Persamaan Saint Venant - Exner Model Parabolik

  

Degradasi dan Agradasi

Dasar Sungai

Persamaan Saint Venant - Exner Model Parabolik

  Acuan Utama

  Graf and Altinakar, 1998, Fluvial Hydraulics: Chapter 6, pp. 358 -370, J. Wiley and Sons, Ltd., Sussex, England.

  

Degradasi dan Agradasi

 Degradasi

• terjadi apabila debit solid yang datang lebih kecil daripada kemampuan transpor sedimen
• dasar sungai tererosi
• dasar sungai turun

   Agradasi

• debit solid lebih besar daripada kemampuan transpor sedimen
• terjadi deposisi sedimen
• dasar sungai naik

   Beberapa contoh agradasi

  

Degradasi dan Agradasi

 Beberapa contoh degradasi

• pasokan sedimen (solid discharge) dari hulu berhenti atau berkurang
• pasokan sedimen (solid discharge) dari hulu bertambah
• debit aliran (air) bertambah
• debit aliran (air) berkurang
• penurunan dasar sungai di suatu titik di hilir
• kenaikan dasar sungai di suatu titik di hilir

  

Degradasi dan Agradasi

  

Pemahaman

Degradasi dan Agradasi

 Proses

• merupakan proses jangka panjang evolusi dasar sungai,

  z

  (x,t)

• aliran sungai pada awal dan akhir proses berupa aliran permanen dan seragam (steady and uniform flow)
• selama proses, aliran sungai berupa aliran permanen semu (quasi-unsteady) dan tak-seragam (nonuniform)

   Asumsi untuk penyederhanaan

  U/x = 0

• aliran quasi-uniform,
• shg dapat dipakai model parabolik , yang memungkinkan dilakukannya penyelesaian analitik

  

Metode Analisis

Degradasi dan Agradasi

   Model parabolik

didasarkan pada persamaan Saint-Venant

• – • Exner, dengan beberapa penyederhanaan

  » aliran dengan Angka Froude kecil, Fr < 0,6 » aliran quasi-steady » aliran quasi-uniform » tinjauan hanya untuk jarak x yang panjang dan

  waktu t yang lama S o

  Persamaan Saint-Venant

• – Exner

Persamaan Saint-Venant

• – Exner

   Persamaan Saint-Venant

• aliran tak-permanen tak-seragam
• saluran prismatik
• kemiringan dasar kecil
• dasar tetap (fixed bed) pers. kontinuitas

   h  • U  h  h  U  untuk B = konstan

   t  x  x

   U  U  h  z

• pers. momentum
•  U  g  g  g S _e

  t x x x    

• kemiringan garis energi, S , ditetapkan berdasarkan _e aliran seragam dan koefisien kekasaran, f, untuk

  S  f f U h _e  , , 

  dasar sungai dapat bergerak (erodible bed) Persamaan Saint-Venant

• – Exner

   Persamaan Exner

• dasar sungai bergerak (mobile bed, erodible bed)
• perubahan dasar sungai dinyatakan dengan persamaan berikut

   z  U

   a E _E

• a = koefisien erosi

  t x

   

• yang dapat dituliskan dalam bentuk persamaan kontinuitas aliran partikel solid (solid phase)

   z    z  q 1 ~

  1   _s

   C h  C Uh   

     

   -     ^{s s}  

  1

  1

• t p t x t p x

Persamaan Saint-Venant

• – Exner
• dalam persamaan tersebut:

  » p = porositas, rasio antara volume rongga udara yang terisi air dengan volume total

  » C = konsentrasi, rasio antara volume bagian padat (solid) dengan _s volume total campuran (mixture)

  » q = debit solid per satuan lebar _s

• debit solid, q , umumnya dianggap merupakan fungsi debit air, q, _s menurut suatu hubungan tertentu

  q  f U , h , sedimen _s   Persamaan Saint-Venant

• – Exner

  

   h  U  h

  Unknowns: 1.

   h  U 

• U (x,t) = kecepatan rata-rata

  t x x   

  aliran campuran air+sedimen

   U  U  h  z

  h (x,t) = kedalaman aliran 

• U  g  g 

• -

  2.

  g S _e

 t  x  x  x campuran air+sedimen

• z (x,t) = elevasi dasar sungai

   , ,

  3.   _e

  S = kemiringan garis energi _e

• S f f U h

   persamaan empirik

• q = debit bagian padat  _s

  z q

   1  _s persamaan empirik 4.

