Aljabar Linier | shuLtOn's Site
Nama Sulton Arfansyah Mata Kuliah Math 4 NRP 7406 030 185 Bab Aljabar Linier 1). Diketahui : 100 1000 600 x1 600
A B x2 x4 100 C x3 D 500 1000 400
Ditanya :
a. Buat persamaan Linier
b. Tulis Augmented matrix-nya
c. Gauss/ Gauss Jordan/ Gauss Seidae Jawab :
400 1000 4 500 100 3 1000 100 2 600 600 1 x x x x D C B A 900 4 400 3 500 1100 3 100 2 1000 1600 4 1000 1 600 700 2 100 1 600 x x x x x x x x
500 400 900 |
1000 100 1100 |
600 1000 1600 | 600 100 700 | 500 400 900 | 100 5900 | 100 1000 2300 |
600 100 700 | 1 ) 10 (
3 1 ) 1 (
2 b b b b
600 100 | 700 b 5 4 b 3 100 | 5900 100 1000 | 2300 180 | 5720
- 180x4 = -5720 x4 = 31.78
- 100x3 = -5900 x3 = 59 100x2 – 1000x4 = 2300 100x2 – 1000 (31.78) = 2300 100x2 – 31780 = 2300 100x2 = 34080 x2 = 340.8
- 600x1 + 100x2 = 700
- 600x1 + 100 (340.8) = 700
- 600x1 + 34080 =
- 600x1 = -33.380 x1 = 55.633
1) Diketahui : 2² 2 2 Users Bytes Avg χı² χı y χ χ y χı χ 2 (y) (χı) (χ ) 714
14.01 19.62 196.2801 10003.14 384.9444 14008.68 274.8762 27.60 761.76 623
11.5 18.47 132.25 7164.5 341.1409 11506.81 212.405 630 9.24 14.67 85.3776 5821.2 215.2089 9242.1 135.5508 697
13.45 19.30 180.9025 9374.65 372.49 13452.1 259.585 668 10.63 15.92 112.9969 7100.84 253.4464 10634.56 169.2296 458 10.91 23.82 119.0281 4996.78 567.3924 10909.56 259.8762 508 12.41 24.44 154.0081 6304.28 597.3136 12415.52 303.3004 476 11.11 23.35 123.4321 5288.36 545.2225 1114.6 259.4185 7.44 55.3536
4774 128.3 159.59 1921.389 56053.75 3277.1591 93283.93 1874.2417
2 2 y x1 y x2 y x 1 x 2 x 1 x 2 x 1x2
Ditanya : Regresi Linier ? Jawab : 2 128 . 3 159 . 59 | 4774 159 . 128 . 3 1921 . 389 1874 . 2417 | 56053 .75 59 1874 . 2417 3277 . 1591 | 93283 . 93 2 128 . 3 159 . 59 | 4774
6309 . 056 8363 . 4568 | 250198 .35 b1 – 64.15 b1 8363 . 4568 9457 . 32495 | 287657 .
4 b3 – 79.795 b1 b 2 2 128 . 3 159 . 59 | 4774 6309 . 056
1 1 . 3256 | 39 . 657 8363 . 4568 9457 . 32495 | 287657 .
4 2 128 . 3 159 . 59 | 4774 1 . 3256 | 39 . 657 b3 + 8363.4568 b2 1629 . 273 | 44012 . 206 n x 1 x 2 y
2 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 y
=
2 2 x 2 x 1 x 2 x 2 x 2 y
1629 273 . 3256 . 1 1 159 59 . 128 3 . 2
3 2 1 = 44012 206 . 657 . 39 4774 1629.273 2 = 44012.206
2 = 27 1 + 1.3256 2 = 39.657 1 + 1.3256 (27) = 39.657
1 + 35.7912 = 39.657
1 = 3.8662 0 + 128.3 1 + 159.59 2 = 4774
2 0 + 128.3 (3.866) + 159.59 (27) = 4774
2 0 + 496.008 + 4308.93 = 4774
2 0 = 4774 – 4804.938
2 0 = - 30.938 0 = - 15.469
2) Merangkum Determinan & contoh Jawab : DETERMINAN
21
11
33
12
21
13
22
31 a a a a a a a a a
) ( ) ( ) (
13
22
31
32
32
13
33
12
21
31
23
12
32
23
11
33
22
23
Determinan adalah sekumpulan bilangan dalam baris & kolom membentuk bujur sangkar dibatasi dengan garis tegak
31
12
21
22
11
22
21
12
11 a a a a a a a a A
21
32
13
23
A
12
33
22
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a
) ( ) ( ) (
11 A a a a a a a a a a a a a a a a a a a
31
11 a a a a a a a a a a a a a a a
22
21
13
33
31
23
21
12
33
32
23
22
32
11 M
12 M
13 M
ij ij n j i
M a M a M a M a 1 .
