Jika jumlah luas sisi limas 384 cm 2 , maka berapakah volume limas tersebut?
5. Gambar di bawah menunjukkan sebuah kubus dengan panjang rusuk 5 cm yang dipotong sehingga salah satu bagiannya beebentuk limas segitiga (tetrahedron). Tentukan luas permukaan kedua bangun hasil perpotongannya.
5 cm
108 Kelas VIII SMP/MTs Semester 2
Volume Bangun Ruang Sisi Datar
Menentukan Volume
K egiatan 4.4 Kubus dan Balok
Masalah 4.4
Pada kegiatan kali ini kalian akan mempelajari mengenai Volume kubus dan balok Perhatikan kubus satuan berikut ini
Gambar 4.16a adalah Kubus satuan, yaitu kubus yang ukuran rusuk-rusuknya 1 satuan.
Gambar 4.16a Kubus satuan
Gambar 4.16b Balok
Balok berukuran 4 × 3 × 2 satuan pada Gambar 4.16b akan dimasukkan kubus dari Gambar 4.16a berukuran 1 satuan.
Berapakah kubus satuan yang dibutuhkan untuk mengisi balok hingga penuh? Apakah banyak kubus satuan yang memenuhi balok hingga penuh merupakan volume balok? Bagaimanakah dengan volume kubus pada gambar 1? Untuk lebih jelasnya ikutilah langkah-langkah kegiatan belajar berikut ini.
MATEMATIKA 109
Alternatif Pemecahan Masalah Ayo
Kita Amati
Perhatikan gambar susunan kubus berikut ini. Kemudian amatilah.
Tabel 4.3 Pengertian volume balok
Banyak kubus
Berukuran
No. Balok Volume (V)
satuan
(p × l × t)
1 Ada 8 kubus
V = 8 satuan kubik
2 Ada 8 kubus
V = 8 satuan kubik
3 Ada 16 kubus
V = 16 satuan kubik
4 Ada ..... kubus
V = .... satuan kubik
5 Ada 12 kubus
V = .... satuan kubik
6 Ada ..... kubus
V = .... satuan kubik
7 Ada 8 kubus 2×2×2=2 3 V = 8 satuan kubik
110 Kelas VIII SMP/MTs Semester 2
Banyak kubus
Berukuran
No. Balok Volume (V)
satuan
(p × l × t)
8 Ada ..... kubus ... × ... × ... = ... V = .... satuan kubik
9 Ada ..... kubus ... × ... × ... = ... V = .... satuan kubik
1) Perhatikan pola susunan kubus pada tabel di atas.
2) Bandingkan banyaknya susunan kubus pada tabel di atas.
3) Perhatikan polanya untuk menentukan volume balok dan kubus secara umum.
Kesimpulan apa yang dapat kalian ambil dari pengamatan di atas?
? Ayo Kita
Menanya
Berdasarkan hasil pengamatan kalian, coba buatlah pertanyaan yang memuat kata-kata berikut:
1. “Volume” dan “gambar 1 dan 2 pada tabel 4.3a”
2. “sisi alas” dan “kubus, balok”
3. “kubus” dan “balok” Tulislah pertanyaan kalian di lembar kerja/buku tulis.
= + + Ayo Kita Menggali Informasi
Sebelum menggali informasi, sebaiknya kalian perhatikan contoh soal berikut ini:
E Contoh 4.6 F
5 cm Perhatikan gambar balok di samping.
6 cm Berapakah volumenya?
A 12 cm
MATEMATIKA 111
Alternatif Penyelesaian
Balok di atas mempunyai p = 12 cm, l = 8 cm, dan t = 5 cm. V= p×l ×t
Jadi, Volume Balok tersebut adalah 480 cm 3
Contoh 4.7
Volume sebuah balok 72 cm 3 . Hitunglah luas permukaan minimal yang dapat dimiliki oleh balok tersebut.
Alternatif Penyelesaian
Perhatikan gambar balok di samping. t Diketahui volume balok = 72 cm 3 ,
V = p × l × t = 72 Untuk mendapatkan luas permukaan minimal, maka diperoleh pola penjumlah kebalikan dari ukuran balok
1 1 1 pl + pt + lt + + =
tersebut, yaitu:
plt
Nilai terkecil dari jumlah kebalikan ukuran balok tersebut diperoleh jika nilai plt terbesar (maksimum) atau nilai-nilai p, l, dan t adalah sama atau mempunyai silisih minimal dari tiga bilangan tersebut dan apabila tiga bilangan tersebut dikalikan sama dengan 72, yaitu p = 6, l = 4, dan t = 3.
