IFA Kelompok4 Chapter8 gsjadi

  

Tugas Logika Informatika

Kelompok 4:

  

Abgi Robbi

Ahmad Dadan

Asep Miftah

Arli Ramdhani

  

If A

Semester 3

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI

SUNAN GUNUNG DJATI

BANDUNG

  

“Truth Grows on Trees”

(Kebenaran Tumbuh di Pohon)

  In This Chapter :

• Decomposing SL statements with truth trees
• Testing for consistency, validity, and semantic equivalence
• Categorizing tautologies, contradictions, and contingent statements with truth trees

  Dalam Bab ini :

• Membuat ulang pernyataan SL dengan pohon kebenaran
• Pengujian untuk konsistensi, validitas, dan semantik kesetaraan
• Menggolongkan tautologi, pertentangan, dan pernyataan ketidaktentuan dengan pohon kebenaran

  In Chapters 6 and 7, I show you how to use truth tables and quick tables to get information about sentential logic (SL) statements and sets of statements. In this chapter, I introduce you to the third (and my favorite!) method for solving logic problems: truth trees.

  Dalam Bab 6 dan 7, Saya akan menunjukkan pada anda bagaimana untuk menggunakan tabel kebenaran dan tabel cepat untuk mendapat informasi tentang pernyataan dan kumpulan pernyataan logika sentensial (SL). Dalam bab ini, saya kenalkan anda pada ketiga (dan favorit saya!) Metode untuk memecahkan masalah logika: kebenaran pohon.

  In the following sections, I show you how truth trees work by a process of decomposing SL statements into

their sub-statements. Then I show you how to use truth trees to solve the same types of problems you’ve been

handling with truth tables and quick tables.

  Pada bagian berikut, Saya akan menunjukkan bagaimana pohon kebenaran bekerja dengan pedoman satu proses mendekomposisi pernyataan SL ke subpernyataannya. Kemudian saya akan menunjukkan bagaimana untuk menggunakan pohon kebenaran untuk mengatasi jenis masalah yang sama Anda telah menangani dengan kebenaran tabel kebenaran dan tabel cepat.

Understanding How Truth Trees Work

  (Memahami Cara Kerja Pohon Kebenaran) Truth trees are a powerful tool by any standard. In fact, I think that they’re the best tool in this book to solve nearly every type of problem you’ll come across in logic. Why? Glad you asked.

  Pohon kebenaran adalah alat yang sangat kuat dengan standar apapun. Bahkan, aku berpikir bahwa ini adalah alat terbaik dalam buku ini untuk memecahkan hampir setiap jenis masalah yang akan datang di dalam logika. Mengapa? Pertanyaan Anda yang menyenangkan.

  First of all, truth trees are easy: They’re easy to master and easy to use.

  Pertama-tama, pohon kebenaran sangat mudah: Mereka mudah untuk dikuasai dan mudah digunakan.

  Truth trees combine the best features of both truth tables and quick tables, but without the baggage of either.

For example, like truth tables, truth trees are a plug-and-chug method (though a couple of smart choices along

the way can still help you out), but they’re much shorter. And, like quick tables, truth trees avoid repetitive evaluation, but they never lead to trouble such as guesswork or problems with three possible avenues to eliminate.

  Pohon kebenaran menggabungkan fitur terbaik dari kedua tabel kebenaran dan tabel cepat, tetapi tanpa kekurangan dari yang manapun. Sebagai contoh, seperti tabel kebenaran, pohon kebenaran adalah satu metoda plug-and-chug (meskipun beberapa pilihan cerdas di sepanjang jalan masih bisa membantu Anda keluar), tapi mereka jauh lebih pendek. Dan, seperti tabel cepat, pohon kebenaran menghindari evaluasi berulang, tetapi pohon kebenaran tidak pernah mendorong ke arah masalah dengan cara menebak atau permasalahan dengan tiga kemungkinan jalan untuk dihilangkan.

  

Truth trees are a perfect way to solve SL problems of any size with maximum efficiency. They’re also useful in

quantifier logic (QL), the larger logical system I discuss in Part IV.

  Pohon Kebenaran adalah cara sempurna untuk memecahkan permasalahan SL ukuran apapun dengan efisiensi maksimum. Pohon Kebenaran juga bermanfaat dalam logika quantifier (QL), sistem logis yang lebih besar yang akan saya bahas pada Bagian IV.

  

In Chapter 5, I discuss the eight basic forms of SL statements. These become important once again as you study

truth trees, because truth trees handle each of these forms in a different way. (If you need a refresher on these eight forms, flip to Table 5-1.)

  Dalam Bab 5, Saya membahas delapan bentuk dasar pernyataan SL. Sekali lagi ini menjadipenting seperti saat anda mempelajari pohon kebenaran, karena pohon kebenaran menangani masing- masing bentuk ini dengan cara yang berbeda. (Jika anda memerlukan penyegaran pada delapan bentuk berikut, lihat pada tabel 5-1.)

• - Decomposing SL statements

  (Mendekomposisi pernyataan SL) Truth trees work by decomposing statements — that is, breaking statements into smaller sub-statements.

