4. Mononom dan Polinom - I-4 Mononom dan Polinom

4. Mononom dan Polinom

  

Sudaryatno Sudirham

n

  Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kx , dengan k adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. Fungsi polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Berikut ini beberapa contoh fungsi polinom dalam bentuk eksplisit

  3

  2 y = x + +

5 x −

3 x

  7

  1

  2

  2 y ( x

5 )

  = −

  2 y 10 x

  =

  3 y

  5 =

  4 Contoh yang pertama, y 1 , adalah fungsi polinom berpangkat tiga, yaitu pangkat

  tertinggi dari peubah bebas x. Contoh ke-dua, y , adalah fungsi berpangkat empat. Contoh

  2 y 3 dan y 4 adalah fungsi mononom berpangkat satu dan berpangkat nol yang telah kita kenal sebagai fungsi linier dan fungsi tetapan yang memiliki kurva berbentuk garis lurus.

4.1. Mononom

  Mononom Pangkat Dua. Mononom pangkat dua kita pandang sebagai fungsi genap,

  kita tuliskan

  2 y kx (4.1)

  =

  Karena x di-kuadratkan, maka mengganti x dengan x tidak akan mengubah fungsi. Kurva

  − akan simetris terhadap sumbu-y. Nilai y hanya akan negatif manakala k negatif.

y kx

  Kita ingat bahwa pada fungsi linier = nilai k merupakan kemiringan dari garis lurus. Jika k positif maka garis akan naik ke arah positif sumbu-x, dan jika negatif garis akan menurun. Jika k makin besar kemiringan garis makin tajam. Pada fungsi mononom pangkat dua, kurva akan berada di atas sumbu-x jika k positif dan akan berada di bawah sumbu-x jika k negatif . Jika k makin besar lengkungan kurva akan semakin tajam. Gb. 4.1. memperlihatkan kurva fungsi (4.1) untuk tiga macam nilai positif k. Makin besar nilai k akan membuat lengkungan kurva makin tajam. Perhatikanlah bahwa pada x = 1, nilai y sama dengan k.

  2

  2

  10 y = 5x y = 3x y

  9

  8

  7

  2 y = x

  6

  5

  4

  3

  2

  1

• 3 -2 -1

  1

  2

  3

  2 Gb.4.1. Kurva fungsi y kx dengan k positif.

  

= Gb.4.2 memperlihatkan bentuk kurva jika k bernilai negatif. Jika kurva dengan nilai k positif menunjukkan adanya nilai y minimum, yaitu pada titik [0,0], kurva untuk k negatif menunjukkan adanya nilai y maksimum pada titik [0,0].

  x

• 5 -4 -3 -2 -1

  1

  2

  3

  4

  5

• 20
• 40

  2 y = 2x

  −

• 60

  2

• 80

  y = − 10x y

• 100

  2 Gb.4.2. Kurva fungsi y kx dengan k negatif.

  

=

  Peninjauan pada fungsi polinom akan kita lakukan pada k yang positif; kita akan melihat bagaimana jika kurva ini digeser. Pergeseran kurva sebesar a skala sejajar sumbu-x diperoleh dengan menggantikan peubah x dengan (x

  a), dan pergeseran sejajar sumbu-y

  −

  sebesar b skala diperoleh dengan mengganti y dengan (y

  b). Dengan demikian persamaan

  −

  mononom pangkat dua yang tergeser menjadi

  2 ( y − b ) = k ( x − a ) (4.3)

  Kurva fungsi seperti ini diperlihatkan pada Gb.4.3. untuk a = 0 dan b = 0, a = 2 dan b = 0, serta a = 2 dan b = 30. Untuk nilai-nilai ini, dengan k = 10, persamaan dapat kita tuliskan menjadi

  2

y = 10x

  1

  2 y =

10 ( x −

2 )

  2

  y = 10 ( x − 2 )

• 2

  30

  3

  2 y = 10(x − 2) + 30

  3 100

  2 y = 10x

  1

  50

  2 y = 10(x 2)

  2 −

• 5 -3 -1

  

1

  3

  5 x Gb.4.3. Pergeseran kurva mononom pangkat dua.

