Komparasi Kinerja Fuzzy Time Series dengan Model Rantai Markov dalam Meramalkan PDRB Bali.
E-Jurnal Matematika Vol 3 (3), Agustus 2014, pp. 116-122
ISSN: 2303-1751
KOMPARASI KINERJA FUZZY TIME SERIES
DENGAN MODEL RANTAI MARKOV DALAM MERAMALKAN
PRODUK DOMESTIK REGIONAL BRUTO BALI
I Made Arya Antara1, I Putu Eka N. Kencana§2, I Komang Gde Sukarsa3
1
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: genezisdragonoid@gmail.com]
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: i.putu.enk@gmail.com]
3
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: sukarsakomang@yahoo.com]
§
Corresponding Author
2
ABSTRACT
This paper aimed to elaborates and compares the performance of Fuzzy Time Series (FTS) model
with Markov Chain (MC) model in forecasting the Gross Regional Domestic Product (GDRP) of Bali
Province. Both methods were considered as forecasting methods in soft modeling domain. The data
used was quarterly data of Bali’s GDRP for year 1992 through 2013 from Indonesian Bureau of
Statistic at Denpasar Office. Inspite of using the original data, rate of change from two consecutive
quarters was used to model. From the in-sample forecasting conducted, we got the Average Forecasting Error Rate (AFER) for FTS dan MC models as much as 0,78 percent and 2,74 percent, respectively. Based-on these findings, FTS outperformed MC in in-sample forecasting for GDRP of Bali’s
data.
Keywords: domestic product, fuzzy modeling, in-sample forecasting, Markov chain
1. PENDAHULUAN
Badan Pusat Statistik (BPS) mendefinisikan
Produk Domestik Regional Bruto (PDRB) sebagai jumlah nilai tambah barang dan jasa yang
dihasilkan seluruh unit usaha di suatu daerah [1].
PDRB lazim digunakan sebagai salah satu indikator penting untuk mengetahui perkembangan
perekonomian di suatu wilayah.
Sebagai sebuah ukuran, PDRB berperan
penting sebagai salah satu masukan pada rancangan program-program pembangunan daerah.
Melalui PDRB dan indikator-indikator penyusunnya, para pengambil kebijakan publik dapat
merancang rencana dan program-program pembangunan yang lebih terarah dan terfokus pada
peningkatan kesejahteraan masyarakat. Mengacu
kepada hal ini, maka usaha untuk menduga nilai
PDRB dengan merujuk nilai-nilai PDRB historis
semakin intensif dilakukan.
Pada umumnya, teknik peramalan yang diaplikasikan untuk menduga PDRB adalah teknik
peramalan yang tergolong ke dalam teknik analisis deret waktu klasik. Sebagai misal, Wanayasa et al. menduga PDRB Provinsi Bali atas
dasar harga konstan (adhk) tahun 2011 dari data
PDRB Bali periode 1991–2010 menggunakan
metode pemulus eksponensial Holt-Winter aditif.
Hasil peramalannya menunjukkan nilai Average
Forecasting Error Rate (AFER) dari metode ini
sebesar 7,13 persen [2].
Pada jenis permasalahan berbeda, Hansun
menggunakan FTS untuk meramalkan pergerakan
Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) di Bursa
Efek Indonesia. Menggunakan persentase laju
perubahan IHSG sebagai himpunan semesta bagi
proses fuzzifikasi dengan interval awal sebanyak
tujuh, ia memperoleh tingkat keakurasian peramalan in-sample dari FTS sebesar 4,78 persen [3].
Riset ini dimotivasi oleh keinginan untuk
mengelaborasi kinerja model FTS dan model
Rantai Markov dalam meramalkan secara insample PDRB Provinsi Bali pada periode tahun
1992 hingga 2013. Tingkat akurasi ramalan dari
masing-masing model selanjutnya dibandingkan
untuk menentukan model yang lebih unggul dalam meramalkan PDRB Provinsi Bali.
Bagian-bagian selanjutnya dari tulisan ini
disusun mengikuti format berikut: bagian metode
penelitian menguraikan jenis data dan tahapan
pengembangan model untuk kedua model yang
dielaborasi; bagian hasil dan pembahasan menguraikan secara rinci langkah-langkah pengembangan kedua model, hasil ramalan, serta komparasi keakuratan ramalan kedua model; dan
ditutup oleh kesimpulan dan rekomendasi riset.
116
I Made A. Antara, I Putu EN Kencana, IKG. Sukarsa
2. METODE PENELITIAN
Sebagai sebuah studi non-experimental, data
yang dianalisis merupakan data sekunder dan diperoleh dari BPS Provinsi Bali dalam bentuk
data triwulan PDRB Bali adhk tahun 2000 pada
periode data yang diramalkan. Mengingat ada
dua model yang dikembangkan pada penelitian
ini, maka tahapan pengembangan masing-masing
model diuraikan terpisah sebagai berikut:
Komparasi Kinerja Fuzzy Time Series dengan Model
Rantai Markov dalam Meramalkan PDRB Bali
(f) Melakukan defuzzifikasi variabel linguistik
masing-masing amatan sehingga diperoleh
nilai !! . Defuzzifikasi dilakukan menggunakan fuzzy dengan fungsi keanggotaan segitiga (fuzzy triangular number/FTN) yang
dapat dinyatakan dalam pers. (4):
!!!!!,!
! !,!
!!
!! !!
!,!!!!!!!!!,!
!! = F! =
!
!,!
!,!
!! !!
!!!! !! !!!!
; !j = 1
; 2! ≤ j ≤ ! − 1
!,!!!
A. Tahapan Pengembangan Model FTS
!
!,!
!! !
!!!! !!
(4)
;j = !
Secara umum model FTS yang dibangun
merujuk kepada tahapan yang disarankan oleh
[4] dengan memodifikasi penentuan jumlah interval awal. Secara rinci, model FTS dibangun
mengikuti tahapan berikut:
Pada pers. (4), fj merupakan nilai linguistik
dari masing-masing Fj yang besarnya ditentukan sama dengan nilai tengah interval
fuzzy Fj;
(a) Menghitung laju perubahan PDRB antardua
triwulan yang berturutan. Laju perubahan
PDRB (!! ) dihitung menggunakan pers. (1):
(g) Menduga PDRB pada waktu ke - t menggunakan nilai !! yang dihitung pada tahap (f)
menggunakan pers. (5):
!! =
!"#$! !!"#$!!!
!100
!"#$!!!
(1)
(b) Menentukan himpunan semesta ! dengan
syarat seluruh !! menjadi anggotanya. Pada
penelitian ini, batas-batas ! didefinisikan
sebagai:
! = R !"# − d! ; R !"# + d!
(2)
Pada pers. (2), R !"# dan R !"# adalah nilainilai minimum dan maksimum dari !! , dan
d! serta d! merupakan dua konstanta sembarang;
(c) Membagi ! menjadi n buah interval U1, …,
Un dengan lebar yang sama. Pada penelitian
ini nilai n ditentukan menggunakan formula
Sturges [5] dalam bentuk pers. (3):
! = 1 + 3,322!log!" (N)
(3)
(d) Menentukan banyaknya !! yang ada pada
interval Ui, i = 1, …, n. Selanjutnya, Ui
dengan !! terbanyak dibagi menjadi 4 subinterval; Ui dengan !! terbanyak kedua dibagi
menjadi 3 sub-interval; Ui dengan !! terbanyak ketiga dibagi menjadi 2 sub-interval.
Interval yang tidak memiliki !! digabungkan
dengan interval sebelumnya yang memiliki
anggota. Misalkan jumlah interval akhir
yang terbentuk f buah, maka F1, …, Ff merupakan himpunan variabel-variabel linguistik
dalam himpunan fuzzy ! dengan f1, …, ff
menyatakan nilai-nilai linguistik;
(e) Melakukan fuzzifikasi nilai-nilai !! menjadi
nilai-nilai linguistik yang bersesuaian;
PDRB! = 1 + !! !PDRB!!!
(5)
(h) Menghitung galat masing-masing ramalan
dan nilai AFER menggunakan pers. (6):
AFER =
! !"#$! !!"#$!
!
!"#$!
!
(6)
B. Tahapan Pengembangan Model Markov
Tahapan-tahapan awal peramalan PDRB Bali
dengan model Markov Chain mengikuti lima tahapan awal model FTS. Perbedaan metode mulai
ada pada tahapan ke-enam sebagai berikut [5]:
(f) Menentukan left-hand side (LHS) dan righthand side (RHS) dari masing-masing amatan. LHS dari amatan ke – i merupakan variabel linguistik dari amatan sebelumnya dan
RHS-nya merupakan variabel linguistik dari
amatan yang bersangkutan;
(g) Menentukan Fuzzy Logical Relationship
Group (FLRG), sebuah himpunan yang beranggotakan seluruh relasi dari LHS → RHS;
(h) Membuat state transition matrix (STM) berukuran f x f yang beranggotakan banyaknya
amatan pada FLRG: Fi → Fj ;
(i) Menghitung transition probability matrix (TPM)
berukuran f x f dengan elemen pada baris ke-i
dan kolom ke-j dihitung dari pers. (7):
p!,! =
!!,!
