Persamaan Konveksi-Difusi Penyelesaian Analitis

  Persamaan Konveksi-Difusi Penyelesaian Analitis Transpor Polutan di Sungai ¨  

  Sungai tercemar polutan ¤  

  Sungai Songhua, China, November 2005 ¤  

  Sungai Danube, Eropa, Oktober 2010

  

q More stories on Harbin’s Songhua River pollution in November 2005

§  http://www.gov.cn/english/2005-11/25/content_108891.htm

  §  webarchive on Harbin’s Songhua River pollution in November 2005

  

Penampungan limbah di sebuah

pabrik kimia di Ajka, Hungary,

jebol pada awal Oktober 2010

  q More stories on Danube River pollution in October 2010 http://www.bbc.co.uk/news/world-europe-11495540

  §  webarchive file

  §  http://www.guardian.co.uk/world/2010/oct/12/danube-toxic-soviet-

  §  hungary-sludge webarchive file

  § 

  Transpor Polutan ¨  

  Mekanisme penyebaran polutan di sungai ¤  

  Difusi n   penyebaran yang dipicu oleh perbedaan konsentrasi n   bergantung pula pada sifat polutan (koefisien difusi)

  ¤   Konveksi

  Difusi ¨   Dalam bahasa matematika, difusi dituliskan sbb.

  ¤  

k = konstanta = koefisien difusi = diffusivity

q f

    = − k∇  c f q f

    = − k ∂ c

f

  ∂ x i q f

    = − k grad    c f Difusi ¨  

  Sifat proses difusi ¤   tidak dapat kembali (irreversible)

  ¤   mengakibatkan kehilangan/peredaman energi

  ¨   Contoh difusi

  ¤   difusi massa Difusi ¨  

  Difusi massa à Fick’s law c

  ∂ f q = − ε m,i m x

  ∂ i

  ¨   Difusi panas à Fourier’s law

  ∂ T q = − C = konstan

  ρ a ρ C h,i h p p

  ( ) ∂ x i Konveksi-Difusi ¨   Pada kuliah ini yang dibahas hanya transpor massa ¨   Apabila air sungai mengalir, maka terjadi proses konveksi

¨   Penyebaran polutan, dengan demikian, didorong oleh:

  ¤   beda konsentrasi (gradien) à difusi

  ¤   aliran à konveksi Konveksi-Difusi ¨   Dituliskan dalam sistem koordinat cartesius ¨   Dalam medium air diam , tidak ada aliran, maka kecepatan nol, sehingga tidak ada konveksi ∂c

• ∂uc ∂x
• ∂vc ∂y
• ∂wc ∂z = ε

  ∂t

  m ∂ ² c

  ∂x ^{2 +} ∂ ² c

  ∂y ^{2 +} ∂ ² c

  ∂z ²

⎛

⎝⎜

⎞

  ⎠⎟ ← ε m konstan Konveksi-Difusi (Turbulen) §  

  Aliran di sungai hampir pasti berupa aliran turbulen §  

  Salah satu sifat aliran turbulen adalah bahwa kecepatan aliran berubah-ubah

  §   Konsentrasi polutan dengan demikian berubah-ubah pula ^{0.56 0.60 0.64 0.68 0.72 50 100 150 200 kec ep a ta n [m/ s]} _{waktu [detik]} ^{kecepatan rata-rata} Konveksi-Difusi (Turbulen) Persamaan transpor konveksi-difusi pada aliran turbulen

    q

  !" ! !!! " ! !!! " ∂c $ & c

• V

• +

  m t

  c = div grad ⋅ grad ε ε

  ( ) % ' ∂t

  Konveksi-Difusi (Turbulen) q

Persamaan transpor konveksi-difusi pada aliran turbulen

   

  ∂c ∂t

  ε tx

  ∂c ∂x ⎛ ⎝⎜

  ⎞ ⎠⎟

  ty ∂c ∂y

  ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟

  tz ∂c ∂z

  ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟

  §   dituliskan dalam koordinat cartesius

• ∂uc ∂x
• ∂vc ∂y
• ∂wc ∂z = ∂ ∂x
• ∂ ∂y ε
• ∂ ∂z ε

Penyelesaian analitis persamaan difusi

Persamaan Difusi Persamaan transpor difusi (air tidak bergerak, tidak ada aliran) q  