  Pohon Kebenaran bekerja dengan mendekomposisi pernyataanyaitu, memecah pernyataan menjadi sub-pernyataan yang lebih kecil.

  

For example, if you know that the statement (P V Q) & (Q V R) is true, you know that both the sub-statement (P

  

V Q) is true and the sub-statement (Q V R) is true. In general, then, you can break any true statement of the form

x & y into two true statements, x and y.

  Sebagai contoh, jika anda tahu bahwa pernyataan (P v Q) & (Q v R) adalah benar, anda mengetahui bahwa kedua sub-pernyataan (P v Q) adalah benar dan sub-pernyataan (Q v R) adalah benar. Secara umum, kemudian, anda bisa memecah pernyataan benar dalam bentuk x & y ke dalam dua pernyataan benar, x dan y.

  In some cases, decomposing a statement means breaking it off into two statements,

where at least one of which is true. For example, if you know that the statement (P →Q) V (Q↔R) is true, you

know that either the sub-statement (P →Q) or the sub-statement (Q↔R) is true. In general, then, you can break

any true statement of the form x V y into two statements, x and y, where at least one of which is true.

  Dalam beberapa kasus, mendekomposisi sebuah pernyataan berarti memecah pernyataan tersebut kedalam dua pernyataan, dimana sedikitnya salah satu diantaranya adalah benar. Sebagai contoh, jika anda tahu bahwa pernyataan (P → Q) v (Q ↔ R) adalah benar, anda tahu bahwa yang manapun, baik sub-pernyataan (P → Q) atau sub-pernyataan (Q ↔ R) adalah benar. Secara umum, kemudian, anda bisa memecah pernyataan benar yang manapun dari bentuk x v y ke dalam dua pernyataan, x dan y, dimana paling tidak salah satu diantaranya adalah benar.

  Forms of true statements that lead directly to other true statements are called single branching statements.

Forms that lead in two possible directions are called double branching statements. Double branching statements

always lead to either one or two sub-statements per branch.

  Bentuk pernyataan benar yang membawa langsung pada pernyataan benar yang lain disebut pernyataan bercabang tunggal. Bentuk yang mengarah pada dua kemungkinan ara h disebut pernyataan bercabang ganda. Pernyataan bercabang ganda selalu mendorong ke arah salah satu dari atau kedua sub-pernyataan setiap cabang.

  Figure 8-1 shows a list of all eight basic forms of SL statements with their decompositions.

  Gambar 8-1 memperlihatkan daftar dari semua delapan bentuk dasar pernyataan SL dengan

  For example, if you’re decomposing the statement (P →Q) V (Q →R), you begin by breaking it into two sub- statements as follows:

  Sebagai contoh, jika anda mendekomposisi pernyataan (P → Q) v (Q → R), anda mulai dengan cara memecahkan pernyataan tersebut ke dalam dua sub-pernyataan sebagai berikut:

   (P →Q) v (Q → R) (P → Q) (Q → R) Notice that I checked the statement (P→  Q) V (Q →R) after I decomposed it into its two sub-statements. The checkmarks let you know that I’m finished with this statement — though now I need to deal with its two sub- statements .

  Perhatikan bahwa saya memeriksa pernyataan (P → Q) v (Q → R) setelah saya mendekomposisi pernyataan tersebut ke dalam dua sub-pernyataannya. Tanda cek memungkinkan anda tahu bahwa saya sudah selesai dengan pernyataan ini — meskipun saat ini saya perlu berurusan dengan dua sub-pernyataannya.

  

Next, you break each sub-statement into smaller sub-statements, according to the rules provided in Figure 8-1.

Berikutnya, anda memecah setiap sub-pernyataan menjadi sub-pernyataan yang lebih kecil, berdasarkan aturan yang ada dalam gambar 8-1

  Percabangan Tunggal Percabangan Ganda menuju Percabangan Ganda menuju Dua Sub-Pernyataan Satu Sub-Pernyataan x & y x ↔ y ~(x & y) x x ~x ~x ~y y y ~y

  ~(x v y) ~(x ↔ y ) x v y ~x x ~x x y ~y ~y y

  ~(x → y) x → y x

  ~x y ~y

  Gambar 8-1: Delapan jenis pernyataan SL dengan dekomposisi

  You can see now how truth trees got their name. The final structure resembles an upside-down tree, like this:

  Saat ini Anda bisa melihat bagaimana pohon kebenaran mendapat nama seperti itu. Struktur akhir menyerupai satu pohon terbalik, seperti ini:

   ( P → Q ) v ( Q → R ) ( P → Q ) ( Q → R ) ~P Q ~Q R Here, I again checked the statements that I decomposed. Also note the circling convention. After you

decompose a statement down to either a single constant or its negation, circling makes it easier to keep track of.

In this case, I circled ~P, Q, ~Q, and R.

  Di sini, Saya kembali memeriksa pernyataan-pernyataan yang saya dekomposisi. Perhatikan juga tanda melingkar. Setelah anda mendekomposisi sebuah pernyataan ke salah satu konstanta tunggal ataupun negasinya, lingkaran membuat lebih mudah untuk dilacak. Dalam hal ini, Saya melingkari ~P, Q, ~Q, dan R.