     - t p  x

  1

   Independent variables

• x = jarak, posisi

  q f U

   , h , sedimen

    5. ^s

• t = waktu

Persamaan Saint-Venant

• – Exner

   Kaitan antara bagian cair dan bagian padat

• Pers. 1, 2, 3  aliran air (+sedimen) melalui dasar sungai bergerak
• Pers. 4, 5  transpor sedimen (erosi dan deposisi)
• Coupling  secara implicit melalui persamaan 3 dan 5

  (persamaan semi-empirik)

   Prosedur penyelesaian

• Pers. 1, 2  untuk mendapatkan kecepatan dan kedalaman aliran, U dan h
• Pers. 4  untuk mendapatkan (perubahan) posisi dasar sungai, z

Persamaan Saint-Venant

• – Exner

   Persamaan-persamaan Saint-Venant

• – Exner dapat dikaitkan secara langsung (explicit coupling) apabila persamaan kontinuitas bagian cair (Pers. 1) dituliskan dalam bentuk sbb.

   h  z  1a.

    Uh    t t x

      Persamaan-persamaan Saint-Venant

• – Exner dengan demikian dapat diselesaikan secara simultan karena z muncul dalam persamaan bagian cair maupun bagian padat

   Metode penyelesaian

• cara analitik  untuk kasus sederhana
• cara numerik  untuk kasus kompleks

  Penyelesaian Analitik:

Model Parabolik

 Persamaan Saint-Venant

• – Exner
• hyperbolik
• non-linear

  

 Dalam bentuk aslinya, penyelesaian anatilik persamaan tsb

  sulit dilakukan  persamaan tsb perlu disederhanakan

• aliran dengan Angka Froude kecil
• aliran permanen (quasi-steady)

   Justifikasi:

• variasi aliran (debit)  fenomena jangka pendek

   fenomena jangka panjang

• variasi dasar sungai
• shg dalam tinjauan variasi dasar sungai, z/t, aliran dapat dianggap konstan (

  Uh/t = 0)

  

Model Parabolik

 Dengan asumsi aliran quasi-steady, didapat persamaan:

   U h  z 

   - U g  g  g S - 6.   e

   x U  x  

   z  q  U _s

• 4a.

  p  

  1

    t U x

    

   Kedua persamaan di atas:

• tak-linear
• shg tidak dapat dilakukan penyelesaian secara analitik

   Perlu penyederhanaan lebih lanjut

• linearisasi

  

Model Parabolik

 Dengan asumsi aliran quasi-steady dan quasi-uniform, dari

  Pers. 6. didapat:

•  -  -   

  C q U g C h

  U S g g x z g _{e 2} ³ ₂ ²

   Diferensiasi persamaan di atas thd x menghasilkan: 7. x U

•  
•  

  C h U g x

  U C q U g x z g

   

  

   _{2 2} ² ₂ ²

  3

  3 8.

  

Model Parabolik

  U/x dari Pers. 8 kedalam Pers. 4a, diperoleh:  Substitusi ₂

   z  z

• 9.

  K t ₂    t x

     dimana K(t) adalah koefisien (difusi) yang merupakan fungsi waktu dan yang didefinisikan sbb. ₂

   q C h

  1 _s

  1 K  10.

  3 

  1

• U p U

   

   model parabolik

  Persamaan di atas merupakan , yang berlaku untuk nilai x dan t yang besar, x > 3R /S dan

  h e

  2 t

  > (40/30) {R /(S q )}

  h s e

  

Model Parabolik

 Persamaan koefisien difusi, K, dapat dituliskan pula dalam

  bentuk: ₂

  1  q

  1 U U _{s o}  

  10a. K 

   

  3 

  1   _eo  

• U p S U

   dengan linearisasi (untuk U  U ), didapat: o

   q U

  1 _{s o}

  1 K  K  10b. ^o - U p S

  3 

  1   _eo

   dimana index o menunjuk pada aliran seragam (uniform).