Dengan demikian luas permukaannya adalah L = 2(pl + pt + lt) = 2(6 × 4 + 6 × 3 + 4 × 3) = 108
Jadi, luas permukaan minimal yang dapat dimiliki oleh balok tersebut adalah 108 cm 2
Contoh 4.8
Perhatikan susunan kubus berikut ini.
Banyaknya susunan kubus pada k 1 ,k 2 ,k 3 , dan seterusnya semakin bertambah dengan pola susuna seperti pada gambar di atas.
a. Berapa banyak susuna kubus pada pola berikutnya (k 4 )?
b. Berapa banyak susunan kubus pada k 10
Alternatif Penyelesaian
Banyak susunan kubus pada k 1 adalah 4 kubus Banyak susunan kubus pada k 2 adalah 9 kubus Banyak susunan kubus pada k 3 adalah 16 kubus
112 Kelas VIII SMP/MTs Semester 2
Perhatikan pola berikut ini. k
1 ⇒ 4 kubus : 2 × 2 ⇒ 2 = (1 + 1) kubus k
= (2 + 1) 2 2 ⇒ 9 kubus : 3 × 3 ⇒ 3 2 kubus
k 3 ⇒ 16 kubus : 4 × 4 ⇒ 4 2 = (3 + 1) 2 kubus
maka
k 4 ⇒ 25 kubus : 5 × 5 ⇒ 5 2 = (4 + 1) 2 kubus
..... .... sehingga
k ⇒ .... kubus: ... × ... ⇒ .... 2 n = (n + 1) 2 kubus
Dengan demikian kita sudah mempunyai bentuk umunya, yaitu k n = (n + 1) 2 kubus
Jadi unuk:
a. k adalah k
4 4 = (4 + 1) =5 = 25 kubus
b. k 10 adalah k 10 = (10 + 1) 2 = 11 2 = 121 kubus
Sekarang perhatikan kubus-kubus kecil yang disusun seperti tampak pada gambar berikut.
Coba kalian tentukan banyaknya susunan kubus kecil tersebut.
Ayo Kita Menalar
Sebuah tugu akan dibangun dengan menumpuk kubus-kubus beton yang rusuknya 10 cm, seperti tampak pada gambar di bawah. Antar sisi-sisi kubus yang berdempetan dan sisi kubus dengan lantai akan direkat dengan semen setebal 1 cm.
Jika tinggi tugu yang diinginkan adalah 21,99 m, berapa banyak kubus beton yang diperlukan?
Ayo Kita Berbagi
Setelah selesai menjawab, tukarkan hasil jawaban kalian dengan teman sebangku. Kemudian bandingkan hasil jawabannya. Diksusikan.. Tulislah kesimpulan kalian pada lembar kerja/buku tulis kalian.
MATEMATIKA 113
Latihan 4.4
1. Sebuah bak mandi berbentuk kubus memiliki panjang rusuk 1,4 m. Tentukan banyak air yang dibutuhkan untuk mengisi bak mandi tersebut hingga penuh.
2. Sebuah akuarium berbentuk balok memiliki ukuran panjang 74 cm dan tinggi 42 cm. Jika volume air di dalam akuarium tersebut adalah 31.080 cm 3 , tentukan lebar akuarium tersebut.
3. Perbandingan panjang, lebar dan tinggi sebuah balok adalah p : l : t = 5 : 2 : 1, jika luas permukaan balok 306 cm 2 , maka tentukan besar volum balok tersebut.
4. Diketahui volume balok 100 cm 3 . Bagaimana cara menemukan ukuran balok tersebut? Berapa banyak kemungkinan ukuran-ukuran yang kalian temukan?
5. Sebuah batang bambu dengan diameter 10 cm dan panjang 4 meter diikat di dasar kolam berbentuk balok dengan ukuran panjang 4,5 m, lebar 55 cm, dan tinggi 40 cm untuk direndam dalam suatu larutan pengawet. Jika diasumsikan ujung-ujung bambu tertutup, berapa liter larutan pengawet harus dimasukkan sampai bak menjadi penuh?