13
13
12
12
11
11
31
32
) ( ) ( ) (
21
13
33
21
31
23
12
32
23
33
22
11 a a a a a a a a a a a a a a a
22
11 a a a a a a a a a a a a a a a
31
32
21
13
23
31
33
21
12
23
32
33
22
22 Hubungan antara kofaktor dengan minor: i j
M A (
1 ) maka: ij
ij
1
1
2 M M M
A ( 1 ) (
1 )
11
11
11 11
1
2
3 M M M A (
1 ) 12 ( 1 )
12
12
12
1
3
4 M M M A (
1 ) ( 1 )
13
13
13
13 Jadi penyelesaian determinan dalam notasi minor:
n a M A a M a M a M ij ij
11
11
12
12
13
13
i . j
1 dalam notasi kofaktor menjadi:
A a A a A a A atau
11 n
11
12
12
13
13 a A A untuk setiap baris: i= 1,2,….,n
ij ij j n 1 a A A ij ij untuk setiap kolom: j= 1,2,….,n
j 1 Pembalikan matriks dengan Adjoin dan Determinan - Adj .
A
1 A
A Contoh: Tentukan balikan dari:
4
5
2
3
7
1) 2)
2
1
1 A
A
2
8
5
3
2
Sifat-sifat balikan:
1 1
1) A A
1
1 A
2) A
1 ' 1 '
3) A
A
1
1
1 4)
AB B A
1
5)
I I
3) Merangkum matriks dan operasinya Jawab : MATRIKS
“Kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang/bujursangkar, serta termuat di antara sepasang tanda kurung” A = mn m m n n a a a a a a a a ... . . . ... 2 ... 2 1 2 22 21 1 12 11 = mn m m n n a a a a a a a a a ... . . . ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11
n m ij n m ij n m
A a a
Unsur matriks : ij a unsur matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j. Contoh: 5 1 8 5 1 8 2 2 A 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8
7
6 54
3 21
3 3 BPenjumlahan dan Pengurangan Matriks
A
B = C dimana ij ij ij
b a c
KK: A + B = B + A KA: A (B+C) = (A+B)+C = A+B+C
Perkalian Matriks dengan skalar A B
Dimana b ij a ij
A A
KK:
KD:
A B A B
Contoh: 2 5 4 8 20 16 A A B 3 2 3
4 12 8 12 Perkalian Antar-matriks KA: A (BC) = (AB)C = ABC m n n p m p KD: A (B+C) = AB – AC
A B C (A+B)C = AC + BC
Contoh: 3 7 6 4 2 5 7 4 A= B= 6 9 6 3 7 8 6 4 4 2 8 5 7 4 Maka AB = C = 3 . 2 7 . 4 6 . 8 6 3 . 9 7 6 7 . 5 8 6 . 4 4 3 . 8 4
7 .
6 . 8 = 82 6 . 2 80 9 . 4 60 6 . 8 6 . 7 9 . 5 6 . 4 6 . 49 .
6 . 8 = 96 111 72 BENTUK-BENTUK KHAS MATRIK1. Matriks Satuan/Matriks Identitas (I n )
4
A a
ji m n '5. Matriks Simetrik A = A’
6. Matriks Simetrik Miring (skew symmetric matrix) A = -A’
7. Matriks Balikan (inverse matrix) A
1
I A A 1
8. Matriks Skalar, matriks diagonal yang unsur-unsurnya sama atau seragam ( ).
4
4
2. Matriks Ubahan (transpose matrix)
3
3
3
3
1
1
1
A a ij n m ubahannya:
3 3
2
1
1
1
1
1 5 I
2. Matriks Diagonal
4
3
7
2
1
1
1. Matriks nol
2 2
9. Matriks Ortogonal AA’ = I
10. Matriks Singular: matriks bujursangkar yang determinannya sama dengan nol.
6
4
2
14
7 A 2 .
14 4 .
