Analisis Matriks Korelasi Parameter Tran
Analisis Matriks Korelasi Parameter Transformasi
Koordinat Beberapa Model Matematik
ADAM IRWANSYAH FAUZI
25117005
PROGRAM STUDI TEKNIK GEODESI & GEOMATIKA
FAKULTAS ILMU DAN TEKNOLOGI KEBUMIAN
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
2017
I.
Soal
Diberikan titik-titik sekutu sebagai berikut:
X(m)
Y(m)
-100.009
-100.002
99.996
100.010
14.997
0.002
100.003
-2.004
-100.005
-25.003
-60.011
99.995
0.001
100.002
-100.007
0.003
99.997
35.008
99.992
-0.005
0.004
0.005
-25.006
65.995
-100.000
-100.001
XX(m)
YY(m)
-191.675
-156.802
224.240
206.803
48.787
7.565
224.240
25.009
-174.234
-20.450
-106.043
241.676
42.434
161.803
-236.670
-2.570
196.660
52.349
179.233
-2.563
-20.009
-37.429
-74.171
101.033
-201.804
-219.231
Variansi dari koordinat pada sistem (X,Y) dan sistem (XX,YY), masing-masing adalah
0.1 m2 dan 0.01 m2. Tentukan parameter-parameter transformasi koordinat dua-dimensi
dengan menggunakan least-squares :
• Dari sistem (X,Y) ke sistem (XX,YY)
• Dari sistem (XX,YY) ke sistem (X,Y)
Model matematik transformasi koordinat yang digunakan:
a.
b.
c.
=
=
=
=
=
=
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ℎ
Lakukan analisis terhadap hasil hitungan anda ! Hitung pula matriks variansi-kovariansi
variabel hasil estimasi, dan lakukan analisis terhadap masing-masing matriks
korelasinya!
II.
Outlier Pada Data
Dari hasil hitungan transformasi awal menggunakan seluruh titik sekutu pada data (13 koordinat
titik sekutu), diperoleh bahwa data koordinat ke-8 merupakan data outlier. Ini ditunjukkan oleh
nilai koreksi yang relatif sangat besar dibandingkan nilai koreksi data koordinat titik sekutu
lainnya. Sehingga proses perhitungan transformasi selanjutnya dilakukan tanpa menggunakan
koordinat outlier tersebut (hanya menggunakan 12 titik sekutu).
RMSE Koordinat Hasil Transformasi Menggunakan 13 Titik Sekutu
RMSE Koordinat Hasil Transformasi Menggunakan 12 Titik Sekutu (tanpa koordinat ke-8)
III.
Matriks Parameter Transformasi Koordinat
A. Model Matematik I
•
=
−
=
+
+
+
Dari sistem (X,Y) ke sistem
(XX,YY)
.
.
[
−
.
Dari sistem (XX,YY) ke sistem
(X,Y)
.
a
b
c
d
]
.
•
− .
[
− .
.
]
a
b
c
d
B. Model Matematik II
•
=
+
=
+
+
+
Dari sistem (X,Y) ke sistem
(XX,YY)
.
− .
.
.
.
[− .
•
Dari sistem (XX,YY) ke sistem
(X,Y)
.
.
a
b
c
d
e
f
]
− .
− .
.
[ .
]
a
b
c
d
e
f
C. Model Matematik III
•
=
=
+
+
+
+
+
+ℎ
Dari sistem (X,Y) ke sistem
(XX,YY)
.
− .
− .
~
.
.
.
.
~
[− .
]
a
b
c
d
e
f
g
h
•
Dari sistem (XX,YY) ke sistem
(X,Y)
.
.
.
~
− .
− .
.
− .
~
[
]
.
a
b
c
d
e
f
g
h
IV.
Matriks Variansi-Kovariansi Parameter Transformasi Koordinat
A. Model Matematik I
•
•
=
=
−
+
+
+
Dari sistem (X,Y) ke sistem (XX,YY)
Dari sistem (XX,YY) ke sistem (X,Y)
B. Model Matematik II
•
•
=
=
+
+
+
+
Dari sistem (X,Y) ke sistem (XX,YY)
Dari sistem (XX,YY) ke sistem (X,Y)
C. Model Matematik III
•
•
=
=
+
+
+
+
+
+ℎ
Dari sistem (X,Y) ke sistem (XX,YY)
Dari sistem (XX,YY) ke sistem (X,Y)
V.