6. Sebuah tangki penampungan minyak tanah berbentuk prisma yang alasnya berupa belah ketupat yang panjang diagonal-diagonalnya 4 m dan 3 m. Tinggi tangki 2,5 m. Pada dasar tangki terdapat kran yang dapat mengalirkan minyak tanah rata-rata 75 liter setiap menit. Berapa lama waktu yang diperlukan untuk mengeluarkan minyak tanah dari tangki itu sampai habis?
7. Perhatikan susunan kubus berikut ini.
Banyaknya susunan kubus pada k 1 ,k 2 ,k 3 , dan seterusnya semakin bertambah dengan pola susuna seperti pada gambar di atas.
a. Berapa banyak susuna kubus pada pola berikutnya (k 4 ).
b. Berapa banyak susunan kubus pada k 10.
114 Kelas VIII SMP/MTs Semester 2
Menentukan
K egiatan 4.5
Volume Prisma
Pada Kegiatan 4.2 kalian sudah memepelajari tentang luas permukaan prisma. Pada kagiatan 5 ini kalian akan mempelajari tentang volume prisma. Coba kita ingat kembali tentang volume balok pada kegiatan 4. Volume balok juga dapat dikatakan sebagai volume prisma segi empat, mengapa demikian?
Masalah 4.5
Coba perhatikan balok pada Gambar 4.17 di bawah yang diiris menjadi dua prisma segitiga tegak. Prisma-prisma segitiga tegak (b) dan (c) sama bentuk dan ukurannya, sehingga jumlah volume kedua prisma segitiga tegak itu sama dengan volume balok.
UT SR
(c) (a)
(b)
Gambar 4.17 Balok dan Prisma
Jelas bahwa Volume masing-masing Prisma segitiga itu sama, yaitu setengah Volume Balok. Untuk lebih jelasnya ikutilah langkah-langkah kegiatan belajar berikut ini.
1. Bagaiamana hubungan antara luas alas prisma dengan tinggnya?
2. Bagaiamana prosedur memperoleh volume prisma yang bermula dari volume balok?
MATEMATIKA 115
Alternatif Pemecahan Masalah
Ayo Kita Amati
Perhatikan gambar prisma yang diiris menjadi dua prisma segitiga tegak berikut ini. Kemudian amatilah.
Tabel 4.4 Pengertian volume prisma
Ukuran
No. Prisma
Luas alas (L a )
Volume (V)
tinggi (t)
V = p×l×t = (p × l) × t
L a =p×l
Q Hubungan ini juga berlaku untuk setiap Prisma, bahwa Volume Prisma adalah
Volume = Luas alas x Tinggi
116 Kelas VIII SMP/MTs Semester 2
? Ayo Kita ?
Menanya
Berdasarkan hasil pengamatan kalian, coba buatlah pertanyaan yang memuat kata-kata berikut:
1. “balok, prisma” dan “volume”
2. “sisi alas” dan “balok, prisma” Tulislah pertanyaan kalian di lembar kerja/buku tulis.
= + + Ayo Kita Menggali Informasi
Sebelum menggali informasi, sebaiknya kalian perhatikan contoh soal berikut ini:
Contoh 4.9
Sebuah Prisma alasnya berbentuk segitiga dengan panjang sisi-sisinya 3 cm, 4 cm, dan 5 cm. Apabila tinggi prisma 10 cm, berapakah volum prisma ?
Alternatif
E Volume = Luas alas × Tinggi
C = 60
3 cm Jadi, volume prisma tersebut adalah 60 cm 3 4 cm
Contoh 4.10
Sebuah kaleng berbentuk balok berukuran 10 dm × 8 dm × 6 dm berisi air penuh. Bila air itu dituangkan pada kaleng lain berbentuk prisma yang luas alasnya 96 dm 2 dan sudah terisi air setinggi 12 cm. Berapa literkah air pada kaleng berbentuk prisma sekarang?