7 A 11. Matriks Nonsingular: matriks bujursangkar yang determinannya tidak nol.
14 A
2
3
10 3 .
6 2 .
14 A
Pengubahan Matriks
Matriks Asli Matriks Ubahan
2
9
9
7 ' 2 2 Z
ubahan dari matriks bujursangkar adalah matriks bujursangkar juga. Matriks bujursangkar = matriks ubahannya
matriks simetrik.
3
7
2 3 3 A
3
7
2
' 3 3 A ubahan dari matriks diagonal adalah matriks diagonal itu sendiri.
1
3
5
2 1 4 D d
1
3
5
2 ' 4 1 '
D d ubahan dari suatu vektor kolom adalah vektor baris.
7 2 2 Z
3
2 3 ' Y
4
2
2
5
3 3 2 Y
4
5
2
2
9
4
2
2
5
3 ) (
' '
3
2 Y ubahan dari matriks ubahan adalah matriks aslinya.
2
9
A menjadi A’ A mxn menjadi A’ nxm
7 Q 1 5
7
3
1
8
4
3 ' '
1 Q q 5 1
8
4 ubahan dari suatu vektor baris adalah vektor kolom.
Ubahan dari jumlah atau selisih beberapa matriks adalah jumlah atau selisih
matriks-matriks ubahannya. ' ' '
' m n m n m n n m n m n m
A B C A B C
Contoh:
5
3
1
7
3
2
B
A
4
2
8
5
1 6
6
3
5
C maka:
4
2
1 '
18
13 '
18
9
8
A B C
9
5
13
5 15
8
15
7
5
5
4
6
4
18
13 ' ' '
A B C
3
1
3
2
3
2
9
5
2
6
1
8
5
1
8
15
Jadi (A+B+C)’ = A’ + B’ + C’ Terbukti.
Ubahan dari perkalian matriks dengan skalar adalah perkalian skalar dengan
matriks ubahannya. ' '
A A
4
6
3 A
2
4
1
3
Terbukti
A A
Jadi ' '
A
5 ' '
7
3
2
5
1
7
1
5
X B’ pxn
' ' ' '
B A B A B A
KD:
A
' ' A
atau
A A
' '
X A’ nxm KK:
X C pxq )’ = C’ qxp
3
X B nxp
(A mxn
3 C
1
5
2
2 B
5
6
7
Contoh:
10
15
10
25
5
30
35
25
15
5
30
6
5 maka:
35
1
5
30
3
1
2
6
35
25
15
5
10
5
5 ' ' ' A
7
3
2
Ubahan dari perkalian antar-matriks adalah perkalian matriks-matriks ubahannya
dengan urutan yang terbalik. Contoh:
3
3
3
2
2
5
3
1
1
12
29
17
15
1
ABC
4 1
3
7
4 6 5
11
27
16 10
5
2
2
180 '
( ABC ) 180 160ABC
160 atau alternatifnya:
2
3
5
7
3
4
3
4
C ' B ' A '
3
1
5
2
28
48
3
4
2
1
2
1
1
6
C ' B ' A ' 180 160
(ABC)’ = C’B’A’ TERBUKTI ' '
A BC AB C ( ABC )' C ' B ' A '
'
' A ( B C )
( AB AC ) B ' A ' C ' A ' ' ( A B ) C ( AC BC )' C ' A ' C ' B '
MATRIKS BERSEKAT
Matriks Disekat
Garis-garis horizontal dan/atau vertical
Matriks-matriks skalar-skalar
yang lebih kecil6
3
2
3
4
5
9
5
6
6
7
8
7
3
9
10 '
2
Jika sebuah matriks berorde mxn disekat dengan satu sekatan horizontal, maka akan diperoleh dua buah matriks berorde m 1 xn dan m 2 xn, dimana m 1 +m 2 =m.
Contoh 2:
1 A A A
Contoh 1: A 4x4 disekat dengan satu sekatan horizontal menjadi A 1; 2x4 dan A 2; 2x4 .
