MAKALAH PERSAMAAN DIFFERENSIAL and MASAL

MAKALAH
“PERSAMAAN DIFFERENSIAL & MASALAH NILAI AWAL”
KATA PENGANTAR
Dengan mengucap puji syukur kehadirat Allah SWT, yang telah memberikan berkah dan
karunianya,sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini dengan baik.
Makalah ini berisi mengenai PD dan Masalah Nilai Awal (MNA),
( Persamaan Differensial, solusi Persamaan Differensial, dan Masalah Nilai Awal ).
Akhirnya kami menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna,
oleh karena itu dengan segala kerendahan hati, kami mohon perkenan para pembaca dan rekan
guru untuk memberikan saran atau kritik membangun demi perbaikan makalah ini. Untuk itu
kami mengucapkan terimakasih.

Palembang,

i

September 2013

DAFTAR ISI
DAFTAR ISI........................................................................................................................i
KATA PENGANTAR..........................................................................................................ii

BAB 1 PEMBAHASAN
a. Persamaan Differensial..........................................................................1
b. Solusi Persamaan Differensial.........................................................................3
c. Masalah Differensial..................................................................................................4
Soal-soal..................................................................................................................6
Penyelesaian ............................................................................................................7

ii

BAB 1

PEMBAHASAN
1. Persamaan diferensial
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu atau
beberapa fungsi yang tidak diketahui. Jika fungsi yang tidak diketahui mengandung
satu variabel bebas maka turunan fungsi itu dinamakan turunan biasa dan
persamaan diferensialnya disebut persamaan diferensial biasa. Jika fungsi yang tak
diketahui mengandung dua atau lebih variabel bebas maka turunannya akan
berupa turunan parsial dan persamaan diferensialnya dinamakan persamaan
persamaan diferensial parsial.

Orde atatu tingkat dari suatu persamaan diferensial adalah turunan yang
tertinggi dalam persamaan diferensial itu . derajat atau pangkat dari suatu
persamaan diferensial adalah derajat tertinggi dari turunan yang tertinggi dalam
persamaan diferensial tersebut.
Dari beberapa tipe persamaan diferensial orde satu yang mudah di
selesaikan ada dua yang perlu mendapat perhatian : persamaan diferensial peubah
terpisah yaitu persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk
y’ =

P(x)
atau p(x) dx = Q(y) dy
Q ( y)

Dan persamaan diferensial linier, adalah persamaan yang dapat di tulis dalam

bentuk

: y’ + a(x)y = b(x)
Keduanya sering muncul dalam penerapan, dan banyak tipe persamaan diferensial yang lain
yang dapat direduksi menjadi salah satu dari kedua tipe itu. Dengan menggunakan pemetaan

yang sederhana. Jika ruas kanan pada persamaan diferensial linier di atas sama dengan nol
(b(x)=0), maka disebut persamaan diferensial homogen, dan jika tidak maka disebut persamaan
diferensial tak homogen.
Contoh :
1. y’ + xy = 3 adalah persamaan diferensial biasa orde 1, linier, tak homoge.
2. y’’ + 5y’+6y = 0 adalah persamaan diferensial biasa ordo 2, linier, homogen.
3.

∂u ∂ u
+ =2, adala persamaan diferensial parsial orde 1, linier, tak homoge.
∂s ∂t

Proses pembentukan persamaan diferensial

Persamaan diferensial (PD) dalam prakteknya dapat dibentuk dari suatu pertimbangan
masalah fisis. Secara matematis, persaman-persamaan diferensial dapat muncul melalui langkalangkah berikut :
1. Tentukan banyaknya konstanta sembarang
2. Turunkan persamaan sebanyak konstanta sembarang
3. Apabila konstanta sembarangnya sudah lenyap maka,

itu

pesamaan

diferensialnya.

Berikut ini adalah beberapa contoh :
Contoh 1 :
Tinjau y = A sin x + B cos x dimana ada 2 konstanta sebarang yaitu A dan B, sehingga persamaan
tersebut di turunkan sebanyak dua kali yaitu
∂y
= A cos x −B sin x
∂x

dan

2

∂ x
=−Asinx−Bcosx =−( Asinx+ Bcosx )=− y

2
∂x
Atau

∂2 x
2
∂x

+ y = 0 ⇔ y’’ + y = 0

Dari contoh di atas dapat pula diketahui bahwa suatu persamaan dengan dua konstanta
sembarang akan membentuk persamaan diferensial orde dua.
Contoh 2 :
Bentuklah sebuah persamaan diferensial dari fungsi y = x +

A
x

, diketahui bahwa ada satu

konstanta sembarang, karena turunan dari persamaan tersebut tidak identik dengan persamaan
awalnya, maka langkah selanjutnya adalah mencari berapa nilai A.
Daripersamaan awal : y = x +
A
x