Alternatif Penyelesaian
Menurut informasi dari soal, bahwa untuk mengetahui berapa liter tinggi air setelah ketambahan air dari kaleng Balok, maka dicari terlebih dahulu volume ketinggian air pada kaleng Prisma, baru setelah itu bisa ditemukan berapakah volume air pada kaleng Prisma, yaitu
Volume air pada kaleng Balok = Volume ketinggian air pada kaleng Prisma
Ukuran kaleng Balok = Luas alas kaleng Prisma × Ketinggian air
= 96 × Ketinggian air
Ketinggian air = 5 dm
MATEMATIKA 117
Kaleng Prisma sudah terisi air setinggi 12 cm = 1, 2 dm Dengan demikian dapat ditemukan volume air pada kaleng Prisma sekarang: Volume air pada Kaleng Prisma sekarang
= Luas alas Prisma x Tinggi air sekarang = 96 × (1,2 + 5) = 96 × 6, 5 = 624
Jadi, banyaknya air air pada kaleng berbentuk prisma sekarang adalah 624 dm 3 = 624 liter. Sekarang coba buat masalah sendiri jika diketahui alas sebuah prisma berbentuk persegi. Misal
3 panjang sisi 12 cm dan tinggi prisma adalah 15 cm. Jika sisi-sisi alasnya diperkecil kali, tentukan
perbandingan volume prisma sebelum dan sesudah diperkecil.
Ayo Kita Menalar
Coba gunakan penalaran kalian pada kasus berikut. Diketahui volume prisma tegak segitiga siku-siku adalah 64 cm 2 . Bagaimana cara menemukan ukuran
alas dan tinggi prisma tersebut? Berapa banyak kemungkinan ukuran-ukuran yang kalian temukan?
Ayo Kita Selidiki
Coba terapkan hasil penalaran kalian pada soal-soal berikut:
1. Ada dua prisma segitiga siku-siku, yaitu prisma A dan prisma B. Tinggi kedua prisma sama panjang. Jika panjang sisi siku-siku terpendek prisma A sama dengan tiga kali panjang sisi siku- siku terpendek prisma B, dan sisi siku-siku yang lain sama panjang maka tentukan perbandingan volume prisma A dan prisma B.
2. Sebuah tenda pramuka berbentuk prisma tegak segitiga. Panjang tenda 4 m, sedagkan lebarnya 2,5 m. Jika volume
tenda 10 m 3 , maka tentukan tinggi tenda tersebut. 4m
2,5 m
Ayo Kita
Sumber: Kemdikbud
Berbagi
Gambar 4.18 Tenda
Kemudian presentasikan hasil jawaban dalam kelompok kalian di depan kelas. Sedangkan kelompok yang lain menyemaknya dan memberi tanggapan yang sopan santun.
Tulislah hasil pembahasan yang sudah didiskusikan pada lembar kerja/buku tulis kalian.
118 Kelas VIII SMP/MTs Semester 2
Latihan 4.5
1. Hitunglah volume air dalam kolam renang yang panjangnya 30 m, lebarnya 10 m, kedalaman air pada ujung dangkal 3 m terus melandai hingga pada ujung dalam 5 m.
2. Alas sebuah prisma berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang 12 cm, 16 cm dan 20 cm. Jika tinggi prisma 30 cm, hitunglah volume prisma tersebut!
3. Suatu prisma tegak yang alasnya merupaka segitiga dengan panjang sisi-sisinya 3 cm, 4 cm,
dan 5 cm. Jika panjang rusuk tegaknya 6 cm, maka berapakah volume prisma tersebut?
4. Sebuah prisma dengan alas berbentuk belah ketupat mempunyai keliling 52 cm dan panjang salah satu diagonal alasnya 10 cm. Jika luas selubung prisma 1.040 cm 2 , maka volum prisma tersebut adalah…
5. Sebuah kaleng berbentuk balok berukuran 10 dm × 8 dm × 6 dm berisi air penuh. Bila air itu dituangkan pada kaleng lain berbentuk prisma yang luas alasnya 96 dm 2 dan tingginya 9 dm. Berapa dm tinggi air pada kaleng berbentuk prisma?
6. Volum sebuah prisma 540 dm 3 . Bila alas prisma berbentuk segitiga dengan panjang rusuk
masing-masing 5 dm, 12 dm, dan 13 dm, maka tentukan luas permukaan prisma tersebut.
7. Kalian ditugaskan untuk prisma yang volumenya 120 cm 3 . Ada berapa rancangan yang dapat kalian buat? Berapa ukuran prisma yang kalian buat? Sebutkan.
8. Alas sebuah prisma berbentuk persegi dengan panjang sisi 12 cm. Tinggi prisma adalah 15 cm.
Jika sisi-sisi alasnya diperkecil kali, tentukan perbandingan volume prisma sebelum dan sesudah diperkecil.