!
!!! !!,!
(7)
Pada pers. (7) c!,! menyatakan elemen pada
baris ke-i dan kolom ke-j dari STM dan f
117
E-Jurnal Matematika Vol 3 (3), Agustus 2014, pp. 116-122
menyatakan total variabel linguistik yang terbentuk pada tahap (d);
(j) Menghitung !! dari masing-masing amatan
yang telah terfuzzifikasi menjadi Fi pada tahapan (e) dengan menggunakan pers. (8):
!!
(8)
!! = ! p!,! … p!,! …
!!
Pada pers. (8) !! , …, !! masing-masing
menyatakan nilai tengah dari interval-interval fuzzy F1, …, Ff;
(k) Menduga nilai ramalan PDRB pada waktu ke-t
dengan menggunakan pers. (5);
(l) Menghitung nilai galat ramalan dan AFER
dari metode Markov Chain menggunakan pers.
(6).
3. HASIL PENELITIAN DAN DISKUSI
Lima tahapan awal aktivitas peramalan PDRB
Provinsi Bali menggunakan FTS dan MC sama.
Memperhatikan hal ini, maka hasil penelitian
diuraikan dengan urutan berikut:
A. Penentuan Interval Awal dan Densitas dari
Setiap Interval
Laju perubahan nilai PDRB dari dua triwulan
yang berturutan dihitung terlebih dahulu. Jumlah
amatan !! adalah 87 data, dengan RMin dan RMax
masing-masing bernilai -9,48 persen dan 34,59
persen. Melalui penetapan d1 dan d2 masingmasing sebesar 0,52 persen dan 0,41 persen
diperoleh ! = −10,00%; 35,00% sehingga lebar
interval ! = 45%. Aplikasi pers. (3) pada penentuan jumlah interval awal memberikan hasil
terdapat 8 interval yang harus didefinisikan agar
seluruh !! terklasifikasikan. Delapan interval awal
dan jumlah amatan yang berada di dalamnya
dicantumkan pada Tabel 1:
Tabel 1. Interval Awal Fuzzy dan Kepadatannya
Interval
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
U8
Batas Kiri
-10,00%
-4,38%
1,25%
6,88%
12,50%
18,13%
23,75%
29,38%
Sumber: Analisis Data (2014)
Batas
Kanan
-4,38%
1,25%
6,88%
12,50%
18,13%
23,75%
29,38%
35,00%
Frekuensi
Data
1
20
57
6
1
0
1
1
ISSN: 2303-1751
B. Penentuan Interval Akhir dan Densitas dari
Setiap Interval
Merujuk kepada tahapan yang disarankan
oleh [4] dengan memodifikasi penentuan jumlah
interval awal], maka U3, U2, dan U4 sebagai
interval-interval dengan frekuensi data tertinggi
harus dipecah menjadi sub-sub interval masingmasing berjumlah 4, 3, dan 2 sub interval. Sebaliknya, U6 dengan nilai densitas 0 digabungkan
dengan U5. Tabel 2 menunjukkan interval akhir
yang terbentuk mengikuti kriteria tersebut:
Tabel 2. Interval Akhir Fuzzy dan Nilai Linguistik
Interval
Fuzzy
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
F10
F11
F12
F13
Minimum
Nilai
Tengah
Maksimum
-10.00%
-4.38%
-2.50%
-0.63%
1.25%
2.66%
4.06%
5.47%
6.88%
9.69%
12.50%
23.75%
29.38%
-7.19%
-3.44%
-1.56%
0.31%
1.95%
3.36%
4.77%
6.17%
8.28%
11.09%
18.13%
26.56%
32.19%
-4.38%
-2.50%
-0.63%
1.25%
2.66%
4.06%
5.47%
6.88%
9.69%
12.50%
23.75%
29.38%
35.00%
Nilai
Linguistik
f1
f2
f3
f4
f5
f6
f7
f8
f9
f10
f11
f12
f13
Sumber: Analisis Data (2014)
C. Fuzzifikasi dan Proses Peramalan FTS
Informasi pada Tabel 2 selanjutnya digunakan untuk melakukan fuzzifikasi masing-masing
!! dengan hasil akhir fuzzifikasi tercantum pada
lampiran 2. Mengacu kepada representasi fuzzy
masing-masing !! , maka menggunakan pers. (4),
nilai !! diduga. Sebagai contoh, laju perubahan
PDRB pada triwulan III tahun 1992 dengan nilai
sebesar 3,05 persen terfuzzifikasi ke dalam variabel linguistik F6. Menggunakan pers. (4) nilai
ini diramalkan sebesar:
0,5 + 1 + 0,5
0,5 1 0,5
+ +
!! !! !!
2
=
0,5
1
0,5
+
+
1,95% 3,36% 4,77%
= 3,04%
!! = F! = !
Nilai ramalan !! untuk triwulan lainnya selengkapnya dapat diacu pada lampiran.
118
I Made A. Antara, I Putu EN Kencana, IKG. Sukarsa
D. Penghitungan AFER dari Model FTS
Nilai AFER dari ramalan dengan menggunakan model FTS diperoleh dengan terlebih dulu
menduga nilai PDRB dari masing-masing amatan
melalui aplikasi pers. (5). Penghitungan akhir
menunjukkan AFER peramalan dari model FTS
secara in-sample pada data PDRB Provinsi Bali
sebesar 0,78 persen. Penghitungan selengkapnya
dicantumkan pada lampiran.
E. Peramalan dengan Model Rantai Markov
Model kedua yang digunakan meramalkan
data PDRB Provinsi Bali adalah model Rantai
Markov (Markov Chain/MC model). Peramalan
diawali dengan membangun FLRG dari representasi fuzzy masing-masing nilai !! . FLRG selengkapnya dicantumkan pada lampiran. Merujuk
kepada FLRG yang terbentuk, dibangun state
transition diagram seperti gambar 1 dengan STM
ditunjukkan di bawahnya:
Gambar 1. Diagram Transisi Markov
!
#
#
#
#
#
#
#
#
STM = #
#
#
#
#
#
#
#
#
"
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F8
F9
F10
F11
F12
F13
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F8 F9 F10 F11 F12 F13 $
&
1
&
&
1 1
3
1
&
1 1
&
1
4 4 2
&
3 1 6 4 15
4 1
1 1 &!
&
1 15 2
1
&
1
1
&
&
4
&
1
1
&
&
1
&
1
&
&
1
%
Komparasi Kinerja Fuzzy Time Series dengan Model
Rantai Markov dalam Meramalkan PDRB Bali
Pada gambar 1, awal dan akhir dari simbolsimbol panah merupakan LHS dan RHS dari FLRG
yang terbentuk dan angka-angka menunjukkan
jumlah dari LHS → RHS pada masing-masing
relasi. Mengacu kepada gambar 1, maka STM
disusun dengan baris dan kolom merupakan representasi dari LHS dan RHS. Pada STM, unsur
yang kosong menunjukkan tidak ada amatan dengan LHS menuju RHS yang bersesuaian.
Mengacu kepada STM yang dibangun, maka
perlu disusun matriks peluang transisi (TPM)
Markov yang digunakan untuk menduga nilai !! .
Berikut adalah TPM yang disusun dari STM sebelumnya:
!
#
#
#
#
#
#
#
#
#
TPM = #
#
#
#
#
#
#
#
#
#
"
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F8 F9 F10 F11 F12 F13 $
&
F1
1
&
1
1
1
1
&
F2
6
2
6
6
&
1
1
F3
&
2
2
&
1
4
4
2
F4
11
11
11
11
&
5
1
1
1
1
1
1
1 &
1
F5
36
6
9
9
36
36
36
12
12
&
15
1
2
1
F6
&
19
19
19
19
&
1
1
F8
2
2
&
&
F9
1
&
F10
1
1
&
F11 1
&
&
F12
1
&
F13
1
&
%
Nilai pada elemen-elemen TPM selanjutnya
digunakan untuk menduga nilai !! setiap amatan
sesuai dengan FLRG-nya. Sebagai contoh, laju
perubahan PDRB pada triwulan III tahun 1992
dengan nilai sebesar 3,05 persen diduga dengan
mengamati bahwa nilai LHS dari amatan ini
adalah F5. Pada TPM terlihat ada sembilan kemungkinan state RHS bila LHS = F5, masingmasing dengan peluang yang berbeda. Nilai !!
pada amatan ini selanjutnya bisa diduga sebagai
jumlah hasil perkalian (sumproduct) dari peluang
state berikutnya bila LHS = F5 dengan nilai-nilai
tengah dari seluruh interval fuzzy (lihat pers. 8),
sebagai berikut:
!! = ! 0
…
1
36
−7,19%
⋮
= 4,20%
32,19%
Nilai penduga yang diperoleh selanjutnya digunakan untuk menduga nilai PDRB dari periode
yang diramalkan. Menggunakan pers. (5) diperoleh nilai PDRB triwulan III tahun 1992 sebesar
1020439 juta rupiah, dengan persentase galat sebesar 1,12 persen.
