Ir Tito Adi Dewanto

Analisis Varian

Statistika Ekonomi
Ir Tito Adi Dewanto

1

Uji Anova
Anova : menguji rata-rata satu kelompok / lebih melalui satu variabel dependen / lebih
berbeda secara signifikan atau tidak.
ONE WAY ANOVA
Satu variabel dependen (kuantitatif) dan satu kelompok (kualitatif)
Contoh : apakah pandangan siswa tentang IPS (kuantitatif) berbeda berdasarkan
jenjang pendidikannya (kualitatif : SD, SLTP, SMU)

UNIVARIAT ANOVA

Satu variabel dependen tetapi kelompok berbeda
Contoh : apakah rata-rata ulangan berbeda berdasar
kan klasifikasi sekolah dan kelompok penelitian
Variabel dependen lebih dari satu tetapi

kelompok sama
Contoh : apakah rata-rata ulangan dan pandangan
siswa terhadap IPS berbeda untuk tiap daerah

MULTIVARIAT ANOVA

Variabel dependen lebih dari satu dan kelompok
berbeda
Contoh : apakah rata-rata ulangan dan pandangan
siswa terhadap IPS berbeda berdasarkan klasifikasi
Sekolah dan kelompok penelitian

Analisis Variansi
• Analisa variansi (ANOVA) adalah suatu
metoda untuk menguji hipotesis kesamaan
rata-rata dari tiga atau lebih populasi.
• Asumsi
 Sampel diambil secara random dan
saling bebas (independen)
 Populasi berdistribusi berdistribusi

Normal
 Populasi mempunyai kesamaan variansi
3

Analisis Variansi
• Misalkan kita mempunyai k populasi.
• Dari masing-masing populasi diambil sampel
berukuran n.
• Misalkan pula bahwa k populasi itu bebas dan
berdistribusi normal dengan rata-rata 1, 2, ….
dan k dan variansi 2.
• Hipotesa :
H0 : 1 = 2 = … = k
H1 : Ada rata-rata yang tidak sama

4

Analisis Variansi

Total

1
x11
x12
:
x1n
T1

2
x21
x22
:
x2n
T2

Populasi
…
i
…
xi1

…
xi2
:
:
…
xin
…
Ti

…
…
…
:
…
…

k
Xk1
Xk2
:

xkn
Tk

Total

T

Ti adalah total semua pengamatan dari populasi ke-i
T adalah total semua pengamatan dari semua populasi

5

Rumus Hitung Jumlah Kuadrat
k

Jumlah Kuadrat Total =

2


n

T
JKT   x 
nk
i 1 j1
2
ij

k

T

2
i

2


T


Jumlah Kuadrat Perlakuan = JKP 
n
nk
Jumlah Kuadrat Galat =
JKG  JKT  JKP
i 1

6

Tabel Anova dan Daerah Penolakan
Sumber
Variasi

Jumlah
kuadrat

Derajat
bebas

Kuadrat
Rata-rata

Statistik F

Perlakuan

JKP

k–1

KRP =
JKP/(k – 1 )

F=
KRP/KRG

KRG =
JKG/(k(n-1))

Galat

JKG

k(n-1)

Total

JKT

nk – 1

H0 ditolak jika Fh > F(; k – 1; k(n – 1))
7

ANOVA Table
Results of ANOVA Table in English
Sum of
Square
s (SS)

df

Mean
Square
(MSS)

F

Sig.

Between
Groups

.005

2

.002

.211

.811

Within Groups

.466

42

.011

Total

.470

44

Sum of
Squares
Between(SSB)

Mean
Square
Error
(MSE)

F
Statistic

p
value

Contoh 1:
Sebagai manager
produksi, anda ingin
melihat mesin pengisi akan
dilihat rata-rata waktu
pengisiannya. Diperoleh
data seperti di samping.
Pada tingkat signifikansi
0.05 adakah perbedaan
rata-rata waktu ?