  

After you break down every statement in this way, the truth tree is complete. Each branch tells you something

about one or more interpretations that would make the original statement true. To find these interpretations,

trace from the beginning of the trunk all the way to the end of that branch and note all of the circled statements

that you pass through along the way.

  Setelah Anda meruntuhkan setiap pernyataan dengan cara ini, pohon kebenaran selesai. Setiap cabang memberitahu anda tentang sebuah tafsir atau lebih yang akan membuat pernyataan asli benar. Untuk menemukan tafsir ini, jejak dari awal batang sampai ke ujung cabang dan catat semua pernyataan yang anda lingkari sepanjang jalan yang anda lewati.

  For example, tracing from the beginning of the trunk to the end of the first branch, the only circled statement you pass through is ~P. So, this branch tells you that any interpretation in which P is false will make the original statement true.

  Sebagai contoh, menelusuri dari awal batang sampai akhir cabang pertama, satu-satunya pernyataan yang anda lingkari adalah ~P. Jadi, cabang ini memberitahu anda setiap penafsiran apapun dimana P adalah palsu/salah yang akan membuat pernyataan asli benar.

• - Solving problems with truth trees

  (Memecahkan masalah dengan pohon-pohon kebenaran) You can use a truth tree to solve any problem that can be solved using a truth table or a quick table. As with these other tools, truth trees follow a step-by-step process. Here are the steps for a truth tree:

  Anda bisa menggunakan pohon kebenaran untuk memecahkan masalah apapun yang mungkin dapat diselesaikan menggunakan tabel kebenaran atau tabel cepat. Sejalan dengan perangkat lain, pohon kebenaran mengikuti proses satu tahap demi tahap. Berikut adalah tahap-tahap untuk satu pohon kebenaran:

  1. Set up. To set up a truth tree, construct its trunk according to the type of problem you’re trying to solve.

  The trunk consists of the statement or statements you need to decompose.

  

1. Persiapan. Menyiapkan satu pohon kebenaran, membangun batang nya sesuai dengan jenis

masalah yang sedang anda coba untuk pecahkan.

  Batang terdiri dari pernyataan atau pernyataan-pernyataan yang anda perlukan untuk dibuat ulang.

  2. Fill in. To fill in a truth tree, use the rules of decomposition listed in Figure 8-1 to create all of its branches.

  

2. Isi. Untuk mengisi sebuah pohon kebenaran, gunakan ketentuan-ketentuan memebuat ulang

(dekomposisi) yang ada di gambar 8-1 untunk membuat semua cabangnya.

  3. Read. To read the completed truth tree, check to see which of the following two outcomes has occurred:

  3. Baca. Untuk membaca pohon kebenaran yang telah selesai, periksalah untuk melihat

  dua hasil yang telah terjadi:

• At least one branch is left open: At least one interpretation makes every statement in the trunk of the tree true.

   Sedikitnya satu cabang masih terbuka: Sedikitnya satu penafsiran membuat setiap pernyataan dalam batang pohon yg benar.

• • All of the branches are closed: No interpretation makes every statement in the trunk of the tree true. (In

  the following section, I show you how to close off a branch.)

   Semua cabang menutup: Tidak ada penafsiran yang membuat setiap pernyataan dalam batang pohon benar. (Dalam bagian berikut ini, Saya memperlihatkan kepada anda bagaimana untuk lepas dari satu cabang.)

  Showing Consistency or Inconsistency (Menunjukkan Konsistensi atau Tidak konsistensi)

  

You can use truth trees to figure out whether a set of statements is consistent or inconsistent. (See Chapter 6 for

more on consistency.) For example, suppose you want to figure out whether the three statements P & ~Q, Q V

~R, and ~P →R are consistent or inconsistent.

  Anda dapat menggunakan pohon kebenaran untuk mengetahui apakah satu set pernyataan adalah konsisten atau tidak konsisten. (Lihat Bab 6 untuk lebih pada konsistensi.) Sebagai contoh, misalkan Anda ingin mencari tahu apakah tiga pernyataan P & ~ Q, Q V ~ R, dan ~ P → R adalah konsisten atau tidak konsisten.

  To decide whether a set of statements is consistent (at least one interpretation makes all of those statements

true) or inconsistent (no interpretation makes all of them true), construct a truth tree using that set of statements

as its trunk. Here’s your trunk:

  Untuk memutuskan apakah satu set pernyataan adalah konsisten (sedikitnya satu penafsiran membuat semua pernyataan itu benar) atau tidak konsisten (tidak ada penafsiran membuat semua pernyataan itu benar), buatlah satu pohon kebenaran menggunakan sekumpulan pernyataan sebagai batangnya. Inilah batang anda tersebut:

  

P & ~Q

Q v ~R

~P → R

  After you create your trunk, you can begin decomposing the first statement, P & ~Q. Here’s what you get:

  Setelah anda menciptakan batang anda, anda bisa mulai membuat ulang pernyataan pertama, P & ~Q. Inilah yang anda dapat:

   P & ~Q Q v ~R ~P → R

   P ~Q

I checked the statement P & ~Q after I decomposed it into its two substatements and circled the single constants

— P and ~Q.