Matriks Korelasi Parameter Transformasi Koordinat
A. Model Matematik I
•
•
=
=
−
+
+
+
Dari sistem (X,Y) ke sistem (XX,YY)
Dari sistem (XX,YY) ke sistem (X,Y)
B. Model Matematik II
•
•
=
=
+
+
+
+
Dari sistem (X,Y) ke sistem (XX,YY)
Dari sistem (XX,YY) ke sistem (X,Y)
C. Model Matematik III
•
•
=
=
+
+
+
+
+
+ℎ
Dari sistem (X,Y) ke sistem (XX,YY)
Dari sistem (XX,YY) ke sistem (X,Y)
VI.
RMSE Residu Koordinat Hasil Transformasi
A. Model Matematik I
•
=
=
−
+
+
+
Dari sistem (X,Y) ke sistem
(XX,YY)
•
Dari sistem (XX,YY) ke sistem
(X,Y)
RMSE = 0.0050 m
RMSE = 0.0100 m
B. Model Matematik II
•
=
=
+
+
+
+
Dari sistem (X,Y) ke sistem
(XX,YY)
•
Dari sistem (XX,YY) ke sistem
(X,Y)
RMSE = 0.0048 m
RMSE = 0.097 m
C. Model Matematik III
•
=
=
+
+
+
+
+
+ℎ
Dari sistem (X,Y) ke sistem
(XX,YY)
RMSE = 0.081 m
•
Dari sistem (XX,YY) ke sistem
(X,Y)
RMSE = 0.0041 m
VII.
Analisis dan Kesimpulan
Dari keseluruhan analisis yang dilakukan, diperoleh simpulan bahwa :
• Hasil hitungan transformasi awal menggunakan seluruh titik sekutu pada data (13 koordinat
titik sekutu) diperoleh bahwa data koordinat ke-8 merupakan data outlier. Ini ditunjukkan oleh
nilai koreksi yang relatif sangat besar dibandingkan nilai koreksi data koordinat titik sekutu
lainnya. Selain itu, RMSE residu koordinat hasil transformasi yang diperoleh tanpa
melibatkan koordinat titik sekutu ke-8 jauh lebih kecil dibandingkan dengan hasil
transformasi menggunakan seluruh koordinat titik sekutu.
• Pada model matematik I, II dan III, tidak terdapat satupun parameter transformasi yang
memiliki korelasi signifikan. Hal ini ditunjukkan dengan koefisien korelasi pada matriks
korelasi yang relatif rendah yaitu mendekati 0. Namun apabila dibandingkan, parameter
transformasi pada model matematik I memiliki korelasi antar prameter yang relatif lebih besar
dibandingkan parameter transformasi pada model matematik II. Begitupun parameter
transformasi pada model matematik II, memiliki korelasi antar paramater yang relatif lebih
besar dibandingkan parameter transformasi pada model matematik III.
• Parameter transformasi yang saling berkorelasi menyebabkan perambatan kesalahan sehingga
dapat memperbesar kesalahan koordinat hasil transformasi. Semakin besar korelasi antar
parameter transformasi, maka akan semakin besar nilai perambatan kesalahan. Hal ini
ditunjukkan oleh RMSE residu koordinat hasil transformasi menggunakan model matematik
I relatif lebih besar dibandingkan dengan model matematik II dan II. Begitupun pada model
matematik II dan III, RMSE yang dihasilkan dari transformasi menggunakan model
matematik II relatif lebih besar apabila dibandingkan dengan RMSE yang dihasilkan dari
transformasi model matematik III.
• Melalui perhitungan RMSE residu koordinat hasil transformasi dengan koordinat yang
diketahui diawal, dapat disimpulkan bahwa model matematik III merupakan model matematik
yang paling sesuai digunakan untuk transformasi pada kasus ini. Model matematik III
menghasilkan RMSE residu yang paling minimun yaitu 0.0081 m dari sistem koordinat (X,Y)
ke sistem koordinat (XX,YY) dan 0.0041 m dari sistem koordinat (XX,YY) ke sistem
koordinat (X,Y).
• Proses transformasi pada dasarnya tidak mempertimbangkan kesalahan pada koordinat di
sistem koordinat awal, sehingga kesalahan pada koordinat awal akan seluruhnya
diakumulasikan ke koordinat hasil transformasi. Hal ini ditunjukkan pada transformasi
koordinat dari sistem (X,Y) ke sistem (XX,YY) menggunakan model matematik I,II, dan III,
nilai RMSE yang diperoleh relatif lebih besar (sekitar 2x lipat) dibandingkan pada
transformasi koordinat dari sistem (XX,YY) ke sistem (X,Y). Perbedaan ini disebabkan oleh
variansi antar sistem koordinat yang berbeda dimana sistem koordinat (X,Y) memiliki
variansi yang relatif lebih besar dibandingkan sistem koordinat (XX,YY), sehingga RMSE
residu koordinat hasil transformasi dari sistem koordinat (X,Y) ke sistem koordinat (XX,YY)
memiliki nilai yang relatif lebih besar dibandingkan transformasi sebaliknya.
