BAB I - Hand Out KALKULUS KOMPLEKS

BAB I SISTEM BILANGAN KOMPLEKS

1. Tujuan Mata Kuliah

  1.1 Deskripsi Singkat

  Mata kuliah ini merupakan pengantar membahas tentang : Sistem Bilangan Kompleks, Fungsi dengan Peubah Kompleks sebagai pemetaan dari suatu bidang kompleks ke bidang kompleks lainnya, Pemetaan Konform yang sederhana, Pendiferensialan dan Pengintegralan Kompleks.

  1.2 Kegunaan Mata Kuliah

  Bagi mahasiswa mata kuliah ini dapat berguna untuk mengembangkan konsep-konsep matematika secara mendalam serta mampu menjelaskan konsep yang tidak dapat dijelaskan oleh mata kuliah lain, misalnya menjelaskan bilangan negatif di bawah tanda akar. Juga berguna untuk menambah wawasan terhadap konsep matematika secara konprehensif.

  1.3 Tujuan Instruksional Umum

  Pada akhir perkuliahan mahasiswa dapat menjelaskan dan menyelesaikan soal-soal tentang konsep yang terkait dengan bilangan kompleks.

  1.4 Susunan Bahan Ajar

  Bab I : Sistem Bilangan Kompleks Bab II : Fungsi, Limit, dan Kekontinuan Bab III : Turunan dan Fungsi Analitik

1.5 Petunjuk Bagi Mahasiswa

  1) Sebelum mempelajari konsep Sistem Bilangan Kompleks, mahasiswa sudah memahami konsep bilangan, terutama konsep sistem bilangan real.

  2) Sebelum mengikuti perkuliahan, mahasiswa diharuskan membaca dan mempelajari konsep yang akan dikuliahkan.

  3) Ikuti penjelasan dan contoh yang diberikan dosen 4) Setiap tugas atau latihan soal yang diberikan diusahakan kerja sendiri, dan jika ada masalah atau hal yang belum dimengerti dapat ditanyakan melalui teman atau dosen.

2. Sistem Bilangan Kompleks

2.1 Pendahuluan

   Deskripsi Singkat Sistem Bilangan Kompleks merupakan salah satu bab yang dipelajari dalam mata kuliah analisis kompleks. Pada bagian ini akan dibahas mengenai; (1) aljabar bilangan kompleks, (2) grafik bilangan kompleks, (3) bentuk polar, (4) modulus (nilai mutlak), (5) teorema De’Mivre, dan (6) akar-akar bilangan kompleks.

   Relevansi Hubungan bab ini dengan materi sebelumnya (mata kuliah yang telah diikuti) sangat erat. Dengan dasar pemahaman pada mata kuliah Kalkulus

  I, II, III, dan IV, serta terutama mata kuliah analisis real, mahasiswa dapat menjelaskan dan menyelesaikan soal-soal konsep bilangan kompleks.

   Tujuan Instruksional Khusus 1) Menyelesaikan soal-soal dengan menggunakan operasi-operasi pada bilangan kompleks 2) Menyajikan bilangan kompleks dalam sistem koordinat kartesius, polar, dan bentuk eksponen 3) Membuktikan pertaksamaan dalam nilai mutlak bilangan kompleks 4) Mencari akar dan memangkatkan suatu bilangan kompleks.

2.2 Penyajian

A. Aljabar Bilangan Kompleks

  Uraian dan Contoh

  Definisi 1.1

  Bilangan Kompleks adalah suatu pasangan terurut dari dua bilangan real x dan y yang dinyatakan oleh (x,y). Pernyataan ini merupakan definisi formal dari bilangan kompleks. Lambang bilangan kompleks kita gunakan huruf z yang berarti z = (x,y) dimana x bagian real dari z (ditulis Re(z)) dan y bagian imaginer dari z (ditulis Im(z)).

  Khusus pasangan terurut (x,0) diidentifikasikan dengan bilangan real x, yaitu (x,0) = x dan pasangan terurut (0,y) dinamakan bilangan imaginer sejati.

  Selanjutnya diambil lambang I untuk pasangan terurut (0,1), yaitu = (0,1) yang dinamakan satuan imaginer.

