Bilangan Dominasi Jarak-2 Graf Jahangir J
Prosiding SI MaNIs (Seminar Nasional Integrasi Matematika dan Nilai Islami)
Vol.1, No.1, Juli 2017, Hal. 606-610
p-ISSN : 2580-4596; e-ISSN: 2580-460X
Halaman | 606
Bilangan Dominasi Jarak-2 Graf Jahangir J n,m
- * ** *
Yayuk Wahyuni , M. Imam Utoyo , Slamin
- Departemen Matematika, Universitas Airlangga Surabaya
- Program Studi Sistem Informasi, Universitas Jember
Info Artikel ABSTRAK
Dalam graf = ( , ) himpunan ⊆ dinamakan himpunan dominasi
Riwayat Artikel:
jarak-2 (distance-2 dominating set) jika setiap titik anggota − berada dalam jarak 2 dari paling sedikit satu titik dalam
. Kardinalitas minimum Diterima: 15 Mei 2017 diantara himpunan dominasi jarak-2 pada graf dinamakan bilangan dominasi
Direvisi: 1 Juni 2017 jarak ( ). Penelitian ini bertujuan untuk
- –2 dari , dinotasikan dengan ≤ Diterbitkan: 31 Juli 2017 menentukan bilangan dominasi jarak-2 dari graf Jahangir J n,m , dengan menentukan suatu himpunan dominasi jarak-2 dan memperlihatkannya sebagai himpunan dominasi jarak-2 dengan kardinalitas minimum. Hasil
Kata Kunci:
penelitian ini menunjukkan bahwa untuk = berlaku ( ) =
≤ ,
Bilangan dominasi n,m sedang untuk dapat dikelompokkan yang lain bilangan dominasi jarak-2 J
Bilangan dominasi jarak-2 nilainnya dalam tiga kelompok bergantung pada nilai , semuanya berlaku
Himpunan dominasi jarak-2 untuk ≥ . Graf Jahangir J n,m Copyright © 2017 SIMANIS.
All rights reserved.
Corresponding Author:
Yayuk Wahyuni, Departement Matematika, Universitas Airlangga Surabaya, Kampus C, Jl. Mulyorejo Surabaya, Jawa Timur, Indonesia Em 1.
PENDAHULUAN
Kajian tentang bilangan dominasi khususnya bilangan dominasi jarak- telah dilakukan oleh banyak peneliti. Kajian yang telah ada antara lain tentang batas nilai bilangan dominasinya, karakterisasi graf-graf tertentu, sampai algoritma untuk menentukan himpunan dominasi. Terkait batas nilai bilangan dominasi jarak-k, penelitian telah dilakukan antara lain oleh Tian [1] dan Meierling [2] untuk graf pohon, sedangkan Sridharan [3] lebih mefokuskan penelitiannya pada batas atas bilangan dominasi jarak-2 dikaitkan dengan jumlah titik dan derajat tertinggi dari titik pada graphnya dan karakterisasi kelas graf yang bilangan dominasi jarak-2nya memenuhi batasnya. Penelitian bilangan dominasi jarak-2 untuk graf-graf yang dibentuk dari graf lintasan telah pula dilakukan oleh Vaidya [4] sedangkan Prathibha [5] menulis tentang algoritma untuk mementukan himpunan dominasi jarak-t dari graf bintang diperumum (extended star graph).
