Matematika Diskrit : Teori Himpunan
Matematika Diskrit : Teori Himpunan
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc.
Teknik Informatika
Fakultas Teknik
Universitas 17 Agustus 1945 Surabaya
2016
1
2
3
Himpunan terdiri dari beberapa elemen anggota. Notasi himpunan : {}. Contoh :
Diketahui Bambang, Bimbing, dan Bombong adalah tiga siswa yang mengikuti kuliah matematika diskrit. Beberapa kemungkinan himpunan yang dapat dibentuk adalah {Bambang, Bimbing, Bombong}, {Bimbing, Bombong, Bambang}, {Bimbing, Bimbing, Bambang, Bombong, Bambang}. Himpunan {x ∈ R| − 2 < x < 5}. Himpunan {x ∈ Z | − 2 < x < 5}. Himpunan Bagian (Subset)
Jika A dan B adalah himpunan, maka A dikatakan himpunan bagian dari
B, dapat dituliskan A ⊆ B, jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B. Secara simbolis dapat dituliskan:
A ⊆ B ⇔ ∀x, jika x ∈ Amakax ∈ B
Sebaliknya, jika bukan himpunan bagiannya dapat disimbolkan: A
- B ⇔ ∃x, maka x ∈ A dan x∄B
Contoh
Diketahui B76, XR3, D54, ES2, and XL5 adalah nomor investaris peralatan. Diambil A = {B76, XR3, D54, XL5I }, B = {B76, D54} dan
C =
{ES2, XL5}. Apakah B ⊆ A ? C ⊆ A ? B ⊆ B ? Himpunan Setara
Diberikan himpunan A dan B, A samadengan B, dituliskan dengan A=B, jika dan
hanya jika setiap elemen A didalam B dan setiap elemen B didalam A. Secara simbolis dituliskan: A= B ⇔ A ⊆ B dan B ⊆ A Contoh Ambil himpunan A,B,C, dan D didefinisikan sebagai berikut: A
= {n ∈ Z |n = 2p, untuk seluruh bil. bulat p} B = himpunan seluruh bilangan bulat genap C =
{m ∈ Z |m = 2q − 2, untuk seluruh bil.bulat q} D = {k ∈ Z |k = 3r + 1, untuk seluruh bil.bulat r} Apakah A = B ? A = D ? A = C ?
Operator Himpunan Ambil A dan B adalah himpunan bagian dari himpunan semesta U
2 A ∪ B = {x ∈ U|x ∈ A atau x ∈ B}
Interseksi A dan B dinotasikan dengan A ∩ B, merupakan himpunan seluruh elemen x didalam u yaitu x didalam A dan x didalam B. 3 A ∩ B = {x ∈ U|x ∈ A dan x ∈ B}
Pembeda B minus A (atau komplemen relatif A didalam B), dinotasikan B − A, merupakan himpunan seluruh elemen x didalam U yaitu x didalam B dan x tidak didalam A. 4 B − A = {x ∈ U|x ∈ B dan x / ∈ A} c Komplemen A dinotasikan A , merupakan himpunan seluruh elemen x didalam U yaitu x tidak didalam A. c A = {x ∈ U|x / ∈ A} Contoh
Ambil himpunan semesta U = {a, b, c, d, e, f , g} dan A = {a, c, e, g}
c
dan B = !
{d, e, f , g}. Cari A ∪ B, A ∩ B, B − A, dan A Ambil himpunan semesta menjadi himpunan bilangan real R dan A =
{x ∈ R| − 1 < x ≤ 0 dan B = {x ∈ R|0 ≤ x < 1}. Cari A ∪ B,
c
A !
∩ B, dan A
Himpunan Kosong
Himpunan kosong ( ∅) adalah himpunan yang tidak memiliki elemen. Contoh : D = {x ∈ R|3 < x < 2} → D = {∅}.
Himpunan Partisi
Himpunan dibagi tanpa penumpukkan (atau disjoint), atau biasanya disebut juga partisi. Dua himpunan disebut disjoint jika dan hanya jika tidak ada elemen yang bersama. Secara simbolis dituliskan:
A dan B adalah disjoint ⇔ A ∩ B = ∅
Contoh
Ambil A = {1, 3, 5} dan B = {2, 4, 6}. Apakah A dan B disjoint?