  Saya mengecek pernyataan P & ~Q setelah saya mendekomposisi pernyataan itu ke dalam dua sub-pernyataannya masing-masing dan melingkari konstanta tunggal — P dan ~Q.

  The next statement is Q 0 ~R, which decomposes along two separate branches as follows:

  Pernyataan berikutnya adalah Q v ~R, yang dibuat ulang diantara dua cabang yang terpisah sebagai berikut:

  P & ~Q Q v ~R ~P → R

P

  

~Q

  

Q ~R

   X When tracing from the beginning of a trunk to the end of a branch would force you to pass through a pair of contradictory circled statements, close off that branch with an X.

  Ketika menelusuri awal suatu batang hingga akhir dari suatu cabang akan memaksa anda untuk memasuki sepasang pernyataan yang dilingkari berlawanan, tutuplah cabang itu dengan tanda ×.

  

In this case, tracing all the way from the beginning of the trunk to the end of the branch on the left forces you to

pass through the three circled statements P, ~Q, and Q. But ~Q and Q are contradictory statements, so I’ve closed off that branch.

  Dalam hal ini, menelusuri sepanjang jalan dari awal batang hingga akhir dari cabang pada sisi kiri memaksa anda untuk memasuki tiga pernyataan yang dilingkari P, ~Q, dan Q. Tetapi ~Q dan Q adalah pernyataan berlawanan, sehingga saya telah menutup cabang itu.

  The reason for closing off this branch makes sense when you think about it. This branch tells you that any

interpretation in which the statements P, ~Q, and Q are true would make all three original statements true. But,

~Q and Q can’t both be true, so this branch provides no possible interpretations.

  Alasan untuk penutupan cabang ini jadi masuk akal ketika anda memikirkan itu. Cabang ini memberitahu anda setiap penafsiran apapun dimana pernyataan P, ~Q, dan Q adalah benar-benar yang akan membuat ketiga pernyataan asli benar. Tetapi, ~Q dan Q tidak bisa keduanya benar, cabang yang seperti ini tidak menyediakan kemungkinan penafsiran.

  

The final statement to decompose is ~P → R. As you know from Figure 8-1, the branches for this statement will

look like this:

  Pernyataan akhir yang akan dibuat ulang adalah ~P → R. Seperti anda tahu dari gambar 8-1, cabang untuk pernyataan ini akan menyerupai hal ini:

  P & ~Q Q v ~R ~P → R

  P ~Q Q ~R ×

   P R x

  You can see again here that I’ve closed off a branch where a contradiction has been reached. In this case, the contradiction is R and ~R.

  Anda bisa melihat lagi di sini bahwa saya telah menutup satu cabang dimana terjadi perntentangan (kontradiksi). Dalam hal ini, pertentangan tersebut adalah R dan ~R.

  Your truth tree is finished when one of the following occurs:  Every statement or constant has been either checked or circled  Every branch has been closed off

  Pohon kebenaran Anda telah selesai ketika salah satunya mememuhi keadaan sebagai berikut: Setiap pernyataan atau konstanta telah dicek atau dilingkari

   Setiap cabang telah ditutup

  

In this example, every item has been either checked or circled, so the tree is finished. After the tree is finished,

check to see whether any branches are still open. The presence or absence of open branches on a finished truth

tree allows you to determine whether the original set of statements is consistent or inconsistent. Follow these guidelines: Dalam contoh ini, setiap pernyataan telah dicek atau dilingkari, sehingga pohon telah selesai.

  Setelah pohon adalah selesai, periksalah untuk melihat apakah masih ada cabang yang terbuka. Ada atau tidak adanya cabang yang terbuka dalam pohon kebenaran yang telah selesai memungkinkan anda untuk menentukan apakah sekumpulan pernyataan asli konsisten atau tidak konsisten. Ikuti petunjuk dibawah ini:  If the finished truth tree has at least one open branch, the set of statements is consistent.

   If the finished truth tree has all closed branches, the set of statements is inconsistent.

  Jika pohon kebenaran yang telah selesai mempunyai sedikitnya satu cabang yang terbuka,

   sekumpulan pernyataan tersebut adalah konsisten. Jika pohon kebenaran yang telah selesai mempunyai cabang yang tertutup semua,

   sekumpulan pernyataan tersebut tidak konsisten.

  

As you can see, the example in this section still has one branch open, which means that an interpretation exists

under which the three statements are all true. So, in this case, the set of statements is consistent.

  Seperti anda bisa lihat, contoh dalam bagian ini masih meempunyai satu cabang terbuka, yang berarti bahwa satu penafsiran yang ada pada suatu kondisi dimana tiga pernyataan adalah benar semua. Jadi, dalam hal ini, sekumpulan pernyataan tersebut adalah konsisten.

  If you want to know what this interpretation is, just trace from the trunk to the end of this branch. When you trace the length of the tree, you find that the circled items are P, ~Q, and ~R and the final P. So, the only

interpretation that makes the three original statements true is when the value of P is T and the values of both Q

and R are F.

  Jika anda ingin tahu apakah makna penafsiran ini, telusuri saja mulai dari batang hingga akhir dari cabang ini. Ketika anda menelusuri panjang pohon, anda menemukan bahwapernyataan yang dilingkari adalah P, ~Q, dan ~R dan akhirnya P. Jadi, satu-satunya penafsiran yang membuat tiga pernyataan asli benar adalah ketika nilai P adalah B dan nilai dari kedua Q dan R adalah S.