  Definisi 1.2

  Dua bilangan kompleks z

  1 = (x 1 , y

1 ) dan z

2 = (x 2 , y 2 ) dikatakan sama, ditulis z

  1

  = z jika x =x dan y = y . Khususnya z = (x,y) = (0,0) jika dan hanya jika x=0

  2

  1

  2

  1

  2 dan y=0.

  Definisi 1.3 Jika z = (x , y ) dan z = (x , y ) adalah bilangan kompleks, maka jumlah dan

  1

  1

  1

  2

  2

  2

  hasil kali dari z

  1 dan z 2 masing-masing adalah bilangan kompleks z 1 + z 2 dan

  z z yang diperoleh dari aturan berikut :

  1

  2

  z

  1 + z 2 = (x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 )

  z

  1 z 2 = (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) = (x

1 x

2 - y 1 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 ) Teorema 1.1

  Himpunan bilangan kompleks C memenuhi sifat-sifat lapangan, yakni : 1) z + z z , z

  1 2  C dan z

  1 2  C,  z

  1 2  C

  2) z + z = z + z dan z z = z z , z

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2 1 ,  z

  1 2  C

  3) (z

  1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) dan (z 1 z 2 ) z 3 = z 1 (z 2 z

  3 1 , z 2 , z

  3

  ),  z  C 4) z (z + z ) = z z + z z , z , z

  1

  2

  3

  1

  2

  1 3 ,  z

  1

  2 3  C

  5) Ada 0 = (0,0)  C, sehingga z + 0 = z,  z C 6) Ada 1 = (1,0)  0, 1C, sehingga z . 1 = z,  z  C 7)  z = (x,y)  C,  -z = (-x, -y)  C,  z + (-z) = 0

  x y

   -1 -1

  = ( ^{2 2 , 2 2 = 1} 8)  z = (x,y)  C,  z )  C,  z z

  x y x y   Bukti Teorema 1.1 dapat dilakukan sendiri dengan berpedoman pada definisi 1.2 dan 1.3

  Pada bagian berikut anda akan diperkenalkan pada penulisan lain dari bilangan kompleks z = (x,y). Dengan identifikasi x = (x,0) dan I = (0,1) dapat diuraikan sebagai berikut :

  (0,y) = (0,1)(y,0) = iy ………………………………………..(1) z = (x,y) = (x,0) + (0,y) = x + (0,y) ………………………….(2) Dari (1) dan (2) dapat diperoleh : z = x + iy

2 Demikian pula i = i x i = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1, karena itu bilangan kompleks

  x = (x,y) dapat ditulis dalam bentuk z = x + iy, dimana x dan y bilangan real

  2

  dan i satuan imaginer dengan i = -1 Contoh 1 : Jika z = (x,y) dan 1 =(1,0), maka z x 1 = (x,y) x (1,0) = (x, iy)(1 + i0) = x + iy = z

  x y

   -1

  Jika z = (x,y) dan z = ( ^{2 2 , 2 2 ), maka}

  x y x y   x y

   -1

  zz = (x + iy) ( ^{2 2 , 2 2 i)}

  x y x y _{2 2}   yx xy x y 

   _{2 2} + = ^{2 2 i = 1 + 0i = 1}

  x y x y

   

  Contoh 2

  Diberikan z = 2 – 3i dan z = -5 + i, tentukan bilangan kompleks :

  1

  2 z ₁

  (a) z + z ; (b) z - z ; (c) z z ; dan (d)

  1

  2

  1

  2

  1

  2 z ₂ Jawab :

  (a) z

  1 + z 2 = (2 – 3i) + (-5 + i) = (2 – 5) + (-3 + 1)i = -3 – 2i

  (b) z

  1 - z 2 = (2 – 3i) - (-5 + i) = (2 + 5) + (-3 - 1)i = 7 – 4i

  2

  (c) z z = (2 – 3i) (-5 + i) = – 10 + 2i + 15i –3i = -7 + 17i

  1

  2 ₂ z ₁

  2 3 i

  2 3 i 5 i

  13 13 i

  1       

  10 2 i     15 i 3 i

  (d) = = ( )( ) = = =

  z ₂ 5 i 5 i 5 i

  26

  2       25 i

   1

• i

2 Definisi 1.4

  Jika z = (x,y) = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari z (ditulis z = ( x, -y) = x – iy Contoh 3 Jika z

