03 Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
MATRIKS
B. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Terdapat beberapa operasi aljabar yang dapat dilakukan pada matriks, diantaranya
adalah penjumlahan dan pengurangan. Namun dua matriks dapat dijumlah/dikurang
jika kedua matriks itu ordonya sama.
Misalkan A dan B adalah dua matriks yang ordonya sama serta A + B = C, maka C
adalah matriks hasil yang didapat dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang
seletak pada A dan B.
04
4
3
23
2 0
5 4
Contoh : 2 6 + 5
6 6 = 3 12
6 = 2 5
3 2
3 (3) 1 (2)
3 1
0 1
Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol (dilambangkan dengan O).
Matriks ini adalah matriks identitas penjumlahan, sehingga A + 0 = 0 + A = A
Contoh
0 0
3 4
Diketahui A =
, maka matriks identitas dari A adalah O =
, sehingga
0 0
- 5 1
0 0
3 0 4 0
3 4
3 4
A+O=
+
=
=
= A
0 0
- 5 0 1 0
- 5 1
- 5 1
Jika A suatu matriks, maka matriks lawan dari A adalah matriks –A yakni sebuah
matriks yang unsur-unsurnya merupakan lawan dari unsur-unsur matriks A. Dalam
hal ini berlaku sifat A + (–A) = O.
Contoh
3 4
Diketahui A =
- 5 0
3 4
A + (–A) =
+
- 5 0
- 3 - 4
, maka lawan dari matriks A adalah –A =
, sehingga
5 0
- 3 - 4
3 (-3) 4 (-4)
0 0
5 0 = - 5 (5) 0 0 = 0 0 = O
Perkalian suatu bilangan real k dengan matriks A adalah suatu matriks kA yang
didapat dengan cara mengalikan setiap unsur matiriks A dengan k
Contoh
6 8
3 4
3 4
Diketahui A =
, maka 2A = 2
=
- 10 0
- 5 0
- 5 0
Misalkan A, B dan C adalah matriks-matriks yang ordonya sama, dan k adalah
bilangan real, maka terdapat sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan dan
pengurangan matriks
Ma triks
1
1.
2.
3.
4.
A+B=B+A
(A + B) + C = A + (B + C)
k(A + B) = kA + kB
kA + mA = (k + m)A
Untuk pemahaman lebih lanjut akan diberikan beberapa contoh soal serta uraian
jawabannya.
2 - 5
01. Diketahui matriks A =
, B =
3 - 1
tentukanlah hasil dari
(a) A + B – C
(b) A – (B + C)
(c) (A – B) – (A – C) + (B + C)
0 4
- 2 - 6 dan C =
3 4
2 - 2 maka
Jawab
0 4
3 4
2 - 5
(a) A + B – C =
+
–
- 2 - 6
2 - 2
3 - 1
544
2 0 ( 3 )
=
3 (2) 2 1 (6) (2)
5 - 5
=
- 1 - 3
0 4 3 4
2 - 5
(b) A – (B + C) =
–
2 - 2
2
6
3
1
44
2 - 5
0 (3)
–
=
2 2 - 6 (2)
3 - 1
2 - 5
3 8
=
–
0 8
3 - 1
58
2 (3)
=
1 (8)
30
5 - 13
=
3 7
(c) (A – B) – (A – C) + (B + C) = A – B – A + C + B + C
= 2C
3 4
6 8
= 2
=
2 - 2
4 - 4
Ma triks
2
02. Tentukan hasil dari
1 4 - 2
2 1
2 3
(a) 4
+
– 2
3
0
0
8
2
0 - 1
Jawab
- 5 2
- 6 1
1 - 1
(b) 3
–
– 2
1
0
2
3
4 - 3
2 3
2 1
1 4 - 2
+
– 2
(a) 4
2 0 8
0 - 1
- 3 0
4 6
8 4
2 - 1
=
+
–
- 12 0
0 4
0 - 2
8 2 (4) 4 (1) 6
=
12 0 0 0 4 (2)
14 - 3
=
- 12 6
- 6 1
- 5 2
1 - 1
(b) 3
