Bahan ajar 5 Nilai Sentral

PENGUKURAN NILAI SENTRAL/PUSAT

  

Nilai tunggal yang mewakili (representatif) bagi seluruh nilai dalam data dianggap sebagai

rata-rata (averages).

  

Nilai rata-rata umumnya cenderung terletak ditengah dalam suatu kelompok data yang

disusun menurut besar kecilnya nilai. Jadi keseluruhan nilai yang ada dalam data

diurutkan besarnya dan selanjutnya nilai rata-rata dimasukan kedalamnya, maka nilai

rata-rata tersebut mempunyai tendensi (kecenderungan) terletak diurutan paling

tengah atau pusat.

  

Maka nilai rata-rata sering disebut sebagai ukuran kecenderungan memusat

(measures of central tendency).

  Beberapa jenis rata-rata yang sering digunakan :

  1. Rata-rata hitung (Mean) : X

  2. Median : Md

  3. Modus : Mod 4. Rata-rata Ukur (geometric mean) : Gm.

  5. Rata-rata Harmonis : Rh.

  1. Rata-rata Hitung merupakan jumlah nilai seluruh data dibagi dengan

  Rata-rata hitung (mean) : jumlah data.

  Mean populasi diberi simbol  (miyu)

  Mean sampel diberi simbol x (eks bar)

  X 1 

  X 2  ....  Xn

  X  _n n

  Xi  _{i 1}

  X n

  i = nomor data, dengan nilai 1 sampai n x = merupakan nilai data n = jumlah data (sample size)

  

Contoh : Perusahaan pembuat lampu pijar PT. Jelas Terang pada tahun 2004 telah

berhasil memproduksi lampu sebanyak 50.000 buah. Untuk memperoleh informasi teknis

tentang umur rata-rata bola lampu pijak tersebut, maka diambil sampel sebanyak 5 buah

bola lampu untuk ditest. Dari 5 buah lampu tersebut, didapatkan umur masing-masing

bola lampu : 967, 949, 940, 952 dan 922 jam.

  Maka umur rata-rata bola lampu (dari sampel) adalah : 967  949  940  952  922

  X 946  

5 Jika sampel tersebut dianggap dapat mewakili populasi maka umur rata-rata bola lampu

  (untuk 50.000 buah) diduga mendekati 946 jam. atau  = 946 jam

Apabila data disajikan dalam bentuk tabel frekwensi, dimana X1 mempunyai frekwensi f1

kali, X2 mempunyai frekwensi f2 kali dan seterusnya hingga Xn mempunyai frekwensi fn

kali, maka rumus rata-ratanya

  : f . x f . x ... fn . x _{1 1}    _{1 2 n}

  X   f f ... fn _{1  2}   n f x i i

   i 

1 X

  n f i

   i 

1 X = Mean

  n = Penjumlahan dari i = 1 s/d n.

  

  i=1 f = frekwensi (keseringan terjadi) x = nilai data i = macam nilai data

  

Contoh : Didapatkan data sebagai berikut : 6, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 10, 10, 10, 10,10.

  3 f x i i

   i 

  1 X

  3 f i

   i 

  1 4 . 6 + 4 . 8 + 6 . 10 116 X = = 4 + 4 + 6

   14 X = 8,286

Untuk beberapa kumpulan data yang masing-masing kumpulan data telah

diketahui nilai rata-rata dan jumlah datanya, maka “mean” dari seluruh kumpulan

data dapat dicari langsung dengan cara : n 1 . X 1 + n 2 . X 2 + .. + n k X k

  X = n 1 + n 2 + . . + n k k n x i i

   i 

  1 X k n i

   i 

1 X = Mean

  k = Jumlah kelompok data ni = jumlah data pada kelompok ke i Xi = mean kelompok ke i

  

Contoh : Berikut ini disajikan data tentang harga beras rata-rata pada 5 kelompok

pasar di propinsi X seperti pada tabel berikut ini :

Tabel 1. Harga beras rata-rata pada 5 kelompok pasar di propinsi X pada bulan

Desember 1990.

  Kelompok Jumlah Harga Beras Pasar Pasar Rata-rata (Rp.