Diberikan graf G = (V, E). Himpunan ⊆ dinamakan himpunan dominasi (dominating set) jika setiap titik anggota
− bertetangga dengan paling sedikit satu titik dalam . Kardinalitas minimum diantara himpunan dominasi pada graf dinamakan bilangan dominasi dari , dinotasikan dengan ( ). Jika konsep bertetangga pada himpunan dominasi diperluas dengan berjarak lebih dari satu, yaitu berjarak dua, maka akan diperoleh konsep yang lebih umum dari himpunan dominasi. Himpunan
⊆ dinamakan himpunan dominasi jarak-2 (distance-2
dominating set
) jika setiap titik anggota − berada dalam jarak 2 dari paling sedikit satu titik dalam . Kardinalitas minimum diantara himpunan dominasi jarak-2 pada graf dinamakan bilangan dominasi jarak-2
2
2
dari (v) adalah himpunan N (v)
, dinotasikan dengan ( ). Tetangga–2 terbuka dari titik v V, dinotasikan N
≤2
= {u ; u ≠ v dan d(u,v) 2} dengan d(u,v) menyatakan jarak dari titik u ke titik v. Himpunan N
2 [v] = N 2 (v) {v}
dinamakan tetangga-2 tertutup dari titik v. Untuk S V didefinisikan pula dan [ ] =
2 ( ) = ⋃ ∈ 2 ( )
2
berturut-turut sebagai tetangga-2 terbuka dan tetangga-2 tertutup dari himpunan S. Dengan pengertian ⋃ [ ]
∈
2
tetangga-2 ini, dapat dikatakan bahwa S adalah himpunan dominasi jarak-2 jika N 2 [S] = V ( [6]).
Laman Prosiding
: http://conferences.uin-malang.ac.id/index.php/SIMANIS Prosiding SI MaNIs (Seminar Nasional Integrasi Matematika dan Nilai Islami) Halaman | 607 Subdivisi dari suatu graf tidak kosong adalah graf yang diperoleh dari graf dengan menghapus suatu garis
= dan menambahkan suatu titik baru dan garis dan [7]. Untuk keperluan pembuktian dalam tulisan ini didefinisikan jenis subdivisi baru yang menambahkan bukan titik tetapi lintasan. Subdivisi lintasan dari suatu graf tidak kosong adalah graf yang diperoleh dari graf dengan menghapus suatu garis = dan
− dan garis dan . Graf Jahangir untuk
, ≥ 3 adalah graf pada + 1 titik yaitu graf yang memuat sebuah sikel
dengan tambahan satu titik yang bertetangga dengan m titik dari dimana m titik tersebut masing-masing berjarak n pada ( [8]). Contoh graf Jahangir disajikan pada Gambar 1.
3,5
Gambar 1. Graf Jahangir
3,5
Graf Jahangir mempunyai titik sebanyak | ( )| = + 1 dan garis sebanyak | ( )| = ( + 1) . Di
, , ,
antara titik-titik tersebut satu titik berderajat , sebanyak titik berderajat tiga, dan sisanya titik berderajat dua. Untuk mempermudah penyebutan dalam tulisan ini, titik berderajat disebut titik , sedang titik yang lain disebut titik sedemikian sehingga titik berderajat tiga. Dengan penyebutan tersebut dapat
, , … ,
1
2
1
dimaklumi jika titik-titik berderajat tiga yang lain adalah sedang titik-titik berderajat , , … ,
- 1 2 +1 ( −1) +1
dua adalah untuk = 0,1, … , − 1 dan = 2,3, … , .
- Beberapa kajian terkait graf Jahangir dan dominasi antara lain bilangan dominasi, dominasi terhubung, dominasi total, dominasi independen, dan dominasi terbatasi dari graf Jahangir oleh Mojdeh [8]. Juga bilangan
2,
dominasi medium oleh Ramachandran [9]. Beberapa hasil yang telah ada dan akan digunakan dalam tulisan ini diantaranya sebagai berikut.
- 1
Proposisi 1
[10] Jika G graf terhubung dengan diameter d maka ( ) ≥
≤2
5
2 Proposisi 2
[10] Jika G graf terhubung dengan radius r maka
≤2 ( ) ≥
5 Proposisi 3 [10] Jika G graf terhubung dengan girth g maka ≤2 ( ) ≥
5 Proposisi 4 [10] Untuk
≥ 3 berlaku ⌉
≤2 ( ) = ≤2 ( ) = ⌈
5 Proposisi 5 [8] Untuk
≥ 4, bilangan dominasi graf Jahangir ( ) = ⌈ ⌉ + 1
2,
2 2.