Koordinat Beberapa Model Matematik
ADAM IRWANSYAH FAUZI
25117005
PROGRAM STUDI TEKNIK GEODESI & GEOMATIKA
FAKULTAS ILMU DAN TEKNOLOGI KEBUMIAN
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
2017
I.
Soal
Diberikan titik-titik sekutu sebagai berikut:
X(m)
Y(m)
-100.009
-100.002
99.996
100.010
14.997
0.002
100.003
-2.004
-100.005
-25.003
-60.011
99.995
0.001
100.002
-100.007
0.003
99.997
35.008
99.992
-0.005
0.004
0.005
-25.006
65.995
-100.000
-100.001
XX(m)
YY(m)
-191.675
-156.802
224.240
206.803
48.787
7.565
224.240
25.009
-174.234
-20.450
-106.043
241.676
42.434
161.803
-236.670
-2.570
196.660
52.349
179.233
-2.563
-20.009
-37.429
-74.171
101.033
-201.804
-219.231
Variansi dari koordinat pada sistem (X,Y) dan sistem (XX,YY), masing-masing adalah
0.1 m2 dan 0.01 m2. Tentukan parameter-parameter transformasi koordinat dua-dimensi
dengan menggunakan least-squares :
• Dari sistem (X,Y) ke sistem (XX,YY)
• Dari sistem (XX,YY) ke sistem (X,Y)
Model matematik transformasi koordinat yang digunakan:
a.
b.
c.
=
=
=
=
=
=
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ℎ
Lakukan analisis terhadap hasil hitungan anda ! Hitung pula matriks variansi-kovariansi
variabel hasil estimasi, dan lakukan analisis terhadap masing-masing matriks
korelasinya!
II.
Outlier Pada Data
Dari hasil hitungan transformasi awal menggunakan seluruh titik sekutu pada data (13 koordinat
titik sekutu), diperoleh bahwa data koordinat ke-8 merupakan data outlier. Ini ditunjukkan oleh
nilai koreksi yang relatif sangat besar dibandingkan nilai koreksi data koordinat titik sekutu
lainnya. Sehingga proses perhitungan transformasi selanjutnya dilakukan tanpa menggunakan
koordinat outlier tersebut (hanya menggunakan 12 titik sekutu).
RMSE Koordinat Hasil Transformasi Menggunakan 13 Titik Sekutu
RMSE Koordinat Hasil Transformasi Menggunakan 12 Titik Sekutu (tanpa koordinat ke-8)
III.
Matriks Parameter Transformasi Koordinat
A. Model Matematik I
•
=
−
=
+
+
+
Dari sistem (X,Y) ke sistem
(XX,YY)
.
.
[
−
.
Dari sistem (XX,YY) ke sistem
(X,Y)
.
a
b
c
d
]
.
•
− .
[
− .
.
]
a
b
c
d
B. Model Matematik II
•
=
+
=
+
+
+
Dari sistem (X,Y) ke sistem
(XX,YY)
.
− .
.
.
.
[− .
•
Dari sistem (XX,YY) ke sistem
(X,Y)
.
.
a
b
c
d
e
f
]
− .
− .
.
[ .
]
a
b
c
d
e
f
C. Model Matematik III
•
=
=
+
+
+
+
+
+ℎ
Dari sistem (X,Y) ke sistem
(XX,YY)
.
− .
− .
~
.
.
.
.
~
[− .
]
a
b
c
d
e
f
g
h
•
Dari sistem (XX,YY) ke sistem
(X,Y)
.
.
.
~
− .
− .
.
− .
~
[
]
.
a
b
c
d
e
f
g
h
IV.
Matriks Variansi-Kovariansi Parameter Transformasi Koordinat
A. Model Matematik I
•
•
=
=
−
+
+
+
Dari sistem (X,Y) ke sistem (XX,YY)
Dari sistem (XX,YY) ke sistem (X,Y)
B. Model Matematik II
•
•
=
=
+
+
+
+
Dari sistem (X,Y) ke sistem (XX,YY)
Dari sistem (XX,YY) ke sistem (X,Y)
C. Model Matematik III
•
•
=
=
+
+
+
+
+
+ℎ
Dari sistem (X,Y) ke sistem (XX,YY)
Dari sistem (XX,YY) ke sistem (X,Y)
V.
Matriks Korelasi Parameter Transformasi Koordinat
A. Model Matematik I
•
•
=
=
−
+
+
+
Dari sistem (X,Y) ke sistem (XX,YY)
Dari sistem (XX,YY) ke sistem (X,Y)
B. Model Matematik II
•
•
=
=
+
+
+
+
Dari sistem (X,Y) ke sistem (XX,YY)
Dari sistem (XX,YY) ke sistem (X,Y)
C. Model Matematik III
•
•
=
=
+
+
+
+
+
+ℎ
Dari sistem (X,Y) ke sistem (XX,YY)
Dari sistem (XX,YY) ke sistem (X,Y)
VI.
