A. Luas Daerah Bidang Rata - APLIKASI INTEGRAL TENTU ALL
A. Luas Daerah Bidang Rata 1.
Misalkan daerah = , ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ . Luas R? Langkah-langkah: 1.
Iris R menjadi n bagian dari luas satu buah irisan dihampiri y = f(x) oleh luas persegi panjang dengan tinggi f(x). alas (lebar)
∆ ∆ ≈ ∆
R 2.
Luas R dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: a
∆ b Luas R =
= Contoh:
2 Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva , sumbu x dan x = 2?
=
2 Luas irisan :
∆ ≈ ∆
2
1
8
2
2
3 Luas daerah : = =
=
3
3
2
= R
∆ 2 2. Misalkan daerah = , ≤ ≤ , ≤ ≤ . Luas R?
Langkah: 1. y = h(x) Iris R menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi
(h(x) R – g(x)) dan alas ∆ h(x) – g(x)
∆ ≈ − ∆ 2. Luas R dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. y = g(x)
Dengan mengambil limitnya diperoleh a ∆ b
Luas R = = −
2 Contoh: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis
= + 4 dan parabola = − 2 Jawab: Titik potong antara garis dan parabola:
2
2
- 4 = − 2 ↔ − − 6 = 0 ↔ − 3 + 2 = 0 Maka titik potongnya : x = 3 dan x = -2
= + 4 Luas irisan :
2
∆ ≈ + 4 − − 2 ∆ Sehingga luas daerah:
3
2
= + 4 − − 2
−2
3
2
2
- =
- 4 − − + 6
− 2
−2
1 1 125
3
3
2
2
= + 6 = −
- 3
=
2
6 −2
∆ Catatan : Jika irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu x maka tinggi irisan adalah kurva yang terletak di atas dikurangi kurva yang dibawahnya. Jika batas atas dan batas bawah irisan berubah untuk sebarang irisan di R maka daerah R harus dibagi dua atau lebih.
2 Contoh: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x, dan
= = − + 2 Jawab:
Jika dibuat irisan yang tegak lurus dengan sumbu x, maka = − + 2 daerah harus dibagi menjadi dua bagian.
2 Luas daerah I:
1
∆ ≈ ∆
1
1
1
2
1
2
3
= = = =
1
3
3 I II Luas daerah II:
2
∆ ≈ − + 2 ∆
2
1
1
2
2
= = + 2 =
2
− + 2 −
2
1
2
1 Sehingga luas daerah:
1
1
5
- = = +
1
2
=
3
2
6 3. Misalkan daerah = , ≤ ≤ , ≤ ≤ . Luas R?
Langkah: 1. d Iris R menjadi n selang dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi dengan tinggi [h(y) - g(y)] dan alas
∆ ∆ ≈ − ∆
∆y 2.
Luas R dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: c
Luas R = = −
2 Contoh: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh dan
= 3 − = − 1 Jawab: Titik potong:
2
2
- Jadi titik potongnya: y = -2 dan y = 1
- 1 = 3 − ↔ − 2 = 0 ↔ + 2 − 1 = 0
2
2
1 −2
1
= −
1 −2
9
2
− + 1 ∆ Sehingga luas daerah: Luas daerah =
1
2
− 1 x = 3 − y
= 3 −
2
− + 1
1 −2
3
- 2
−
2
Catatan: Jika irisan sejajar dengan sumbu x maka tinggi irisan adalah kurva yang terletak disebelah kanan dikurangi kurva yang terletak disebelah kiri. Jika batas kanan dan kiri irisan berubah untuk sebarang irisan R maka daerah R harus dibagi dua atau lebih.
3
=
− + 2
2 Luas irisan : ∆ ≈ 3 −
−
∆y =
B. Menghitung Benda Putar Metode Cakram 1.
2
, sumbu x, dan garis x = 2 diputar terhadap sumbu x. y = x
Daerah = , ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ diputar terhadap sumbu x. Berapa volume benda tersebut? Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlahkan, dan ambil limitnya.
a b R = a b
R =
∆x ∆ ≈
2
∆ =
2 Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi f(x) dan alas
Δx diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu cakram lingkaran dengan tebal
Δx dan jari-jari f(x). sehingga Volume benda putar dihampiri oleh jumlah volume cakram. Dengan mengambil limitnya diperoleh
∆
Contoh:Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R yang dibatasi oleh =
Jawab: 2.
Δy g(y) =
∆ = c d
= ∆ ≈
2
∆ =
2 Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi g(y) dan alas
Δy diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu cakram lingkaran dengan tebal
Δy dan jari-jari g(y). Sehingga Volume benda putar dihampiri oleh jumlah volume cakram. Dengan mengambil limitnya diperoleh
2
2
Δy ∆ ≈
2
∆ = ∆ =
4
=
2
2
4 = 8
dan tebal ∆ . Sehingga Volume benda putar c d
5 Jika irisan diputar terhadap sumbu x akan diperoleh cakram dengan jari-jari
Daerah = , ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ diputar terhadap sumbu y? Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlahkan, dan ambil limitnya.