  A 15 320 B 10 300 C 8 290 D 24 310 E 20 295

  n 1 .X 1 + n 2 . X 2 + n 3 .X 3 + n 4 .X 4 + n 5 .X

  5 X = n 1 + n 2 + n 3 + + n 4 + n

  5 15.320 + 10.300 + 8.290 + 24.310 + 20.295 X = 15 + 10 + 8 + 24 + 20

RATA-RATA HITUNG GRUPED DATA

  Grouped data atau data yang telah dikelompokan ialah data yang telah mengalami penyederhanaan dalam bentuk distribusi frekwensi.

  m 1 . f 1 + m 2 . f 2 + . . + m k . f k X = f + f + . . + n

  1 2 k k m f i i

   i _

1 X

  k f i

   i 

1 X = rata-rata hitung (mean)

  m = titik tengah interval kelas (class mark) f = frekwensi i = nomor kelas dari 1 s/d k  = notasi penjumlahan Contoh

  Tabel. Perhitungan Rata-rata hitung data yang dikelompokan Hasil Ujian mi fi mi . fi Statistik 20 – 29 24,5

  4

  98 30 – 39 34,5 7 241,5 40 – 49 44,5 8 356 50 – 59 54,5 12 654 60 – 69 64,5 9 580,5 70 – 79 74,5 8 596 80 – 89 84,5 2 169 Jumlah 50 2695

  k m f i i

   i 

1 X

   k f i

   i 

  1 2695

   = = 53, 9

50 Metode Short Cut

  

Pada dasarnya menghitung rata-rata hitung dengan metode short cut adalah merubah

skala titik tengah (class mark) suatu kelas dengan sebuah skala baru yaitu skala U yang

bernilai kecil dan bulat dan selanjutnya skala U ini juga disebut

  = 0,  1,  2,  3 penyeimbangan nomer interval kelas.

  Langkah-langkah pengunaan metode short cut.

  1. Menentukan letak pusat skala U (skala U = 0)

  Pusat skala U (U=0) diletakan pada titik tengah (class mark) dari kelas yang memiliki frekwensi yang terbesar, atau kadang-kadang diletakan pada class mark dari kelas yang memiliki urutan tengah.

  2. Mengganti masing-masing class mark atau titik tengah dengan skala u.

  Untuk data yang telah disajikan dalam tabel, maka titik tengah yang berada diatas kelas dengan skala U = 0 diganti dengan –1 dan selanjutnya titik tengah diatasnya lagi diganti dengan –2 demikian seterusnya. Titik tengah dibawahnya berturut-turut diganti dengan 1,2,3 dan seterusnya.

  3. Menghitung titik tengah suatu kelas yang dianggap sebagai nilai rata-rata (Xo). Nilai rata-rata ini (Xo) letaknya sebaris dengan skala U = 0.

1 Xo = rata-rata hitung yang diasumsikan

  4

   X = 54,5 + ( -3 ) 10 = 53,9

  6 50 -3

  16

  9

  3 -12 -14 -8

  2

  1

  2 -3 -2 -1

  8

  9

  12

  8

  7

  7. 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 54,5

  4. Menghitung faktor koreksi yang akan membuat rata-rata yang diasumsikan (dianggap) menjadi sama dengan rata-rata yang diperoleh dari metode langsung.

  1

  

Rumus perhitungan rata-rata hitung dengan Metode Short Cut

adalah : i f

  U f Xo

  X k i i k i i i

       

       

      _{ }

  Ui = nilai skala U kelas i fi = frekwensi kelas i i = internval kelas

  6.

   = notasi penjumlahan

Tabel. Perhitungan rata-rata hitung dengan Metode Short Cut

  Nomor Kelas Interval Kelas Titik Tengah Frekwens i (fi) Skala U (Ui) Ui . fi 1.

  2.

  3.

  4.

  5.

50 MEDIAN (Md)

  Median adalah suatu ukuran pemusatan yang menempati posisi tengah jika data

1. Data yang tidak dikelompokan 1.1. Jika jumlah data tidak merupakan kelipatan 2.

  n + 1 7 + 1 k = = = 4

  2

  

Maka k merupakan bilangan rasional pecahan, yang didapat dari rumus:

n + 1 k =

  1.2. Jika jumlah data merupakan kelipatan 2

  y.i = 9

  2

  3, 6, 7, 9 , 10, 13, 17 k selanjutnya dapat dicari sebagai berikut :

  

diurutkan menurut besarnya. Median ini merupakan rata-rata ditinjau dari segi

kedudukannya dalam urutan data (positional avarage).