119
E-Jurnal Matematika Vol 3 (3), Agustus 2014, pp. 116-122
Nilai AFER model Rantai Markov diperoleh
dengan menghitung rataan seluruh galat amatan
(perhitungan lengkap pada lampiran) sebesar
2,74 persen; lebih besar dari nilai AFER yang
ISSN: 2303-1751
diperoleh menggunakan metode FTS. Gambar 2
memperlihatkan histogram data PDRB, dan data
hasil ramalan menggunakan kedua model:
!10,000,000!!
PDRB!Provinsi!Bali!(juta!Rp)!
!9,000,000!!
!8,000,000!!
!7,000,000!!
!6,000,000!!
!5,000,000!!
!4,000,000!!
!3,000,000!!
!2,000,000!!
PDRB!
Model!FTS!
Q1!2013!
Q1!2012!
Q1!2011!
Q1!2010!
Q1!2009!
Q1!2008!
Q1!2007!
Q1!2006!
Q1!2005!
Q1!2004!
Q1!2003!
Q1!2002!
Q1!2001!
Q1!2000!
Q1!1999!
Q1!1998!
Q1!1997!
Q1!1996!
Q1!1995!
Q1!1994!
Q1!1993!
!"!!
Q1!1992!
!1,000,000!!
Model!MC!
Gambar 2. Grafik Komparasi Data Asli dengan Hasil Peramalan Model FTS dan MC
4. SIMPULAN DAN REKOMENDASI
A. Simpulan Penelitian
Penelitian yang ditujukan untuk mengetahui
kinerja model FTS dan Rantai Markov dalam
meramalkan PDRB Provinsi Bali pada periode
tahun 1992 – 2013 atas dasar harga konstan tahun 2000 menyimpulkan:
1. Kedua model menghasilkan ramalan yang
baik ditinjau dari nilai rataan persentase galat
(AFER) di bawah lima persen. Nilai-nilai
AFER pada model FTS dan Rantai Markov
masing-masing sebesar 0,78 persen dan 2,74
persen;
2. Melalui perbandingan kedua nilai AFER tersebut, model FTS dengan AFER yang lebih
kecil memiliki tingkat keakurasian ramalan
yang lebih baik dibandingkan dengan model
Rantai Markov.
B. Rekomendasi
Meskipun kedua model memberikan nilainilai ramalan dengan batas galat yang masih bisa
diterima, beberapa hal direkomendasikan terkait
dengan hasil penelitian:
1. Nilai-nilai AFER diperoleh terbatas pada peramalan yang bersifat in-sample. Mengacu
kepada hal ini, disarankan untuk memeriksa
nilai PDRB Provinsi Bali pada tahun 2014
sehingga AFER untuk peramalan yang bersifat out-of-sample bisa dihitung;
2. Disarankan untuk melakukan pemeriksaan
pencilan, sebelum dilakukan proses peramalan menggunakan kedua model;
3. Disarankan mencoba parameter-parameter
yang berbeda dari fungsi keanggotaan segitiga yang digunakan saat defuzzifikasi.
DAFTAR PUSTAKA
[1] BPS Provinsi Bali, 2013. Produk Domestik
Regional Bruto (PDRB) Provinsi Bali 2008 –
2012. Denpasar: Badan Pusat Statistik Provinsi Bali.
[2] Wanayasa, IGN. Arya., Kencana, I Putu EN.
& Nilakusmawati, D.P.E., “Peramalan Produk Domestik Regional Bruto (PDRB) Provinsi
120
I Made A. Antara, I Putu EN Kencana, IKG. Sukarsa
Bali dengan Menggunakan Metode Fuzzy
Time Series”, E-Jurnal UNUD, 1(1), pp.1219, 2012
[3] Seng Hansun, "Peramalan Data IHSG Menggunakan Fuzzy Time Series," IJCCS, vol. 6
(2), pp. 79-88, 2012.
[4] Meredith Stevenson and John E. Porter,
"Fuzzy Time Series Forecasting Using Percentage Change as the Universe of Discour-
Komparasi Kinerja Fuzzy Time Series dengan Model
Rantai Markov dalam Meramalkan PDRB Bali
se," World Academy of Science, Engineering
and Technology, vol. 55, pp. 154-157, 2009.
[5] R. C. Tsaur, “A Fuzzy Time Series-Markov
Chain Model With An Application To Forecast the Exchange Rate Between The Taiwan
And US Dollar”, International Journal of
Innovative Computing, Information and Control, Volume 8, pp. 4931-42, 2012.
LAMPIRAN
Lampiran. Data PDRB Bali 1992 – 2013 adhk Tahun 2000 (Juta Rp) dan Parameter-parameter pada
Model FTS dan Rantai Markov
Periode
Q1 – 1992
Q2 – 1992
Q3 – 1992
Q4 – 1992
Q1 – 1993
Q2 – 1993
Q3 – 1993
Q4 – 1993
Q1 – 1994
Q2 – 1994
Q3 – 1994
Q4 – 1994
Q1 – 1995
Q2 – 1995
Q3 – 1995
Q4 – 1995
Q1 – 1996
Q2 – 1996
Q3 – 1996
Q4 – 1996
Q1 – 1997
Q2 – 1997
Q3 – 1997
Q4 – 1997
Q1 – 1998
Q2 – 1998
Q3 – 1998
Q4 – 1998
Q1 – 1999
Q2 – 1999
Q3 – 1999
Q4 – 1999
Q1 – 2000
Q2 – 2000
Q3 – 2000
Q4 – 2000
Q1 – 2001
Q2 – 2001
Q3 – 2001
Q4 – 2001
PDRB
rt
963 504
979 315
1 009 142
1 024 441
1 378 770
1 401 395
1 444 078
1 465 970
1 572 696
1 598 504
1 647 190
1 672 161
1 795 382
1 824 843
1 880 423
1 908 931
2 089 027
2 123 307
2 187 977
2 221 147
2 398 197
2 437 550
2 511 791
2 549 870
3 277 421
3 331 202
3 432 661
3 484 701
3 520 936
3 578 713
3 687 711
3 743 617
4 184 187
4 252 848
4 382 378
4 448 816
4 332 393
4 403 485
4 537 603
4 606 394
1.64%
3.05%
1.52%
34.59%
1.64%
3.05%
1.52%
7.28%
1.64%
3.05%
1.52%
7.37%
1.64%
3.05%
1.52%
9.43%
1.64%
3.05%
1.52%
7.97%
1.64%
3.05%
1.52%
28.53%
1.64%
3.05%
1.52%
1.04%
1.64%
3.05%
1.52%
11.77%
1.64%
3.05%
1.52%
-2.62%
1.64%
3.05%
1.52%
!!
Model FTS
PDRB !
% Galat
0.88%
3.04%
0.88%
30.07%
0.88%
3.04%
0.88%
8.10%
0.88%
3.04%
0.88%
8.10%
0.88%
3.04%
0.88%
8.10%
0.88%
3.04%
0.88%
8.10%
0.88%
3.04%
0.88%
24.76%
0.88%
3.04%
0.88%
0.64%
0.88%
3.04%
0.88%
11.23%
0.88%
3.04%
0.88%
-2.94%
0.88%
3.04%
0.88%
972 027
1 009 055
1 018 069
1 332 442
1 390 967
1 443 952
1 456 853
1 584 750
1 586 609
1 647 047
1 661 762
1 807 648
1 811 264
1 880 259
1 897 058
2 063 602
2 107 507
2 187 787
2 207 332
2 401 115
2 419 412
2 511 573
2 534 011
3 181 282
3 306 414
3 432 363
3 463 027
3 506 925
3 552 083
3 687 391
3 720 334
4 164 002
4 221 201
4 381 998
4 421 146
4 318 060
4 370 719
4 537 209
4 577 744
0.74%
0.01%
0.62%
3.36%
0.74%
0.01%
0.62%
0.77%
0.74%
0.01%
0.62%
0.68%
0.74%
0.01%
0.62%
1.22%
0.74%
0.01%
0.62%
0.12%
0.74%
0.01%
0.62%
2.93%
0.74%
0.01%
0.62%
0.40%
0.74%
0.01%
0.62%
0.48%
0.74%
0.01%
0.62%
0.33%
0.74%
0.01%
0.62%
FLRG
F5 → F6
F6 → F5
F5 → F13
F13 → F5
F5 → F6
F6 → F5
F5 → F9
F9 → F5
F5 → F6
F6 → F5
F5 → F9
F9 → F5
F5 → F6
F6 → F5
F5 → F9
F9 → F5
F5 → F6
F6 → F5
F5 → F9
F9 → F5
F5 → F6
F6 → F5
F5 → F12
F12 → F5
F5 → F6
F6 → F5
F5 → F4
F4 → F5
F5 → F6
F6 → F5
F5 → F10
F10 → F5
F5 → F6
F6 → F5
F5 → F2
F2 → F5
F5 → F6
F6 → F5
Model Markov
!!