MATEMATIKA 119
Menentukan
K egiatan 4.6
Volume Limas
Pada kegiatan 4.3 kalian telah membahas tentang luas permukaan limas. Pada kegiatan 4.4 juga kalian sudah membahas tentang volume kubus. Pada kagiatan 4.6 ini kalian diajak untuk berfikir lebih jauh bagaimana caranya menemukan volume limas yang di dapat dari volume kubus.
Masalah 4.6
Coba perhatikan kubus pada gambar di bawah yang keempat diagonal ruangnya saling berpotongan pada satu titik. Terbentuk bangun apakah antar sisi dengan perpotongan diagonal ruang kubus? Bangun yang terbentuk adalah limas yang terdiri dari 6 buah limas yang berukuran sama. Masing- masing limas beralaskan sisi kubus dan tinggi masing-masing limas sama dengan setengah rusuk kubus. satu limas yang terbentuk yaitu T.ABCD.
2a
2a T
2a
2a O
A 2a B A 2a B
Dikarena luas masing masing limas sama dan limas yang terbentuk ada 6 buah, maka volume 6 buah
limas tersebut sama dengan volume kubus atau volume limas sama dengan volume kubus
Untuk lebih jelasnya ikutilah langkah-langkah kegiatan belajar berikut ini.
1. Bagaiamana hubungan volume kubus dengan volume limas
2. Bagaiamana prosedur memperoleh volume limas yang bermula dari volume kubus?
120 Kelas VIII SMP/MTs Semester 2
Alternatif Pemecahan Masalah
Ayo Kita Amati
Perhatikan gambar kubus dan limas yang terbentuk berikut ini. Kemudian amatilah.
Tabel 4.5 Pengertian volume limas Ukuran
No. Kubus ABCD EFGH
Luas alas (L a )
Volume (Vk)
tinggi (t)
E F Vk = AB 3 = AB × BC × CG
1 L a = AB × BC t = CG
= (AB × BC) × CG
D = La × t
E F Vk
= (2a) 3
2a
T = 2a × 2a × 2a
A 2a 2a
B Ukuran
No. Limas ABCDT
Luas alas (L a )
Volume (Vl)
tinggi (t) H G
Hubungan ini juga berlaku untuk setiap limas, bahwa volume limas adalah
Volume =
Luas alas x Tinggi
MATEMATIKA 121
? Ayo Kita ?
Menanya
Berdasarkan hasil pengatan kalian, tuliskan pertanyaan-pertanyaan yang ingin kalian ketahui jawabannya pada lembar kerja/buku tulis kalian.
= + + Ayo Kita Menggali Informasi
sebelum menggali informasi, sebaiknya kalian perhatikan contoh soal berikut ini: T
Contoh 4.11
Sebuah limas tegak alasnya berbentuk persegipanjang yang sisi-sisinya 18 cm dan 32 cm. Puncak limas tepat berada diatas
D 42 cm
C pusat alas dan tingginya 42 cm. Hitunglah volume limas .
Alternatif
O 18 cm
Penyelesaian
32 cm
1 1 Volume = × Luas alas × Tinggi = × (18 × 32) × 42
Jadi, volume limas tersebut adalah 8.064 cm 3
Contoh 4.12
Sebuah atap rumah yang berbentuk limas dengan alas berbetuk persegi dengan panjang sisi 8 m dan tinggi 4 m hendak ditutupi dengan genteng yang berukuran 40 cm × 20 cm. Hitunglah banyak genteng yang diperlukan.
Alternatif Penyelesaian
Perhatikan ilustrasi gambar disamping. Permukaan atap terdiri dari 4 segitiga sama kaki: Luas permukaan atap = 4 × segitiga sama kaki
1 =4× × alas segitiga x tinggi segitiga
4m = 2 × BC × TU
D C = 2 × BC ×
2 TO 2 + OU
2 2 O U 8m
=2× 84 + 4 A
= 16 2 m 2 8m
122 Kelas VIII SMP/MTs Semester 2
Diketahui ukuran genteng = 40 × 20 = 800 cm 2 = 0, 08 m 2 dan luas permukaan atap = 16 2 m 2
Luas permukaan atap
Banyak genting yang di butuhkan
ukuran genteng
Jadi, banyak genteng yang diperlukan adalah 283 buah. Sekarang coba temukan pada buku tertentu, di internet, atau membuat sendiri jika diketahui
Sebuah limas segiempat beraturan akan dimasukkan pada kubus yang mempunyai panjang rusuk
12 cm. Berapakah besar volume maksimal limas itu agar dapat masuk pada kubus tersebut? Jelaskan.