  Perhatikanlah bahwa y adalah pergeseran dari y ke arah positif sumbu-x sebesar 2

  2

  1

  skala; y adalah pergeseran dari y ke arah positif sumbu-y sebesar 30 skala. Bentuk

  3

  2 lengkungan kurva tidak berubah.

  Mononom Pangkat Genap. Mononom pangkat genap yang lain adalah berpangkat 4, 6

  dan seterusnya. Semua mononom pangkat genap akan membentuk kurva yang memiliki sifat seperti pada mononom pangkat dua yaitu simetris terhadap sumbu-y, berada di atas sumbu-x jika k positif dan berada di bawah sumbu-x jika k negatif. Gb.4.4. memperlihatkan perbedaan bentuk kurva mononom pangkat genap yang memiliki koefisien k sama besar.

  Kita lihat pada Gb.4.4. bahwa makin tinggi pangkat mononom makin cepat nilai y bertambah namun hal ini hanya terlihat mulai dari x = 1. Pada nilai x lebih kecil dari satu, kurva makin landai jika pangkat makin tinggi. Dengan kata lain lengkungan makin kurang tajam. Hal ini dapat dimengerti karena pangkat bilangan pecahan bernilai makin kecil jika pangkat makin besar.

  

y

  

3

  2 y = 2x

  1

  

2

  

1

  4 y = 2x

  2

  6 y = 2x

  3

  1.5

• 1.5 -1 -0.5

  0.5 1 x Gb.4.4. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien sama.

  Telah kita ketahui dalam kasus mononom pangkat dua, bahwa jika koefisien k makin besar lengkungan menjadi makin tajam. Hal yang sama terjadi juga pada kurva mononom pangkat genap yang lebih tinggi. Gb.4.5. memperlihatkan kurva mononom pangkat genap dengan koefisien yang yang meningkat dengan meningkatnya pangkat.

  6

  6 y = 6x

  1 y

  5

  4

  4 y = 3x

  2

  3

  2

  2 y 3 = 2x

  1 x

• 1.5 -1 -0.5

  0.5

  1

  1.5 Gb.4.5. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien tak sama.

  Pada Gb.4.5 terlihat bahwa makin besar k, nilai y juga makin cepat meningkat. Kecepatan peningkatan y dengan koefisien yang lebih besar sudah mulai terjadi pada nilai x kurang dari satu. Gejala kelandaian pada nilai x yang kecil tetap terlihat.

  Kurva-kurva pada Gb.4.5 adalah kurva mononom dengan koefisien yang makin besar pada pangkat yang makin besar. Bila koefisien makin kecilpada pangkat yang makin besar, situasi yang akan terjadi adalah seperti terlihat pada Gb.4.6 berikut ini.

  

8

  

7

  2 y = 6x

  

6

  

5

  

4

  4 y = 3x

  

3

  

2

  6 y = x

  

1

• 1.5 -1 -0.5

  0.5

  1

  1.5 Gb.4.6. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien yang makin rendah pada mononom berpangkat tinggi. Kelandaian kurva pangkat tinggi tetap terjadi pada nilai x yang kecil. Kurva pangkat tinggi baru akan menyusul kurva berpangkat rendah pada nilai x > 1; perpotongan dengan kurva dari fungsi yang berpangkat rendah terjadi pada nilai y yang besar.

  Contoh Fungsi Mononom Pangkat Dua. Kita ambil beberapa contoh peristiwa fisis.

  1). Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan memperoleh percepatan

  a sehingga kecepatan benda sebagai fungsi waktu (apabila kecepatan awal adalah

  nol) dapat dinyatakan sebagai

  v ( t ) at = (lihat contoh fungsi linier sub-bab-2.7).

  Jarak yang ditempuh mulai dari titik awal adalah

  1

  2 s ( t ) = at

  2

  2). Dalam tabung katoda, jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan waktu tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan elektron pada waktu mencapai katoda adalah

  

v = at

k anoda ]]]] katoda l (lihat contoh fungsi linier sub-bab-2.7).