  Maka mediannya dapat dicari sebagai berikut :

  6, 17, 13, 3, 10, 7, 9

  Contoh : Didapat kumpulan data sebagai berikut :

  n = jumlah data k = nomor urut data

  2

  Maka nilai median adalah sama dengan nilai data yang memiliki urutan tengah atau data yang bernomor urut k n + 1 k =

2 Jadi nilai mediannya sama dengan nilai data yang memiliki urutan data yang ke – 4,

  Sedangkan nilai mediannya merupakan rata-rata nilai data yang bernomor urut paling dekat dengan k. Rumus mediannya adalah : a b n + n Md =

   2 n a & n b adalah nilai suku yang dekat dengan k.

  Contoh :

  Didapatkan kumpulan data sebagai berikut : 4, 8, 7, 15, 12, 13.

  Maka mediannya dapat dicari sebagai berikut : 4, 7, 8, 12, 13, 15 data tersebut n – nya = 6 ( kelipatan 2 )

  maka k = n + 1 = 6 + 1 = 3,5

  2

  2 Data yang paling dekat dengan k adalah : Data ke – 3 ke ke – 4 dan berturut-turut memiliki nilai 8 dan 12. Md = 8 + 12 = 10

   merupakan nilai rata-rata dari dua nilai yang ada 2 ditengah.

  2. Data yang dikelompokan (Grouped Data) Median Grouped data merupakan sebuah nilai yang membagi seluruh luas histogram frekwensi menjadi dua bagian yang sama besar.

  Perhitungan Media data yang telah dikelompokan.

  1. Menentukan letak median pada suatu kelas.

  Kelas median terletak pada kelas yang pertama kali mempunyai frekwensi kumulatif dari atas sama dengan atau melebihi n/2.

2. Mencari nilai median (Md) dengan rumus : Md = T B + (n/2) – F x i F m

  F = Frekwensi kumulatif “dari atas” pada klas sebelum klas median. F m

  11

  Md = T A – n/2 – F x i

   12 Perhitungan median dapat juga didasarkan pada tepi kelas atas (upper class boundary) dengan rumus :

  50 Md = 49,5 + 50/2) – 19 x 10 = 54,5

  50

  48

  40

  31

  19

  4

  = Frekwensi klas median i = Interval klas median

  T B = tepi kelas bawah dari kelas yang memuat median n = jumlah frekwensi/banyaknya observasi

  8

  9

  12

  8

  7

  4

  Tabel. Perhitungan Median Grouped Data Hasil Ujian Banyaknya Mahasiswa Frekwensi kumulatif kurang dari 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89

  2

  F m T A = tepi kelas atas (upper class boundary) n = jumlah frekwensi/banyaknya observasi Fm = frekwensi kumulatif kurang dari pada klas sebelum klas median i = interval kela Md = 59,5 – (50/2) – 19 x 10

   12 = 59,5 – 5 = 54,5

  

MODUS (Mod)

  1

    T B = tepi kelas bawah dari kelas modus i = interval kelas S1 = Selisih frekwensi kelas modus dengan frekwensi klas sebelumnya. S2 = Selisih frekwensi kelas modus dengan frekwensi klas sesudahnya.

     

  1   

  1

  2

  S T Mod _B .

  2. Data yang dikelompokan i S S

  2

  1

  1

  2

  4

  1

  2

  Modus atau mode adalah nilai dari observasi atau pengamatan yang memiliki frekwensi tertinggi.

  18

  12

  11

  10

  9

  8

  5

  3

  X Y

  Penyelesaian : dibuat tabel frekwensi Penyelesaian : dibuat tabel frekwensi

  Diketahui sekumpulan data sebagai berikut : 3, 5, 8, 2, 9, 10, 10, 9, 9, 11, 12, 18, 18, 9.

  1. Modus data yang tidak dikelompokan.

  

Nilai observasi yang memiliki 2 modus disebut Bimodal, dan lebih dari 2 disebut “Multi

Modal”.

  Mod : 9

  Tebel. Distribusi frekwensi hasil ujian Hasil Ujian Jumlah Mahasiswa 20 – 29

  4 30 – 39

  7 40 – 49

  8 50 – 59

  12 60 – 69

  9 70 – 79

  8 80 – 89

  2

  

  12 8   Mod 49 ,

  5

  10     (

  12 8 ) (

  12 9 )     

  4    49 , 5 

  10  

  4

  3   

  = 49,5 + 5,7 = 55,2

Perhitungan modus dapat juga didasarkan pada tepi klas atas (T A ) dengan rumus sebagai

berikut :

  S

  1   Mod T . i

    _{A  } S

1 S

  2   

  T = tepi kelas atas

  A Perbandingan antara rata-rata hitung, Median & Modus

1. Jika distribusi frekwensi mempunyai kurva yang simetris sempurna, maka letak rata-rata hitung (X), median (Med) dan modus (Mod) adalah sama.

