D. H. Sinaga, I. Sihwaningrum, A. Wardayani, Garis di Lapangan Himpunan Bilangan Bulat Modulo 17, hal. 1-12.
JMP : Volume 5 Nomor 1, Juni 2013, hal. 1 - 12
GARIS DI LAPANGAN HIMPUNAN BILANGAN BULAT MODULO 17
Denni Hariati Sinaga, Idha Sihwaningrum, dan Ari Wardayani
Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknik
Universitas Jenderal Soedirman
ariwardayani@yahoo.co.id
ABSTRACT. In this paper we discuss rational trigonometry in the field F ,in particular
17 point, lines and their properties. A unique property in this field is given by the null lines.
Key words: rational trigonometry, the field F , line, null line
17 ABSTRAK. Pada artikel ini dikaji trigonometri rasional di lapangan , khususnya
F
17
mengenai pengertian titik dan garis beserta sifat-sifatnya. Salah satu sifat unik garis di
lapangan ini diberikan oleh garis nol.Kata kunci: Trigonometri rasional, lapangan F , garis, garis nol.
17 1.
PENDAHULUAN Trigonometri berasal dari bahasa Yunani yaitu trigonon dan metron.
Trigonon berarti segitiga dan metron berarti mengukur. Dengan demikian,
trigonometri berarti pengukuran segitiga (Rich dan Schmidt, 2003). Trigonometri
dibagi menjadi 2 jenis yaitu trigonometri klasik dan rasional. Trigonometri
2 Sinaga, dkk.
2. HASIL DAN PEMBAHASAN Garis di lapangan F berbeda dengan garis di lapangan himpunan
17
bilangan riil. Pada lapangan F , garis direpresentasikan dengan cara menggambar
17
semua titik yang memenuhi persamaan garis tersebut. Oleh sebab itu, subbab ini diawali dengan bahasan mengenai titik di lapangan F . Pengertian, definisi, dan
17
teorema diambil dari Wildberger (2005), tetapi contoh-contoh dan pembuktian teorema diberikan oleh penulis.
2.1 Titik di Lapangan F
17 Koordinat Kartesius pada lapangan F direpresentasikan oleh persegi
17
besar yang dibagi menjadi 17 17 persegi kecil yang sama besar. Sumbu horizontal X dan sumbu vertikal Y diberi nomor dari 0 sampai 16. Kemudian, titik [x, y] pada koordinat Kartesius di lapangan F direpresentasikan dengan kotak
17
hitam, lingkaran kecil, segitiga atau simbol lain. Contoh titik pada koordinat Kartesius di lapangan F diberikan pada gambar berikut.
17
7,11
Garis di Lapangan Himpunan Bilangan Bulat Modulo 17 3
Pada Gambar 1, titik [2, 8] direpresentasikan dengan segitiga hijau, titik[7, 11] direpresentasikan dengan kotak hitam, dan titik [13, 6] direpresentasikan
dengan lingkaran merah.2.2 Garis di Lapangan F
17 Lapangan F dilengkapi dengan operasi penjumlahan yang dilambangkan dengan
17
17
17
dan operasi perkalian yang dilambangkan dengan . Misal diberikan
garis F , maka semua titik [x, y] yang memenuhi
l ≔ 3 : 7 : 4 di lapangan17
persamaan (3 x ) (7 y ) 4 membentuk garis F .
17
17
17 17 l di lapangan
17 Titik titik yang memenuhi persamaan tersebut adalah titik [0, 14], [1, 16], [2, 1],
[3, 3], [4, 5], [5, 7], [6, 9], [7, 11], [8, 13], [9, 15], [10, 0], [11, 2], [12, 4], [13, 6],
[14, 8], [15, 10], dan [16, 12]. Jadi, garis dapat digambarkan seperti pada
l Gambar 2 berikut.4 Sinaga, dkk.
y y : x x : x y x y . Pada trigonometri rasional, kuadrat dari jarak
1
2
2
1
1 2 2 1
disebut dengan quadrance. Jadi, quadrance dari titik A 1 ke titik A 2 adalah
2
2
x x y y ( ) ( ) . Akibatnya, titik titik yang berjarak nol mempunyai
2
1
2
1
quadrance nol. Sebagai contoh, di lapangan F quadrance dari titik [1, 0] ke titik
17 [0, 4] adalah nol, sedangkan quadrance dari titik [2, 3] ke titik [5, 7] adalah 8.
Selanjutnya, titik titik yang mempunyai quadrance nol membentuk garis yang disebut garis nol.