A
x

kita dapatkan :

= y – x ⇒ A = x(y – x)

Jika persamaan awalnya diturunkan maka,
y = x +Ax-1
y’ = 1 – Ax-2 ⇒

1-

A

x2

Subtitusi nilai A = x(y- x) ke persamaan turunan sehingga diperoleh :
y’ = 1 –

x ( y −x)
x2

= 1-

y −x
x

=

x− y+ x
x

=

2 x− y
x

xy’ = 2x – y ⇔ xy’ +y = 2x
2. Solusi Persamaan Differensial
Kajian terhadap persamaan differensial memiliki dua tujuan utama, yaitu :
1. Menemukan persamaan differensial yang dapat menjelaskan keadaan atau
fenomena nyata tertentu.
2. Menemukan solusi yang sesuai dengan persamaan differensial tersebut.

Solusi dari persamaan defferensial adalah bentuk fungsi yang jika disubstitusikan ke fungsi yang
tidak diketahui dalam persamaan tersebut akan memberikan suatu kesamaan.
Perhatikan bentuk y’ = F(x,y), atau dapat pula ditulis dlam bentuk lain, yaitu :
y’ =

dy
dx



dy
dx

= F(x,y) atau dy = F(x,y)dx

kaidah ini dapat dipergunakan dalam penyederhanaan persamaan differensial.
Contoh 1 :
Buktikan bahwa y = ex adalah solusi dari persamaan differensial y” – y = 0.
Bukti :
y = ex, turunan pertama yaitu y’ = ex
turunan keduanya yaitu y” = ex
jika disubstitusikan kepersamaan differensial akan menghasilkan :
y” – y = ex - ex = 0.
Sehingga terbukti bahwa y = ex adalah solusi dari y” – y = 0.
Contoh 2 :
Buktikan y = sin2x adalah solusi dari persamaan differensial y” + 4y = 0.
Bukti :
y = sin2x, turunan pertamanya diperoleh y’ = 2 cos2x,
turunan keduanya yaitu y” = -4 sin2x = -4y,
sehingga didapat kesamaan yaitu y” + 4y = 0

jadi, terbukti bahwa y = sin2x adalah solusi dari y” + 4y = 0.
Terdapat beberapa metode yang bias digunakan untuk mencari solusi persamaan
differensial. Pada dasarnya, untuk memperoleh solusi dari suatu persamaan differensial
digunakan tekhnik pengintegralkan secara langsung dan mungkin pula terlebih dahulu melalui
metode pemisahan baru kemudian diintegralkan.
3. Masalah nilai awal
Perhatikan persamaan berikut : y = e x + C . C merupakan konstanta sembarang,
berapapun nilainya persamaan y = ex + C tetap merupakan solusi dari persamaan
differensial y” – y = 0. Solusi ini disebut solusi umum dari persamaan differensial,
karena mengandung konstanta C berupa nilai khusus, misalnya 2, 3, -4,0, dan
sebagainya, maka akan diperoleh solusi khusus. Nilai khusus yang diberikan pada
konstanta sembarang itu tergantung pada persyaratan awal yang diberikan pada
fungsi solusi tersebut. Hal ini akan menghasilkan konsep Masalah Nilai Awal (MNA).
Masalah nilai awal yaitu suatu persamaan differensial yang memenuhi kondisi
awal tertentu atau syarat awal yang diberikan.
Contoh 1 :
Selesaikan masalah nilai awal berikut :
y’ = cosx ;jika diketahui y(0) = 4 ?
jawab :

y’ = cosx 

dy
dx

= cosx  dy = cosx dx

jika diintegralkan maka diperoleh :
∫ dy = ∫ cosx dx
y = sinx + C
solusi y = sinx + C, merupakan solusi umum dari persamaan differensial diatas.
Untuk menyelesaikan MNA, harus didapatkan solusi khususnya.
Perhatikan syarat awal : y(0) = 4, artinya bahwa pada saat x = 0 , y = 4.
Sehingga persamaan solusi menjadi
y = sinx + C  y = sin (0) + C = 4
0 +C =4C=4
Dengan nilai C = 4, maka diperoleh solusi khusus yang merupakan penyelesaian
dari MNA diatas yaitu : y = sinx + 4.
Contoh 2 :
selesaikan MNA berikut ini :
xy’ + y = 0, y(1) = 1
jawab :

xy’ + y = 0  xy’ = - y  x

dy
dx

=-y

akan diselesaikan persamaan differensial diatas dengan menggunakan metode
pemisah peubah :
x
x

dy
dx
= - y, kedua ruas dikalikan dengan
dx
xy
dy
dx
dx
dy
dx
.
=-y.

