2.1. Integral Fungsi Tetapan: ∫ - II-5 Integral Tak Tentu

  www.darpublic.com Darpublic

2. Integral (2)

  

(Integral Tak Tentu)

Sudaryatno Sudirham

  Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung integral adalah dengan pendekatan numerik, walaupun cara ini memberikan hasil yang mengandung error. Namun error dalam pendekatan numerik bisa ditekan sampai pada batas-batas toleransi. Dalam bab ini kita akan melihat perhitungan integral tak tentu secara analitis dari macam-macam fungsi.

  2.1. Integral Fungsi Tetapan: adx ∫

  

= =

∫

• adx ax K karena dax adx

  2 dx 2 x K = =

• Contoh: y

  ∫ n

  2.2. Integral Fungsi Mononom: x dx ∫

• n

  1

  x

  n n − 1 n

  Karena dx dengan syarat n ≠ − x dx 1, maka x dx K

  

= =

∫

  n

  1

  2

  2

  2

  3

  2 x dx 2 x dx x K

  = = = ∫ ∫

• Contoh: y

  3

  m

  2.3. Integral Fungsi Polinom ( x x ) dx ∫

• n

  Polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Integral suatu polinom sama dengan jumlah integral mononom yang menyusunnya.

  n m n m

  d ( x x ) x dx x dx Karena = maka

  1

  1 m + + n

  x x

  m

  ( x x ) dx K , dengan syarat n 1 , m

  1

• n

  = ≠ − ≠ − ∫

  1

  n 1 m

  n

  2.4. Integral Fungsi Pangkat Dari Fungsi: v dx ∫

  1

  1 n + + n

  v v

  n n

  Jika v adalah polinom, maka = karena = dengan syarat n ≠ − 1.

• +

  v dv dv K d v dv

  ∫

  1

  n 1 n

  n

  v dx Formulasi ini digunakan untuk mencari .

  ∫

  2

  Hitunglah = (

  2 1 )

• Contoh: y x dx

  ∫

  dv

  Misalkan =

  2 1 → = 2 → =

• v x dv dx dx

  2

  2

  3

  3

  2

  v v x x x

  8

  12

  6

  1

  2

  2 x 1 ) dx = dv = K = K

• y = (

  ∫ ∫

  2

  6

  6 Kita coba untuk meyakinkan hasil

  4

  1

  3

  2

  = + + + +

  x 2 x x K

  3

  6 ini dengan hasil yang akan diperoleh jika polinom kita kuadratkan lebih dulu.

  3

  2

  x x

  4

  4

  2

  2

  ′ = = =

  y ( 2 x 1 ) dx ( 4 x 4 x 1 ) dx x K

  ∫ ∫

  3

  2

• =

  ′ K K

  .

3 Misalkan

2.5. Integral Fungsi Berpangkat -1:

• =

2 Misalkan

• = dx

• = + = =

  = → = ∫ ∫

  2

  2

  dv dx dx dv

  2

  K dv dx y

  x v x 3 ln

  3

  = dx y x

  1

  2

  v v

  Contoh: Carilah ∫

  ln

  ∫

  3

  = ln maka K a a dv a

  v v

  Karena adv a da

  2.7. Integral Tetapan Berpangkat Fungsi : ∫ dv a v

  ∫

  v v = maka K e dv e v v

  Karena dv e de

  2.6. Integral Fungsi Eksponensial: ∫ dv e v

  2

  2

  Karena vdv v d

  3

  2 sin

  ∫ ∫

  − = − = = =

  x v dv v xdx y

  2 sin 2 sin

  2 2 cos 2 cos

  = → = → =

  dv dx dx dv x v

  2

  2

  2

  Misalkan

  xdx y

  2

  ∫ =

  Carilah integral tak tentu

  Contoh:

  ∫ cos sin Relasi diferensial dan integral fungsi trigonometri yang lain termuat dalam Tabel-2.1.

  K v dx v

  − sin cos = maka

  Karena vdx v d

  ∫ sin cos

  K v dx v

  = cos sin maka

  2

  2

  1

  2

  1

  2

  3

  2

  1

  3 2 /

  1

  2

  1

  1 2 /

  2 2 / 1 2 /

  2 − = → − = → = −

  2

  2

  2

  x dv dx x dx dv v x

  1

  2

  dx x x y

  ∫ − =

  Hitunglah

  Contoh:

  1

  6 /

  Darpublic www.darpublic.com

  2

  3

  3

  x x y

  2

  1 ln( ln

  x dv v x dx x x y )

  ∫ ∫

  2 = → = → + =

  1

  2

  2

  x dv dx x dx dv x v

  2

  1

  1

  Contoh: Carilah integral ∫

  ∫ v dv

  3 y x v dv v x dv v x dx x x

  − − = − = − = − =

−

  = ∫ ∫

  ∫ dx v n .