  # & # & # & ∂c ∂uc ∂vc ∂wc ∂ ∂c ∂ ∂c ∂ ∂c

  = + +

• % ( + % ( + % (
• ε ε ε ε ε ε

  m tx m ty m tz

  ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z $ ' $ ' $ '

  u = 0 ⇒ ε = 0 v = 0 ⇒ ε = 0 w = 0 ⇒ ε = 0 u = v = w = 0 ⇒ _{tx tz} ty

  # & # & # & ∂c ∂ ∂c ∂ ∂c ∂ ∂c Difusi 1-Dimensi

  ∂c ∂t

  = ε _m ∂

  2 c

  ∂x

  2 q  

  Persamaan transpor difusi satu dimensi §  

  Difusi satu dimensi, arah x saja §  

  Jika syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions) c ±∞, t

  ( )

  = 0

  c x, 0 ( )

  = M

  1

  δ x

  ( ) ₂ Difusi 1-Dimensi δ(x) adalah fungsi delta Dirac, bernilai sama dengan nol kecuali di x = 0)

   

• ∞

  = 1 δ x d x

  ∫ ( ) −∞

  Ingat bahwa massa total M harus konstan sepanjang waktu yang ditinjau  

• ∞ +∞ +∞

  §   Penyelesaian tersebut menunjukkan difusi suatu massa M

  x

  §   Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D tersebut adalah:

  ' ( ) )

  $ % & &

  t

  4 ε _m

  2

  exp −

  Difusi 1-Dimensi c x, t

  t

  4 π ε _m

  1

  M

  =

  ( )

• yang dimasukkan secara tiba-tiba di suatu titik

Difusi 1-Dimensi

  Difusi 1-Dimensi c x, t

  ( )

  =

  M

  1

  σ _x

  2 π exp

  −

  x

  2

  2 σ _x

  2

  $ % & &

  ' ( ) )

  §   Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D tersebut dapat pula dituliskan sbb:

  §   Untuk suatu distribusi normal, varian distribusi adalah: dengan pengukuran simpangan baku di suatu titik x pada dua waktu yang berbeda t dan t

  §   Koefisien difusi dapat dihitung dengan:

  2 σ

  t ¹ ( )

  −

  ( ) t ²

  x ² t

¹

  − σ

  ( )

  x ² t ²

  1

  Difusi 1-Dimensi

  dt =

  x ²

  2 dσ

  1

  =

  m

  ε

• Persamaan di atas dapat dipakai untuk menetapkan koefisien difusi

  # $ % %

• ∂

  δ x, y

  2

  = M

  ( )

  = 0 c x, y, 0

  ( )

  §   Jika syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions) c ±∞, ±∞, t

  §   Difusi dua dimensi, arah x dan y (bidang z)

  & ' ( (

  2

  Difusi 2-Dimensi q  

  ∂y

  2 c

  2

  ∂x

  2 c

  ∂

  m

  = ε

  ∂c ∂t

  Persamaan transpor difusi dua dimensi

  ( )

  $ ' ²

  σ

  2

  2

  §   Jika medium homogen, σ _x = σ _y = σ

  §  

Penyelesaian analitis persamaan difusi 2-D tersebut adalah:

  ' ( ) )

  $ % & &

  2

  y

  2 σ

  2

  y

  −

  2 π exp

  y

  y

  Difusi 2-Dimensi c x, y, t

  ' ( ) )

  $ % & &

  2

  x

  2 σ

  2

  

x

  −

  2 π exp

  x

  σ

  M x

  =

• M

  ( )

  ( )

  ∂z

  δ x, y, z

  3

  = M

  ( )

  = 0 c x, y, z, 0

  ( )

  §   Jika syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions) c ±∞, ±∞, ±∞, t

  §   Difusi dua dimensi, arah x, y, dan y

  & ' ( (

  # $ % %

  2

  2 c

• ∂

  2

  ∂y

  2 c

  2

  ∂x

  2 c

  ∂

  m

  = ε

  ∂c ∂t

  Persamaan transpor difusi tiga dimensi

  Difusi 3-Dimensi q  

• ∂

Difusi 3-Dimensi c x, y, z, t

  ( )

  =

  M

  3

  σ 2 π

  ( )

  3

  exp −

  r

  2

  2 σ

  2

  $ % & &

  ' ( ) )