  1

  2 Waktu tempuh dapat dihitung dari formula s ( t ) = at , di mana s(t) = l.

  2

  3). Dalam teori atom, di mana elektron dipandang sebagai gelombang, fungsi

  j k r

  gelombang dari elektron-bebas dibawah pengaruh medan sentral adalah e

  ψ =

  dengan k adalah vektor bilangan gelombang yang searah dengan rambatan

  2 π

  gelombang. k = , : panjang gelombang

  λ λ

  Energi kinetik elektron sebagai gelombang, E , adalah

  k E k

  2

  2 h k E

  = k

  2 m e h m e massa electron, suatu konstanta. k

  E k dan k memiliki relasi mononomial pangkat dua

  (Dari Bab-8, ref. [4])

  Mononom Pangkat Ganjil. Pangkat ganjil paling kecil adalah 1 dan dalam hal demikian

  ini kita mendapatkan persamaan garis y = kx . Pangkat ganjil berikutnya adalah 3, 5, 7 dan seterusnya. Gb.4.5. memperlihatkan kurva fungsi mononom berpangkat ganjil.

  Kurva fungsi mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik asal. Ia bernilai positif untuk x positif dan bernilai negatif untuk x negatif. Makin tinggi pangkat mononom makin cepat perubahan nilai y untuk x > 1. Untuk x < 1 kurva makin landai yang berarti makin tajam “pembengkokan” garis lurus yang terjadi di dalam rentang

  1 x 1 .

  − ≤ ≤

  3

  2

  5 y = 2x y = 2x

  1

  3 y = 2x

• 1.5 -1 -0.5

  0.5

  1

  1.5

• 1
• 2
• 3 Gb.4.5. Kurva fungsi mononom pangkat ganjil.

  Apabila peningkatan pangkat disertai juga dengan peningkatan koefisien k, perpotongan kurva dengan garis y kx bisa terjadi pada nilai x < 1.

  =

4.2. Polinom Pangkat Dua

  Fungsi polinom pangkat dua berbentuk

  2 y ax bx c (4.4)

  =

+ +

  Berikut ini kita akan melihat apa yang terjadi pada proses penambahan mononom demi mononom. Untuk penggambaran kurva masing-masing mononom dalam tinjauan fungsi (4.4) diambil semua koefisien mononom positif. Dengan mengambil nilai-nilai a = 2, b = 15, dan c = 13, kurva masing-masing mononom diperlihatkan pada Gb.4.6.

  150 y

  2 y =2x y 2 =15x

  1 y =13

  3

• 10

  x

• 150 Gb.4.6. Kurva masing-masing mononom dari fungsi kuadrat.

  2 Jika kurva y = 15x ditambahkan pada y = 2x maka kurva y akan bertambah tinggi di

  2

  

1

  1

  sebelah kanan titik [0,0] dan menjadi rendah di sebelah kiri titik [0,0] seperti terlihat pada Gb.4.7.a.

  150 150

  2 y 1 =2x y sumbu simetri y

  2 y =2x +15x

  4 15/4

  2 − y =2x +15x

  4

• 10
• 10

  

x

x

  15/2 − x = 15/2

  − y =15x

  2

• 150
• 150

  (a) (b)

  150

  2 y y = 2x +15x+13 sumbu simetri

  5

  2 y = 2x +15x

  4

• 10

  x

• 150

  (c)

  2 Gb.4.7. Penjumlahan y = 2x , y = 15x, dan y = 13

  1

  2

  3

  

2

Karena y = 15 x melalui titik [0,0] dan y 1 = 2x juga melalui titik [0,0] maka penjumlahan

  2

  kedua kurva akan memberikan kurva

  2 y y y 2 x 15 x

  = = (4.5) + +

  4

  1

  

2

x 15 /

  2 x 15 /

  2

  di = − karena dua titik ini (yaitu x = 0 dan = − ) memenuhi persamaan

  2 y = 2 x + 15 x = . Kurva ini memiliki sumbu simetri yang memotong sumbu-x di x = − 15 /

  4

  3

  seperti terlihat pada Gb.4.7.b. Jika kemudian tetapan 13 ditambahkan pada y tebentuklah

  4

  2 y 2 x

15 x

13 (4.6)

  =

+ +

  5

  yang merupakan pergeseran dari y

  4 ke arah positif sumbu-y sebesar 13 skala, seperti terlihat pada Gb.4.7.c.