METODE PENELITIAN
Penelitian dilaksanakan dalam beberapa langkah sebagai berikut: 1. untuk nilai n dan m
Langkah pertama adalah menentukan bilangan dominasi jarak-2 untuk graf Jahangir
,
tertentu, dimulai dari = 2, 3, … ,15 dan = 3, 4, … ,15.
2. Mengkaji pola bilangan dominasi jarak-2 yang telah diperoleh.
3. Memformulasi nilai bilangan dominasi jarak-2 dari langkah 1 dan 2.
4. Melakukan uji validasi formula pada langkah 3 dengan menentukan nilai bilangan dominasi jarak-2 graf Jahangir dengan nilai n dan m sebarang.
5. Menyusun teorema tentang bilangan dominasi jarak-2 yang telah diperoleh 6.
Membuktikan teorema yang telah disusun.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pembahasan dibagi dalam dua kelompok, pertama membahas nilai bilangan dominasi jarak-2 untuk graf Jahangir dengan nilai n tertentu sedemikian hingga diperoleh pola yang dapat diperumum untuk semua graf Jahangir. Bagian kedua merupakan perumuman nilai bilangan dominasi jarak-2 untuk semua graf Jahangir.
Bilangan Dominasi Jarak-2 Graf Jahangir
- 2
- 2 =
4( −3)+1
5
>
2 .
b.
Untuk gasal, diambil = { ,
1
,
9
, … ,
,
titik, sedangkan
4( −2)+3
}. Titik-titik
4
,
4 +1
,
4 +2
untuk =
1,3, … , − 2, − 1, berada dalam jarak-2 dengan titik , titik-titik
4
5
,
Kasus 2. Jika
4
maka jumlah titik yang harus mendominasi jarak-2 paling sedikit adalah
4
5
. Diperoleh kontradiksi, karena
4
5
>
2 − 1.
∉
4
1
. Tanpa mengurangi keumuman bukti, diambil
1
∈
1
. Tentu
1
mendominasi jarak-2 titik . Dalam hal ini 4 titik-titik didominasi jarak-2 oleh
2
titik di antaranya. Hal ini tidak mungkin karena sikel dengan 4 titik didominasi jarak-2 oleh paling sedikit
2
3
1
4 +3
. Titik berjarak satu dengan
4 +1
dan berjarak dua dengan
4
,
4
dan
4 +2
, untuk = 0,1, … , − 1. Sementara titik-titik
yang ada sebanyak titik harus didominasi jarak-2 oleh
∈
2
− 1 titik lain dari
1
. Titik-titik ini harus didominasi jarak-2 oleh titik-titik , bukan titik . Jumlah titik yang dapat mendominasi jarak-2 titik-titik tersebut paling sedikit adalah
4
5
. Diperoleh kontradiksi, karena
4
5
>
1
Kasus 1 . Jika
,
untuk = 2,4, … , −
4
,
4 −1
berada dalam jarak-2 dengan titik
1
, dan titik-titik
4 −1 , 4 , 4 +2 , 4 +3
berada dalam jarak 2 dengan
4 +1
3. Dalam hal ini titik
2 . Dibedakan dua kasus.
4( −2)+3
berjarak lebih dari dua terhadap titik elemen yang lain sehingga harus menjadi elemen
. Dengan demikian membentuk himpunan dominasi jarak-2 dengan | | =
−1
2
2 + 1.