  §   Penyelesaian analitis persamaan difusi 3-D tersebut adalah: r ²

  = x ² + y ² + z ² M ₃ = M

  4

  x

  2

  §   Jika medium memiliki batas dinding, tembok à pencerminan source

  ' ( ) )

  $ % & &

  2

  2 σ _x

  2

  −

  Difusi 1-Dimensi di Medium Berbatas §  

  2 π exp

  σ _x

  1

  M

  =

  ( )

  Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D c x, t

Difusi 1-Dimensi di Medium Berbatas c x, t

  ( )

  =

  2M

  1

  σ

  x

  2 π exp

  −

  L p

  2

  2 σ

  x

  2

  $ % & &

  ' ( ) )

  di dinding Difusi 1-Dimensi dari Source Menerus c x, t

  ( )

  =

  M

  1

  σ _x

  2 π exp

  −

  x

  2

  2 σ _x

  2

  $ % & &

  ' ( ) )

  §  

Syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions)

q  

  

Persamaan transpor difusi satu dimensi, massa M dimasukkan secara menerus (kontinu) di x = 0 Difusi 1-Dimensi dari Source Menerus c x, t

  ( )

  = c erfc

  x

  4 ε _m

  t

  " # $ $

  % & ' '

  §   Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D dari source kontinu

• complementary error function

  2

  −ξ ∞ Difusi 1-Dimensi dari Source Menerus

  Penyelesaian analitis persamaan konveksi-difusi dalam regime turbulen

  Konveksi-Difusi (Turbulen) q

Persamaan transpor konveksi-difusi dalam aliran turbulen

   

  ∂c ∂t

  ε tx

  ∂c ∂x ⎛ ⎝⎜

  ⎞ ⎠⎟

  ty ∂c ∂y

  ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟

  tz ∂c ∂z

  ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟

• ∂uc ∂x
• ∂vc ∂y
• ∂wc ∂z = ∂ ∂x
• ∂ ∂y ε
• ∂ ∂z ε
• koefisien difusi vertikal, ε
Konveksi-Difusi (Turbulen) z

  §   Koefisien difusi merupakan besaran tensorial

  tz !" !"

  Koefisien difusi vertikal §   z

  ε ε h − z tz _tz = κ u

  ∗ ( ) h

  U h ε

  Koefisien difusi vertikal rerata tz

  §   kedalaman aliran _h

  Konveksi-Difusi (Turbulen) L _z h/

  2 U h/

  2 U h L _z Konveksi-Difusi (Turbulen) §  

  Koefisien difusi transversal B U

• di flume

  ε ty

  = 0.15 h u ∗ ( )

• di sungai

  tepi, tebing tepi, tebing Konveksi-Difusi (Turbulen) L _y

  L _y B/

  U B B/

  2 ξ = 0.1

  ξ = 0.5 Konveksi-Difusi (Turbulen) Koefisien difusi longitudinal, searah aliran

  §   tepi, tebing

  ε _tx = 0.23 h u ( ∗ )

  U Difusi longitudinal (searah aliran) yang

   

• U = U + !

  B U U ditimbulkan oleh turbulensi aliran

   ! U umumnya diabaikan karena pengaruh dispersi lebih dominan.

  

far-field zone

of mixing

mid-field zone

of mixing

near-field zone

  

Konveksi dan Difusi Transversal

Persamaan transpor konveksi-difusi dalam aliran turbulen

    q

  ∂c ∂uc ∂vc ∂wc ∂ ⎛ ∂c ⎞ ∂ ⎛ ∂c ⎞ ∂ ⎛ ∂c ⎞ ε ε ε

• =

  tx ty tz ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ⎝⎜ ∂x ⎠⎟ ∂y ⎝⎜ ∂y ⎠⎟ ∂z ⎝⎜ ∂z ⎠⎟

  Jika kondisi berikut ini diterapkan §  

• aliran hanya satu arah, u ≠ 0, v = w = 0

Konveksi dan Difusi Transversal ∂c ∂uc ∂vc ∂wc ∂ ∂c ∂ ∂c ∂ ∂c ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

  ε ε ε

• = + +

  tx ty tz ⎝⎜ ⎠⎟ ⎝⎜ ⎠⎟ ⎝⎜ ⎠⎟ ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z transpor v = w = 0 difusi longitudinal difusi vertikal permanen diabaikan telah dicapai

  