  −

  Karena v dv v d

  = ) (ln , maka

  K v v dv

  ∫

  ln . Integrasi ini memecahkan masalah persyaratan n ≠ −

  1 pada integrasi

• = K x K v
• =
• =

3 Misalkan v = 2x →

• = = =

2.8. Integral Fungsi Trigonometri

• =
• − =

www.darpublic.com Darpublic

  d v v cosh vdv sinh v K Karena (sinh ) = + cosh maka =

  ∫ = =

• Karena d (cosh v ) sinh vdv maka sinh vdv cosh v K Relasi diferensial dan integral fungsi hiperbolik yang lain termuat dalam Tabel-2.1.

  ∫

  2 x

• Contoh: Carilah y = cosh(

  1 ) dx

  ∫

  dv dv Misalkan v = + 2 x 1 → = 2 → dx = dx

  2

  1

  1 2 x 1 ) dx = cosh( v ) dv = sinh v K

• y = cosh(

  ∫ ∫

  2

  2

  1 sinh( 2 x 1 ) K

  

=

+ +

  2

2.10. Integral Menghasilkan Fungsi Trigonometri Inversi

  dv dv

  dv Integral fungsi-fungsi yang berbentuk , , dan setrusnya mulai nomer

  

∫ ∫

2 ∫

  2 1 v v v

• 2

  1 v −

  1 − 20 sampai 31, menghasilkan fungsi-fungsi trigonometri inversi.

  dx

  Contoh: Carilah

  y

  = ∫

  2

  1 4 x

  −

  dv dv

2 Jika kita membuat pemisalan v =

  1 − 4 x maka = − 8 x atau dx = . Kalau pemisalan ini kita dx − 8 x dv

  1 /

  2 −

  masukkan dalam persoalan integral yang diberikan, kita akan mendapatkan bentuk v

  ∫

  8 x

  −

  yang tidak dapat diproses lebih lanjut; persoalan integral tidak dapat ter-transformasi menjadi integral dalam peubah v. dx

  Namun bentuk ini dapat kita transformasi menjadi bentuk yang termuat dalam Tabel-

  ∫

  2

  1 4 x

  −

  dv dv 2.1, yaitu nomer 20. Kita misalkan v = 2x yang akan memberikan 2 atau dx . Persoalan

  = =

  dx

  2 integral kita menjadi dx dv 1 dv y = = =

  

∫ ∫ ∫

  2

  2

  2

  2 1 − 4 x

  2 1 − v 1 − v

  1

  1

  − 1 −

  1

  yang menghasilkan y v K x K

  = sin = sin ( + +

  2 )

  2

  2

2.9. Relasi Diferensial dan Integral

  Berikut ini daftar formula untuk deferensial beserta pasangan integralnya. Beberapa di antaranya perlu untuk diingat, misalnya formula 1 sampai 9 dan 16, 17 yang sering kita temui.

  Tabel-2.1. dv

• 1. dv = v K

  1. dv = dx

  ∫

  dx d kv kdv 2. ( ) = kdv k dv

  2. =

  ∫ ∫

  3. d ( v w ) dv dw =

• 3.
• ( dv dw ) dv dw

  = + + ∫ ∫ ∫

• ∫

• =
• =
• =
• =
• − =
• = K v vdv tan sec
• − =
• − =
• =
• =
• =
• − =

• − =
• = −
• =
• =
• −
• − =
• − =
• −
• = −
• − = −
• =
• −
• =
• = −
• = −

  1

  1 cot v dv v d

  − 23.

  ∫

  K v v dv

  1

  2 cot

  1 24.

  1 sec

  2

  1 − =

  − v v dv v d 24.

  ∫

  − K v v v dv

  1

  2 sec

  1

  2

  2 tan

  1 23.

  − K v v dv

  1 21.

  2

  1

  1 ) (cos v dv v d

  − − =

  − 21.

  ∫ ′ + − = −

  1

  1

  2 cos

  1 22.

  2

  1

  1 tan v dv v d

  − 22.

  ∫

  K v v dv

  , v >0 25.

  2

  1 csc

  2

  ∫

  −

  K v v dv

  1

  2

  cosh

  1 28.

  1

  1 − =

  1 ) (tanh v dv v d

  − = − 28.

  ∫

  −

  K v v dv

  1

  2

  tanh

  − v dv v d 27.

  2

  1 − −

  , v >0 26.

  = − v v dv v d 25.