  Testing for Validity or Invalidity

  (Pengujian untuk menentukan Validitas atau Invaliditas)

Truth trees are also handy when you want to determine an argument’s validity or invalidity (see Chapter 6 for

more on validity). For example, suppose you want to figure out whether the following argument is valid or invalid:

  Pohon Kebenaran adalah juga ringkas ketika anda ingin menentukan kebenaran (validitas) atau ketidakbenaran (invaliditas) sebuah argumentasi (lihat Bab 6 untuk lebih jauh tentang kebenaran). Sebagai contoh, misalkan anda ingin mengetahui apakah argumentasi berikut sah atau cacat (tidak sah):

Premises: Premis:

  ~P↔Q ~(P v R) Conclusion:

Konklusi:

  ~Q & ~R

To decide whether an argument is valid or invalid, construct a truth tree using the premises and the negation of

the conclusion as its trunk.

  Untuk memutuskan apakah sebuah argumen adalah sah atau cacat, buatlah sebuah pohon kebenaran menggunakan premis dan negasi dari konklusi sebagai batangnya.

  Using the example I introduced at the beginning of this section, create a trunk that looks like this:

  Menggunakan contoh yang saya perkenalkan pada awal bagian ini, menciptakan satu batang yang menyerupai hal ini:

  

~P ↔ Q

~(P v R)

~(~Q & ~R)

  You don’t, however, have to start at the top of the tree. Decomposing statements in a different order is often helpful. Figure 8-1 divides the eight basic statement forms into three columns. This division can help you

decide what order to decompose your statements. Whenever you have more than one statement in the trunk of

your truth tree, decompose them in this order:

  1. Single branching

  2. Double branching with two sub-statements

  3. Double branching with one sub-statement

  Anda tidak, bagaimanapun, harus mulai pada puncak pohon. Pernyataan yang didekomposisi dalam satu perintah berbeda sering sangat menolong. Gambar 8-1 membagi delapan bentuk dasar pernyataan ke dalam tiga kolom. Pembagian ini bisa membantu anda memutuskan perintah apa yang akan dipakai untuk membuat ulang pernyataan anda. Kapanpun anda mempunyai lebih dari satu pernyataan dalam batang pohon kebenaran anda, dekomposisilah mereka dalam perintah ini:

  1. Percabangan tunggal

  2. Percabangan ganda dengan dua sub-pernyataan

  Decomposing statements in this order makes sense. Whenever you can, choose a single branch path to keep your trees as small as possible. But, when you have no choice but to double branch, choose a double branch

with two sub-statements. Adding two statements increases the chance that you’ll be able to close off one of the

branches.

  Mendekomposisi pernyataan dalam perintah ini jadi masuk akal. Kapanpun anda bisa, pilihlah satu jalur cabang tunggal untuk menjaga pohon anda sekecil mungkin. Tetapi, ketika anda tidak mempunyai pilihan tetapi bisa untuk menggandakan cabang, pilihlah satu cabang ganda dengan dua sub-pernyataan. Menambahkan dua pernyataan meningkatkan kesempatan bahwa anda untuk dapat menutup salah satu cabang.

  In this example, only the second statement, ~(P v R), leads to a single branch. So, you decompose it first, like this: Dalam contoh ini, hanya pernyataan kedua, ~(P v R), mengarah ke satu cabang tunggal.

  Jadi, dekomposisilah ppernyataan tersebut pertama kali, seperti ini:

  ~P ↔ Q ~(P v R) ~(~Q & ~R) ~P ~R

  

Both of the remaining statements lead to double branches. But only the first statement, (~P↔Q), decomposes to

two sub-statements. So, you decompose that one next:

  Kedua pernyataan yang tersisa mengarah ke cabang ganda. Tetapi hanya pernyataan pertama, (~P ↔

  Q), didekomposisi pada dua sub-pernyataaan. Jadi, anda men-dekomposisi itu berikutnya:

   ~P ↔ Q ~(P v R) ~(~Q & ~R)

  ~P ~R ~P P Q ~Q x

  

At this point, one branch is closed off: Tracing from the beginning of the trunk to the end of this branch forces

you to pass through both ~P and P, which is a contradiction. The final step, decomposing ~(~Q & ~R), leads your truth tree to look like this:

  Dalam posisi ini, satu cabang telah ditutup: Telusuri dari awal batang hingga akhir dari cabang ini yang memaksa anda untuk menerobos keduanya ~P dan P, dimana menjadi sebuah pertentangan. Tahap akhir, dekomposisikan ~(~Q & ~R), mengarahkan pohon kebenaran anda menyerupai hal ini:

  ~P ↔ Q ~(P v R) ~(~Q & ~R) ~P ~R

  ~P P Q ~Q x Q R x Notice that you only have to add the new decomposition to the open branch but not to the closed-off branch.

  Now every statement is either checked or circled, so the tree is complete.