2

# &

  C ∂uc ∂ ∂c ∂C ∂

  U kecepatan aliran rerata kedalaman = = ε ε Konveksi dan Difusi Transversal C u x, y

  ( ) =

  G h 4 π ε ty x U exp − y

  2 U

  

4

ε ty x

  $ % & &

  ' ( ) )

  §   Penyelesaian analitis persamaan konveksi dan difusi transversal pada sungai lebar

  G = M t [kg/s] debit polutan, merata di seluruh kedalaman aliran h

  

Konveksi dan Difusi Longitudinal

Persamaan transpor konveksi-difusi dalam aliran turbulen

    q

  ∂c ∂uc ∂vc ∂wc ∂ ⎛ ∂c ⎞ ∂ ⎛ ∂c ⎞ ∂ ⎛ ∂c ⎞ ε ε ε

• = +

  tx ty tz ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ⎝⎜ ∂x ⎠⎟ ∂y ⎝⎜ ∂y ⎠⎟ ∂z ⎝⎜ ∂z ⎠⎟

  Jika kondisi berikut ini diterapkan §  

• aliran hanya satu arah, u ≠ 0, v = w = 0

Konveksi dan Difusi Longitudinal

  ∂c ∂t

  ε tx

  ∂c ∂x ⎛ ⎝⎜

  

⎞

⎠⎟

  ty ∂c ∂y

  ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟

  tz ∂c ∂z

  ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ difusi transversal telah dicapai v = w = 0 difusi vertikal telah dicapai

• ∂uc ∂x
• ∂vc ∂y
• ∂wc ∂z = ∂ ∂x
• ∂ ∂y ε
• ∂ ∂z ε
• .
• ∂uc = ∂ ε _tx ∂c
• U ∂C = ∂ ε _tx

  ∂c

  # % & ( ⇒

  ∂C

  K _x ∂C

  

Konveksi dan Difusi Longitudinal

∂C ∂t

• ,

  K _x ( )

  ∂C ∂x $ % & '

  K _x ∂C ∂x

• #
• U ∂C ∂x = ∂ ∂x ε
tx<
• U ∂C ∂x = ∂ ∂x
• . /

  (

) ⇒

∂C ∂t

  koefisien dispersi §  

  Pada aliran permanen dan seragam, K x konstan

  ∂C ∂t

• U ∂C ∂x = K _x ∂

  ∂x

  2 persamaan dispersi longitudinal Dispersi Longitudinal

  ∂C ∂C ∂

• U = K _x

  2 ∂t ∂x ∂x _{2 2} B B

  atau setelah t Berlaku setelah L = ξ U = ξ

  à di far-field mixing zone y y y y

  ε ε

  ty ty Koefisien dispersi, K

  §   x

  K _{x à saluran tampang segi-empat} = 6 h u ( ∗ ) Dispersi Longitudinal §  

  Jika polutan M dimasukkan secara merata di tampang dan secara tiba-tiba, maka penyelesaian analitis persamaan dispersi longitudinal tersebut adalah: luas tampang aliran

  4 K _x

  2

  [kg/m

  S

  = M

  1

  M

  &amp; ' ( (

  # $ % %

  t

  2

  C x, t ( )

  ( )

  − U t

  x

  exp −

  t

  4 π K _x

  1

  M

  =

  ]

• dapat dibaca sebagai satu seri polutan yang dimasukkan secara berurutan, masing-masing dalam waktu Δτ yang sangat kecil

  x

• /

  T ( )

  = M

  )

  ( )

  − τ _i

  t

  4 K _x

  2

  %&amp; '(

  ( )

  − U t − τ _i

  exp −

• ,
• .

  ( )

  − τ _i

  t

  π K _x

  m _i S 4

  =

  x, t ( )

  ΔC _i

  Jika polutan M dimasukkan secara merata di tampang dan selama waktu T

  Dispersi Longitudinal §  

  Δτ

• m _i

• ,

• erfc
• Pada kondisi transpor

  (

  ( )

  $ % &amp; &amp;

  ! " # #

  t

  4 K _x

  − U t

  x

  $ % &amp; &amp;

  ! " # #

  4 K _x

  

t

  x + U t

  $ % &amp; erfc

  ! " #

  U x K _x

  2 exp

  C

  =

  ( )

  Jika polutan M dimasukkan secara merata di tampang dan menerus (kontinu) secara konstan C x, t

  Dispersi Longitudinal §  

  C konstanta