PDRB !
% Galat
4.20%
2.87%
4.20%
1.95%
4.20%
2.87%
4.20%
1.95%
4.20%
2.87%
4.20%
1.95%
4.20%
2.87%
4.20%
1.95%
4.20%
2.87%
4.20%
1.95%
4.20%
2.87%
4.20%
1.95%
4.20%
2.87%
4.20%
1.12%
4.20%
2.87%
4.20%
1.95%
4.20%
2.87%
4.20%
1.17%
4.20%
2.87%
1.12%
1.33%
22.58%
0.31%
1.12%
1.33%
2.87%
0.31%
1.12%
1.33%
2.95%
0.31%
1.12%
1.33%
4.78%
0.31%
1.12%
1.33%
3.49%
0.31%
1.12%
1.33%
18.93%
0.31%
1.12%
1.33%
3.13%
0.51%
1.12%
1.33%
6.77%
0.31%
1.12%
1.33%
7.00%
0.46%
1.12%
1.33%
1 020 439
1 038 064
1 067 460
1 405 699
1 460 243
1 485 465
1 527 529
1 603 413
1 665 629
1 694 398
1 742 379
1 830 448
1 901 472
1 934 315
1 989 091
2 129 828
2 212 469
2 250 683
2 314 418
2 445 037
2 539 908
2 583 778
2 656 945
3 341 433
3 471 086
3 531 039
3 631 031
3 560 447
3 728 991
3 793 399
3 900 820
4 265 909
4 431 434
4 507 975
4 635 632
4 383 163
4 588 397
4 667 649
121
E-Jurnal Matematika Vol 3 (3), Agustus 2014, pp. 116-122
Periode
Q1 – 2002
Q2 – 2002
Q3 – 2002
Q4 – 2002
Q1 – 2003
Q2 – 2003
Q3 – 2003
Q4 – 2003
Q1 – 2004
Q2 – 2004
Q3 – 2004
Q4 – 2004
Q1 – 2005
Q2 – 2005
Q3 – 2005
Q4 – 2005
Q1 – 2006
Q2 – 2006
Q3 – 2006
Q4 – 2006
Q1 – 2007
Q2 – 2007
Q3 – 2007
Q4 – 2007
Q1 – 2008
Q2 – 2008
Q3 – 2008
Q4 – 2008
Q1 – 2009
Q2 – 2009
Q3 – 2009
Q4 – 2009
Q1 – 2010
Q2 – 2010
Q3 – 2010
Q4 – 2010
Q1 – 2011
Q2 – 2011
Q3 – 2011
Q4 – 2011
Q1 – 2012
Q2 – 2012
Q3 – 2012
Q4 – 2012
Q1 – 2013
Q2 – 2013
Q3 – 2013
Q4 – 2013
PDRB
rt
4 464 203
4 537 459
4 675 658
4 746 541
4 623 407
4 699 274
4 842 402
4 915 813
4 837 204
4 916 580
5 066 326
5 143 133
5 301 871
5 289 872
5 325 780
5 134 990
4 928 053
5 249 667
5 791 603
6 189 001
5 960 000
5 850 000
5 850 000
5 820 000
5 980 000
6 140 000
6 350 000
6 430 000
6 440 000
6 510 000
6 630 000
6 660 000
6 740 000
6 860 000
7 070 000
8 230 000
7 450 000
7 610 000
7 790 000
7 900 000
7 900 000
8 120 000
8 320 000
8 460 000
8 430 000
8 610 000
8 820 000
8 920 000
-3.09%
1.64%
3.05%
1.52%
-2.59%
1.64%
3.05%
1.52%
-1.60%
1.64%
3.05%
1.52%
3.09%
-0.23%
0.68%
-3.58%
-4.03%
6.53%
10.32%
6.86%
-3.70%
-1.85%
0.00%
-0.51%
2.75%
2.68%
3.42%
1.26%
0.16%
1.09%
1.84%
0.45%
1.20%
1.78%
3.06%
16.41%
-9.48%
2.15%
2.37%
1.41%
0.00%
2.78%
2.46%
1.68%
-0.35%
2.14%
2.44%
1.13%
!!
-2.94%
0.88%
3.04%
0.88%
-2.94%
0.88%
3.04%
0.88%
2.46%
0.88%
3.04%
0.88%
3.04%
0.64%
0.64%
-2.94%
-2.94%
6.11%
11.23%
6.11%
-2.94%
2.46%
0.64%
0.64%
3.04%
3.04%
3.04%
0.88%
0.64%
0.64%
0.88%
0.64%
0.64%
0.88%
3.04%
16.80%
-15.95%
0.88%
0.88%
0.88%
0.64%
3.04%
0.88%
0.88%
0.64%
0.88%
0.88%
0.64%
Model FTS
PDRB !
4 471 006
4 503 695
4 675 252
4 717 020
4 607 034
4 664 307
4 841 981
4 885 239
5 036 514
4 879 995
5 065 886
5 111 144
5 299 319
5 335 684
5 323 608
5 169 249
4 984 066
5 229 168
5 839 171
6 145 482
6 007 098
6 106 339
5 887 309
5 887 309
5 996 741
6 161 599
6 326 458
6 406 174
6 471 008
6 481 071
6 567 589
6 672 283
6 702 474
6 799 624
7 068 323
8 257 573
6 917 540
7 515 905
7 677 320
7 858 913
7 950 383
8 139 906
8 191 832
8 393 601
8 513 954
8 504 574
8 686 166
8 876 250
AFER
ISSN: 2303-1751
% Galat
0.15%
0.74%
0.01%
0.62%
0.35%
0.74%
0.01%
0.62%
4.12%
0.74%
0.01%
0.62%
0.05%
0.87%
0.04%
0.67%
1.14%
0.39%
0.82%
0.70%
0.79%
4.38%
0.64%
1.16%
0.28%
0.35%
0.37%
0.37%
0.48%
0.44%
0.94%
0.18%
0.56%
0.88%
0.02%
0.34%
7.15%
1.24%
1.45%
0.52%
0.64%
0.25%
1.54%
0.78%
1.00%
1.22%
1.52%
0.49%
0.78%
FLRG
U5 → U2
U2 → U5
U5 → U6
U6 → U5
U5 → U2
U2 → U5
U5 → U6
U6 → U5
U5 → U3
U3 → U5
U5 → U6
U6 → U5
U5 → U6
U6 → U4
U4 → U4
U4 → U2
U2 → U2
U2 → U8
U8 → U10
U10 → U8
U8 → U2
U2 → U3
U3 → U4
U4 → U4
U4 → U6
U6 → U6
U6 → U6
U6 → U5
U5 → U4
U4 → U4
U4 → U5
U5 → U4
U4 → U4
U4 → U5
U5 → U6
U6 → U11
U11 → U1
U1 → U5
U5 → U5
U5 → U5
U5 → U4
U4 → U6
U6 → U5
U5 → U5
U5 → U4
U4 → U5
U5 → U5
U5 → U4
Model Markov
!!
PDRB !
4.20%
4 799 827
1.17%
4 516 518
4.20%
4 727 997
2.87%
4 809 660
4.20%
4 945 859
1.17%
4 677 588
4.20%
4 896 607
2.87%
4 981 183
4.20%
5 122 239
1.13%
4 892 000
4.20%
5 123 038
2.87%
5 211 525
4.20%
5 359 104
2.87%
5 453 820
1.12%
5 349 233
1.12%
5 385 544
1.17%
5 195 166
1.17%
4 985 804
1.95%
5 352 200
1.95%
5 904 720
1.95%
6 309 880
1.17%
6 029 844
1.13%
5 916 270
1.12%
5 915 646
1.12%
5 885 310
2.87%
6 151 384
2.87%
6 315 970
2.87%
6 531 988
4.20%
6 700 010
1.12%
6 512 267
1.12%
6 583 053
4.20%
6 908 408
1.12%
6 734 736
1.12%
6 815 634
4.20%
7 148 066
2.87%
7 272 623
1.95%
8 390 742
1.95%
7 595 508
4.20%
7 929 561
4.20%
8 117 119
4.20%
8 231 738
1.12%
7 988 651
2.87%
8 352 715
4.20%
8 669 375
4.20%
8 815 254
1.12%
8 524 598
4.20%
8 971 553
4.20%
9 190 371
% Galat
7.52%
0.46%
1.12%
1.33%
6.97%
0.46%
1.12%
1.33%
5.89%
0.50%
1.12%
1.33%
1.08%
3.10%
0.44%
4.88%
5.42%
5.03%
7.59%
4.59%
5.87%
3.07%
1.13%
1.64%
1.58%
0.19%
0.54%
1.59%
4.04%
0.03%
0.71%
3.73%
0.08%
0.65%
1.10%
11.63%
12.63%
0.19%
1.79%
2.75%
4.20%
1.62%
0.39%
2.47%
4.57%
0.99%
1.72%
3.03%
2.74%
122
ISSN: 2303-1751
KOMPARASI KINERJA FUZZY TIME SERIES
DENGAN MODEL RANTAI MARKOV DALAM MERAMALKAN
PRODUK DOMESTIK REGIONAL BRUTO BALI
I Made Arya Antara1, I Putu Eka N. Kencana§2, I Komang Gde Sukarsa3
1
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: genezisdragonoid@gmail.com]
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: i.putu.enk@gmail.com]
3
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: sukarsakomang@yahoo.com]
§
Corresponding Author
2
ABSTRACT
This paper aimed to elaborates and compares the performance of Fuzzy Time Series (FTS) model
with Markov Chain (MC) model in forecasting the Gross Regional Domestic Product (GDRP) of Bali
Province. Both methods were considered as forecasting methods in soft modeling domain. The data
used was quarterly data of Bali’s GDRP for year 1992 through 2013 from Indonesian Bureau of
Statistic at Denpasar Office. Inspite of using the original data, rate of change from two consecutive
quarters was used to model. From the in-sample forecasting conducted, we got the Average Forecasting Error Rate (AFER) for FTS dan MC models as much as 0,78 percent and 2,74 percent, respectively. Based-on these findings, FTS outperformed MC in in-sample forecasting for GDRP of Bali’s
data.