  Ingatlah bahwa anda hanya harus menambahkan dekomposisi baru pada cabang yang terbuka tetapi tidak pada cabang yang tertutup. Sekarang setiap pernyataan telah dicek atau dilingkari, sehingga pohon telah selesai.

  When checking a truth tree for validity or invalidity the following guidelines apply:  If the truth tree has at least one open branch, the argument is invalid.  If the truth tree has all closed branches, the argument is valid.

  Ketika mengecek benar atau tidaknya sebuah pohon kebenaran, terapkanlah petunjuk berikut: Jika pohon kebenaran mempunyai sedikitnya satu cabang terbuka, argumentasi adalah

   cacat (tidak sah). Jika pohon kebenaran mempunyai cabang yang tertutup semua, argumentasi adalah sah.

  

In this section’s example, one branch is still open, so the argument is invalid. Trace from the trunk to the end of

this branch and you will find the circled statements ~P, Q, and ~R. This tells you that the only interpretation under which this argument is invalid is when the value of P and R are both F and the value of Q is T.

  Dalam contoh bagian ini, satu cabang masih membuka, sehingga argumentasi adalah cacat. Telusuri dari batang hingga akhir cabang ini dan anda akan menemukan pernyataan yang dilingkari ~P, Q, dan ~R. Hal ini memberitahu anda bahwa satu-satunya penafsiran yang ada dimana argumentasi ini cacat ketika kedua nilai P dan R adalah S sertanilai Q adalah B.

  Separating Tautologies, Contradictions, and Contingent Statements (Memisahkan Tautologies, Pertentangan,dan Pernyataan kontingen) In Chapter 6, I show you that every statement in SL is categorized as a tautology (a statement that’s always

true), a contradiction (a statement that’s always false), or a contingent statement (a statement that can be either true or false, depending on the value of its constants). You can use truth trees to separate SL statements into these three categories.

  Dalam Bab 6, Saya memperlihatkan anda bahwa setiap pernyataan dalam SL adalah digolongkan sebagai tautologi (sebuah pernyataan yang selalu benar), pertentangan (sebuah pernyataan yang selalu salah/palsu), atau pernyataan kontingen (sebuah pernyataan yang mungkin menjadi yang manapun, baik benar atau salah, tergantung pada nilai konstantanya). Anda bisa menggunakan pohon kebenaran untuk memisahkan pernyataan SL ke dalam tiga katagori.

  (Tautologi)

• - Tautologies

  

Suppose you want to test the statement ((P & Q) v R) → ((P↔Q) v (R v (P & ~Q)) to determine whether it’s a

tautology.

  Misalkan anda ingin menguji pernyataan ((P & Q) v R) → ((P ↔ Q) v (R v (P & ~Q)) untuk menentukan apakah penyataan tersebut adalah sebuah tautologi.

  To show that a statement is a tautology, construct a truth tree using the negation of that statement as its trunk.

  Untuk menunjukkan bahwa satu pernyataan tersebut adalah sebuah tautologi, buatlah sebuah pohon kebenaran menggunakan negasi dari pernyataan itu sebagai batangnya.

  Using the negation of the example statement I just introduced, you can create a trunk that looks like this:

  Menggunakan negasi dari contoh pernyataan yang baru saja saya perkenalkan, anda bisa menciptakan sebuah batang yang menyerupai hal ini:

  

~(((P & Q) v R) → ((P ↔ Q) v (R v (P & ~Q)))

Even though this statement looks big and hairy, you know that it corresponds to one of the eight basic forms from Chapter 5 (listed in Table 5-1.) You just need to figure out which is the correct form. I go into this in

  salah satu dari delapan bentuk dasar dari Bab 5 (terdaftar dalam tabel 5-1.) Anda perlu menggambarkan yang mana bentuk yang benar. Saya membahas hal ini dalam Bab 5, tetapi satu penyegar kecil di sini tidak akan menyakiti anda.

  The main operator is the first ~-operator — the only operator that is outside of all parentheses — so the

statement is one of the four negative forms. And the scope of the → operator covers the rest of the statement, so

this statement is of the form ~(x → y). As you can see in Figure 8-1, this form is singlebranching, so your truth

tree should now look like this:

  Operator utama adalah yang pertama ─ Operator ─ satu-satunya operator yang berada di luar semua tanda kurung ─ jadi pernyataan adalah satu dari empat bentuk negative. Dan bidang dari → operator menutupi sisa dari pernyataan, jadi pernyataan ini berbentuk ~(x→y). Seperti yang dapat kamu lihat di gambar 8-1, bentuk ini adalah bercabang satu, jadi pohon kebenaranmu sekarang terlihat seperti :

  ~(((P&Q) v R)→((P↔Q) v (R v (P&~Q)))√ (P&Q) v R

  

Notice that I removed the outer parentheses from the sub-statement ((P & Q) v R). This is a legitimate step, as I

explain in Chapter 14 .

  Peringatan bahwa saya menghapus tanda kurung luar dari sub-pernyataan ((P&Q) v R). Ini adalah langkah yang logis, seperti yang saya terangkan di chapter 14.