Ayo Kita Bernalar
Berdasarkan informasi yang kalian dapatkan. Coba nalarkan pada kasus berikut: Perhatikan Gambar 4.19a sebagai kubus sempurna dan Gambar 4.19b merupakan kubus yang sama dengan Gambar 4.19a dengan salah satu bagian sudut dipotong dengan potongan berbentuk limas. Jika panjang rusuk kubus 30 cm, maka bagaimana kalian menentukan volume bangun baru (Gambar 4.19b)? Jelaskan.
(a)
(b)
Gambar 4.19 (a) Kubus (b) Kubus yang salah satu bagian sudut dipotong
Ayo Kita Selidiki
Coba terapkan hasil penalaran kalian pada soal-soal berikut:
1. Gambar berikut menunjukkan piramida berbentuk limas dengan alas berbentuk persegi yang panjang sisi-sisinya 9 m, dan tingginya 17 m.
MATEMATIKA 123
2. Alas sebuah limas berbentuk belah ketupat dengan panjang diagonal-diagonalnya 10 cm dan 15 cm. Tinggi limas adalah 18 cm. Jika diagonal-diagonal alas maupun tingginya diperbesar 3 kali, maka tentukan perbandingan volume limas sebelum dan sesudah diperbesar.
17 m
9m
9m
Sumber: matematohir.wordpress.com
Gambar 4.20 Piramida
Ayo Kita Berbagi
Tukarkan hasil penyelesaiaan kalian kepada teman dalam satu kelompok. Diskusikan dengan cara santun dan lemah lembut. Tulislah pemahaman dan kesimpulan yang sudah diperoleh pada lembar kerja/buku tulis kalian.
Latihan 4.6
1. Kerangka model limas dengan alas berbentuk pergi panjang dengan panjang lebarnya masing-masing 16 cm dan 12 cm, sedangkan tinggi limas 24 cm. Berapa panjang kawat yang diperlukan untuk membuat kerangka model limas tersebut?
2. Sebuah limas tegak alasnya berbentuk persegi panjang yang sisi-sisinya 18 cm dan 32 cm.
Puncak limas tepat berada diatas pusat alas dan tingginya 42 cm. Hitunglah volume limas.
3. Suatu limas alasnya berbentuk persegi dengan panjang sisi 6 cm dan volumenya 60 cm 3 . Hitunglah tinggi limas tersebut.
4. Sebuah limas dengan alas berbentuk persegi mempunyai luas alas 81 cm 2 dan volume limas 162 cm 3 . Tentukan luas seluruh sisi tegak limas tersebut.
124 Kelas VIII SMP/MTs Semester 2
P alasnya berbentuk persegi dengan panjang sisi 60 m, maka
5. Volume limas P.ABCD di samping ini 48.000 m 3 . Jika
berapakah panjang garis PE?
6. Perhatikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang
H G rusuk 2 cm. Tentukan volume limas E.ABCD..
A 2 cm
7. Atap sebuah rumah berbentuk limas dengan alas berupa persegi panjang berukuran
25 m × 15 m. Tinggi atap itu (tinggi limas) adalah 7 m. Volume udara yang terdapat dalam ruang atap itu adalah............
8. Sebuah limas dan prisma segidelapan beraturan berada di dalam kubus yang alasnya saling berimpitan, seperti terlihat pada gambar di samping. Jika panjang rusuk kubus 1 cm, maka volume Prisma di luar limas adalah...
1 cm
9. Alas sebuah limas berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang 10 cm dan lebar 8 cm.
Tinggi limas adalah 15 cm. Jika sisi-sisi alasnya diperbesar 1 kali, tentukan besar perubahan
volume limas tersebut.
MATEMATIKA 125
Bangun Ruang Tidak Beraturan
Menaksir Luas Permukaan dan Volume K egiatan 4.7 Bangun Ruang Sisi Datar Tidak Beraturan
Bangun ruang tak beraturan merupakan benda-benda nyata yang ada dalam kehidupan sehari-hari, seperti batu, wadah air kemasan, toples, tahu, lapet, teko dan lain-lain. Benda-benda tersebut dapat diketahui luas permukaannya dan volumenya dengan menggunakan konsep mencari luas dan volume pada bangun ruang sisi datar. Contohnya adalah kasus pada berikut ini:
Masalah 4.7
Sebuah kaleng berbentuk balok yang sudah berisi air dengan volume 75 ml. Kemudian kaleng tersebut akan dimasukkan batu yang bentuknya tidak beraturan. Setelah kaleng tersebut kemasukan benda padat, maka volume airnya berubah menjadi 95 ml.