Keywords: domestic product, fuzzy modeling, in-sample forecasting, Markov chain
1. PENDAHULUAN
Badan Pusat Statistik (BPS) mendefinisikan
Produk Domestik Regional Bruto (PDRB) sebagai jumlah nilai tambah barang dan jasa yang
dihasilkan seluruh unit usaha di suatu daerah [1].
PDRB lazim digunakan sebagai salah satu indikator penting untuk mengetahui perkembangan
perekonomian di suatu wilayah.
Sebagai sebuah ukuran, PDRB berperan
penting sebagai salah satu masukan pada rancangan program-program pembangunan daerah.
Melalui PDRB dan indikator-indikator penyusunnya, para pengambil kebijakan publik dapat
merancang rencana dan program-program pembangunan yang lebih terarah dan terfokus pada
peningkatan kesejahteraan masyarakat. Mengacu
kepada hal ini, maka usaha untuk menduga nilai
PDRB dengan merujuk nilai-nilai PDRB historis
semakin intensif dilakukan.
Pada umumnya, teknik peramalan yang diaplikasikan untuk menduga PDRB adalah teknik
peramalan yang tergolong ke dalam teknik analisis deret waktu klasik. Sebagai misal, Wanayasa et al. menduga PDRB Provinsi Bali atas
dasar harga konstan (adhk) tahun 2011 dari data
PDRB Bali periode 1991–2010 menggunakan
metode pemulus eksponensial Holt-Winter aditif.
Hasil peramalannya menunjukkan nilai Average
Forecasting Error Rate (AFER) dari metode ini
sebesar 7,13 persen [2].
Pada jenis permasalahan berbeda, Hansun
menggunakan FTS untuk meramalkan pergerakan
Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) di Bursa
Efek Indonesia. Menggunakan persentase laju
perubahan IHSG sebagai himpunan semesta bagi
proses fuzzifikasi dengan interval awal sebanyak
tujuh, ia memperoleh tingkat keakurasian peramalan in-sample dari FTS sebesar 4,78 persen [3].
Riset ini dimotivasi oleh keinginan untuk
mengelaborasi kinerja model FTS dan model
Rantai Markov dalam meramalkan secara insample PDRB Provinsi Bali pada periode tahun
1992 hingga 2013. Tingkat akurasi ramalan dari
masing-masing model selanjutnya dibandingkan
untuk menentukan model yang lebih unggul dalam meramalkan PDRB Provinsi Bali.
Bagian-bagian selanjutnya dari tulisan ini
disusun mengikuti format berikut: bagian metode
penelitian menguraikan jenis data dan tahapan
pengembangan model untuk kedua model yang
dielaborasi; bagian hasil dan pembahasan menguraikan secara rinci langkah-langkah pengembangan kedua model, hasil ramalan, serta komparasi keakuratan ramalan kedua model; dan
ditutup oleh kesimpulan dan rekomendasi riset.
116
I Made A. Antara, I Putu EN Kencana, IKG. Sukarsa
2. METODE PENELITIAN
Sebagai sebuah studi non-experimental, data
yang dianalisis merupakan data sekunder dan diperoleh dari BPS Provinsi Bali dalam bentuk
data triwulan PDRB Bali adhk tahun 2000 pada
periode data yang diramalkan. Mengingat ada
dua model yang dikembangkan pada penelitian
ini, maka tahapan pengembangan masing-masing
model diuraikan terpisah sebagai berikut:
Komparasi Kinerja Fuzzy Time Series dengan Model
Rantai Markov dalam Meramalkan PDRB Bali
(f) Melakukan defuzzifikasi variabel linguistik
masing-masing amatan sehingga diperoleh
nilai !! . Defuzzifikasi dilakukan menggunakan fuzzy dengan fungsi keanggotaan segitiga (fuzzy triangular number/FTN) yang
dapat dinyatakan dalam pers. (4):
!!!!!,!
! !,!
!!
!! !!
!,!!!!!!!!!,!
!! = F! =
!
!,!
!,!
!! !!
!!!! !! !!!!
; !j = 1
; 2! ≤ j ≤ ! − 1
!,!!!
A. Tahapan Pengembangan Model FTS
!
!,!
!! !
!!!! !!
(4)
;j = !
Secara umum model FTS yang dibangun
merujuk kepada tahapan yang disarankan oleh
[4] dengan memodifikasi penentuan jumlah interval awal. Secara rinci, model FTS dibangun
mengikuti tahapan berikut:
Pada pers. (4), fj merupakan nilai linguistik
dari masing-masing Fj yang besarnya ditentukan sama dengan nilai tengah interval
fuzzy Fj;
(a) Menghitung laju perubahan PDRB antardua
triwulan yang berturutan. Laju perubahan
PDRB (!! ) dihitung menggunakan pers. (1):
(g) Menduga PDRB pada waktu ke - t menggunakan nilai !! yang dihitung pada tahap (f)
menggunakan pers. (5):
!! =
!"#$! !!"#$!!!
!100
!"#$!!!
(1)
(b) Menentukan himpunan semesta ! dengan
syarat seluruh !! menjadi anggotanya. Pada
penelitian ini, batas-batas ! didefinisikan
sebagai:
! = R !"# − d! ; R !"# + d!
(2)
Pada pers. (2), R !"# dan R !"# adalah nilainilai minimum dan maksimum dari !! , dan
d! serta d! merupakan dua konstanta sembarang;
(c) Membagi ! menjadi n buah interval U1, …,
Un dengan lebar yang sama. Pada penelitian
ini nilai n ditentukan menggunakan formula
Sturges [5] dalam bentuk pers. (3):
! = 1 + 3,322!log!" (N)
(3)
(d) Menentukan banyaknya !! yang ada pada
interval Ui, i = 1, …, n. Selanjutnya, Ui
dengan !! terbanyak dibagi menjadi 4 subinterval; Ui dengan !! terbanyak kedua dibagi
menjadi 3 sub-interval; Ui dengan !! terbanyak ketiga dibagi menjadi 2 sub-interval.
Interval yang tidak memiliki !! digabungkan
dengan interval sebelumnya yang memiliki
anggota. Misalkan jumlah interval akhir
yang terbentuk f buah, maka F1, …, Ff merupakan himpunan variabel-variabel linguistik
dalam himpunan fuzzy ! dengan f1, …, ff
menyatakan nilai-nilai linguistik;
(e) Melakukan fuzzifikasi nilai-nilai !! menjadi
nilai-nilai linguistik yang bersesuaian;
PDRB! = 1 + !! !PDRB!!!
(5)
(h) Menghitung galat masing-masing ramalan
dan nilai AFER menggunakan pers. (6):
AFER =
! !"#$! !!"#$!
!
!"#$!
!
(6)
B. Tahapan Pengembangan Model Markov
Tahapan-tahapan awal peramalan PDRB Bali
dengan model Markov Chain mengikuti lima tahapan awal model FTS. Perbedaan metode mulai
ada pada tahapan ke-enam sebagai berikut [5]:
(f) Menentukan left-hand side (LHS) dan righthand side (RHS) dari masing-masing amatan. LHS dari amatan ke – i merupakan variabel linguistik dari amatan sebelumnya dan
RHS-nya merupakan variabel linguistik dari
amatan yang bersangkutan;
(g) Menentukan Fuzzy Logical Relationship
Group (FLRG), sebuah himpunan yang beranggotakan seluruh relasi dari LHS → RHS;
(h) Membuat state transition matrix (STM) berukuran f x f yang beranggotakan banyaknya
amatan pada FLRG: Fi → Fj ;
(i) Menghitung transition probability matrix (TPM)
berukuran f x f dengan elemen pada baris ke-i
dan kolom ke-j dihitung dari pers. (7):
p!,! =
!!,!