=dx
xy
xy
y
x

sehingga diperoleh :

selanjutnya integralkan kedua ruas :

dy
dy
=¿−∫
dx
dx
∫¿

 ln y + C1 = - ln x + C2

 ln y = - ln x + C
Dengan menggunakan sifat ln maka didapat :
ln y + ln x = C
ln(y,x) = C
e ln(y,x) = ec  ec = A
(y,x) = A  y =

A
x

Untuk menyelesaikan MNA tersebut maka dari syarat awal y(1) = 1, diperoleh :
y=

A
, dengan y(1) = 1, maka : 1 =
x

A
1

A=1

jadi, penyelesaian dari MNA xy’ + y = 0, y(1) = 1 adalah : y =

1
x

soal-soal
1. Bentuklah persamaan diferensial untuk y = Ax2 + Bx
2. Tentukan persamaan differensial, jika diketahui solusi y = Ae x+B.
3. Apakah masalah nilai awal

dy
dx

= x2 – xy3, y(1) = 6 mempunyai solusi yang tunggal?

4. Carilah suatu solusi dari persamaan differensial
5. Apakah masalah nilai awal ,

dy
dx

=

dy
dx

= 2x melalui titik (1,4)?

3 y−2/ 3 y(2) = 0 mempunyai solusi yang tunggal?

Penyelesaian :
1. Bentuklah persamaan diferensial untuk y = Ax2 + Bx.

Kita dapatkan :

Dari persamaan (3) diketahui A =
y’ = 2Ax + B = 2

( 12 y ' ' )

y = Ax2 + Bx

(1)

y’ = 2Ax + B

(2)

y’’ = 2A

(3)

1
y' '
2

ke persamaan (2) :

x + B = xy’’ + B

y’ = xy’’ + B ⇒ B = y’ – xy’’
Kemudian dengan mensubtitusikan nilai A dan B ke persamaan (1)
maka didapat :

y = A x2 + B x =
=
⇔y =

( 12 y ' ' )

x2 + ( y’ + xy’’)x

( 12 x y ' ' )

+ xy’ – x2y’’ =

−1 2
x y' '
2

+xy’ ⇔

2

1 2
x y' '
2

( −12 x y ' ' )
2

+ xy’

- xy’ –y =0

2. Tentukan persamaan differensial, jika diketahui solusi y = Ae x+B.
Jawab :
Jika persamaan tersebut ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana

maka

diperoleh : y = Aex+B = Aex eB = (AeB)ex,
Karena AeB = C maka didapat : y = Cex
Jumlah konstanta sembarang yang ada pada persamaan solusi adalah
sebanyak satu, maka persamaan tersebut cukup diturunkan satu kali.
y’ = Cex  y’ = y  y’ – y = 0
jadi dari solusi y = Aex+B , persamaan differensialnya yaitu : y’ – y = 0.

3. Apakah masalah nilai awal

dy
dx

= x2 – xy3, y(1) = 6 mempunyai solusi yang tunggal?

Jawab:
f(x, y) = x2 – xy3 dan

∂f
∂y

= -3xy2 merupakan fungsi yang kontinu dalam segiempat

yang memuat titik (1, 6). Berarti hipotesis dari teorema 1 dipenuhi. Akibatnya masalah

nilai awal mempunyai solusi tunggal dalam suatu interval di sekitar x = 1 dengan bentuk |
x–1|≤ hdengan h cukup kecil.
dy
dx

4. Carilah suatu solusi dari persamaan differensial

= 2x melalui titik (1,4)?

Jawab :
Diketahui

dy
dx

= 2x , maka dy = 2xdx sehingga : dy 2xdx y x2 c

Untuk x = 1, nilai y = 4, maka nilai c yang memenuhi adalah
y = x2 + c
4 = 12 + c
C=3
dy
dx

Jadi solusi dari

= 2x adalah y = x2 + 3

5. Apakah masalah nilai awal ,

dy
dx

=

3 y−2/ 3

y(2) = 0 mempunyai solusi yang

tunggal?
Jawab :
f(x, y) =

3 y−2/ 3

sehingga

∂f
=
∂y

2 y−1 /3 , akan tetapi

∂f
∂y

tidak kontinu dan

tidak didefinisikan di y = 0. Akibatnya tidak ada segiempat yang memuat titik (2, 0)
dimana f dan

∂f
∂y

keduanya kontinu. Karena hipotesis teorema 1 tidak dipenuhi,

maka masalah nilai awal tidak mempunyai solusi.

DAFTAR PUSTAKA
Edward, C.H. & penney, David E,; 1993; Elementary differensial Equations with Boundary
Value Problems; 3rd sedition; prentice-hall international.
Finizio, Ladas, Widiarti Santoso; 1998 ; Persamaan differensial Biasa dengan Penerapan
Modern ; Jakarta : Erlangga
Herdiana, Heris, Sukasno dan Kusman Engkus,; 2002; Persamaan Differensial; Bamdung:
Pustaka Setia.