95 ml
75 ml
Gambar 4.21 Balok dan batu
Sekarang kita bisa mengetahui bahwa volume air berubah menjadi tambah banyak setelah dimasukkan batu. Apa perubahan volume airnya pertanda volume batu tersebut? Apa memang benar seperti itu? Kenapa demikian? Coba jelaskan.
Ayo Kita Amati
Diketahui: Volume air mula-mula, V 1 = 75 ml
Volume batu = b
Volume air setelah ketambahan batu, V 2 = 95 ml
Alternatif Penyelesaian
Volume air mula-mula + volume batu = volume air setelah dimasuki batu
V 1 +b= V 2
75 + b = 95
b = 95 – 75 , b = 20. Jadi, Volume batu adalah 20 ml.
126 Kelas VIII SMP/MTs Semester 2
Masalah 4.8
Sumber: astrophysicsblogs.blogspot.com Sumber: matematohir.wordpress.com
Gambar 4.22 Batu, toples, piramida, dan kue lapet
Memilih mana dari bangun kubus, balok, prisma, dan limas yang lebih mudah digunakan untuk menaksir luas permukaan dan volume batu? Toples? Piramida? dan Lapet?
Adakah bangun-bangun ruang tersebut yang memiliki luas permukaan sama? Termasuk juga volumenya sama? Mana yang lebih tepat digunakan untuk menaksir luas permukaan dan volume dari keempat gambar tersebut?
Alternatif Pemecahan Masalah
Ayo Kita Amati
Menentukan luas permukaan atau volume bangun ruang sisi datar tidak beraturan adalah menaksirkan luas permukaan atau volume bangun ruang tersebut dengan cara menentukan bangun ruang tersebut termasuk mendekati bangun ruang yang mana, sehingga nantinya apabila dihitung luas permukaan atau volumenya mempunyai selisih pengukuran yang paling sedikit.
MATEMATIKA 127
Ilustrasi:
? Ayo Kita
Menanya
Berdasarkan hasil pengamatan kalian, coba buatlah pertanyaan yang memuat kata-kata berikut:
1. “ volume batu” dan “cara”
2. “luas permukaan” dan “toples”
3. “volme maksimum, minimum” dan “lapet” Tulislah pertanyaan kalian di lembar kerja/buku tulis.
Ayo Kita Menggali Informasi
Coba temukan benda-benda di lingkungan sekitarmu. Misalkan yang kamu temukan adalah wadah air minum kemasan, sudah tertera kapasitas isi airnya yaitu 250 ml. Bagaimana caranya kamu menentukan luas permukaan dari wadah kemasan air minum tersebut dengan terlebih dulu menghitung volume tabung lingkaran terkecil dengan volume tabung lingkaran yang paling besar?
Ayo Kita Menalar
Kemudian tuliskanlah 3 contoh yang ada dalam kehidupan sehari yang ada hubungannya dengan materi yang telah kalian diskusikan. Diskusikan dalam kelompok bagaimana cara menjawabnya serta temukan jawabannya bersama-
sama. Tuliskan jawaban tersebut sebagai karya kelompok.
Ayo Kita Berbagi
Setelah selesai menjawab dari kegiatan bernalar, kirimkan karya tersebut ke kelompok lain. Usahakan satu atau dua orang menemani karya itu, dan menjelaskan maksud dari karya itu ke kelompok lain. Tulislah kesimpulan yang sudah diperoleh pada lembar kerja/buku tulis kalian.