RMSE Residu Koordinat Hasil Transformasi
A. Model Matematik I
•
=
=
−
+
+
+
Dari sistem (X,Y) ke sistem
(XX,YY)
•
Dari sistem (XX,YY) ke sistem
(X,Y)
RMSE = 0.0050 m
RMSE = 0.0100 m
B. Model Matematik II
•
=
=
+
+
+
+
Dari sistem (X,Y) ke sistem
(XX,YY)
•
Dari sistem (XX,YY) ke sistem
(X,Y)
RMSE = 0.0048 m
RMSE = 0.097 m
C. Model Matematik III
•
=
=
+
+
+
+
+
+ℎ
Dari sistem (X,Y) ke sistem
(XX,YY)
RMSE = 0.081 m
•
Dari sistem (XX,YY) ke sistem
(X,Y)
RMSE = 0.0041 m
VII.
Analisis dan Kesimpulan
Dari keseluruhan analisis yang dilakukan, diperoleh simpulan bahwa :
• Hasil hitungan transformasi awal menggunakan seluruh titik sekutu pada data (13 koordinat
titik sekutu) diperoleh bahwa data koordinat ke-8 merupakan data outlier. Ini ditunjukkan oleh
nilai koreksi yang relatif sangat besar dibandingkan nilai koreksi data koordinat titik sekutu
lainnya. Selain itu, RMSE residu koordinat hasil transformasi yang diperoleh tanpa
melibatkan koordinat titik sekutu ke-8 jauh lebih kecil dibandingkan dengan hasil
transformasi menggunakan seluruh koordinat titik sekutu.
• Pada model matematik I, II dan III, tidak terdapat satupun parameter transformasi yang
memiliki korelasi signifikan. Hal ini ditunjukkan dengan koefisien korelasi pada matriks
korelasi yang relatif rendah yaitu mendekati 0. Namun apabila dibandingkan, parameter
transformasi pada model matematik I memiliki korelasi antar prameter yang relatif lebih besar
dibandingkan parameter transformasi pada model matematik II. Begitupun parameter
transformasi pada model matematik II, memiliki korelasi antar paramater yang relatif lebih
besar dibandingkan parameter transformasi pada model matematik III.
• Parameter transformasi yang saling berkorelasi menyebabkan perambatan kesalahan sehingga
dapat memperbesar kesalahan koordinat hasil transformasi. Semakin besar korelasi antar
parameter transformasi, maka akan semakin besar nilai perambatan kesalahan. Hal ini
ditunjukkan oleh RMSE residu koordinat hasil transformasi menggunakan model matematik
I relatif lebih besar dibandingkan dengan model matematik II dan II. Begitupun pada model
matematik II dan III, RMSE yang dihasilkan dari transformasi menggunakan model
matematik II relatif lebih besar apabila dibandingkan dengan RMSE yang dihasilkan dari
transformasi model matematik III.
• Melalui perhitungan RMSE residu koordinat hasil transformasi dengan koordinat yang
diketahui diawal, dapat disimpulkan bahwa model matematik III merupakan model matematik
yang paling sesuai digunakan untuk transformasi pada kasus ini. Model matematik III
menghasilkan RMSE residu yang paling minimun yaitu 0.0081 m dari sistem koordinat (X,Y)
ke sistem koordinat (XX,YY) dan 0.0041 m dari sistem koordinat (XX,YY) ke sistem
koordinat (X,Y).
• Proses transformasi pada dasarnya tidak mempertimbangkan kesalahan pada koordinat di
sistem koordinat awal, sehingga kesalahan pada koordinat awal akan seluruhnya
diakumulasikan ke koordinat hasil transformasi. Hal ini ditunjukkan pada transformasi
koordinat dari sistem (X,Y) ke sistem (XX,YY) menggunakan model matematik I,II, dan III,
nilai RMSE yang diperoleh relatif lebih besar (sekitar 2x lipat) dibandingkan pada
transformasi koordinat dari sistem (XX,YY) ke sistem (X,Y). Perbedaan ini disebabkan oleh
variansi antar sistem koordinat yang berbeda dimana sistem koordinat (X,Y) memiliki
variansi yang relatif lebih besar dibandingkan sistem koordinat (XX,YY), sehingga RMSE
residu koordinat hasil transformasi dari sistem koordinat (X,Y) ke sistem koordinat (XX,YY)
memiliki nilai yang relatif lebih besar dibandingkan transformasi sebaliknya.