Garis yang melalui titik [x 1 , y
1 ] dan [x
2 , y 2 ] diberikan oleh y 1 y 2 : x 2 x1 : x 1 y 2 x 2 y 1 . Garis tersebut dapat ditulis kembali sebagai a b c dengan
: : , dan . Dengan demikian, garis nol dapat a y y , b x x c x y x y
1
2
2
1
1 2 2 1 didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.1 (Garis Nol). Garis l ≔ a : b : c adalah garis nol apabila
2
2
a b l
Pada lapangan himpunan bilangan riil tidak terdapat garis nol karena quadrance antara dua titik yang bernilai nol hanya dipenuhi oleh quadrance dari titik ke dirinya sendiri.
Contoh 1
Diberikan garis F . Menurut Definisi 3.1, garis
l ≔ 1 : 4 : 3 di lapangan17 l
2
2
merupakan garis nol karena
1
4
1
16
0. Gambar 3 berikut adalah
17
17 gambar garis F .
l ≔ 1 : 4 : 3 di lapangan
17
Garis di Lapangan Himpunan Bilangan Bulat Modulo 17 5 Gambar 3. Garis nol
F l ≔ 1 : 4 : 3 di lapangan
17 Teorema 2.1. Untuk setiap titik di lapangan F , terdapat tepat dua garis nol
17 yang melalui titik tersebut.
Bukti . Ambil sembarang titik [x, y] di lapangan F . Titik tersebut dilalui oleh
17
garis nol atau garis tak nol. Andaikan titik [x, y] dilalui oleh garis nol
a : : b c , maka (a 17 x)17 (b
17 y) 17 c 1 = 0 sehingga diperoleh
1
l Karena garis merupakan garis nol, maka c ( a x ) ( b y ). l
1
17
17
17
2
2
a b
0.17
2
2
2
2 Padahal, a a b b dengan
( ) dan a, b masingmasing adalah invers
17 dari a dan b terhadap operasi . Akibatnya,
6 Sinaga, dkk.
diperoleh persamaan ( a x ) ( b y ) ( a x ) ( b y ) 0.
17
17
17
17
17
17
17 Dengan mengambil c ( a x ) ( b y ), maka terdapat garis nol lainnya
2
17
17
17
yang melewati titik [x, y] yaitu : a : b c : : a : b : ( a x ) ( b y ) .
l1
2
17
17
17 Selanjutnya, persamaan ( a x ) ( b y ) ( a x ) ( b y )
17
17
17
17
17
17
17 sama dengan persamaan ( a x ) ( b y ) ( a x ) ( b y ) .
17
17
17
17
17
17
17 Hal tersebut mengakibatkan, garis
1 17 x ) 17 (b 17 y ) l ≔ a : b : (a ≔
a b : : ( a ) x ( b ) y . Dengan demikian, terbukti bahwa untuk
17
17
17
sembarang titik [x, y] dilalui tepat dua garis nol yaitu garis : a : : b c dan
1
l : a : b : ( a x ) ( b y ) . l
1
17
17
17 Contoh 2
l
1
menurut Teorema 3.2, terdapat garis nol lainnya yang melalui titik [4, 2], yaitu garis : a : b : ( a x ) ( b y ) 17 4) 17 (14 17 2)
l
2
17
17 17 ≔ 5 : 14 : (5
5 : 3 : 8 . Gambar kedua garis nol tersebut diberikan pada Gambar 4. Pada ≔ gambar tersebut, garis nol : 5 : 14 : 3 direpresentasikan dengan l
1
2 kotak kotak biru, sedangkan garis nol direpresentasikan dengan
l
≔ 5 : 3 : 8 lingkaran lingkaran merah dan titik [4, 2] direpresentasikan dengan kotak yang
Garis di Lapangan Himpunan Bilangan Bulat Modulo 17 7
Gambar 4. Titik [4, 2] yang dilalui dua garis nol
1
2
l l ≔5 : 14 : 3 dan ≔ 5 : 3 : 8
17 Contoh 3
Misal diberikan garis di lapangan F . Menurut Teorema 3.3, garis
l ≔ 4 : 7 : 017 l
melalui tepat 17 titik. Titik yang dilalui oleh garis adalah [0, 0], [1, 14], [2, 11],
l
[3, 8], [4, 5], [5, 2], [6, 16], [7, 13], [8, 10], [9, 7], [10, 4], [11, 1], [12, 15],
[13, 12] , [14, 9], [15, 6], [16, 3]. Garis l ≔ 4 : 7 : 0 digambarkan pada Gambar 5 berikut.8 Sinaga, dkk.
Gambar 5. Garis l ≔ 4 : 7 : 0 melalui tepat 17 titik Teorema 2.3. Untuk setiap titik di lapangan F , terdapat tepat 18 garis yang
17 melalui titik tersebut.