–
– 2
2 - 3
1 0
4 - 3
- 15 6
- 6 1 2 - 2
=
–
–
3 0
2 - 3 8 - 6
6 1 (2)
15 (6) 2
=
0 (3) (6)
328
11 7
=
7 9
03. Tentukanlah matriks X jika :
20
3 - 2
1 6
(a) 3X – 2
=
2 - 12 2
6 1
0 5
3
4 6 1
4 2 3
(b) 4X + 2
– 3
=
+ 2X
2 4 1
2 3 0
0 1 2
Jawab
20
3 - 2
1 6
=
(a) 3X – 2
2 - 12 2
6 1
6 - 4
3
3X –
=
12 2
- 6
3
3X =
- 6
9
3X =
6
Ma triks
10
1
10
6 - 4
+
1
12 2
6
3
3
1 9
6
3 6 3
3 2
X =
2 1
X =
0 5
4 2 3
3
(b) 4X + 2
– 3
=
2 4 1
0 1 2
0 10
6
12 6 9
4X +
–
=
4 8 2
0 3 6
6 6 19
4X +
=
4 11 4
4X – 2X
4 6 1
2 3 0 + 2X
4 6 1
2 3 0 + 2X
6 1
+ 2X
3 0
6 1
6 6 19
–
3 0
4 11 4
10 0 20
=
2 14 4
4
2
4
=
2
2X
X
X
20
2 2 14 4
5 0 10
=
1 7 2
=
1 10
0
3 4 x 9
x 4
1 6 y 10
+
=
04. Tentukanlah nilai x, y dan z jika
2y
2 4 2z
8
3x 6
Jawab
3 4 x 9
x 4
1 6 y 10
3x 6 + 2 4 2z = 8
2y
3 4 x 9
x 4
3 y 5
3x 6 + 2 z = 8
2y
9
x 3y
3 4 x 9
=
8
3x 2 6 z
2y
Maka
x + 3y = 3 + 4x
3x + 2 = 8
6 + z = 2y
3x = 6
6 + z = 2(3)
x – 4x = 3 – 3y
x=2
6+z = 6
–2x = 3 – 3y
z = 6–6
–2(3) = 3 – 3y
z = 0
–6 = 3 – 3y
3y = 3 + 6
3y = 9 maka y = 3
Ma triks
4
B. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Terdapat beberapa operasi aljabar yang dapat dilakukan pada matriks, diantaranya
adalah penjumlahan dan pengurangan. Namun dua matriks dapat dijumlah/dikurang
jika kedua matriks itu ordonya sama.
Misalkan A dan B adalah dua matriks yang ordonya sama serta A + B = C, maka C
adalah matriks hasil yang didapat dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang
seletak pada A dan B.
04
4
3
23
2 0
5 4
Contoh : 2 6 + 5
6 6 = 3 12
6 = 2 5
3 2
3 (3) 1 (2)
3 1
0 1
Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol (dilambangkan dengan O).
Matriks ini adalah matriks identitas penjumlahan, sehingga A + 0 = 0 + A = A
Contoh
0 0
3 4
Diketahui A =
, maka matriks identitas dari A adalah O =
, sehingga
0 0
- 5 1
0 0
3 0 4 0
3 4
3 4
A+O=
+
=
=
= A
0 0
- 5 0 1 0
- 5 1
- 5 1
Jika A suatu matriks, maka matriks lawan dari A adalah matriks –A yakni sebuah
matriks yang unsur-unsurnya merupakan lawan dari unsur-unsur matriks A. Dalam
hal ini berlaku sifat A + (–A) = O.
Contoh
3 4
Diketahui A =
- 5 0
3 4
A + (–A) =
+
- 5 0
- 3 - 4
, maka lawan dari matriks A adalah –A =
, sehingga
5 0
- 3 - 4
3 (-3) 4 (-4)
0 0
5 0 = - 5 (5) 0 0 = 0 0 = O
Perkalian suatu bilangan real k dengan matriks A adalah suatu matriks kA yang
didapat dengan cara mengalikan setiap unsur matiriks A dengan k
Contoh
6 8
3 4
3 4
Diketahui A =
, maka 2A = 2
=
- 10 0
- 5 0
- 5 0
Misalkan A, B dan C adalah matriks-matriks yang ordonya sama, dan k adalah
bilangan real, maka terdapat sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan dan
pengurangan matriks
Ma triks
1
1.
2.