Andaikan ada
1
himpunan dominasi jarak-2 dengan |
1 | ≤
. Titik-titik ini harus didominasi jarak-2 oleh titik-titik , bukan titik . Karena titik-titik membentuk sikel
− 1 titik lain dari
2 − 1. Prosiding SI MaNIs (Seminar Nasional Integrasi Matematika dan Nilai Islami) Halaman | 609
≤2
Teorema 8
Untuk = 2,3, bilangan dominasi jarak-2 graf Jahangir ≤2 ( , ) = 1. Bukti. Diambil
= { }. Semua titik berderajat tiga bertetangga dengan , sedang titik berderajat dua mempunyai jarak dua dengan . Ini menunjukkan bahwa merupakan himpunan dominasi jarak-2 pada
2,
dan
3,
, sekaligus merupakan himpunan dominasi minimum.
Teorema 9 Untuk
= 4, bilangan dominasi jarak-2 graf Jahangir
(
Bilangan Dominasi Jarak-2 Graf Jahangir , untuk
,
) = ⌈
2 ⌉ + 1.
Bukti. Pembahasan dibagi dalam dua kasus sesuai nilai m.
a.
Untuk genap, diambil = { ,
1
,
9
, … ,
≤ ≤6
⌉ 3.2.
}. Dapat dilihat bahwa titik-titik
≥ 3, batas bawah bilangan dominasi jarak-2 graf Jahangir
Halaman | 608 p-ISSN: 2580-4596; e-ISSN: 2580-460X
Prosiding SI MaNIs (Seminar Nasional Integrasi Matematika dan Nilai Islami) Vol.1, No.1, Juli 2017610 3.1.
Batas Bilangan Dominasi Jarak-2 Graf Jahangir
Dari definisi graf Jahangir
,
didapat radiusnya adalah ⌊
2
⌋ + 1, diameternya + 1 untuk n gasal dan + 2 untuk n genap dengan 3 diperoleh hasil berikut.
Lema 6 Untuk
≤2
5
(
,
) ≥
5 Oleh karena graf Jahangir terdiri dari graf sikel ditambah satu titik dengan keterhubungan sebagaimana diatur dalam definisi, maka nilai bilangan dominasi jarak-2 tidak melebihi bilangan dominasi jarak-2 subgraf sikelnya.
Lema 7 Untuk
≥ 3, batas atas bilangan dominasi jarak-2 graf Jahangir
≤2
(
,
) ≤ ⌈
4( −2)+1
4
2
. Jika ∈
−2
2
2 + 1.
Andaikan ada
1
himpunan dominasi jarak-2 dengan |
1 | ≤
2 . Dibedakan dua kasus.
Kasus 1
1
untuk = 2,4, … , −
. Titik berjarak satu dengan
4 +1
dan berjarak dua dengan
4
dan
4 +2
, untuk =
0,1, … , − 1. Sementara titik-titik
4 +3
yang ada sebanyak titik harus didominasi jarak-2 oleh
2. Ini berarti merupakan himpunan dominasi jarak-2. Selanjutnya dapat dilihat pula bahwa | | =
4 +1
,
,
4 +1
,
4 +2
untuk = 1,3, … , − 1 berada dalam jarak-2 dengan titik , titik-titik
2
,
3
,
4
4 −1
berada dalam jarak 2 dengan
berada dalam jarak-2 dengan titik
1
, dan titik-titik
4 −1
,
4
,
4 +2
,
4 +3
- 1
- 1
- 1
- 1
Kasus 2. Jika . Tanpa mengurangi keumuman bukti, diambil . Tentu mendominasi jarak-2
∉ ∈
1
1
1
1
- 1
titik didominasi jarak-2 oleh titik di antaranya. Hal ini tidak mungkin . Dalam hal ini 4 titik-titik
2
4 4 +1
karena sikel dengan titik, sedangkan . 4 titik didominasi jarak-2 oleh paling sedikit >
5
5
2 Teorema 10
Untuk = 5, bilangan dominasi jarak-2 graf Jahangir ≤2 ( , ) = . Bukti. Diambil dan
= { , , … , }. Titik-titik , , , , berada dalam jarak-2 dengan
1 6 5( −1)+1 5 −1 5 5 +2 5 +3
titik untuk berada dalam jarak-2 dengan titik .