  

2. Jika distribusi frekwensi mempunyai kurva menceng kekanan, maka nilai rata-

rata hitung (X) paling besar, diikuti dengan median (Md), kemudian modus (Mod) sebagai berikut :

  

3. Apabila distribusi frekwensi kurvanya menceng kekiri maka nilai rata-rata (X)

paling kecil, diikuti median (Md), kemudian modus (Mod) sebagai berikut : Rata-rata ukur dan Rata-rata Harmonis Rata-rata Ukur (Gm)

  

Dalam bidang bisnis dan ekonomi seringkali diperlukan informasi tentang tingkat

perubahan (rate of change) atau pengrata-rataan rasio.

  

Misalnya rata-rata persentase tingkat perubahan hasil penjualan, produksi, harga,

pendapatan nasional selama 10 tahun yang lalu.

  

Cara menghitung rata-rata ukur secara sederhana dari serangkaian nilai observasi X1,

X2, ..., Xn dirumuskan sebagai berikut :

   n Gm = X1 . X2 . . . Xn

  

R ata-rata ukur suatu kelompok nilai X1, X2, X3 . ., Xn merupakan akar pangkat n dari

hasil kali masing-masing nilai dari kelompok tersebut.

  Untuk mencari rata-rata ukur dapat juga digunakan rumus : n i

   log X log Gm = i = 1 n atau n i

   log X Gm = antolog i = 1

  N Diketahui serangkaian nilai observasi sebagai berikut :

  10, 8, 12, 15

  Berapa rata-rata hitungnya ?

   4 Gm = X1 . X2. X3 . X4

   4

  4

  1/4

   = (10) (8) (12) (15) = 14.400 = (14400)

   = 10,95

  atau dapat dihitung dengan jalan sebagai berikut :

  log Gm = ¼ (log 10 + log 8 + log 12 + log 15) = ¼ (1 + 0,9031 + 1,0792 + 1,1761) = ¼ (4,1584) = 1,0396 Gm = antilog 1,0396 = 10,95

  Hubungan antara Rata-rata Ukur dan Bunga Majemuk Rumus bunga majemuk (Compound Interest) : Pn = P (1 + r) n

  P = Jumlah uang permulaan r = tingkat bunga (rate of interest) n = banyaknya waktu Pn= jumlah akumulasi pada akhir tahun ke – n (end of n period)

  Jika tingkat bunga berubah dari waktu ke waktu yaitu, r ^{1 , r 2 , ..,r n , maka jumlah akumulasi} uang pada akhir tahun ke – n : Pn = P (1 + r

  1 ) (1 + r

  2 ) ... (1 + r n ) Hubungan antara Gm dengan bunga majemuk dapat diuraikan sebagai berikut :

  Pn = P (1 + r) n

  Pn = P (1 + r

  1 ) (1 + r

  2 ) .. (1 + r n

  ) P = (1 + r) n

  = P (1+r 1 ) (1 + r 2 ) .. (1 + r n ) (1 + r) n

  = (1+r 1 ) (1 + r 2 ) .. (1 + r n ) Jika diambil akar dengan pangkat n, maka n n n n

  1 2 n (1 + r) = (1 + r) = (1+r ) (1 + r ) .. (1 + r )

  Jadi (1 + r ) = merupakan rata-rata ukur dari (1+r

  1 ) (1 + r 2 ) .. (1 + r n )

Jika jumlah uang pada permulaan tahun P = 100.000,- dan dibungakan dengan tingkat

bunga r = 3% maka jumlah uang pada akhir tahun pertama P 1 = 100.000 (1+0,03) = 103.000,- P

  I 103 1 + r 1 = ---- = ------- = 1,03 P 100

  Jadi nilai-nilai (1+r 1 ) (1 + r 2 ) .. (1 + r n ) menunjukan hubungan relatif antara nilai P dengan nilai P sebelumnya.

  P 1 (103.000) adalah 3% > P (100.000) merupakan rata-rata relatif (average relative), dan angka merupakan

  Angka (1 + r) r rata-rata persentase tingkat perubahan per periode waktu.

  Untuk menghitung r dapat digunakan rumus _n P _n r  

  1 p

  Contoh :

Diketahui tingkat produksi barang A mempunyai kenaikan sebesar 25% dari tahun

pertama ke tahun kedua, selanjutnya 40% dari tahun kedua ke tahun ketiga. Produksi

mula-mula = 100 ton.