Mesin1

Mesin2

Mesin3

25.40
26.31
24.10
23.74
25.10

23.40
21.80
23.50
22.75
21.60

20.00
22.20
19.75
20.60
20.40

9

Penyelesaian
 Hipotesa :
H 0:  1 =  2 =  3
H1: Ada rata-rata yang tidak sama
 Tingkat signifikasi  = 0.05
 Karena df1= derajat bebas perlakuan = 2
dan df2 = derajat bebas galat = 12, maka
f(0.05;2;12) = 3.89.
Jadi daerah pelokannya:
H0 ditolak jika Fh > 3.89
10

Cara membaca tabel F :
1. Arah horisontal adalah numerator, df nya antar kelompok
2. Arah vertikal adalah denominator, df nya inter kelompok
3. Skor dalam tiap sel  bagian atas adalah untuk 95% dan bagian bawah untuk 99%
atau bagian kiri untuk 95% dan bagian kanan untuk 99%

Contoh : kasus di atas,
df antar kelompok 2 ; df inter kelompok 12 ; distribusi F 95%
Maka membaca tabelnya adalah horisontal lihat kolom df 2, vertikal lihat baris 12
Lalu lihat angka pada sel pertemuan 2 dan 12 bagian atas yakni 3.89
Maka F tabel adalah 3.89
yang dipakai
Contoh : kasus di atas,
df antar kelompok 2 ; df inter kelompok 12 ; distribusi F 99%
Maka membaca tabelnya adalah horisontal lihat kolom df 2, vertikal lihat baris 12
Lalu lihat angka pada sel pertemuan 2 dan 12 bagian atas yakni 6,93
Maka F tabel adalah 6,93
11

Data
Populasi

Total

1

2

3

25.40

23.40

20.00

26.31

21.80

22.20

24.10

23.50

19.75

23.74

22.75

20.60

25.10

21.60

20.40

124.65

113.05

102.95

Total

340.65
12

Jumlah Kuadrat Total
2
T
JKT   x ij2  
nk
i 1 j1
k

n

 25.40 2  26.312  24.10 2  23.74 2  25.10 2 
23.40  21.80  23.50  22.75  21.60 
2

2

2

2

2

20.00 2  22.20 2  19.752  20.60 2  20.40 2
340.652

5 3
 58.2172
13

Jumlah Kuadrat Perlakuan dan
Jumlah Kuadrat Galat
k

T

2
i

2


T
JKP 

n
nk
2
2
2
2
124.65  113.05  102.95 340.65


5
5 3
 47.1640
i 1

JKG  58.2172  47.1640  11.0532
14

Tabel Anova dan Kesimpulan
Sumber
Variasi

Jumlah
Kuadrat

Derajat
Bebas

Kuadrat
Rata-rata

Perlakuan 47.1640

3-1=2

23.5820

Statistik
F
F = 25.60

Galat

11.0532

15-3=12

Total

58.2172

15-1=14

0.9211

Karena Fhitung = 25.60 > 3.89 maka H0 ditolak.
Jadi ada rata-rata yang tidak sama atau mesin
yang tidak sama.

15

Contoh 2 : (Soal Modul UT)
Sebagai manager
produksi, anda ingin
Mesin1
melihat mesin pembuat
47
boneka dilihat rata-rata
53
output yang dihasilkannya.
49
Diperoleh data seperti di
50
samping. Pada tingkat
46
signifikansi 0.05 adakah
perbedaan rata-rata output
?

Mesin2

Mesin3

55
54
58
61
52

54
50
51
51
49

16

Penyelesaian
 Hipotesa :
H 0:  1 =  2 =  3
H1: Ada rata-rata yang tidak sama
 Tingkat signifikasi  = 0.05
 Karena df1= derajat bebas perlakuan = 2
dan df2 = derajat bebas galat = 12, maka
f(0.05;2;12) = 3.89.
Jadi daerah pelokannya:
H0 ditolak jika F > 3.89
17

