Lecture 12: Penerapan Integral Lipat Dua

  Kalkulus Multivariabel I Penerapan Integral Lipat-Dua

  Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA

  Universitas Islam Indonesia 2014

Penerapan Integral Lipat-Dua

  Penerapan lain dari integral lipat-dua antara lain adalah menghitung pusat massa, momen inersia, dan luas permukaan. Tinjaulah sebuah lembaran tipis yang sedemikian tipisnya sehingga kita dapat memandangnya sebagai objek berdimensi dua, kita menyebut lembaran ini lamina. Di sini, kita akan mempelajari lamina-lamina dengan berbagai kerapatan.

  Andaikan sebuah lamina menutupi sebuah daerah S pada bidang xy , dan misalkan kerapatan (massa per satuan luas) di (x, y ) disimbolkan dengan δ

  (x, y ). Daerah S dipartisi menjadi persegi panjang-persegi panjang kecil R , R , . . . , R seperti ditunjukkan pada gambar. Ambil sebuah titik

  1 2 k

  x , y (¯ k ¯ k ) pada R k . Maka massa R k secara hampiran adalah δ(¯ x k , ¯ y k )A(R k ), dan massa total lamina tersebut secara hampiran adalah _X n m δ (¯ x k , y ¯ k )A(R k )

  ≈

  k =1

  Massa sebenarnya, m diperoleh dengan mengambil limit rumus di atas sebagai norma partisi mendekati nol, yang tentu saja merupakan sebuah integral lipat dua _{Z Z} m = δ (x, y )dA

  S Contoh 1: Sebuah lamina dengan kerapatan δ(x, y ) = xy dibatasi oleh sumbu x, garis

  2/3

  x = 8, dan kurva y = x . Tentukan massa totalnya.

  Penyelesaian: m = ^{Z Z}

  x

  = 768

  8

  10/3

  10 x

  3

  2

  1

  dx =

  7/3

  8 _Z

  S

  2

  1

  dx =

  x ^2/3

  2

  2

  xy

  xy dy dx =

  

8

_Z x ^2/3 _Z

  xy dA =

  5 = 153.6 Pusat Massa

  m m Jika m , , . . . , n berturut-turut adalah kumpulan titik-titik massa yang

  1

  2

  1 1 ), (x

  , y , y , y masing-masing terletak di (x

  2 2 ), . . . , (x n n ), maka momen total

  terhadap sumbu y dan sumbu x dapat dinyatakan dengan _X

n n

_X M x m M y m

y = k k x = k k

  k k

=1 =1

  x, y Lebih lanjut, koordinat (¯ ¯ ) dari pusat massa (titik keseimbangan) adalah _{P P} n n x m y m

  k k k k

  M M

  y k x k =1 =1

  ¯ x = = y ¯ = =

  n n

  m m _{P P} m m

  k k k =1 k =1 Sekarang perhatikan sebuah lamina dengan kerapatan berupa peubah δ

  (x, y ) yang melingkupi daerah S pada bidang xy . Buat partisi seperti pada gambar dan asumsikan sebagai sebuah hampiran bahwa suatu massa x , y dari setiap R k terpusat di (¯ k ¯ k ), k = 1, 2, . . . , n. Gunakan limitnya sebagai suatu aturan pembagian partisi yang mendekati nol. Cara ini menghasilkan rumus umum, _{RR RR} xδ y δ

  (x, y )dA (x, y )dA M y M

  S x S

  x y ¯ = = RR ¯ = = RR m δ (x, y )dA m δ (x, y )dA

  

S S Contoh 2: Tentukan pusat massa dari lamina pada Contoh 1. Penyelesaian:

  768 Pada Contoh 1, kita telah mendapatkan massa m dari lamina yaitu .

  5 Momen M dan M yang mengacu pada sumbu y dan sumbu x adalah y x _{2/3 Z Z Z Z} 8 x

  2 M y = xδ (x, y )dA = x y dy dx S _Z

  8

  1 12288

  10/3

  = x dx = = 945.23

  2

  13 M x = ^{Z Z}

  S

  = M

  2

  m = 2

  x

  M

  ¯ y =

  13 = 6.15

  2

  m = 6

  y

  Maka ¯ x

  y δ (x, y )dA =

  3 = 341.33

  dx = 1024

  3

  x

  3

  1

  dy dx =

  2

  xy

  8 _Z x ^2/3 _Z

  9 = 2.22 Momen Inersia

  Dari pelajaran fisika kita pelajari bahwa energi kinetik, KE , dari sebuah partikel dengan massa m, dan kecepatan v , yang bergerak dalam sebuah garis lurus dirumuskan dengan