  1 = 3 + 4i dan z 2 = -2 – 5i, maka kompleks sekawan dari z 1 dan z 2 adalah z

  1

  = 3 – 4i dan z = -2 + 5i

2 Teorema 1.2

  1. Jika z bilangan kompleks, maka : (a) z = z

  z

  (b) z + = 2 Re(z) (c) z – z = 2i Im(z)

  2

  2 z

  (d) z = (Re(z)) + (Im(z))

  2. Jika z

  1 dan z 2 bilangan kompleks, maka :

• – ²
• x
• y
• iy
• iy

  5

  2

  2. Jika z = -1 – I, buktikan z

  g. {i/(1-i)} + {(1-i)/i}

  f. (1 + i) / (1 – i)

  10

  , …, i

  , i

  a. z

  

4

  , i

  3

  , i

  2

  e. i

  3. Cari bilangan kompleks z = x + iy yang memenuhi :

  = z

  c. (2 + 3i)(-2 – 3i)

  1

  = 2 Re( ^{2 1 z z} )

  z ₂ z

  5. Buktikan ^{2 1 z z} + ¹

  )

  z

  i(z -

  2

  b. z = -z

  ) b. Im(z) =

  z

  (z +

  1

  2

  a. Re(z) =

  4. Buktikan untuk setiap bilangan kompleks z berlaku :

  d. 6i/(6 – 5i)

  b. (2 - i) – (6 – 3i)

  Misalkan z

  (d)

   Bukti

  z

  ; ²

  z z

  = ₂ ¹

  ) ( ₂ ¹ z z

  z ₂ z

  1 = x 1 + iy 1 dan z 2 = x 2 + y 2 , maka _{2 1} z z 

  = ¹

  z z

  (c) ^{2 1}

  z

  z

  = ¹

  a. (5 – 2i) + (2 + 3i)

  = ) ( ) ( _{2 2 1 1}

  (a) ^{2 1 z z } = ^{1 z} + ^{2 z} (b) ^{2 1}

  1

  1. Ubahlah bilangan kompleks berikut menjadi bentuk x + iy

  Latihan 1

  ) = ^{1 z} + ^{2 z}

  2

  2

  ) + (x

  1

   iy x iy x   = i y y x x ) ( ) ( _{2 1 2}

₁

   = (x

  ) = (x

  2

  1

  ) – i(y

  2

  1

  z z 

• 2z + 2 = 0
• 1

BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN

2.1 Fungsi

  Fungsi kompleks definisinya identik dengan fungsi real satu peubah y = f(x). Namun ada penggantian lambang peubah bebas x oleh z dan peubah tak bebas y oleh w. Dengan demikian, maka fungsi kompleks tersebut dapat ditulis sebagai w = f(z), dimana z pada himpunan di bidang kompleks.

  Definisi 2.1.1

  Misalkan D himpunan titik pada bidang z. Fungsi kompleks f adalah suatu aturan yang memasangkan titik z anggota D dengan satu dan hanya satu titik w pada bidang w, yaitu (z,w) fungsi tersebut ditulis w = f(z). Himpunan D disebut domain dari f, dinyatakan oleh Df dan f(z) disebut range dari f dinyatakan oleh Rf, yaitu himpunan f(z) untuk setiap z anggota D.

  Contoh 1:

  2

• 2

  a. w = z + 10z

  c. w = z + iz - z

• 1

  2

  b. w = z

  d. w = 1/(z +1) ; z = x + iy Contoh 1a yaitu fungsi dengan domain seluruhnya di bidang z Contoh 1b dan 1c yaitu fungsi dengan semua titik pada bidang z, kecuali di z = 0 Contoh 1d yaitu fungsi dengan domain semua tiitk pada bidang z, kecuali di z =  i

  Fungsi komposisi didefinisikan : Misalkan diketahui fungsi f dengan domain Df dan fungsi g dengan domain Dg, jika Rf  Dg  , maka ada fungsi komposisi g(f(z)) dengan domain suatu himpunan bagian dari Df.