  Kita lihat sekarang bentuk umum fungsi pangkat dua (4.4)

  2

y ax bx c

  =

• +

  +

  yang dapat kita tuliskan sebagai

  2

  2

 b   b  b

  2    

y a x x c a x c

  = = − + + + +  a   2 a  4 a

  (4.7)

  2

  

2

  b b − 4 ac

  a x = −

•  

   2 a  4 a

  2 Kurva dari fungsi (4.7) ini dapat kita fahami sebagai berikut: kurva y adalah kurva y = ax b

  yang tergeser sejajar sumbu-x sejauh − kemudian tergeser lagi sejajar sumbu-y sejauh

  2 a

  2   b 4 ac

  −   . Perhatikan Gb.4.8.

  −  

  4 a  

  2 y = ax +bx +c y

  2 y = ax

x

  2 x

  1 } x

  2 b  

• 50

  b 4 ac − −  

  − 2 a

   

  4 a

   

2 Gb.4.8. Pergeseran kurva y = ax sejajar sumbu-x ke kiri sejauh

• –b/2a kemudian tergeser lagi sejajar sumbu-y ke bawah

  

2

sejauh –(b 4ac)/4a.

  

−

b

  Sumbu simetri terletak pada x dan kurva memotong sumbu-x di sebelah kiri dan

  = − 2 a

  kanan sumbu simetri ini, yaitu di x

  1 dan x 2 . Dari persamaan (4.7) kita dapatkan

  2

  2

  2

  2     b b 4 ac b b 4 ac

  − −     y = a x − = → a x = + +

  2

  2

  2     b b 4 ac b b 4 ac

  − −    

  → x = → x = ±

  2

  2  2 a   2 a 

  4 a 4 a

  2 b b 4 ac

  

−

x , x

  = − ±

  (4.8)

  1

  2 2 a

2 a

yang kita kenal sebagai akar-akar persamaan kuadrat.

  Keadaan kritis terjadi pada waktu kurva fungsi kuadrat bersinggungan dengan sumbu-x; dua akar nyata dari persamaan kuadrat menjadi sama besar. Hal ini terjadi jika pergeseran sejajar sumbu-y bernilai nol

  2 b − 4 ac

  

2

⇒

  ( b 4 ac ) (4.9) − = − =

  4 a

  2 Jika ( b 4 ac ) maka kurva tidak memotong sumbu-x. Keadaan ini memberikan akar − < kompleks yang belum akan kita bahas. Tinjauan di atas memberikan hal-hal berikut:

  b

  1. Jika c = 0, maka fungsi menjadi y = ax bx yang memotong sumbu-x di x = 0 dan x = −

• 2

  a b

  dan memiliki sumbu simetri di x = − yang juga menjadi sumbu simetri kurva fungsi

  2 a

  =

• kuadrat y ax bx c .
• 2

  2

  2

  

= =

+ +

• 2. Nilai puncak fungsi y ax bx c adalah nilai puncak y ax bx ditambah c yaitu

  2

  2 b b 4 ac

  −

  = − − 4 a 4 a

• y c atau .

  2

  3. Fungsi kuadrat y ax bx c memotong sumbu-x di

  = + +

  2

b b

4 ac

  − x

  = − ± 1 ,

  2 2 a 2 a

4.3. Mononom dan Polinom Pangkat Tiga

  3 y kx

  Fungsi mononom pangkat tiga kita tuliskan = . Jika k positif, fungsi ini akan bernilai positif untuk x positif dan bernilai negatif untuk x negatif. Jika k negatif maka keadaan akan menjadi sebaliknya. Kurva fungsi ini diperlihatkan pada Gb.4.9.