3.
4.
A+B=B+A
(A + B) + C = A + (B + C)
k(A + B) = kA + kB
kA + mA = (k + m)A
Untuk pemahaman lebih lanjut akan diberikan beberapa contoh soal serta uraian
jawabannya.
2 - 5
01. Diketahui matriks A =
, B =
3 - 1
tentukanlah hasil dari
(a) A + B – C
(b) A – (B + C)
(c) (A – B) – (A – C) + (B + C)
0 4
- 2 - 6 dan C =
3 4
2 - 2 maka
Jawab
0 4
3 4
2 - 5
(a) A + B – C =
+
–
- 2 - 6
2 - 2
3 - 1
544
2 0 ( 3 )
=
3 (2) 2 1 (6) (2)
5 - 5
=
- 1 - 3
0 4 3 4
2 - 5
(b) A – (B + C) =
–
2 - 2
2
6
3
1
44
2 - 5
0 (3)
–
=
2 2 - 6 (2)
3 - 1
2 - 5
3 8
=
–
0 8
3 - 1
58
2 (3)
=
1 (8)
30
5 - 13
=
3 7
(c) (A – B) – (A – C) + (B + C) = A – B – A + C + B + C
= 2C
3 4
6 8
= 2
=
2 - 2
4 - 4
Ma triks
2
02. Tentukan hasil dari
1 4 - 2
2 1
2 3
(a) 4
+
– 2
3
0
0
8
2
0 - 1
Jawab
- 5 2
- 6 1
1 - 1
(b) 3
–
– 2
1
0
2
3
4 - 3
2 3
2 1
1 4 - 2
+
– 2
(a) 4
2 0 8
0 - 1
- 3 0
4 6
8 4
2 - 1
=
+
–
- 12 0
0 4
0 - 2
8 2 (4) 4 (1) 6
=
12 0 0 0 4 (2)
14 - 3
=
- 12 6
- 6 1
- 5 2
1 - 1
(b) 3
–
– 2
2 - 3
1 0
4 - 3
- 15 6
- 6 1 2 - 2
=
–
–
3 0
2 - 3 8 - 6
6 1 (2)
15 (6) 2
=
0 (3) (6)
328
11 7
=
7 9
03. Tentukanlah matriks X jika :
20
3 - 2
1 6
(a) 3X – 2
=
2 - 12 2
6 1
0 5
3
4 6 1
4 2 3
(b) 4X + 2
– 3
=
+ 2X
2 4 1
2 3 0
0 1 2
Jawab
20
3 - 2
1 6
=
(a) 3X – 2
2 - 12 2
6 1
6 - 4
3
3X –
=
12 2
- 6
3
3X =
- 6
9
3X =
6
Ma triks
10
1
10
6 - 4
+
1
12 2
6
3
3
1 9
6
3 6 3
3 2
X =
2 1
X =
0 5
4 2 3
3
(b) 4X + 2
– 3
=
2 4 1
0 1 2
0 10
6
12 6 9
4X +
–
=
4 8 2
0 3 6
6 6 19
4X +
=
4 11 4
4X – 2X
4 6 1
2 3 0 + 2X
4 6 1
2 3 0 + 2X
6 1
+ 2X
3 0
6 1
6 6 19
–
3 0
4 11 4
10 0 20
=
2 14 4
4
2
4
=
2
2X
X
X
20
2 2 14 4
5 0 10
=
1 7 2
=
1 10
0
3 4 x 9
x 4
1 6 y 10
+
=
04. Tentukanlah nilai x, y dan z jika
2y
2 4 2z
8
3x 6
Jawab
3 4 x 9
x 4
1 6 y 10
3x 6 + 2 4 2z = 8
2y
3 4 x 9
x 4
3 y 5
3x 6 + 2 z = 8
2y
9
x 3y
3 4 x 9
=
8
3x 2 6 z
2y
Maka
x + 3y = 3 + 4x
3x + 2 = 8
6 + z = 2y
3x = 6
6 + z = 2(3)
x – 4x = 3 – 3y
x=2
6+z = 6
–2x = 3 – 3y
z = 6–6
–2(3) = 3 – 3y
z = 0
–6 = 3 – 3y
3y = 3 + 6
3y = 9 maka y = 3
Ma triks
4