  Hitung rata-rata tingkat kenaikan (average rate of increase) selama 2 tahun tersebut. _n P _n r

  1   p Pn = P (1 + r 1 ) (1 + r 2 ) .. (1 + r n )

  2

  1

2 P = P (1 + r ) (1 + r )

  P 2 = 100 (1 + 0,25) (1 + 0,4) = 125 (1,4) = 175 P = 100

  175

   = - 1 = 1,323 ( 32, 3%)

   r 

   100

  atau n 1 + r = (1+r

  1 ) (1 + r 2 ) .. (1 + r n ) n 1 + r = (1+0,25) (1 + 0,4) = 1,75 r = 1,75 – 1 = 0,323 (32,3%) Jadi rata-rata tingkat kenaikan r = 32,3%.

  

Jadi dapat disimpulkan, bahwa rata-rata tingkat perubahan sebesar r diperoleh dengan

menggunakan rumus rata-rata ukur, yang merupakan tingkat bunga didalam rumus bunga

majemuk (compound interest).

  Contoh :

Pendapatan Nasional (National Income) suatu negara pada tahun 1988 sebesar 400

milyar dan tahun 1992 menjadi 600 milyar selama 4 tahun berapa besarnya rata-rata

tingkat pertumbuhan ? n = 4 n

  P n = P (1 + r)

  4 600 = 400 (1 + r ) 600 4 600

  4 (1 + r) = -1 = 1,105 – 1 = 0,107  r =

  400 400 atau 4 600

  4 1/4

  P = = 6/4 = ( 6/4 ) 400 log P = ¼ log 6/4 = ¼ (log 6 – log 4) = ¼ (0,778 – 0,002) = 0,176/4 = 0,044 P = 1,107  r = 1,107 –1 = 0,107

Jadi rata-rata tingkat pertumbuhan pendapatan nasional selama 4 tahun = 0,107 =

10,7% Rata-rata ukur data yang dikelompokan

Apabila sebuah distribusi frekwensi mempunyai nilai-nilai titik tengah (class mark) m

^{1 ,} m ^{2 , . ., m k dengan frekwensi masing-masing f 1 , f 2 , . ., f k , maka rata-rata ukurnya dapat} dicari dengan rumus : n Gm = m

  1 . f 1 . m 2 . f 2 . . . m k . f k 1 1 + 2 2 k k log m . f m . f + . . + log m . f LogGm = n n i

  I

  1 2 k . f n = f + f + . . + f  log m log Gm = i = 1 n

  Tabel. Cara menghitung rata-rata ukur dari hasil ujian statistik 50 mhs FE.UI. Th. 1986. Hasil mi fi log mi log mi fi mifi Ujian 20 – 29 24,5 4 1,38917 5,55668

  98 30 – 39 34,5 7 1,53782 10,76474 241,5 40 – 49 44,5 8 1,64836 13,18688 356 50 – 59 54,5 12 1,73639 20,83668 654 60 – 69 64,5 9 1,80956 16,28604 580,5 70 – 79 74,5 8 1,87216 14,97728 596 80 – 89 84,5 2 1,92686 3,85372 169 50 85,46202 2695 85,46202 log Gm = = 1,70924

   50 Gm = anti log 1,70924 = 51,1965

  

Rata-rata ukur hasil ujian 50 mhs FE.UI. Th.1986 adalah 51,1965. Bila kita hitung rata-

rata ( X ) data diatas, maka akan diperoleh hasil : 2695 X = = 53,9

  50 Hasil pengukuran dengan rata-rata hitung (mean) seharusnya lebih besar dari pada hasil pengukuran rata-rata ukur.

  Rata-rata harmonis (R h )

Rata-rata harmonis dari n angka, X1, X2, . . , Xn adalah nilai yang diperoleh dengan jalan

membagi n dengan jumlah kebalikan dari masing-masing X tersebut. n R  _{h n}

  1  _{i  1 i}

  X Rata-rata harmonis dari angka-angka : 1, 3, 9 adalah

  3

  

3

  3 R h = = = 1/1 + 1/3 + 1/9 9/9 + 3/9 + 1/9 13/9 3 x 9 = = 2,077

  13 Untuk data yang disusun dalam daftar distribusi frekwensi maka rumusnya : _k f _i

   _{i  1} R  _{h k} f _i

   _{i  1 m i}

Rata-rata ukur (Gm) khususnya berguna dalam penghitungan tingkat pertumbuhan, kalau

harmonis mean (rata-rata harmonis) digunakan dalam menghitung rata-rata tingkat

kecepatan.