128 Kelas VIII SMP/MTs Semester 2
Latihan 4.7
Ambillah enam benda-benda nyata yang ada di sekitar kalian, kemudian ukurlah dan perkirakan luas permukaan dan volumenya. Contoh:
Gelas Penghapus
Batu
P rojek 4
T ugas
Pada kegiatan akhir bab ini kalian akan melakukan suatu projek. Projeknya adalah membuat bangun tertentu hasil kreasi dari bahan kardus. Gunakan pengetahuan kalian tentang materi Bangun Ruang Sisi Datar dan materi lainnya pada kegiatan projek ini. Kemudian coba pikirkan dan tuliskan di tempat yang disediakan berikut jawaban dari pertanyaan-pertanyaan ini:
1. Supaya rencana mengkreasi bahan kardus ini baik dan unik, kira-kira apa yang harus kita perbuat? (bahan kardus apa yang harus kita sediakan?. Alat-alat apa yang harus kita siapkan? Langkah-langkah mengkreasi bahan dari kardus bagaimana? Berapa biaya yang butuhkan untuk mengkreasi bahan kardus ini? dll)
2. Agar tugas kalian ini mendapatkan hasil yang memuaskan, kira-kira strategi apa yang harus kalian perbuat? Bagaimana bentuk strateginya? Apalagi yang harus diperbuat? dll
3. Apakah pelajaran kita saat ini (tentang bentuk-bentuk bangun datar) bisa kalian manfaatkan? Yang mana? Mengapa?
M erangkum
Pengalaman belajar tentang Bangun Ruang Sisi Datar telah kalian lalui. Sekarang, cobalah tuliskan hal-hal penting yang menurut kalian sangat berharga dan kira-kira akan bermanfaat bagi kalian untuk belajar lebih jauh dengan menjawab pertanyaan berikut:
1. Berbentuk bangun apakah jaring-jaring kubus dan balok?
2. Apakah yang dimaksud dengan bangun kubus, balok, prisma dan limas?
3. Tuliskan rumus luas permukaan kubus, balok, prisma, dan limas dilengkapi dengan keterangannya.
4. Tuliskan rumus volume bangun ruang sisi datar dilengkapi dengan keterangannya.
MATEMATIKA 129
K ompetensi 4
U ji
1. Disediakan kawat yang panjangnya 6 m, akan dibuat kerangka balok berukuran 13 cm × 9 cm × 8 cm. Berapakah banyak kerangka balok yang dapat dibuat dari kawat tersebut?
2. Sebuah balok berukuran panjang = (3x + 2) cm, lebar = (x + 5) cm, dan tinggi = (2x – 4) cm. Jika jumlah panjang rusuknya 156 cm, maka:
a. Susunlah persamaan dalam x
b. Tentukan nilai x
3. Alas sebuah prisma berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi 12 cm, 5 cm dan 13 cm. Jika tinggi prisma adalah 20 cm. Hitunglah luas permukaan prisma tersebut.
4. Sebuah balok ABCD.EFGH di samping,
G panjang, lebar dan tingginya berturut-turut
T adalah 8 cm, 6 cm, dan 3 cm.
Tentukan:
a. Volume limas T.ABCD
b. Volume balok di luar limas T.ABCD
5. Eka membuat model balok padat yang terbuat dari bahan Gipsum dengan luas alas 200 cm 2 dan tingginya 9 cm. Harga Gipsum per liter adalah Rp15.000,00. Berapa rupiah minimal uang Eka yang harus dikeluarkan untuk membuat model balok?
6. Sebuah kotak panjangnya 1 ½ kali lebar dan 4 ½ kali tingginya. Jumlah semua rusuk 408 cm. Tentukan volum dan luas permukaannya
7. Sebuah tangki penampungan minyak tanah berbentuk prisma yang alasnya berupa belah ketupat yang panjang diagonal-diagonalnya 4 m dan 3 m. Tinggi tangki 2,5 m. Pada dasar tangki terdapat kran yang dapat mengalirkan minyak tanah rata-rata 75 liter setiap menit. Berapa lama waktu yang diperlukan untuk mengeluarkan minyak tanah dari tangki itu sampai habis?
8. Kubus ABCD.EFGH dipotong menjadi empat bagian oleh dua bidang. Bidang pertama sejajar dengan sisi ABCD dan melalui titik tengah rusuk BF. Bidang kedua melalui titik-titik tengah AB, AD, GH, dan FG. Tentukan rasio volume dari bagian ruang yang terkecil dan bagian yang terbesar.
9. Sebuah tangki penampungan minyak tanah berbentuk prisma yang alasnya berupa belah ketupat yang panjang diagonal-diagonalnya 4 m dan 3 m. Tinggi tangki 2,5 m. Pada dasar tangki terdapat kran yang dapat mengalirkan minyak tanah rata-rata 75 liter setiap menit. Berapa lama waktu yang diperlukan untuk mengeluarkan minyak tanah dari tangki itu sampai habis?
130 Kelas VIII SMP/MTs Semester 2