= 1,2, … , − 1, sementara titik-titik , , ,
5 +1 5 −1
5
2
3
1 Ini berarti
1
himpunan dominasi jarak- merupakan himpunan dominasi jarak-2 dengan | | = . Andaikan ada
2 dengan | 1 | ≤ − 1.
Kasus 1 . Jika . Titik untuk ,
∈ berjarak satu dengan = 0, 1, … , − 1 dan berjarak dua dengan
1 5 +1
2
, dan , untuk dan untuk
= 1,2, … , − 1. Sementara pasangan titik bertetangga =
5 5 5 +2 5 −2 5 −3
. Jarak antar pasang titik adalah lima sedang 1,2, … , harus didominasi jarak-2 oleh − 2 titik lain dari
1
5 −2 5 −3
banyaknya pasangan titik bertetangga dan adalah pasang sehingga tidak mungkin titik-titik ini
didominasi jarak-2 oleh − 2 titik diantaranya. Akibatnya timbul kontradiksi.
Kasus 2. Jika . Tanpa mengurangi keumuman bukti, diambil . Tentu mendominasi jarak-2 titik
∉ ∈
1
1
1
1
didominasi jarak-2 oleh . Dalam hal ini 5 titik-titik − 1 titik di antaranya. Oleh karena 5 titik ini membentuk subgraf sikel maka titik-titik ini didominasi jarak-2 oleh paling sedikit titik sehingga timbul
5
kontradiksi.
Teorema 11 Untuk
= 6, bilangan dominasi jarak-2 graf Jahangir ( ) = + 1
≤2 ,
Bukti. Diambil (2 −1) dan untuk = { ,
4 , 10 , … , } Jelas bahwa titik-titik 1 , 2 ,
4 4 , 4 +1 , 4 +2 =
- 1
2
, untuk 1,2, … , − 1 didominasi jarak-2 oleh titik , sedangkan titik-titik lainnya beretangga dengan titik
6 −2
= 1,2, … , . Ini berarti merupakan himpunan dominasi jarak-2 dengan | | = + 1. Andaikan ada
1
himpunan dominasi jarak -2 dengan | 1 | ≤ .
Kasus 1 . Jika . Titik untuk ,
∈ berjarak satu dengan = 0, 1, … , − 1 dan berjarak dua dengan
1 6 +1
2
, dan , untuk = 1,2, … , − 1. Sementara titik-titik yang lain harus didominasi jarak-2 oleh − 1
- 2
1
titik lain dari . Titik-titik ini membentuk kelompok titik yang masing-masing merupakan lintasan dengan
panjang tiga dan jarak antar lintasan adalah empat. Hal ini menyebabkan harus ada elemen pada masing-masing
1
lintasan. Dengan demikian . Terjadi kelompok lintasan tersebut harus didominasi oleh titik elemen
1 kontradiksi.
Kasus 2.
Jika . Tanpa mengurangi keumuman bukti, diambil . Tentu mendominasi jarak-2 titik ∉
∈
1
1
1
1
didominasi jarak-2 oleh . Dalam hal ini 6 titik-titik titik di antaranya. Oleh karena 6 titik ini membentuk
6 subgraf sikel maka titik-titik ini didominasi jarak-2 oleh paling sedikit titik sehingga timbul kontradiksi.
6
5
3.3.
Bilangan Dominasi Jarak-2 Graf Jahangir ,
≤2 +5, ≤2 ,
Teorema 12 Untuk ≥ 3 berlaku ( ) = ( ) + .