  

Now, the last statement is of the form ~(x v y), which is also single-branching. Therefore, according to the order

in which you should decompose multiple statements (see the “Testing for Validity or Invalidity” section earlier

in the chapter), that’s the statement to work on next. Fill in your truth table as follows:

  Sekarang, pernyataan terakhir dari bentuk ~(x v y), yang juga bercabang satu. Karena itu, menurut urutan kamu seharusnya tidak menyusun pernyataan perkalian (lihat “Menguji untuk kebenaran atau ketidakbenaran”) bagian awal dalam chapter), itu adalah pernyataan untuk pekerjaan selanjutnya. Penuhi table kebenaranmu mengikuti :

  ~(((P&Q) v R)→((P↔Q) v (R v (P&~Q)))√ (P&Q) v R ~((P↔Q) v (R v (P & ~Q))) √ ~(P↔Q) ~(R v (P & ~Q))

  Again, the last statement is of the form ~(x v y), so it’s single branching, and therefore, next up:

  Lagi, pernyataan terakhir adalah dari bentuk ~(x v y), jadi ini bercabang satu, dan karena itu selanjutnya :

  ~(((P&Q) v R)→((P↔Q) v (R v (P&~Q)))√ (P&Q) v R ~((P↔Q) v (R v (P & ~Q))) √ ~(P↔Q) ~(R v (P & ~Q))√ ~ R ~(P & ~Q)

  Even though this example may look long, step back a minute and notice that you’ve already taken three steps without double-branching. Not having to double-branch saves you tons of work as you proceed because you have to worry about only one branch rather than two (or four, or eight!).

  Walaupun begitu contoh ini boleh dilihat panjang, melangkah ke belakang beberapa menit dan peringatan itu kamu sudah menerima tiga langkah tanpa bercabang ganda. Tanpa mempunyai cabang ganda mengamankan kamu dari banyak pendapatan pekerjaan karena kamu punya kekhawatiran tentang satu-satunya cabang lebih dari dua (atau empat, atau delapan).

  Eventually, though, you have to double-branch with this example. Because it branches to two sub-statements,

start with the statement ~(P↔Q), according to the order of decomposition I provide in the “Testing for Validity

or Invalidity” section earlier. Your truth tree should now look like this:

  Secepatnya, lebih dulu, kamu mempunyai dua cabang dengan contoh ini. Karena, itu cabang untuk dua sub-pernyataan, dimulai dengan pernyataan ~(P↔Q), menurut urutan dari susunan saya menyediakan dalam “Menguji untuk kebenaran atau ketidakbenaran”bagian awal. Pohon kebenaranmu sekarang seharusnya terlihat seperti ini :

  Now decompose (P & Q) v R:

  Sekarang susunan (P & Q) v R:

  

This step closes off two of the four branches. Now, P & Q is single branching,so decompose this statement on

both remaining branches, like this:

  Langkah ini menutup dari dua atau empat cabang. Sekarang P & Q adalah bercabang satu, jadi susunan pernyataan ini dalam dua cabang sisanya, seperti ini :

  You’ve now closed all remaining branches. Note that the statement ~(P & ~Q) is not checked. This makes no difference, though, because after every branch is closed off, the tree is finished.

  Kamu sekarang sudah menutup semua cabang sisanya. Pernyataan itu mencatat ~(P & ~Q) adalah tidak tercek. Ini membuat tidak ada perbedaan, lebih dulu, karena setiap setelah cabang ditutup, pohon telah selesai.

  When testing to determine whether a statement is a tautology, follow these guidelines:  If the truth tree has at least one open branch, the statement is not a tautology it’s either a contradiction or a contingent statement. (To confirm or rule out contradiction as a possibility, you would need another tree, as I describe in the next section.)  If the truth tree has no open branches, the statement is a tautology.

  In this section’s example, the tree shows you that the statement is a tautology.

  Saat tes untuk menentukan apakah pernyataan adalah tautology, ikuti petunjuk ini : Jika pohon kebenaran memiliki paling sedikit satu cabang pembuka, pernyataan bukan

   tautology salahsatu kontradiksi atau kesatuan pernyataan. (untuk memperkuat atau peraturan kontradiksi kemungkinan, kamu akan membutuhkan pohon yang lain, seperti saya gambarkan dalam bagian selanjutnya) Jika pohon kebenaran tidak bias membuka cabang, Pernyataan adalah tautology

   Di bagian contoh ini, pohon menunjukan kamu bahwa Pernyataan adalah tautology.

• - Contradictions

  (Kontradiksi) Suppose you want to test the statement (P↔Q) & (~(P & R) & (Q ↔R)) to determine whether it’s a contradiction.