Contoh 4 Diberikan titik [3, 5] di lapangan F . Menurut Teorema 3.4, titik [3, 5] dilalui
17
tepat 18 garis yaitu 16 : 1 : 15, 15 : 1 : 1, 14 : 1 : 4, 13 : 1 : 7, 12 : 1 : 10, 11 : 1 : 13, 10 : 1 : 16, 9 : 1 : 2, 8 : 1 : 5, 7 : 1 : 8, 6 : 1 : 11 , 5 : 1 : 14, 4 : 1 : 0, 3 : 1 : 3, 2 : 1 : 6 , 1 : 1 : 9, 0 : 1 : 12 dan 16 : 0 : 3. Kedelapan belas garis yang melalui titik [3, 5] diberikan pada Gambar 6. Pada gambar
Garis di Lapangan Himpunan Bilangan Bulat Modulo 17 9
lingkaran lingkaran hitam, 7 : 1 : 8 direpresentasikan dengan lingkaran
lingkaran cokelat, 6 : 1 : 11 direpresentasikan dengan segitigasegitiga hijau,
5 : 1 : 14 direpresentasikan dengan segitigasegitiga hitam, 4 : 1 : 0
direpresentasikan dengan kotak kotak cokelat, 3 : 1 : 3 direpresentasikan
dengan kotak kotak hitam, 2 : 1 : 6 direpresentasikan dengan kotakkotak biru
tua, 1 : 1 : 9 direpresentasikan dengan kotakkotak kuning, 0 : 1 : 12
direpresentasikan dengan kotak kotak biru muda, dan garis 16 : 0 : 3 direpresentasikan dengan kotak kotak merah tua. Garis 13 : 1 : 7 dan 4 : 1 : 02
2
2
2 merupakan garis nol karena 13
17 1 = 0 dan 4
17 1 = 0.
10 Sinaga, dkk.
2.3 Garis Sejajar dan Tegak Lurus
Pada sub bab ini, dibahas mengenai garis sejajar dan tegak lurus di lapangan F . Garis 1 1 : b 1 : c
1 dan
2 2 : b 2 : c 2 sejajar apabila a 1 b 2
17 l ≔ a l ≔ a
2
1 2 1 2
1 a b = 0. Kedua garis tersebut tegak lurus apabila a a b b .
1
l l garis tersebut adalah garis nol.
2 Teorema 3.4. Jika garis dan sejajar dan sekaligus tegak lurus, maka kedua
: : : dan : : : Bukti. Misalkan garis a b c a b c di lapangan F . l
1
1
1 1 l
2
2
2
2
17
a a a b
1
2
1
2 Karena garis
1 , 2 sejajar dan tegak lurus, maka dan . Ini l l b b b a
1
2
1
2
a b
2
2
2
2
memberikan sehingga diperoleh a b Jadi, 2 merupakan 0.
2
17 2 l
b a
2
2
a b a b
1
2
2
1
garis nol. Kemudian, karena maka . Akibatnya, b a b a
1
2
2
1
a a b a b
1
2
1
1
1
2
2
. Dengan kata lain, sehingga a b Jadi,
1
17 1 l
1 0.
b b a b a
1
2
1
1
1 merupakan garis nol.
Contoh 5
Garis di Lapangan Himpunan Bilangan Bulat Modulo 17 11
Gambar 7. Garis1
2
l ≔ 2 : 9 : 4 dan l ≔ 15 : 8 : 9 sejajar dan sekaligus tegak lurus 3.
KESIMPULAN DAN SARAN
3.1 Kesimpulan
Pada lapangan F , garis direpresentasikan dengan cara menggambar
17
semua titik yang dilalui garis tersebut. Pada lapangan ini, terdapat garis nol yaitu
garis yang titik-titiknya mempunyai quadrance (kuadrat dari jarak) bernilai nol.
Garis nol mempunyai sifat bahwa untuk setiap titik di lapangan F , terdapat tepat
17
dua garis nol yang melalui titik tersebut. Kemudian, secara umum sifat-sifat garis
12 Sinaga, dkk.
3.2 Saran
Dalam makalah ilmiah ini dibahas mengenai garis di lapangan F . Hasil
17
yang diperoleh dapat digunakan untuk penelitian lanjut mengenai segitiga di lapangan F .
17 DAFTAR PUSTAKA
rd Rich, B. dan Philip, A. S.(2003),
Schaum’s Outlines of Elementary Algebra, 3 Edition, New York: McGraw-Hill.
Wildberger, N.J.( 2005), Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry , Australia: Wild Egg Pty Ltd.