!
!!! !!,!
(7)
Pada pers. (7) c!,! menyatakan elemen pada
baris ke-i dan kolom ke-j dari STM dan f
117
E-Jurnal Matematika Vol 3 (3), Agustus 2014, pp. 116-122
menyatakan total variabel linguistik yang terbentuk pada tahap (d);
(j) Menghitung !! dari masing-masing amatan
yang telah terfuzzifikasi menjadi Fi pada tahapan (e) dengan menggunakan pers. (8):
!!
(8)
!! = ! p!,! … p!,! …
!!
Pada pers. (8) !! , …, !! masing-masing
menyatakan nilai tengah dari interval-interval fuzzy F1, …, Ff;
(k) Menduga nilai ramalan PDRB pada waktu ke-t
dengan menggunakan pers. (5);
(l) Menghitung nilai galat ramalan dan AFER
dari metode Markov Chain menggunakan pers.
(6).
3. HASIL PENELITIAN DAN DISKUSI
Lima tahapan awal aktivitas peramalan PDRB
Provinsi Bali menggunakan FTS dan MC sama.
Memperhatikan hal ini, maka hasil penelitian
diuraikan dengan urutan berikut:
A. Penentuan Interval Awal dan Densitas dari
Setiap Interval
Laju perubahan nilai PDRB dari dua triwulan
yang berturutan dihitung terlebih dahulu. Jumlah
amatan !! adalah 87 data, dengan RMin dan RMax
masing-masing bernilai -9,48 persen dan 34,59
persen. Melalui penetapan d1 dan d2 masingmasing sebesar 0,52 persen dan 0,41 persen
diperoleh ! = −10,00%; 35,00% sehingga lebar
interval ! = 45%. Aplikasi pers. (3) pada penentuan jumlah interval awal memberikan hasil
terdapat 8 interval yang harus didefinisikan agar
seluruh !! terklasifikasikan. Delapan interval awal
dan jumlah amatan yang berada di dalamnya
dicantumkan pada Tabel 1:
Tabel 1. Interval Awal Fuzzy dan Kepadatannya
Interval
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
U8
Batas Kiri
-10,00%
-4,38%
1,25%
6,88%
12,50%
18,13%
23,75%
29,38%
Sumber: Analisis Data (2014)
Batas
Kanan
-4,38%
1,25%
6,88%
12,50%
18,13%
23,75%
29,38%
35,00%
Frekuensi
Data
1
20
57
6
1
0
1
1
ISSN: 2303-1751
B. Penentuan Interval Akhir dan Densitas dari
Setiap Interval
Merujuk kepada tahapan yang disarankan
oleh [4] dengan memodifikasi penentuan jumlah
interval awal], maka U3, U2, dan U4 sebagai
interval-interval dengan frekuensi data tertinggi
harus dipecah menjadi sub-sub interval masingmasing berjumlah 4, 3, dan 2 sub interval. Sebaliknya, U6 dengan nilai densitas 0 digabungkan
dengan U5. Tabel 2 menunjukkan interval akhir
yang terbentuk mengikuti kriteria tersebut:
Tabel 2. Interval Akhir Fuzzy dan Nilai Linguistik
Interval
Fuzzy
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
F10
F11
F12
F13
Minimum
Nilai
Tengah
Maksimum
-10.00%
-4.38%
-2.50%
-0.63%
1.25%
2.66%
4.06%
5.47%
6.88%
9.69%
12.50%
23.75%
29.38%
-7.19%
-3.44%
-1.56%
0.31%
1.95%
3.36%
4.77%
6.17%
8.28%
11.09%
18.13%
26.56%
32.19%
-4.38%
-2.50%
-0.63%
1.25%
2.66%
4.06%
5.47%
6.88%
9.69%
12.50%
23.75%
29.38%
35.00%
Nilai
Linguistik
f1
f2
f3
f4
f5
f6
f7
f8
f9
f10
f11
f12
f13
Sumber: Analisis Data (2014)
C. Fuzzifikasi dan Proses Peramalan FTS
Informasi pada Tabel 2 selanjutnya digunakan untuk melakukan fuzzifikasi masing-masing
!! dengan hasil akhir fuzzifikasi tercantum pada
lampiran 2. Mengacu kepada representasi fuzzy
masing-masing !! , maka menggunakan pers. (4),
nilai !! diduga. Sebagai contoh, laju perubahan
PDRB pada triwulan III tahun 1992 dengan nilai
sebesar 3,05 persen terfuzzifikasi ke dalam variabel linguistik F6. Menggunakan pers. (4) nilai
ini diramalkan sebesar:
0,5 + 1 + 0,5
0,5 1 0,5
+ +
!! !! !!
2
=
0,5
1
0,5
+
+
1,95% 3,36% 4,77%
= 3,04%
!! = F! = !
Nilai ramalan !! untuk triwulan lainnya selengkapnya dapat diacu pada lampiran.
118
I Made A. Antara, I Putu EN Kencana, IKG. Sukarsa
D. Penghitungan AFER dari Model FTS
Nilai AFER dari ramalan dengan menggunakan model FTS diperoleh dengan terlebih dulu
menduga nilai PDRB dari masing-masing amatan
melalui aplikasi pers. (5). Penghitungan akhir
menunjukkan AFER peramalan dari model FTS
secara in-sample pada data PDRB Provinsi Bali
sebesar 0,78 persen. Penghitungan selengkapnya
dicantumkan pada lampiran.
E. Peramalan dengan Model Rantai Markov
Model kedua yang digunakan meramalkan
data PDRB Provinsi Bali adalah model Rantai
Markov (Markov Chain/MC model). Peramalan
diawali dengan membangun FLRG dari representasi fuzzy masing-masing nilai !! . FLRG selengkapnya dicantumkan pada lampiran. Merujuk
kepada FLRG yang terbentuk, dibangun state
transition diagram seperti gambar 1 dengan STM
ditunjukkan di bawahnya:
Gambar 1. Diagram Transisi Markov
!
#
#
#
#
#
#
#
#
STM = #
#
#
#
#
#
#
#
#
"
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F8
F9
F10
F11
F12
F13
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F8 F9 F10 F11 F12 F13 $
&
1
&
&
1 1
3
1
&
1 1
&
1
4 4 2
&
3 1 6 4 15
4 1
1 1 &!
&
1 15 2
1
&
1
1
&
&
4
&
1
1
&
&
1
&
1
&
&
1
%
Komparasi Kinerja Fuzzy Time Series dengan Model
Rantai Markov dalam Meramalkan PDRB Bali
Pada gambar 1, awal dan akhir dari simbolsimbol panah merupakan LHS dan RHS dari FLRG
yang terbentuk dan angka-angka menunjukkan
jumlah dari LHS → RHS pada masing-masing
relasi. Mengacu kepada gambar 1, maka STM
disusun dengan baris dan kolom merupakan representasi dari LHS dan RHS. Pada STM, unsur
yang kosong menunjukkan tidak ada amatan dengan LHS menuju RHS yang bersesuaian.
Mengacu kepada STM yang dibangun, maka
perlu disusun matriks peluang transisi (TPM)
Markov yang digunakan untuk menduga nilai !! .
Berikut adalah TPM yang disusun dari STM sebelumnya:
!
#
#
#
#
#
#
#
#
#
TPM = #
#
#
#
#
#
#
#
#
#
"
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F8 F9 F10 F11 F12 F13 $
&
F1
1
&
1
1
1
1
&
F2
6
2
6
6
&
1
1
F3
&
2
2
&
1
4
4
2
F4
11
11
11
11
&
5
1
1
1
1
1
1
1 &
1
F5
36
6
9
9
36
36
36
12
12
&
15
1
2
1
F6
&
19
19
19
19
&
1
1
F8
2
2
&
&
F9
1
&
F10
1
1
&
F11 1
&
&
F12
1
&
F13
1
&
%
Nilai pada elemen-elemen TPM selanjutnya
digunakan untuk menduga nilai !! setiap amatan
sesuai dengan FLRG-nya. Sebagai contoh, laju
perubahan PDRB pada triwulan III tahun 1992
dengan nilai sebesar 3,05 persen diduga dengan
mengamati bahwa nilai LHS dari amatan ini
adalah F5. Pada TPM terlihat ada sembilan kemungkinan state RHS bila LHS = F5, masingmasing dengan peluang yang berbeda. Nilai !!
pada amatan ini selanjutnya bisa diduga sebagai
jumlah hasil perkalian (sumproduct) dari peluang
state berikutnya bila LHS = F5 dengan nilai-nilai
tengah dari seluruh interval fuzzy (lihat pers. 8),
sebagai berikut:
!! = ! 0
…
1
36
−7,19%
⋮
= 4,20%
32,19%
Nilai penduga yang diperoleh selanjutnya digunakan untuk menduga nilai PDRB dari periode
yang diramalkan. Menggunakan pers. (5) diperoleh nilai PDRB triwulan III tahun 1992 sebesar
1020439 juta rupiah, dengan persentase galat sebesar 1,12 persen.