  

Model Parabolik

 Apabila debit bagian padat dihitung dengan persamaan power law

  , yaitu: _{b s}

  q  a U _{s s} a = koefisien, b = konstanta s s

   maka

  1

  1

  

1

K  b q 10c. ^{s s} - p S

  3

  1  

_eo

  

Model Parabolik

 Persamaan model parabolik variasi dasar sungai:

•  
•  10c.
• aliran quasi-steady
• aliran quasi-uniform
• Fr < 0.6
• x > 3h/S _e
• t > (40/30) {R _h
²

    ₂ ²  

  

  x z K t t z 9.

   Syarat model parabolik dapat dipakai:

  /(S _e q _s )}

    _eo ^{s s} S p K q b

  1

  1

  1

  3

  1

  

Model Degradasi Dasar Sungai

  h  Penurunan muka air di titik kontrol hilir (reservoir) sebesar _w

  h

• dasar sungai di titik kontrol tsb turun sebesar
• dalam jangka panjang, dasar dan muka air sungai di sepanjang sungai akan turun

  o _o

  

Model Degradasi Dasar Sungai

 Aliran dianggap permanen dan seragam
• model parabolik dapat dipakai
• karena debit konstan, maka koefisien K konstan

   Deskripsi matematis

• Sumbu x: sepanjang dasar sungai awal, positif ke arah hulu
• Sumbu z: variasi dasar sungai relatif terhadap kemiringan dasar sungai awal, S _o
• Syarat awal dan syarat batas

       

  , lim ; , ; ,    

    t x z h t z x z _x

  

Model Degradasi Dasar Sungai

 Penyelesaian analitik

   

     

     

   

  K t x h t x z

  2 , erfc

      

   -  

    d 2 erfc ² e

   Complementary error function, erfc    

   -   erf 1 erfc

   erfc (dan erf: error function) dapat dihitung dengan bantuan tabel matematik, dan tersedia pula dalam MS Excel

• ingin diketahui, kapan dan dimana, elevasi dasar sungai telah turun menjadi separuh dari elevasi dasar sungai semula: turun separuh: z/ h = 50% = ½ kapan, t _50% dimana, x _50%

     

  2 48 .

  96 . ini hal dalam

  50

  50 %

  2 % 50 % 50 %

  2

  K x t t K x

  x h t x z

  2 erfc 2 1 , _{% 50 % 50} K t

     erfc

     

       

     

   Contoh permasalahan

  Model Degradasi Dasar Sungai

• dari Tabel ataupun dengan MS Excel, didapat   0.48
• sehingga didapat hubungan sbb.

   

  

Model Agradasi Dasar Sungai

 Kenaikan debit solid di titik kontrol hulu (akibat tanah longsor) sebesar q

_s
• dasar sungai di titik kontrol tsb naik sebesar h
• dalam jangka panjang, dasar dan muka air sungai di sepanjang sungai akan naik

  o _o    

     

     

    K t x t h t x z

  2 , erfc

  

Model Agradasi Dasar Sungai

 Aliran dianggap permanen dan seragam
• model parabolik dapat dipakai
• karena debit konstan, maka koefisien K konstan

   Diskripsi matematis

• Sumbu x: sepanjang dasar sungai awal, positif ke arah hilir
• Sumbu z: variasi dasar sungai relatif terhadap kemiringan dasar sungai awal, S _o
• Syarat awal dan syarat batas

  

       

  , lim ; , ; ,    

    t x z t h t z x z _x

  

Model Agradasi Dasar Sungai

 Penyelesaian analitik

   

  x

   

  z x , t   h t erfc    

   

  K t

  2  

• Penyelesaian tsb serupa dengan penyelesaian pada permasalahan degradasi dasar sungai, hanya saja h(t) merupakan fungsi waktu
• Koefisien difusi K dalam penyelesaian tsb merupakan nilai K pada saat awal, K , jadi tanpa memperhitungkan q (kenaikan debit _s solid di titik kontrol hulu)

  

Model Agradasi Dasar Sungai

 Panjang ruas sungai yang mengalami agradasi, L a
• ditetapkan sbg panjang ruas sungai dari titik kontrol hulu sampai titik di mana deposisi mencapai z/ h = 0.01 (  1.80)
• dihitung dengan persamaan berikut

  L x 3 .