  Contoh 2 :

  2

  f(z) = z + i dan g(z) = z – z + 1 + i

  , maka g(f(z)) = g(2z + i)

  Jika Rf  Dg  

  2

  = (2z + i) – (2z + i) + 1 + i

  2

  = (4z + (-2 + 4i)z

  2

• – z + 1 + i) Jika Rg  Df  , maka f(g(z)) = f(z

  2

  = 2(z – z + 1 + i) + i

  2

  = 2z – 22z + 22 + 3i

2.2 Limit

  Diketahui daerah D pada bidang z dan titik z terletak di dalam D atau

  o pada batas D. Misalkan fungsi w = f(z) terdefinisi pada D, kecuali mungkin di z .

  Apabila titik z bergerak mendekati z melalui setiap lingkungan sebarang K dan nilai f(z) bergerak mendekati suatu nilai tertentu yaitu w , maka dikatakan limit f(z) adalah untuk z menuju z ditulis : l i m f(z) = w

  z  zo Definisi 2.2.1 Misalkan fungsi w = f(z) terdefinisi pada daerah D kecuali mungkin di z .

  (titik z di dalam D dan pada batas D) limit dari f(z) adalah w untuk z menuju z , jika untuk setiap   0, terdapat   0, sedemikian hingga f(z) – w   , f(z) = w apabila 0z – z   , ditulis ; l i m

  

z  zo

  Secara simbolik l i m f(z) = w    0,   0  0  z – z

  z  zo

      f(z) – w    Catatan perlu diperhatikan : 1) Titik z tidak perlu termasuk domain fungsi f 2) Peubah z menuju z melalui sebarang lingkungan K, artinya z menuju z dari segala arah.

  3) Apabila z menuju z melalui dua lingkungan yang berbeda saja, mengakibatkan f(z) menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsi f tidak ada untuk z menuju z 0.

  Contoh 3 :

  Buktikan l i m f(z) = z , jika f(z) = z

  z  zo

  Bukti : Akan ditunjukkan   0,   0  z – z     z – z    f(z) = Jelas ada  = , apabila z – z   , maka z – z   , berarti l i m z  zo z

  Teorema 2.1 Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju z , maka nilai limitnya tunggal.

  Bukti : Andaikan f mempunyai dua nilai limit yakti w

  1 dan w 2 dengan w

  1 2 .

   w Berarti l i m f(z) = w dan l i m f(z) = w

  1

  2 z  zo z  zo

  1

• – w Ambil bilangan positif  = ½ w 

2 Menurut definisi   0,   0, sehingga :

  1

  2

  f(z) – w    dan f(z) – w    Jika 0  z – z    Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga, diperoleh ;

• – w – f(z) + f(z) – w

  2

  1

  2

  w  = w

   1

  1

  2

   w – f(z) + f(z) – w 

• – w – w

  2

  1

  2

    +  = ½ w  + ½ w

   1

• – w

  2

   w

   1

  1 – w

  2 1 – w

  2 Terakhir diperoleh w   w  . Hal ini tidak mungkin, berarti pengandaian salah. Jadi limit f harus tunggal.

  Teorema 2.2 Misalkan z = (x,y) = x + iy dan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) dengan domain D.

  Titik z = (x , y ) = x + iy di dalam D atau pada batas D Maka l i m f(z) = x + iy jika dan hanya jika berlaku

  z  zo

  l i m u(x,y) = x dan l i m v(x,y) = y ,y ) ,y )

  (x,y)  (x (x,y)  (x Buktinya akan dibahas dalam bentuk diskusi dan pemecahannya.