  1

  2 KE mv

  = (1)

  2 Jika suatu partikel tidak bergerak dalam sebuah garis lurus tetapi berputar dalam sebuah sumbu dengan kecepatan sudut sebesar ω radian per satuan waktu, maka kecepatan linearnya adalah v = r ω, di mana r adalah jari-jari dari lintasan perputarannya. Ketika kita mensubstitusikan ini ke dalam (1), maka kita akan memperoleh

  1

  2

  2 KE = (r m )ω

  2 dengan I . Jadi, untuk sebuah partikel yang berputar

  1

  2 KE = I ω (2)

  2 Kita simpulkan dari (1) dan (2) bahwa momen inersia dari benda dalam gerak berputar memainkan peranan yang serupa dengan massa benda dengan gerak linear. Untuk sebuah sistem dengan n partikel pada suatu bidang dengan massa m , m , . . . , m , r , . . . , r

  n dan pada jarak-jarak r n dari garis L, maka

  1

  2

  

1

  2

  momen inersia sistem terhadap L didefinisikan sebagai _X n

  2

  2

  2

  2 I r r r m r

  = m + m + . . . + m n = k

  1 2 n k

  1

  2 k =1

  Dengan kata lain, kita melakukan penjumlahan momen inersia dari setiap partikel.

  Misalkan sebuah lamina dengan kerapatan δ(x, y ) yang melingkupi daerah S pada bidang xy . Jika kita mempunyai partisi S, membuat hampiran untuk momen inersia dari setiap bagian R k , menjumlahkan dan menentukan limitnya, maka akan diperoleh rumus-rumus berikut. Momen inersia

  (disebut juga momen kedua) dari suatu lamina terhadap sumbu x, sumbu y , dan sumbu z dinyatakan dengan _{Z Z Z Z}

  2

  2 I x = y δ (x, y )dA

  I y = x δ (x, y )dA

  S S _{Z Z}

  2

  2 I

z = (x + y )δ(x, y )dA = I x + I y S Contoh 3: Tentukan momen inersia terhadap sumbu x, y , dan z dari lamina pada Contoh 1.

  Penyelesaian: _{2/3 Z Z Z Z Z} 8 x

  8

  1 6144

  3

3 11/3

  I xy dA xy dy dx x dx

  x = = = =

  ≈ 877.71

  4

  7 S _{2/3 Z Z Z Z Z} 8 x

  8

  1

  3

3 13/3

  I y = x ydA = x y dy dx = x dx = 6144

  2 S 49152

  I

  z = I x + I y =

  ≈ 7021.71

  7

Luas Permukaan

  Pada materi ini, kita akan membahas mengenai luas permukaan yang didefinisikan dengan z = f (x, y ) atas sebuah daerah spesifik. Andaikan G adalah permukaan atas sebuah daerah S yang tertutup dan terbatas pada bidang xy . Asumsikan bahwa f mempunyai turunan-turunan parsial pertama kontinu f x dan f y . Kita akan mulai dengan membuat partisi P pada daerah S dengan garis-garis sejajar dengan sumbu x dan sumbu y (Gambar kiri).

  Misalkan R m , m = 1, 2, . . . , n, menyatakan persegi panjang-persegi panjang yang dihasilkan dan terletak sepenuhnya di dalam S. Untuk setiap m , misalkan G m adalah bagian dari permukaan yang diproyeksikan ke R m , dan misalkan P m adalah suatu titik dari G m yang diproyeksikan ke sudut R m dengan koordinat x dan koordinat y yang terkecil. Misalkan T m menyatakan suatu jajaran genjang dari bidang singgung di P m yang diproyeksikan ke R , seperti ditunjukkan pada Gambar kiri, dan perincian

  m selanjutnya ditunjukkan pada Gambar kanan. Selanjutnya, kita mencari luas jajaran genjang T m yang proyeksinya adalah R

  m . Misalkan u m dan v m menyatakan vektor-vektor yang membentuk

  sisi-sisi T m . Maka, u = ∆x i + f (x , y )∆x k

  m m x m m m

  v j , y k

  m = ∆y m + f y (x m m )∆y m Luas jajaran genjang T m m m adalah |u × v | di mana i j k u = ∆x f (x , y )∆x

  m m m x m m m

  × v f , y ∆y m y (x m m )∆y m

  , y , y

  x (x m m )∆x m ∆y m y (x m m )∆x m ∆y m

  = (0 − f )i − (f − 0)j

• (∆x m ∆y m

  − 0)k , y , y

  = ∆x m ∆y m x (x m m y (x m m )j + k] [−f )i − f

  = A(R m x (x m , y m y (x m , y m )j + k] )[−f )i − f

  Dengan demikian, luas T m adalah _q

  2

  2 A , y , y

  (T m m m m ) [f x (x m m )] + [f y (x m m )] + 1 ) = |u × v | = A(R

  2 y

  S ^q

  