  65 K t   a 1 % 1 %

  

Model Agradasi Dasar Sungai

 Volume pasokan debit solid,

  q

  s

  · t

• selama waktu tertentu, t, volume debit solid adalah q _s
• jumlah tsb terdistribusi di dasar sungai sepanjang L _a
• dengan demikian didapat hubungan sbb.
•     ^{a L} _s

    

  x z p t q d

  1

• dari panjang ruas sungai yang mengalami degradasi, L _a
• dari volume debit solid adalah q _s
• dapat dihitung tebal agradasi,
•     ^{a L} _s

   -     

  a  

  % 1 % 1 65 .

  Catatan: tampak bahwa tinggi agradasi, h, merupakan fungsi waktu

   Tinggi agradasi, h

  1

  1 13 .

  K t p t q t h s

  

Model Agradasi Dasar Sungai

 Tinggi (tebal) agradasi, h

  1    

  x z p t q d

    

  h

  · t

  , dan

  dan

  

Model Agradasi Dasar Sungai

o o

         

     

    K t x t h t x z

  2 , erfc

  

erfc( )

 Tabel matematik  Persamaan aproximatif
• erfc( ) = 1/(1 + a  + a  + a  + a  + a  + a  () + )
_{1 2 3 4 5 6} ^{2 3 4 5 6 16}

  ()  310

• –7
• a = 0.0705230784 a = 0.0422820123 a = 0.0092705272
_{1 2 3} a = 0.0001520143 a = 0.0002765672 a = 0.0000430638 _{4 5 6}  MS Excel

  erfc( …) •

  

Debit Solid

(Transpor Sedimen)

 Debit solid, q s
• adalah transpor sedimen total, terdiri dari bed load, q ,

  sb

  suspended load, q , (dan wash load, q )

  ss sw q

  = q + q (+ q )

  s sb ss sw

• kadang-kadang hanya ditinjau bed load, q

  sb  Debit solid dihitung dengan persamaan empirik, misal:

• Schoklitsch
• Meyer-Peter, et al.
• Einstein
• Graf
• 

  Debit Solid (Transpor Sedimen)  Schoklitch (bed load)

  7

  1 26 . e s cr

  5

  3

  40

  3

  2

  6

    cr e s sb

   

  = debit kritik, menunjukkan awal gerak butir sedimen

  2 q = debit air+sedimen q _cr

  3 5 .

  2

  S q q s q

  S d s q - 

  s  

  R _hb

  50 1 .

  1

  6

  > 0.35  bed forms

  = 1  tanpa bed forms

  koefisien kekasaran (total) Strickler koefisien kekasaran (butir sedimen)

  90 K 26 d _s  

    ^{2 1 3 2 e hb s} S R U K  _{6 1}

    

    _{M s s} K K

  = radius hidraulik dasar sungai  _M = parameter kekasaran

  M s e hb s sb

  Debit Solid (Transpor Sedimen)  Meyer-Peter, et al. (bed load)

  S d g R g g q

    -  -    -  

     

  1    

  047 .

  50 25 .

  1

  3

  3

  2

     

•  _M
• 1 >  _M

  

Debit Solid

(Transpor Sedimen)

 Einstein (bed load)
• 

     

    

    

  

  e hb s s sb

  S R d s d g s q

  50

  3

  50

  . 1 391 exp 465 .

  1 radius hidraulik dasar sungai akibat butir sedimen

  

Debit Solid

(Transpor Sedimen)

 Graf (total load)
•     

• -

  
• h e s s h s

      52 .

  2

  50

  3

  50

  1 39 ,.

  10

  1

  

  

R S

d s

d g s R U C h ^{h s s s}

  R h R U C h U C q  

  

Model Parabolik?

 Hitungan degradasi atau agradasi dasar sungai

dengan model parabolik dapat dilakukan apabila

syarat-syarat berikut dipenuhi
• aliran quasi-steady (variasi jangka panjang dasar sungai)
• aliran quasi-uniform dengan Fr < 0.6
• nilai x > 3R /S

  h e

  {R q nilai t > (40/30) /(S )}

• 2

  h s e

   Apabila syarat-syarat tsb tidak dipenuhi, maka diperlukan model yang lebih andal

• model yang didasarkan pada penyelesaian numerik persamaan Saint-Venant
• – Exner

  Degradasi dan Agradasi Dasar Sungai The End