  Teorema 2.3

  Misalkan fungsi f dan F limitnya ada di z l i m f(z) = w dan l i m F(z) = t z  z z  z Maka :

  1). l i m {f(z) + F(z)} = w + t z  z

  2). l i m {f(z) F(z)} = w t z  z 3). l i m f(z) / F(z) = w / t , t

   0 z  z

2.3 Kekontinuan

  Misalkan fungsi f(z) terdefinisi di D pada bidang z dan titik z terletak pada interior D. Fungsi f(z) dikatakan kontinu di z apabila l i m f(z) = f(z ) z  z

  Teorema 3.1

  Jika 1. f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 2. f(z) = terdefinisi disetiap titik pada daerah R 3. z = x + iy titik di dalam R maka fungsi f(z) kontinu jika dan hanya jika u(x,y) dan v(x,y) masing-masing kontinu di (x , y ).

  Latihan 2

  1. Tentukan nilai fungsi dari :

  2

  a. f(z) = z – 2z + 1 ; di z = 1 + 2i b. f(z) = (z+1)/(z-1) ; di z = -i

  2

  2

• – (Re(z)) ; di z =3 + i

  c. f(z) = z

2. Jika z = x + iy, nyatakan fungsi berikut dalam bentuk u(x,y) + iv(x,y) dan u(r,) + iv(r,).

  2

  a. f(z) = z + 3z

  b. f(z) = iz + Im(1/z)

  c. f(z) = 2 + i 3. Pada masing-masing soal berikut ada dua titik z dari suatu fungsi w = f(z).

  a. z = -2i; z = 1 + i; w = z – 2i

  1

  2

  b. z = 2 + 2i; z = 3i; w = iz

  1

  2

  c. z

  1 = 1 + i; z

  2

  = -4i; w = iz

BAB III TURUNAN DAN FUNGSI ANALITIK

3.1 Turunan

  Definisi 3.1 Jika f(z) bernilai tunggal dalam suatu daerah R di bidang z, maka turunan fungsi f(z) didefinisikan sebagai

  Limit f ( z h ) f ( z )  

  f’(z) = (1)

  h h

   nilai limitnya ada dan tunggal serta kontinu di h

   3.2 Fungsi Analitik

  Definisi 3.2 Jika turunan f’(z) ada di semua titik z dari suatu daerah R, maka f(z) dikatakan analitik dalam R. Fungsi f(z) dikatakan analitik di suatu titik z jika

  z  z 

  terdapat suatu lingkungan  sehingga f’(z) ada di setiap titik pada lingkungan tersebut Contoh 1 : f(z) analitik di z maka f(z) kontinu di z , dan berikan contoh kebalikannya tidak selalu berlaku benar. Jawab : f(z) analitik di z maka berlaku :

  f ( z h ) f ( z )  

  f(z + h) – f(z ) = . h dimana h = x  0

  h

  Limit Limit f ( z h ) f ( z ) Limit  

  f(z + h) – f(z ) = . h = f’(z ).0 = 0

  h h h    h

  karena f’(z ) ada, maka berlaku :

  Limit Limit

  f(z + h) – f(z ) = 0 atau f(z + h) = f(z ).atau

  h h   f(z) kontinu di z .

  Sebaliknya : f(z) = z kontinu di z berarti ;

  d Limit z z z  lim it iy   x x iy x iy       

  (f(z)) = =

  x , y x iy dz z   

      z  lim it x iy x iy ( x iy )

        

  =

  x , y    x iy

     lim it x iy

    

  =

  x , y x iy       lim it x 

  y 0 

    x x   lim it i y  x

  Jika = 1

    

  Jika = -1

  y i y   

  Akibatnya f(z) = z tidak analitik dimana-mana dan hal ini menunjukkan bahwa fungsi yang kontinu tidak perlu memiliki turunan atau tidak perlu analitik.

3.3 Persamaan Cauchy Riemann

  Syarat perlu agar w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik dalam suatu daerah R adalah u dan v memenuhi persamaan Cauchy Riemann

  u v u v    

   

  ; (2)

  x y y x    

  jika turunan parsial (2) kontinu dalam R, maka persamaan Cauchy Riemann adalah syarat cukup agar f(z) analitik dalam R.

  Fungsi u(x,y) dan v(x,y) seringkali dinamakan fungsi sekawan. Jika salah satu dari f(u) atau f(v) diberikan maka kita dapat menentukan yang lainnya dalam bentuk penjumlahan sebarang, sehingga bentuk u + iv = f(z) analitik. Contoh 2 Diketahui w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik dalam suatu daerah R dan

   u v u v     

  persamaan Cauchy Riemann ; .. Tunjukan :

  x y y x    

  (a) syarat perlu, dan (b) syarat cukup agar w analitik.