Data
Populasi

Total

M1

M2

M3

47
53
49
50
46

55
54
58
61
52

54
50
51
51
49

245

280

255

Total

780
18

Jumlah Kuadrat Total
2
T
JKT   xij2  
nk
i 1 j 1
k

n

 47 2  532  49 2  50 2  46 2 
55  54  58  61  52 
2

2

2

2

2

54 2  50 2  512  512  49 2
780 2

5 3
 224
19

Jumlah Kuadrat Perlakuan dan
Jumlah Kuadrat Galat
k

T

2
i

2


T
JKP 

n
nk
2
2
2
2
245  280  255 780


5
5 3
 130
i 1

JKG  224  130  94
20

Tabel Anova dan Kesimpulan
Sumber
Variasi

Jumlah
Kuadrat

Derajat
Bebas

Kuadrat
Rata-rata

Perlakuan

130

3-1=2

65

Statistik
F
F = 8,3

Galat

94

15-3=12

Total

224

15-1=14

7,83

Karena Fhitung = 8,3 > 3.89 maka H0 ditolak.
Jadi ada rata-rata yang tidak sama atau mesin
yang berbeda.

21

Uji Anova
Sumber
adanya
perbedaan

Jumlah
Kuadrat
(JK)

Derajat
Kebebasan
(df)

Rata-rata
Jumlah Kuadrat
(RJK)

F

Antar kelompok

130

k–1=2

65

8,3

Inter kelompok

94

N – k = 12

7,83

α = 0.05 ; df = 2 dan 12 ; F tabel = 3.89 ; F hitung = 8,3
F hitung > F tabel , maka Ho ditolak
Terdapat perbedaan mesin pembuat boneka

Cara membaca tabel F :
1. Arah horisontal adalah numerator, df nya antar kelompok
2. Arah vertikal adalah denominator, df nya inter kelompok
3. Skor dalam tiap sel  bagian atas adalah untuk 95% dan bagian bawah untuk 99%

Contoh : kasus di atas,
df antar kelompok 2 ; df inter kelompok 12 ; distribusi F 95%
Maka membaca tabelnya adalah horisontal lihat kolom df 2, vertikal lihat baris 12
Lalu lihat angka pada sel pertemuan 2 dan 12 bagian atas yakni 3.88
Maka F tabel adalah 3.88

Rumus Hitung Jumlah Kuadrat
Untuk ukuran sampel yang berbeda
2
T
2
JKT   x ij  
N
i 1 j1
k

Jumlah Kuadrat Total =

ni

Ti2 T2

Jumlah Kuadrat Perlakuan = JKP  
N
i 1 n i
k

Jumlah Kuadrat Galat =

JKG  JKT  JKP
k

dengan N   n i
i 1

23

Tabel Anova
Untuk ukuran sampel yang berbeda
Sumber
Variasi

Jumlah
kuadrat

Derajat
bebas

Perlakuan

JKP

k–1

KRP =
F=
JKP/(k – 1 ) KRP/KRG
KRG =
JKG/(N - k)

Galat

JKG

N–k

Total

JKT

N–1

Kuadrat
Rata-rata

Statistik F

24

Contoh 3
• Dalam Sebuah percobaan biologi
4 konsentrasi bahan kimia
digunakan untuk merangsang
pertumbuhan sejenis tanaman
tertentu selama periode waktu
tertentu. Data pertumbuhan
berikut, dalam sentimeter, dicatat
dari tanaman yang hidup.
• Apakah ada beda pertumbuhan
rata-rata yang nyata yang
disebabkan oleh keempat
konsentrasi bahan kimia tersebut.
• Gunakan signifikasi 0,05.

Konsentrasi
1

2

3

4

8.2 7.7 6.9 6.8
8.7 8.4 5.8 7.3
9.4 8.6 7.2 6.3
9.2 8.1 6.8 6.9
8.0 7.4 7.1
6.1
25

Penyelesaian
 Hipotesa :
H 0:  1 =  2 =  3=  4
H1: Ada rata-rata yang tidak sama
 Tingkat signifikasi  = 0.05
 Karena df1= derajat bebas perlakuan = 3
dan df2 = derajat bebas galat = 16, maka
f(0.05;3;16) = 3.24.
Jadi daerah pelokannya:
H0 ditolak jika F > 3.24
26