Bukti. Graf Jahangir adalah subdivisi lintasan dari graf Jahangir dengan penambahan lintasan panjang
- 5, ,
lima pada satu garis yang salah satu atau kedua titiknya berderajat dua. Penambahan ini terjadi pada setiap subgraf lintasan untuk − = 1,2, … , . Menurut Proposisi 4, lintasan dengan panjang lima mempunyai
( −1) +1 +1
bilangan dominasi jarak-2 bernilai 1. Oleh karena penambahan lintasan dengan panjang lima terjadi pada m subgraf lintasan maka penambahan bilangan dominasi jarak-2 graf dari bilangan dominasi jarak-
( −1) +1 − +1
- 5,
2 graf adalah m.
,
Teorema 12 bersama Teorema 8-11 di atas dapat digunakan untuk menentukan nilai bilangan dominasi jarak-2 graf Jahangir secara umum. Dengan demikian didapatkan rumusan nilai bilangan dominasi jarak-2 untuk graf Jahangir seperti di bawah ini. Perlu dicatat bahwa graf tidak lain adalah graf roda yang bilangan
, 1, dominasinya satu, tentu saja bilangan dominasi jarak-2nya juga bernilai satu.
Akibat 13 Untuk
adalah ≥ 3, bilangan dominasi jarak-2 graf Jahangir
, Bilangan Dominasi Jarak-2 Graf Jahangir
- 1, jika = 5 + , dengan = 0,1, 2, . . . dan = 1,2,3
4. KESIMPULAN
,
[9] M. Ramachandran and N. Parvathi, "The Medium Domination Number of a Jahangir Graph J m, n," Indian Journal of Science and Technology, vol. 8, pp. 400-406, 2015. [10] R. Davila, C. Fast, M. Henning and F. Kenter, "Lower bounds on the distance domination number of a graph," arXiv preprint arXiv:1507.08745, 2015.
Sciences, vol. 2, pp. 1193-1199, 2007.
[2] D. Meierling and L. Volkmann, "A lower bound for the distance k-domination number of trees," Results in Mathematics, vol. 47, pp. 335-339, 2005. [3] N. Sridharan, V. S. A. Subramanian and M. D. Elias, "Bounds on the distance two-domination number of a graph," Graphs and Combinatorics, vol. 18, pp. 667-675, 2002. [4] S. K. Vaidya and N. J. Kothari, "Distance k-domination of some path related graphs," International Journal of Mathematics and Soft Computing, vol. 4, pp. 1-5, 2014. [5] E. Prathibha, S. P. Missier and A. A. Kinsley, "Algorithms to Determine the Distance-t Dominating Sets of ES (n, k)," Procedia Computer Science, vol. 47, pp. 342-350, 2015. [6] T. W. Haynes, S. Hedetniemi and P. Slater, Fundamentals of domination in graphs, CRC Press, 1998. [7] G. Chartrand, "Dan Lesniak, L. 1996," Graph and Digraph. [8] D. A. Mojdeh and A. N. Ghameshlou, "Domination in Jahangir graph J2, m," Int. J. Contemp. Math.
[1]
yang semuanya bergantung pada nilai m kecuali untuk = 1,2,3. Hasil tersebut dapat dikembangkan lebih lanjut untuk jenis dominasi yang lain maupun untuk jenis graf yang lain.
,
bersifat periodik dengan periode lima. Terdapat tiga kelompok nilai bilangan dominasi jarak-2 graf Jahangir
Pembahasan di atas menunjukkan bahwa nilai bilangan dominasi jarak-2 graf Jahangir
Halaman | 610 p-ISSN: 2580-4596; e-ISSN: 2580-460X
.
2 ⌉ + 1, jika = 5 + 4, dengan = 0, 1, 2, . ..
(2 +1)
⌈
) = { , jika = 5 , dengan = 1, 2, . ..
,
(
≤2
DAFTAR PUSTAKA
F. Tian and J.-M. Xu, "A note on distance domination numbers of graphs," Australas. J. Combin, vol. 43, pp. 181-190, 2009.
Prosiding SI MaNIs (Seminar Nasional Integrasi Matematika dan Nilai Islami) Vol.1, No.1, Juli 2017610