9
3
5
6
7
2
6
2
3
3
5
7
9
4
6
8
10
1 A A A
B 3x4 disekat dengan satu sekatan vertikal menjadi B 1; 3x2 dan B 2; 3x2
7
2
8
1
8
2
4
1
3
1 B B B
5
2
4
3
5
2
22
21
12
11 C C C C C
8
6
6
3
9
1
5
3
7
4
2 ' '
' ' '
22
12
21
11 C C C C C C 11 berorde m 1 x n 1 C 12 berorde m
1 x n
2 C 21 berorde m 2 x n 1 C 22 berorde m 2 x n2
(Perhatikan perpindahan sekat antara C 12 dan C 21 !)1
7
2
2
3
7
7
4
2
3
1
8
3
8
1
5
7
8 ' ' '
2
1 B B B
Jika sebuah matriks berorde mxn disekat dengan satu sekatan vertikal, maka akan
diperoleh dua buah matriks berorde mxn 1 dan mxn 2 , dimana n 1 +n 2 =n.Penyekatan paling umum adalah sekali secara horizontal dan sekali secara vertikal.
2
9
3
PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS BERSEKAT Sekatan Vertikal m n m n A A B B
A
1
2 B
1
2
(A dan B berorde mxn ; A dan B berorde mxn ) maka: 1 1 1 2 2 2 A B A A B B A B A B
1 2
1 2
1
1
2 2 contoh:
3
7
6
6
9
6
4
5
8
4
8
A
7
6
1
2
5
8
2
3
5
3
6
9
1
6
4
12 6
7
8
5
5
9
6
3
6
6
6
3
4 B
4
1
7
7
2
5
5
2
3
5
3
5
1
1
6
1
7
4
4
1
1
1
1
1
6
2
1
4
A B
3
5
6
7
3 1
8
3
5 2
Sekatan Horizontal
8 A
5
7
10
4
7
1 B maka:
2
3
7
4
6
14
8
7
8
2
9
3
4
5
10
6
7
5
19
12
B 1 berorde n 1 x p ; B 2 berorde n 2 x p
1 B B B p n
2
A 1 berorde m x n 1 ; A 2 berorde m x n 2
n m
2
Perkalian Antar Matriks Bersekat
12
10
13
14
11
9
9
14
10
1
13
6
5
10
17
8
1
5
1 B A B A B B A A B A contoh:
2
1
2
1
1
2
2
5
(A 1 dan B 1 berorde m 1 x n ; A 2 dan B 2 berorde m
2
x n) maka: 1 B B B n m
2
1 A A A n m
2
1
4
1
3
2
10
7
5
9
6
3
7
6
2
1
4
3
1
5
7
8
12
6
4
2
9 B A
1 A A A
maka: p m
1 A A A
1 4 .
50
49
32
35
55
57 3 .
8 4 .
5 6 .
8 2 .
5 7 .
1 3 .
6 4 .
2 6 .
1 4 .
6 2 .
2 7 .
1 3 .
4 6 .
2
1
6
3
2
8
4
3
5
1
1
7 4 .
3 4 .
B A B A B B A A AB
1
83
90
77
90
78
89
2
2
Bila matriks-matriks disekat sekali secara horizontal dan sekali secara vertikal, perkalian dilakukan melalui perkalian sekat- sekatnya.
22
21
12
11 A A A A A n m
A 11 berorde m 1 x n 1 A 12 berorde m 1 x n 2 A 21 berode m 2 x n 1 A 22 berorde m 2 x n 2
7 2 .
8
4 7 .
3
3
4
4
2
6
7
5
1
6
2
1
7
4
3
2
3
3
5
2
4
3
7
4
3
5
2
1
1
3
4
4
2
6
8
2
5
2
2
2
1
1
2
1
1
6
8
5
1
6
3
2
7
2
5
8 3 .
3 3 .
2 5 .
6 3 .
3 1 .
2 2 .
8 5 .
4 3 .
3 5 .
4 1 .
5
3 2 .
5 5 .
2 3 .
1 5 .
5 3 .
2 1 .
1
2
6 5 .
32 2 .
23
55
3
3
1
2
1 B B B
1 B A