2
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh =
2
dan garis y = 4, sumbu y diputar terhadap sumbu y. Jawab:
2 ∆
=
2
∆ ≈
2
∆ =
32
4
∆ =
4
2
=
5
5
2 =
Jika irisan dengan tinggi dan tebal Δy diputar terhadap sumbu y akan diperoleh cakram dengan jari-jari dan tebal Δy. Sehingga Volume benda putar
METODE CINICIN A.
∆ =
2
2
2
1 +
2
. Sehingga Volume benda putar:
Δx y = x
Δx dan jari-jari luar h(x) dan jari-jari dalamnya g(x). Sehingga Volume benda putar dihampiri oleh jumlah volume cincin. Dengan mengambil limitnya diperoleh g(x) h(x)
alas Δx diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu cincin dengan tebal
2 Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi h(x) – g(x) dan
−
2
2
4
−
2
∆ ≈
R Δx
R h(x) g(x) a b
h(x) g(x) a b
Jawab:
, sumbu x, dan garis x = 2 diputar terhadap garis y = -1.
2
=
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R yang dibatasi oleh
Daerah = , ≤ ≤ , ≤ ≤ diputar terhadap sumbu x. Berapa volume benda putar yang terjadi? Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlah dan ambil limitnya.
2
- 2
∆ =
3
2
y = −1
15 Jika irisan diputar terhadap garis y = −1 akan diperoleh suatu cincin dengan jari-jari dalam 1 dan jari-jari luar
186
2 =
3
5
− 1
5
1
=
2
2
4
∆ =
- 2
- 2
2 ∆ ≈ 1 + B.
Daerah = , ≤ ≤ , ≤ ≤ diputar terhadap sumbu y. Berapa volume benda putar yang terjadi? Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlah dan ambil limitnya.
2
Δx ∆ ≈ 2 ∆
R a b y = f(x)
R a b y = f(x)
R g(y) h(y) Δy
alas Δy diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu cincin dengan tebal Δy dan jari-jari luar h(y) dan jari-jari dalamnya g(y). Sehingga Volume benda putar dihampiri oleh jumlah volume cincin. Dengan mengambil limitnya diperoleh c d
2 Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi h(y) – g(y) dan
−
∆ =
Catatan
2
−
2
R g(y) h(y) ∆ ≈
Misal daerah = , ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ diputar terhadap sumbu y. Berapa volume benda putar? Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlah, dan ambil limitnya. c d
METODE KULIT TABUNG a.
: Metode cincin irisan dibuat tegak lurus dengan sumbu putar
Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi f(x) dan alas Δx diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu tabung kosong dengan tebal Δx dan jari-jari dalam x. Sehingga
Δx Volume benda putar dihampiri oleh jumlah volume kulit tabung. Dengan x mengambil limitnya diperoleh f(x)
= 2 f(x) Δx
2 Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R yang dibatasi oleh = , x = 4, y = 0; mengelilingi sumbu x = 4
Jawab:
Jika irisan diputar terhadap garis x = 4 akan diperoleh suatu tabung kosong x = 4 dengan jari-jari 4
- – x dan tinggi tabung
∆ ≈ 2 4 − ∆ Volume benda putar:
4
=
3
8
2
1
4
3 2 5 2
2
= 2 − = 17 = 2 4 −
3
5
15 Δx b.
Misal daerah = , ≤ ≤ , ≤ ≤ diputar terhadap y. Berapa volume benda putar? h(x)
R g(x) a b
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlah, dan ambil limitnya. x h(x)
Δx R
− − g(x)
Δx
2 a b Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi − dan alas ∆ diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu tabung kosong dengan tebal
∆ dan jari-jari dalam tabung x. Sehingga ∆ ≈ 2 − ∆
Volume benda putar dihampiri oleh jumlah volume kulit tabung. Dengan mengambil limitnya diperoleh = 2 −
2 Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R yang dibatasi oleh
, = = 2 mengelilingi sumbu y.
Jawab:
Titik potong: y = 2x
2
2
= 2 ↔ − 2 = 0 ↔ − 2 = 0
Jadi titik potong adalah x = 0 dan x = 2 Jika irisan diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu tabung
2
kosong dengan jari-jari x dan tinggi tabung
2 −
2
2
y = x ∆ ≈ 2 2 − ∆
Volume benda putar:
2
2
2
1
8
2
2
3
3
4
= 2 2 − = 2 − =
3
4
3 Catatan: Metode kulit tabung irisan dibuat sejajar dengan sumbu putar Daftar Pustaka Purcell & Varberg. Kalkulus dan Geometri Analitik. Erlangga: 1992