  500 y 400 300

  3 y = 3x

  − 200

  3 y = 2x

  100

• 5 -4 -3 -2 -1

  1

  2

  3

  4

  5

• 100 x
• 200

  3

• 300

  y = 2x

  3 y = − 3x

• 400
• 500

  3 Gb.4.9. Kurva fungsi y = kx .

  Fungsi mononom yang tergeser sejajar dengan sumbu-x dengan pergeseran sebesar a skala diperoleh dengan mengganti peubah x dengan (x a), dan jika tergeser sejajar sumbu-

  − y sebesar b skala kita peroleh dengan mengganti y dengan (y

   b) . Fungsi mononom −

  pangkat tiga yang tergeser akan menjadi

• 3

  y = k ( x − a ) b (4.10) dengan bentuk kurva diperlihatkan pada Gb.4.10.

  600 y

  400

  3 y = 10x

  200

• 5 -3 -1

  1

  3

  5 x

• 200

  3 y = 10(x 2)

  −

  3

• 400

  y = 10(x 2) + 100 −

• 600 Gb.4.10. Kurva fungsi pangkat tiga tergeser.

  Jika mononom pangkat tiga ditambahkan pada polinom pangkat dua, terbentuklan polinom pangkat tiga, dengan persamaan umum yang berbentuk

  3

  2

  = + +

• y ax bx cx d (4.11)

3 Karena y kx naik untuk x positif (pada k positif) maka penambahan ke fungsi kuadrat akan

  =

  menyebabkan kurva fungsi kuadrat naik di sebelah kanan titik-asal [0,0] dan turun di sebelah kiri [0,0].

  3

y ax

  Kita ambil a = 4 untuk menggambarkan = dan b =19, c = 80, d = 200 untuk

  1 − −

  2 y bx cx d menggambarkan kurva fungsi = seperti terlihat pada Gb.4.11.a. + +

  2 2000 y y 1 =

  2

  3 y 19 x 80 x 200

  = − −

  2 4x

• 10

  10 x

  (a)

• 2000 2000

  y

y

  y y y 3 =

  1

• 2

  2

  3

  2

  19 x 80 x 200 = − −

• 4 x
• 10

  10 x

y

  

1

(b)

• 2000

  Gb.4.11. Mononom pangkat tiga y

  1 dan fungsi kuadrat y 2 . Dengan a positif maka kurva y 1 bernilai positif untuk x > 0 dan bernilai negatif untuk x < 0. Kurva fungsi kuadrat y telah kita kenal. Jika y ditambahkan pada y maka nilai-nilai y di

  2

  1

  2

  2

  sebelah kiri titik [0,0] akan berkurang sedangkan yang di sebelah kanan titik [0,0] akan bertambah. Kurva yang kita peroleh akan terlihat seperti pada Gb.4.9.b. Terlihat pada gambar ini bahwa penjumlahan y dan y menghasilkan kurva y yang

  1

  2

  3

  memotong sumbu-x di tiga titik. Ini berarti bahwa persamaan pangkat tiga

  3

  2

ax bx cx d (dengan nilai koefisien yang kita ambil) memiliki tiga akar nyata, yang

• =

  ditunjukkan oleh perpotongan fungsi y 3 dengan sumbu-x tersebut. Hal demikian tidak selalu terjadi. Jika koefisien a kurang positif, penurunan kurva y

  1 di

  daerah x negatif tidak terlalu tajam. Hal ini menyebabkan pengurangan nilai y didaerah ini

  2 juga tidak terlalu banyak. Kita akan memperoleh kurva seperti ditunjukkan pada Gb.4.12.a.

  Di sini fungsi pangkat tiga memotong sumbu-x di tiga tempat akan tetapi yang terlihat hanya dua. Titik potong yang ke-tiga berada jauh di x negatif. Makin kecil nilai a (tetap positif) akan makin jauh letak titik perpotongan yang ke-tiga ini.

  2000 y

  2 y = y + y

  3

  

1

  2

• 10

  10 y

  1

• 2000

  (a) a kurang positif

  2000 y

  2

• 10

  15 y = y +y

  3

  1

  

2

y

  1

• 2000

  (b) a terlalu positif Gb.4.12. Pengaruh nilai a kurva fungsi pangkat tiga y = y + y .