2

x

  f

  S ^q

  A (G ) = ^{Z Z}

  2

  m )]

  , y

  2

  m )]

  [f x (x m , y

  2

  m )]

  , y

  

2

  m )]

  [f x (x m , y

• 1A(R m ) = ^{Z Z}

  |P|→0 ^q

  = lim

  A (T m )

  |P|→0 n _X m =1

  A (G ) = lim

  Kemudian, jumlahkan luas dari bidang-bidang singgung jajaran genjang T m ini, m = 1, 2, . . . , n, dan ambil limitnya agar diperoleh luas permukaan G .

• [f y (x m
• [f y (x m
• 1dA Singkatnya,
• f
• 1dA

Gambar di atas dibuat seolah-olah daerah S pada bidang xy adalah sebuah persegi panjang, tapi prakteknya tidak selalu demikian. Gambar berikut memperlihatkan apa yang terjadi ketika S bukan merupakan sebuah persegi panjang.

  Contoh 1: Jika S adalah daerah persegi panjang pada bidang xy yang dibatasi oleh garis x = 0, x = 1, y = 0, dan y = 2, tentukan luas dari bagian

  √

  2 permukaan silindris z = yang diproyeksikan ke S.

  4 − x Penyelesaian: √

  x

  2 √

  Misalkan f (x, y ) = . Maka f x , f y = 0, dan 4 − x = − ² _{Z Z Z Z}

  4−x _{s q}

  2

  x

  2

  2 A (G ) = f + f + 1dA = + 1dA x y

  2

  4 − x

  S S _{Z Z Z Z}

  1

  2

  2

  2 dA dy dx = =

  √ √

  2

  2

  4 − x 4 − x

  S _Z

  1 _{h i}

  1

  1 x 2π

  −1

  dx sin = 4 = 4 =

  √

  2

  2

  3 4 − x Contoh 2:

  2

  

2

  Tentukan luas permukaan z = x + y di bawah bidang z = 9.

  Penyelesaian: Bagian G (yang diarsir) dari permukaan tersebut diproyeksikan ke daerah

  2

  

2

  2

  2 melingkar S di dalam lingkaran x + y = 9. Misalkan f (x, y ) = x + y .

  Maka f x = 2x, f y = 2y , dan _{Z Z p}

  

2

  2 A

  (G ) = 4x + 4y + 1dA

  S

• 1r dr dθ =
• 1)

  3/2

  3/2

  6 (37

  − 1)dθ = π

  3/2

  12 (37

  1

  2π _Z

  d θ =

  

3

  2

  Bentuk S menyarankan kita untuk menggunakan koordinat kutub.

  3 (4r

  2

  8

  1

  2π _Z

  2

  4r

  3 _{Z p}

  2π _Z

  A (G ) =

  − 1) ≈ 117.32 Latihan

  x, y

  

1. Tentukan massa m dan pusat massa (¯ ¯ ) dari lamina yang dibatasi

kurva-kurva berikut dengan kerapatan yang diberikan. x

  a. = 0, x = 4, y = 0, y = 3; δ(x, y ) = y + 1 _x

  b. y = e , y = 0, x = 0, x = 1; δ(x, y ) = 2 − x + y

  

2. Tunjukkan bahwa momen inersia dari sebuah lamina persegi panjang

  homogen dengan panjang sisi a dan b terhadap sumbu tegak lurus melalui pusat massanya adalah k

  3

  3 I = (a b + ab )

  12 Di sini k adalah konstanta kerapatan.

  2

  

p4 − y

bujursangkar pada bidang xy dengan verteks-verteks (1, 0), (2, 0), (2, 1), dan (1, 1).

  2

  

b. Bagian dari permukaan z = pada oktan pertama yang tepat

p4 − y

  2

  

2

berada di atas lingkaran x + y = 4 pada bidang xy .

  2

  2

  2

  2

  c. Bagian dari bola x + y + z = a di dalam silinder lingkaran

  2

  2 x + y = ay (r = asinθ pada koordinat kutub), a > 0.

Pustaka

  Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1 dan 2 . Jakarta : Erlangga. Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem of Advanced Calculus. Schaum Outline Series . New York: Mc Graw-Hill. Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus , Jilid 2. Jakarta : Erlangga. Mendelson, Elliot, 1988. Schaum’s Outlines, 3000 Solved Problems in Calculus . New York: Mc Graw-Hill.