119
E-Jurnal Matematika Vol 3 (3), Agustus 2014, pp. 116-122
Nilai AFER model Rantai Markov diperoleh
dengan menghitung rataan seluruh galat amatan
(perhitungan lengkap pada lampiran) sebesar
2,74 persen; lebih besar dari nilai AFER yang
ISSN: 2303-1751
diperoleh menggunakan metode FTS. Gambar 2
memperlihatkan histogram data PDRB, dan data
hasil ramalan menggunakan kedua model:
!10,000,000!!
PDRB!Provinsi!Bali!(juta!Rp)!
!9,000,000!!
!8,000,000!!
!7,000,000!!
!6,000,000!!
!5,000,000!!
!4,000,000!!
!3,000,000!!
!2,000,000!!
PDRB!
Model!FTS!
Q1!2013!
Q1!2012!
Q1!2011!
Q1!2010!
Q1!2009!
Q1!2008!
Q1!2007!
Q1!2006!
Q1!2005!
Q1!2004!
Q1!2003!
Q1!2002!
Q1!2001!
Q1!2000!
Q1!1999!
Q1!1998!
Q1!1997!
Q1!1996!
Q1!1995!
Q1!1994!
Q1!1993!
!"!!
Q1!1992!
!1,000,000!!
Model!MC!
Gambar 2. Grafik Komparasi Data Asli dengan Hasil Peramalan Model FTS dan MC
4. SIMPULAN DAN REKOMENDASI
A. Simpulan Penelitian
Penelitian yang ditujukan untuk mengetahui
kinerja model FTS dan Rantai Markov dalam
meramalkan PDRB Provinsi Bali pada periode
tahun 1992 – 2013 atas dasar harga konstan tahun 2000 menyimpulkan:
1. Kedua model menghasilkan ramalan yang
baik ditinjau dari nilai rataan persentase galat
(AFER) di bawah lima persen. Nilai-nilai
AFER pada model FTS dan Rantai Markov
masing-masing sebesar 0,78 persen dan 2,74
persen;
2. Melalui perbandingan kedua nilai AFER tersebut, model FTS dengan AFER yang lebih
kecil memiliki tingkat keakurasian ramalan
yang lebih baik dibandingkan dengan model
Rantai Markov.
B. Rekomendasi
Meskipun kedua model memberikan nilainilai ramalan dengan batas galat yang masih bisa
diterima, beberapa hal direkomendasikan terkait
dengan hasil penelitian:
1. Nilai-nilai AFER diperoleh terbatas pada peramalan yang bersifat in-sample. Mengacu
kepada hal ini, disarankan untuk memeriksa
nilai PDRB Provinsi Bali pada tahun 2014
sehingga AFER untuk peramalan yang bersifat out-of-sample bisa dihitung;
2. Disarankan untuk melakukan pemeriksaan
pencilan, sebelum dilakukan proses peramalan menggunakan kedua model;
3. Disarankan mencoba parameter-parameter
yang berbeda dari fungsi keanggotaan segitiga yang digunakan saat defuzzifikasi.
DAFTAR PUSTAKA
[1] BPS Provinsi Bali, 2013. Produk Domestik
Regional Bruto (PDRB) Provinsi Bali 2008 –
2012. Denpasar: Badan Pusat Statistik Provinsi Bali.
[2] Wanayasa, IGN. Arya., Kencana, I Putu EN.
& Nilakusmawati, D.P.E., “Peramalan Produk Domestik Regional Bruto (PDRB) Provinsi
120
I Made A. Antara, I Putu EN Kencana, IKG. Sukarsa
Bali dengan Menggunakan Metode Fuzzy
Time Series”, E-Jurnal UNUD, 1(1), pp.1219, 2012
[3] Seng Hansun, "Peramalan Data IHSG Menggunakan Fuzzy Time Series," IJCCS, vol. 6
(2), pp. 79-88, 2012.
[4] Meredith Stevenson and John E. Porter,
"Fuzzy Time Series Forecasting Using Percentage Change as the Universe of Discour-
Komparasi Kinerja Fuzzy Time Series dengan Model
Rantai Markov dalam Meramalkan PDRB Bali
se," World Academy of Science, Engineering
and Technology, vol. 55, pp. 154-157, 2009.
[5] R. C. Tsaur, “A Fuzzy Time Series-Markov
Chain Model With An Application To Forecast the Exchange Rate Between The Taiwan
And US Dollar”, International Journal of
Innovative Computing, Information and Control, Volume 8, pp. 4931-42, 2012.
LAMPIRAN
Lampiran. Data PDRB Bali 1992 – 2013 adhk Tahun 2000 (Juta Rp) dan Parameter-parameter pada
Model FTS dan Rantai Markov
Periode
Q1 – 1992
Q2 – 1992
Q3 – 1992
Q4 – 1992
Q1 – 1993
Q2 – 1993
Q3 – 1993
Q4 – 1993
Q1 – 1994
Q2 – 1994
Q3 – 1994
Q4 – 1994
Q1 – 1995
Q2 – 1995
Q3 – 1995
Q4 – 1995
Q1 – 1996
Q2 – 1996
Q3 – 1996
Q4 – 1996
Q1 – 1997
Q2 – 1997
Q3 – 1997
Q4 – 1997
Q1 – 1998
Q2 – 1998
Q3 – 1998
Q4 – 1998
Q1 – 1999
Q2 – 1999
Q3 – 1999
Q4 – 1999
Q1 – 2000
Q2 – 2000
Q3 – 2000
Q4 – 2000
Q1 – 2001
Q2 – 2001
Q3 – 2001
Q4 – 2001
PDRB
rt
963 504
979 315
1 009 142
1 024 441
1 378 770
1 401 395
1 444 078
1 465 970
1 572 696
1 598 504
1 647 190
1 672 161
1 795 382
1 824 843
1 880 423
1 908 931
2 089 027
2 123 307
2 187 977
2 221 147
2 398 197
2 437 550
2 511 791
2 549 870
3 277 421
3 331 202
3 432 661
3 484 701
3 520 936
3 578 713
3 687 711
3 743 617
4 184 187
4 252 848
4 382 378
4 448 816
4 332 393
4 403 485
4 537 603
4 606 394
1.64%
3.05%
1.52%
34.59%
1.64%
3.05%
1.52%
7.28%
1.64%
3.05%
1.52%
7.37%
1.64%
3.05%
1.52%
9.43%
1.64%
3.05%
1.52%
7.97%
1.64%
3.05%
1.52%
28.53%
1.64%
3.05%
1.52%
1.04%
1.64%
3.05%
1.52%
11.77%
1.64%
3.05%
1.52%
-2.62%
1.64%
3.05%
1.52%
!!
Model FTS
PDRB !
% Galat
0.88%
3.04%
0.88%
30.07%
0.88%
3.04%
0.88%
8.10%
0.88%
3.04%
0.88%
8.10%
0.88%
3.04%
0.88%
8.10%
0.88%
3.04%
0.88%
8.10%
0.88%
3.04%
0.88%
24.76%
0.88%
3.04%
0.88%
0.64%
0.88%
3.04%
0.88%
11.23%
0.88%
3.04%
0.88%
-2.94%
0.88%
3.04%
0.88%
972 027
1 009 055
1 018 069
1 332 442
1 390 967
1 443 952
1 456 853
1 584 750
1 586 609
1 647 047
1 661 762
1 807 648
1 811 264
1 880 259
1 897 058
2 063 602
2 107 507
2 187 787
2 207 332
2 401 115
2 419 412
2 511 573
2 534 011
3 181 282
3 306 414
3 432 363
3 463 027
3 506 925
3 552 083
3 687 391
3 720 334
4 164 002
4 221 201
4 381 998
4 421 146
4 318 060
4 370 719
4 537 209
4 577 744
0.74%
0.01%
0.62%
3.36%
0.74%
0.01%
0.62%
0.77%
0.74%
0.01%
0.62%
0.68%
0.74%
0.01%
0.62%
1.22%
0.74%
0.01%
0.62%
0.12%
0.74%
0.01%
0.62%
2.93%
0.74%
0.01%
0.62%
0.40%
0.74%
0.01%
0.62%
0.48%
0.74%
0.01%
0.62%
0.33%
0.74%
0.01%
0.62%
FLRG
F5 → F6
F6 → F5
F5 → F13
F13 → F5
F5 → F6
F6 → F5
F5 → F9
F9 → F5
F5 → F6
F6 → F5
F5 → F9
F9 → F5
F5 → F6
F6 → F5
F5 → F9
F9 → F5
F5 → F6
F6 → F5
F5 → F9
F9 → F5
F5 → F6
F6 → F5
F5 → F12
F12 → F5
F5 → F6
F6 → F5
F5 → F4
F4 → F5
F5 → F6
F6 → F5
F5 → F10
F10 → F5
F5 → F6
F6 → F5
F5 → F2
F2 → F5
F5 → F6
F6 → F5
Model Markov
!!