Himpunan Saling Asing (Mutually Disjoint)
Himpunan A
1 , A 2 , ..., A n adalah saling asing jika dan hanya jika tidak ada
dua himpunan A i dan A j dengan subskrip berbeda memiliki beberapa elemen secara bersamaan. Untuk lebih spesifik, untuk semua, i , j = 1, 2, ..., n
A
i j =
∩ A ∅ ketika i 6= j
Contoh
Ambil A = = = , A , A
1
2
3
1
2
3
{3, 5}, A {1, 4, 6}, dan A {2}. Apakah A saling asing ? Ambil B = = =
1
2
3
{2, 4, 6}, B {3, 7}, dan B {4, 5}. Apakah B
1 , B 2 , B 3 saling asing ? Definisi Umum Partisi
Sebuah kumpulan dari himpunan tak kosong , A , ..., A n
1
2
{A } merupakan partisi dari himpunan A jika dan hanya jika 1 A = A n
1
2 2 ∪ A ∪ ... ∪ A
A
1 , A 2 , ..., A n adalah saling asing.
Contoh
Ambil A =
1 = 2 = 3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A {1, 2}, A {3, 4}, dan A {5, 6}.
Apakah , A , A
1
2
3
{A } partisi dari A ? Himpunan Pangkat (Power Sets)
Diberikan himpunan A, himpunan pangkat A dinotasikan dengan P(A), merupakan himpunan seluruh subset A.
Contoh
Carilah himpunan pangkat dari himpunan {x, y} !
Tuple-n Terorde Ambil n adlah bilangan bulat positif dan x , x , ..., x n merupakan elemen.
1
2 Dipasangkan berurutan n, maka disimbolkan
(x , x , ..., x n ) = (y , y , ..., y n ) = y , x = y , ..., x n = y n
1
2
1
2
1
1
2
2
⇔ x Secara khusus,
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c dan b = d
Contoh
Apakah (1, 2) = (2, 1) ? 1 √
3
−2)
2
6 Perkalian Kartesian
Diberikan dua himpunan A dan B, perkalian kartesian A dan B dinotasikan A × B merupakan himpunan seluruh pasangan orde (a, b), dengan a didalam A dan b didalam B. Secara simbolis, dituliskan
A × B = {(a, b)|a ∈ A dan b ∈ B}
A
n = , a , ...a n ) , a , ..., a n n
1
2
1
2
1
1
2
2
× A × ... × A {(a |a ∈ A ∈ A ∈ A }
Contoh
Ambil A = {x, y}, B = {1, 2, 3}, dan C = {a, b}. Tentukan A × B,
(A × B) × C , dan A × B × C !
Himpunan yang berisikan himpunan yang tidak memuat dirinya sendiri sebagai anggota. Secara simbolis, dituliskan:
S = {A|A adalah himpunan dan A / ∈ A}
Apakah S elemen dari S ?
Contoh
Alkisah disuatu desa terpencil di pedalaman Papua, Hidup seorang tukang cukur, dialah satu-satunya tukang cukur didesa tersebut. Semua orang didesa tersebut mencukur rabutnya sendiri atau dicukuri oleh si Tukang cukur dan si Tukang hanya mencukur orang yang tidak dapat mencukur rambutnya sendiri. Pertanyaannya: Apakah si tukang cukur mencukur rambutnya sendiri?
Himpunan yang berisikan himpunan yang tidak memuat dirinya sendiri sebagai anggota. Secara simbolis, dituliskan:
S = {A|A adalah himpunan dan A / ∈ A}
Apakah S elemen dari S ?
Contoh
Alkisah disuatu desa terpencil di pedalaman Papua, Hidup seorang tukang cukur, dialah satu-satunya tukang cukur didesa tersebut. Semua orang didesa tersebut mencukur rabutnya sendiri atau dicukuri oleh si Tukang cukur dan si Tukang hanya mencukur orang yang tidak dapat mencukur rambutnya sendiri. Pertanyaannya: Apakah si tukang cukur mencukur rambutnya sendiri?
terjadi situasi inkonsisten Seluruh materi presentasi dapat didownload pada SIAKAD masing-masing atau link berikut : .
Apabila ada pertanyaan mengenai matematika diskrit dapat mengirim ke alamat email berikut :
Terimakasih Atas Perhatiaanya