  1

  2 Jika koefisien a terlalu positif, penurunan y 1 di daerah negatif sangat tajam. Pengurangan y

  2

  di daerah ini terjadi sangat besar. Kurva yang kita peroleh akan terlihat seperti pada Gb.4.12.b. Di sini kurva tidak memotong sumbu-x di daerah negatif. Hanya ada satu titik potong di sumbu-x positif. Jika a = 0 akan terjadi fungsi kuadrat yang sudah kita bahas di sub-bab sebelumnya.

  Kita lihat sekarang keadaan di mana a bernilai negatif. Nilai a negatif akan membuat kurva

  y

1 bernilai positif di daerah x negatif dan bernilai negatif di daerah x positif. Hal ini menyebabkan nilai y

  2 akan bertambah di daerah negatif dan akan berkurang di daerah

  positif. Jika a tidak terlalu negatif, kurva yang kita peroleh akan berbentuk seperti terlihat pada Gb.4.13.a.

  y 3 = y 1 + y

  2 2000 y

  2 y

  1

• 10

  15

• 2000

  (a)

  y 3 = y 1 + y

  2 y

  2 y

  1

  15

• 10
• 2000

  (b) Gb.4.13. Fungsi pangkat tiga y

  3 = y 1 + y 2 dengan a negatif.

  Kurva berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan yang ke- tiga berada jauh di daerah x positif. Makin negatif a makin jauh letak titik perpotongan tersebut. Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat, seperti terlihat pada Gb.4.13.b.

  CATATAN:

  Sesungguhnya perpotongan kurva fungsi pangkat tiga dengan sumbu-x tidak

  3

  semata-mata ditentukan oleh nilai koefisien a pada mononom pertama ax . Bentuk dan posisi kurva fungsi kuadratnya, juga akan menentukan letak titik potong.

4.4. Domain, Kekontinyuan, Simetri

  Peubah x pada semua fungsi polinom dapat mengambil nilai dari sampai + . Nilai

  −∞ ∞ peubah y akan mengikuti nilai x. Fungsi polinom kontinyu dalam rentang x tersebut.

  Demikian pula halnya jika kita mempunyai fungsi yang merupakan hasilkali antara polinom dengan polinom, .

  y y y = ×

  1

  2

  2 Kita telah melihat bahwa kurva mononom pangkat dua y kx simetris terhadap ====

  sumbu-y karena penggantian x dengan x tidak mengubah fungsi ini. Hal ini juga akan

  −

  berlaku untuk semua kurva mononom yang berpangkat genap. Kenyataan ini menimbulkan istilah simetri genap untuk fungsi-fungsi yang simetris terhadap sumbu-y; misalnya fungsi cosinus yang akan kita pelajari di bab lain.

  3 Kita juga telah melihat bahwa kurva mononom pangkat tiga y kx simetris terhadap ====

  titik asal [0,0]. Penggantian y dengan y dan penggantian x dengan x tidak akan mengubah

  − −

  fungsi ini. Hal ini berlaku pula untuk semua kurva mononom berpangkat ganjil. Istilah simetri

  

ganjil diberikan pada fungsi yang simetris terhadap titik asal [0,0], seperti fungsi sinus yang

akan kita pelajari di Bab-6.

  Penjumlahan antara mononom berpangkat genap dengan mononom berpangkat ganjil tidak menghasilkan kurva yang memiliki sumbu simetri. Hal ini disebabkan karena kaidah untuk terjadinya simetri bagi mononom berpangkat genap tidak sama dengan kaidah yang diperlukan untuk terjadinya simetri pada kurva mononom berpangkat ganjil.

  Keadaan khusus terjadi pada mononom berpangkat satu yang juga merupakan mononom berpangkat ganjil. Kurva dari fungsi ini juga simetris terhadap titik asal [0,0]. Namun fungsi ini adalah fungsi linier dengan kurva yang berbentuk garis lurus, berbeda dengan kurva fungsi mononom pangkat tiga. Kelinieran ini menyebabkan penjumlahan dengan kurva mononom pangkat dua menghasilkan pergeseran kurva fungsi pangkat dua; kurva yang tergeser ini memiliki sumbu simetri yang sejajar dengan sumbu-y.