  Andaikan kamu mau menguji pernyataan (P↔Q) & (~(P & R) & (Q ↔R)) untuk menentukan apakah

  

To show that a statement is a contradiction, construct a truth tree using the statement as its trunk. The trunk for

the example I just introduced looks like this:

  Untuk menunjukan bahwa pernyataan adalah kontradiksi, konsep pohon kebenaran menggunakan pernyataan seperti batang pohon. Batang pohon untuk contoh saya hanya memperlihatkan seperti yang terlihat ini :

  Fortunately, the first decomposition of this statement is single-branching:

  Kebetulan, bagian pertama susunan dari pernyataan ini adalah bercabang satu :

  Now you have a choice to decompose either P ↔Q or ~(P & R) & (Q↔R). But, according to Figure 8-1, the last statement is single-branching, so take that route first:

  Sekarang kamu mempunyai pilihan untuk menyusun salahsatu dari P ↔ Q or ~(P & R) & (Q ↔ R). Tetapi menurut gambar 8-1, Pernyataan terakhir adalah bercabang satu, jadi mengambil rute itu pertama :

  

Because you’ve run out of single-branching statements, it’s time to doublebranch, starting with statements that

produce two sub-statements. Begin with P↔Q:

  Karena kamu sudah mengeluarkan pernyataan bercabang satu, ini waktunya untuk cabang dobel, dimulai dengan pernyataan bahwa hasil dua sub-pernyataan. Mulai dengan P↔Q :

  And now decompose Q ↔R:

  Dan sekarang susunan P↔Q:

  This step closes off two of the four branches. Your last step is to decompose ~(P & R) like this:

  Langkah ini menutup dua dari empat cabang. Langkah terakhirmu adalah menyusun ~(P & R) seperti ini :

  Because every statement is either checked or circled, the tree is now complete.

  Karena setiap pernyataan telah dicek atau dilingkari, pohon sekarang telah selesai.

  When testing to determine whether a statement is a contradiction, apply these guidelines:

  Ketika pengujian untuk menentukan apakah pernyataan adalah sebuah pertentangan, gunakanlah petunjuk ini:

   If the truth tree has at least one open branch, the statement is not a contradiction — it’s either a tautology or a contingent statement. (To confirm or rule out tautology as a possibility, you would need another tree, as I describe in the previous section.)  If the truth tree has no open branches, the statement is a contradiction.

  Jika pohon kebenaran mempunyai sedikitnya satu cabang terbuka, pernyataan bukan

   sebuah pertentangan — adalah yang manapun, baik tautologi atau pernyataan serombongan. (Untuk mengkonfirmasikan atau mengesampingkan tautologi sebagai sebuah kemungkinan, anda akan memerlukan pohon lain, sebagaimana yang saya gambarkan di bagian sebelumnya.) Jika pohon kebenaran tidak mempunyai cabang terbuka, pernyataan adalah sebuah

   pertentangan.

  In this example, two branches remain open, so the statement isn’t a contradiction.

  Dalam contoh ini, dua sisa cabang terbuka, sehingga pernyataan bukan suatu pertentangan.

  Even though two branches remain open in this tree, only one interpretation makes the original statement true. Trace from the trunk to the end of either open branch to see that this interpretation is that P, Q, and R are all false.

  Meskipun dua sisa cabang terbuka dalam pohon ini, hanya satu penafsiran yang membuat pernyataan asli benar. Telusuri dari batang hingga akhir dari cabang manapun yang terbuka untuk melihat bahwa penafsiran ini adalah ketika P, Q, dan R adalah sumbang/palsu.

• - Contingent statements

  (Pernyataan Ketidak-tentuan) Checking to see whether a statement is contingent is, as always, just a matter of ruling out that it’s either a tautology or a contradiction. (Flip to Chapter 6 for details on contingent statements.)

  Periksa untuk melihat apakah satu pernyataan adalah ketidak-tentuan, sebagaimana biasa, sekedar materi dari mengesampingkan pernyataan tersebut adalah yang manapun, baik suatu tautologi atau suatu pertentangan. (Lihat pada Bab 6 untuk detil atas pernyataan ketidak- tentuan.)

  When testing to determine whether a statement is contingent, use the previous two tests for tautology and contradiction. If the statement isn’t a tautology and isn’t a contradiction, it must be a contingent statement.

  Ketika pengujian untuk menentukan apakah pernyataan adalah ketidak-tentuan, gunakan dua tes sebelumnya untuk tautologi dan pertentangan. Jika pernyataan bukan satu tautology dan bukan satu pertentangan, itu pasti pernyataan ketidaktentuan.

Checking for Semantic Equivalence or (Pemeriksaan untuk Ekivalensi Semantik atau Inekivalensi) Inequivalence

  If you have to check a pair of statements for semantic equivalence or inequivalence, you’re in luck, because

truth trees can help you out. (As I explain in Chapter 6, when two statements are semantically equivalent, they

both have the same truth value under every interpretation.)

  Jika anda harus memeriksa sepasang pernyataan untuk ekivalensi semantik atau inekivalensi, anda beruntung, karena pohon kebenaran bisa membantu anda. (Sebagaimana yang saya jelaskan dalam Bab 6, ketika dua pernyataan adalah ekivalen semantik, keduanya mempunyainilai kebenaran yang sama di bawah setiap penafsiran.)

  To decide whether a pair of statements is semantically equivalent or inequivalent, you have to construct two truth trees:  One tree using the first statement and the negation of the second statement as its trunk  The other tree using the negation of the first statement and the second statement as its trunk

  Untuk menentukan apakah sepasang statemen secara semantis equivalen atau tidak equivalen, kamu harus membangun dua pohon kebenaran : Satu pohon menggunakan statemen pertama dan negasi dari statemen kedua sebagai

   batangnya Pohon yang lain yang menggunakan negasi dari statemen pertama dan yang statemen

   kedua sebagai batangnya