PDRB !
% Galat
4.20%
2.87%
4.20%
1.95%
4.20%
2.87%
4.20%
1.95%
4.20%
2.87%
4.20%
1.95%
4.20%
2.87%
4.20%
1.95%
4.20%
2.87%
4.20%
1.95%
4.20%
2.87%
4.20%
1.95%
4.20%
2.87%
4.20%
1.12%
4.20%
2.87%
4.20%
1.95%
4.20%
2.87%
4.20%
1.17%
4.20%
2.87%
1.12%
1.33%
22.58%
0.31%
1.12%
1.33%
2.87%
0.31%
1.12%
1.33%
2.95%
0.31%
1.12%
1.33%
4.78%
0.31%
1.12%
1.33%
3.49%
0.31%
1.12%
1.33%
18.93%
0.31%
1.12%
1.33%
3.13%
0.51%
1.12%
1.33%
6.77%
0.31%
1.12%
1.33%
7.00%
0.46%
1.12%
1.33%
1 020 439
1 038 064
1 067 460
1 405 699
1 460 243
1 485 465
1 527 529
1 603 413
1 665 629
1 694 398
1 742 379
1 830 448
1 901 472
1 934 315
1 989 091
2 129 828
2 212 469
2 250 683
2 314 418
2 445 037
2 539 908
2 583 778
2 656 945
3 341 433
3 471 086
3 531 039
3 631 031
3 560 447
3 728 991
3 793 399
3 900 820
4 265 909
4 431 434
4 507 975
4 635 632
4 383 163
4 588 397
4 667 649
121
E-Jurnal Matematika Vol 3 (3), Agustus 2014, pp. 116-122
Periode
Q1 – 2002
Q2 – 2002
Q3 – 2002
Q4 – 2002
Q1 – 2003
Q2 – 2003
Q3 – 2003
Q4 – 2003
Q1 – 2004
Q2 – 2004
Q3 – 2004
Q4 – 2004
Q1 – 2005
Q2 – 2005
Q3 – 2005
Q4 – 2005
Q1 – 2006
Q2 – 2006
Q3 – 2006
Q4 – 2006
Q1 – 2007
Q2 – 2007
Q3 – 2007
Q4 – 2007
Q1 – 2008
Q2 – 2008
Q3 – 2008
Q4 – 2008
Q1 – 2009
Q2 – 2009
Q3 – 2009
Q4 – 2009
Q1 – 2010
Q2 – 2010
Q3 – 2010
Q4 – 2010
Q1 – 2011
Q2 – 2011
Q3 – 2011
Q4 – 2011
Q1 – 2012
Q2 – 2012
Q3 – 2012
Q4 – 2012
Q1 – 2013
Q2 – 2013
Q3 – 2013
Q4 – 2013
PDRB
rt
4 464 203
4 537 459
4 675 658
4 746 541
4 623 407
4 699 274
4 842 402
4 915 813
4 837 204
4 916 580
5 066 326
5 143 133
5 301 871
5 289 872
5 325 780
5 134 990
4 928 053
5 249 667
5 791 603
6 189 001
5 960 000
5 850 000
5 850 000
5 820 000
5 980 000
6 140 000
6 350 000
6 430 000
6 440 000
6 510 000
6 630 000
6 660 000
6 740 000
6 860 000
7 070 000
8 230 000
7 450 000
7 610 000
7 790 000
7 900 000
7 900 000
8 120 000
8 320 000
8 460 000
8 430 000
8 610 000
8 820 000
8 920 000
-3.09%
1.64%
3.05%
1.52%
-2.59%
1.64%
3.05%
1.52%
-1.60%
1.64%
3.05%
1.52%
3.09%
-0.23%
0.68%
-3.58%
-4.03%
6.53%
10.32%
6.86%
-3.70%
-1.85%
0.00%
-0.51%
2.75%
2.68%
3.42%
1.26%
0.16%
1.09%
1.84%
0.45%
1.20%
1.78%
3.06%
16.41%
-9.48%
2.15%
2.37%
1.41%
0.00%
2.78%
2.46%
1.68%
-0.35%
2.14%
2.44%
1.13%
!!
-2.94%
0.88%
3.04%
0.88%
-2.94%
0.88%
3.04%
0.88%
2.46%
0.88%
3.04%
0.88%
3.04%
0.64%
0.64%
-2.94%
-2.94%
6.11%
11.23%
6.11%
-2.94%
2.46%
0.64%
0.64%
3.04%
3.04%
3.04%
0.88%
0.64%
0.64%
0.88%
0.64%
0.64%
0.88%
3.04%
16.80%
-15.95%
0.88%
0.88%
0.88%
0.64%
3.04%
0.88%
0.88%
0.64%
0.88%
0.88%
0.64%
Model FTS
PDRB !
4 471 006
4 503 695
4 675 252
4 717 020
4 607 034
4 664 307
4 841 981
4 885 239
5 036 514
4 879 995
5 065 886
5 111 144
5 299 319
5 335 684
5 323 608
5 169 249
4 984 066
5 229 168
5 839 171
6 145 482
6 007 098
6 106 339
5 887 309
5 887 309
5 996 741
6 161 599
6 326 458
6 406 174
6 471 008
6 481 071
6 567 589
6 672 283
6 702 474
6 799 624
7 068 323
8 257 573
6 917 540
7 515 905
7 677 320
7 858 913
7 950 383
8 139 906
8 191 832
8 393 601
8 513 954
8 504 574
8 686 166
8 876 250
AFER
ISSN: 2303-1751
% Galat
0.15%
0.74%
0.01%
0.62%
0.35%
0.74%
0.01%
0.62%
4.12%
0.74%
0.01%
0.62%
0.05%
0.87%
0.04%
0.67%
1.14%
0.39%
0.82%
0.70%
0.79%
4.38%
0.64%
1.16%
0.28%
0.35%
0.37%
0.37%
0.48%
0.44%
0.94%
0.18%
0.56%
0.88%
0.02%
0.34%
7.15%
1.24%
1.45%
0.52%
0.64%
0.25%
1.54%
0.78%
1.00%
1.22%
1.52%
0.49%
0.78%
FLRG
U5 → U2
U2 → U5
U5 → U6
U6 → U5
U5 → U2
U2 → U5
U5 → U6
U6 → U5
U5 → U3
U3 → U5
U5 → U6
U6 → U5
U5 → U6
U6 → U4
U4 → U4
U4 → U2
U2 → U2
U2 → U8
U8 → U10
U10 → U8
U8 → U2
U2 → U3
U3 → U4
U4 → U4
U4 → U6
U6 → U6
U6 → U6
U6 → U5
U5 → U4
U4 → U4
U4 → U5
U5 → U4
U4 → U4
U4 → U5
U5 → U6
U6 → U11
U11 → U1
U1 → U5
U5 → U5
U5 → U5
U5 → U4
U4 → U6
U6 → U5
U5 → U5
U5 → U4
U4 → U5
U5 → U5
U5 → U4
Model Markov
!!
PDRB !
4.20%
4 799 827
1.17%
4 516 518
4.20%
4 727 997
2.87%
4 809 660
4.20%
4 945 859
1.17%
4 677 588
4.20%
4 896 607
2.87%
4 981 183
4.20%
5 122 239
1.13%
4 892 000
4.20%
5 123 038
2.87%
5 211 525
4.20%
5 359 104
2.87%
5 453 820
1.12%
5 349 233
1.12%
5 385 544
1.17%
5 195 166
1.17%
4 985 804
1.95%
5 352 200
1.95%
5 904 720
1.95%
6 309 880
1.17%
6 029 844
1.13%
5 916 270
1.12%
5 915 646
1.12%
5 885 310
2.87%
6 151 384
2.87%
6 315 970
2.87%
6 531 988
4.20%
6 700 010
1.12%
6 512 267
1.12%
6 583 053
4.20%
6 908 408
1.12%
6 734 736
1.12%
6 815 634
4.20%
7 148 066
2.87%
7 272 623
1.95%
8 390 742
1.95%
7 595 508
4.20%
7 929 561
4.20%
8 117 119
4.20%
8 231 738
1.12%
7 988 651
2.87%
8 352 715
4.20%
8 669 375
4.20%
8 815 254
1.12%
8 524 598
4.20%
8 971 553
4.20%
9 190 371
% Galat
7.52%
0.46%
1.12%
1.33%
6.97%
0.46%
1.12%
1.33%
5.89%
0.50%
1.12%
1.33%
1.08%
3.10%
0.44%
4.88%
5.42%
5.03%
7.59%
4.59%
5.87%
3.07%
1.13%
1.64%
1.58%
0.19%
0.54%
1.59%
4.04%
0.03%
0.71%
3.73%
0.08%
0.65%
1.10%
11.63%
12.63%
0.19%
1.79%
2.75%
4.20%
1.62%
0.39%
2.47%
4.57%
0.99%
1.72%
3.03%
2.74%
122