  ∫

  − K v v v dv

  1

  2

  csc

  1

  2

  1 ) (cosh

  1

  1 ) (sinh v dv v d

  − 26.

  ∫

  K v v dv

  1

  2 sinh

  1 27.

  sin

  1

  2

  ) sin (cos − = 9.

  v v

  

∫

  ln 8. vdv v d cos ) (sin

  =

  8. K v vdv + =

  

∫

sin cos 9.

  vdv v d

  K v vdv

  = 7.

  

∫

cos sin

  10. vdv v d

  2 ) sec (tan = 10.

  ∫

  2 11.

  vdv v d

  2 ) csc (cot

  − = 11.

  K a a dv a

  ln

  ∫ cot csc

  ; n ≠

  Darpublic www.darpublic.com

  4. dv nv dv

  n n 1 − =

  4. C

  n v dv v n n

  1

  1

  1 5. v dv v d

  

∫

7. adv a da v v

  =

  ) (ln 5.

  K v v dv

  

∫

  ln 6. dv e de

  v v =

  6. K e dv e

  v v

  K v vdv

  2

  K v v dv

  ) coth h csc csch ( − =

  ∫

  coth h csc

  2 18.

  vdv v v d ) tanh h sec sech ( − =

  18. K v vdv v + − =

  ∫

  sech tanh h sec 19. vdv v v d

  19. K v vdv v

  2 ) h csc (coth − = 17.

  ∫

  cosh coth csch 20.

  2

  1

  1 ) (sin v dv v d

  − = − 20.

  ∫

  −

  K v vdv

  2 17. vdv v d

  12. vdv v v d tan sec ) (sec

  K v vdv

  =

  12. K v vdv + =

  ∫ sec tan sec

  13. vdv v v d cot csc ) (csc − = 13.

  K v vdv

  ∫ csc cot csc 14.

  ) v v d cosh (sinh = 14.

  ∫ sinh cosh

  ∫ tanh h sec

  15. vdv v d sinh ) (cosh

  = 15.

  K v vdv

  ∫ cosh sinh

  16. vdv v d

  2 ) h sec (tanh

  =

  16. K v vdv

  1 ; jika |v|<1 www.darpublic.com Darpublic

  − 1 −

  1

  29. = coth v K ; jika |v|>1

• 29. d (coth v ) =

  2 ∫

  2 1 v 1 v

  − − − dv dv

  − 1 −

  1

  d v v K 30. (sec h ) = 30. = − sec h ;

• 2

  ∫

  2

  v 1 v v 1 v

  − −

  dv dv

  − − 1 −

  1

  31. d (csc h v ) = 31. = − + csc h v K ;

  ∫

  2

  2

  1 v Catatan Tentang Isi Tabel-2.1.

  v 1 v v

  Dengan menggunakan relasi-relasi dalam Tabel-2.1 kita dapat melakukan proses integrasi fungsi-fungsi mencakup:

  vdv

  Fungsi mononom dan polinom:

  ∫

  dv

  n

  v dv ; Fungsi polinom berpangkat:

  ∫ ∫

  v

  v v

  e dv ; a dv Fungsi exponensial:

  ∫ ∫

  

2

  2

  vdv vdv vdv vdv vdv vdv Fungsi trigonometri: cos ; sin ; sec ; csc ; sec tan ; csc cot .

  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ tan vdv cot vdv sec vdv csc vdv tetapi tidak: ; ; ; .

  ∫ ∫ ∫ ∫

  2

  2 cosh vdv sinh vdv sec h vdv vdv v vdv

  Fungsi hiperbolik: ; ; ; csc h ; sec h tanh ;

  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ vdv vdv vdv vdv csch v coth vdv ; tetapi tidak: tanh ; coth ; sec h ; csc h .

  

∫ ∫ ∫ ∫

∫

  Integrasi fungsi aljabar yang menghasilkan fungsi trigonometri inversi dan fungsi hiperbolik inversi, seperti

  dv dv dv dv

  dv dv dv dv ; ; ; ; ; ; ; .

  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 ∫ ∫ ∫

  2

  2

  

2

  2

  2

  2 1 v 1 v

• 2

  −

  1 v v v −

  1 1 v v

  1 v 1 v − v 1 v

  − −

  tetapi tidak mengintegrasi fungsi inversi seperti

  − 1 −

  1 − 1 −

  1 sinh vdv tanh vdv

  sin vdv ; tan xdx ; ;

  ∫ ∫ ∫ ∫

  Tabel-2.1 tidak memuat relasi integrasi fungsi-fungsi aljabar yang berbentuk dv

  2

  2

  2

  2

  ; a v dv ; v a dv ; dsb

  ± − ∫

  2 2 ∫ ∫

• a v