  Jawaban : (a) Syarat perlu agar f(z) analitik, maka limit

  Limit f ( z z ) f ( z )   

   z  z

    lim it u ( x x , y y ) iv ( x x , y y ) u ( x , y ) iv ( x , y )           

   

  = f’(z) =

  x , y x y       y x z

  harus ada dan tidak bergantung pada caranya (atau dan )

   

   mendekati nol. Kita memandang dua kemungkinan pendekatan Kasus 1 :  y = 0,  x 

   

   

    y

  



 x + ¹

     y + ¹

     x + y u

  x u

  =

  



y u  y

   ₁

   

   

   

   

   

   x +

    _{1 } x u

   

   

   

   = u(x +  x, y +  y) – u(x,y) = {u(x +  x, y +  y) – u(x, y +  y) – u(x,y)} = 

  u

  dimana ¹

  dan ¹

   

   

   ₂

   

   

   

   

   

   x v  x +

    ₂

   

   

   

  v  = 

  diandaikan kontinu, maka kita mempunyai :

   

  y v

  dan

   

  x v

   Dengan cara yang sama, karena

   dan  y

  untuk  x

  diandaikan kontinu, maka kita mempunyai :

  y u

   

   asalkan turunan parsialnya ada. Kasus 2 :  x = 0,  y   

  i

  =

  ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( lim

    y y x v y y x v y i y x u y y x u y it

      

     

   

   

   

   

   

   

  x v i x u

  =

  ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( lim

    x y x v y x x v i x y x u y x x u x it

      

     

  





  



  1 y v y u

   

  dan

   atau

   

  x u

   (b) Syarat cukup. Karena

     

  y u dx v

   ,

   

   

  y v

x

u

   

   =

   

  y v dy u i

   =

   

   

  x v i x u

   sekarang f(z) tidak mungkin analitik, kecuali dua limit ini sama. Jadi suatu syarat perlu agar f(z) analitik adalah :

   

   

  y v dy u i

  



y v  y

  v  v  ₂

    ²

  = x + y + x + y

      y x

       ²  

  dimana dan untuk x dan y maka : ²

   u v u v     i y w u v i x 

   

      ²   ²

   

  = = + + x +

   

   y y  x x

   

   y

  i i           

  dimana  = dan untuk x dan y ^{1 2 1 2}

   

   menurut persamaan Chauchy Riemann maka dapat ditulis sebagai :

   u v u v   

  w x      

  = +  x + y

• i i y

   x x x x     u v

   

    i x

  = ( i +    + x + y

    x x 

   

y )

  kemudian bagilah dengan z = x + i y dan ambil limitnya untuk   

   x

  , maka kita melihat bahwa :

  w lim it w u v     i

  = f’(z) = = sehingga turunannya ada dan

   x x z z z

     

   

  tunggal, yaitu f(z) analitik dalam R

  Latihan 3

  1. Tentukan turunan setiap fungsi berikut di titik yang diberikan dengan menggunakan definisi :

  2

  a. f(z) = 3z + 4iz – 5 + i ; di z = 2

  2 z i 

  b. f(z) = ; z = -i

  z  2 i

• 2

  c. f(z) = 3z ; z =1 + i tidak analitik dimana-mana. Bandingkan hal ini dengan kenyataan bahwa persamaan Chauchy Riemann dipenuhi di x=0, y = 0

  2

  =

  2

  4. Tunjukkan bahwa fungsi x

   

   y w

  i

  =

   

  x w

  dz dw

  2. Untuk setiap fungsi berikut ini, tentukan titik singularnya yaitu titik dimana fungsinya tidak analitik. Tentukan pula turunan di semua titik lainnya.

  3. Buktikan bahwa jika w = f(z) = u + iv analitik dalam suatu daerah R, maka

   z z z

  3 ₂  

  2

  2

  5

   b.

  i z z

  a.

• iy