Data
1

Populasi
2
3

4

8.2

7.7

6.9

6.8

8.7

8.4

5.8

7.3

9.4

8.6

7.2

6.3

9.2

8.1

6.8

6.9

8.0

7.4

7.1

Total

6.1

Total

35.5

40.8

40.2

34.4

150.9
27

Jumlah Kuadrat Total
ni

2
T
JKT   x ij2  
N
i 1 j1
k

 8.2  8.7  9.4  9.2  7.7  8.4  8.6
2

2

2

2

2

2

2

 8.12  8.0 2  6.9 2  5.82  7.2 2  6.82  7.4 2
150.9
 6.1  6.8  7.3  6.3  6.9  7.1 
20
 19.350
2

2

2

2

2

2

28

2

Jumlah Kuadrat Perlakuan dan
Jumlah Kuadrat Galat
Ti2 T2
JKP  

N
i 1 n i
k

35.52 40.82 40.2 2 34.4 2 150.9 2





4
5
6
5
20
 15.462
JKG  19.350  15.462  3.888

29

Tabel Anova dan Kesimpulan
Sumber
Variasi

Jumlah
Kuadrat

Derajat
Bebas

Kuadrat
Rata-rata

Perlakuan 15.462

4-1=3

5.154

Galat

3.888

20-4=16

Total

19.350

20-1=19

0.243

Statistik
F
F=
21.213

Karena Fhitung = 21.213 > 3.24 maka H0 ditolak.
Jadi ada rata-rata yang tidak sama.
30

Latihan 1
Seorang kontraktor di bidang jenis
jasa pengangkutan ingin
mengetahui apakah terdapat
perbedaan yang signifikan pada
kapasitas daya angkut 3 merk truk,
yaitu Mitsubishi, Toyota dan Honda.
Untuk itu kontraktor ini mengambil
sampel masing-masing 5 truk pada
tiap-tiap merek menghasilkan data
seperti disamping.
Jika ketiga populasi data tersebut
berdistribusi normal dan variansi
ketiganya sama, uji dengan
signifikasi 5% apakah terdapat
perbedaan pada kwalitas daya
angkut ketiga merek truk tersebut

Kapasitas
Mitsubishi
(A)

Toyota
(B)

Honda
(A)

44

42

46

43

45

47

48

44

45

45

45

44

46

44

43
31

Latihan 2
Seorang guru SMU mengadakan
penelitian tentang keunggulan
metode mengajar dengan
beberapa metode pengajaran.
Bila data yang didapat seperti
pada tabel disamping, ujilah
dengan signifikasi 5% apakah
keempat metode mengajar
tersebut memiliki hasil yang
sama? (asumsikan keempat data
berdistribusi Normal dan
variasnisnya sama)

Metode
A

B

C

D

70

68

76

67

76

75

87

66

77

74

78

78

78

67

77

57

67

57

68

89
32

ANOVA 2 ARAH

Struktur data

Tabel ANOVA

dengan

Kriteria penolakan pada taraf 

Contoh 4 :

Jawab :

Perhitungan :

Tabel ANOVA

Daerah Kritis :

Keputusan :

Kesimpulan :

Contoh 5 : (Soal Modul UT)
Sampel Output 3 Mesin menurut 5
Operator
Operator
Mesin

Operator
1

2

3

Total
4

5

1
2
3

53
61
51

47
55
51

46
52
49

50
58
54

49
54
50

245
280
255

Total

165

153

147

162

153

780

Ujilah apakah terdapat perbedaan antar mesin,
dan antar operator serta susunlah ANOVA nya !

48

2
T
2
JKT   xij  
b.k .n
i 1 j 1 c 1
b

k

n

 53  47  ...  50 
2

2

2

780 2
3.5.1

 224

k

JKB 

2
T
i
j 1

k .n



T2
b.k .n



2452  280 2  2552
5.1



780 2
3.5.1

 130

49

k

JKK 


780 2
3.5.1

2
T
 j
j 1

b.n



T2
b.k .n



1652  1532  147 2  162 2  1532
5.1

 72

JKE  224 130  72  22
JKL  40784  40690  40632  40560  22

50

Hasil ANOVA 2 Arah
Sumber

Variasi

df

Varian

Rasio

Nilai Prob.

Antar Mesin
Antar Operator
Residu

130
72
22

2
4
8

65
18
2,75

23,6
6,5

P