Olimpiade - Seleksi Matematika Tk Provinsi 2008 Bagian Pertama-SMA-www.examsworld.us
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2008
TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009
Prestasi itu diraih bukan didapat !!!
SOLUSI SOAL
Bidang Mat emat ika
Bagian Pertama
Disusun oleh : Eddy Hermant o, ST
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2008
Solusi
Bagian Kedua
BAGIAN PERTAMA
1. 2008 = 23 ⋅ 251
Banyaknya pembagi posit if dari 2008 = (3 + 1)(1 + 1)
∴ Banyaknya pembagi posit if dari 2008 = 8 .
2. Banyaknya cara menyusun huruf -huruf MATEMATIKA adalah
10!
= 151200
3!⋅2!⋅2!
Banyaknya cara menyusun huruf -huruf MATEMATIKA dengan syarat kedua T berdekat an adalah
sama dengan banyaknya cara menyusun huruf -huruf MATEMAIKA, yait u
9!
= 30240
3!⋅2!
Banyaknya cara menyusun huruf -huruf MATEMATIKA dengan kedua T t idak berdekat an adalah =
151200 − 30240 = 120960.
∴ Banyaknya cara menyusun = 120960 .
3. Karena 0 < b < a maka
a+b
akan bernilai posit if .
a−b
2
a 2 + b 2 + 2ab 6ab + 2ab
⎛a+b⎞
=2
=
⎟ = 2
⎜
a + b 2 − 2ab 6ab − 2ab
⎝a −b⎠
a+b
∴
= 2
a −b
4. Misalkan segit iga ABC dimaksud adalah sepert i pada gambar berikut
Misalkan j uga AC = b
[ ABC] = ½ ⋅ AC ⋅ 12 = ½ ⋅ AB ⋅ 4
b ⋅ 12 = AB ⋅ 4
AB = 3b
Misalkan j uga BC = a dan panj ang garis t inggi dari A adalah x dengan x bilangan asli.
[ ABC] = ½ ⋅ a ⋅ x = ½ ⋅ 4 ⋅ 3b
a x = 12b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)
SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2008
Solusi
Bagian Kedua
Ada dua kemungkinan pemahaman t erhadap pert anyaan pada soal.
i) Yang dit anyakan adalah maks (x, 4, 12).
Akan dibukt ikan bahwa x ≤ 12 sehingga panj ang maksimum dari garis t inggi segit iga ABC
adalah 12.
Andaikan bahwa x > 12.
Dari persamaan (1) akan didapat bahwa a < b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2)
Pada segit iga siku-siku ACF j elas bahwa AC = b > AF
Karena AB = 3b maka FB > 2b
Pada segit iga siku-siku BCF berlaku bahwa BC > FB
Karena BC = a < b sedangkan FB > 2b maka ket aksamamaan t idak mungkin t erj adi.
Kont radiksi dengan pengandaian awal.
Jadi, x ≤ 12.
Maka panj ang maksimum garis t inggi segit iga ABC adalah 12 .
ii) Yang dit anyakan adalah panj ang maksimum dari garis t inggi yang ket iga dari segit iga ABC
• Andaikan 3b adalah sisi t erpanj ang
Berdasarkan ket aksamaan segit iga berlaku
3b < a + b
Maka 2b < a
Berdasarkan persamaan (1) maka
a x < 6a
Jadi, x < 6
*
Jika x = 5 maka a =
12
b
5
2
169 2
⎛ 12 ⎞
AC + BC = b + ⎜ b ⎟ =
b < AB2
25
⎝5 ⎠
2
2
2
Jadi, j ika x = 5 maka segit iga BC t umpul. Tidak memenuhi bahwa segit iga ABC lancip.
Jika x = 4 maka a = 3b
Segit iga ABC sama kaki dengan BC = AB = 3b
Karena AB adalah sisi t erpanj ang maka segit iga BC lancip.
• Andaikan a adalah sisi t erpanj ang
3b < a
xa = 12b < 4a
x 3 maka 2n > n + 3 sehingga f (x 2) − x 3f (x) akan berderaj at 2n > 6. Jadi, t anda
kesamaan t idak mungkin t erj adi.
• Jika n = 3 maka f (x 2) dan x 3f (x) akan berderaj at sama yait u 6 sehingga masih dimungkinkan
f (x 2) − x 3f (x) akan berderaj at 3.
Jika f (x) = x 3 − 2 maka f (x 2) − x 3f (x) = (x 6 − 2) − x 3(x 3 − 2) = 2(x 3 − 1) yang memenuhi.
• Jika n < 3 maka 2n < n + 3 sehingga f (x 2) − x 3f (x) akan berderaj at n + 3. Karena ruas kanan
berderaj at 3 maka n = 0.
∴ Deraj at f (x) adalah 3 .
16. Banyaknya cara memilih 2 orang dari 20 orang = 20C2 = 190.
Banyaknya kemungkinan t anggal lahir dari 20 orang = 36520.
365 ⋅ 364 ⋅ 363 ⋅ L ⋅ 347 ⋅ 1
365 20
190 ⋅ 365!
∴ Peluang dari soal =
dengan t anda “ ! ” menyat akan f akt orial.
346!⋅365 20
Peluang =
20
C2 ⋅
17. Ada dua kemungkinan j umlah ket iga bilangan t ersebut genap
• Ket iga bilangan t ersebut semuanya genap
1004 ⋅ 1003 ⋅ 1002
C
167
6
=
Peluang = 1004 3 =
2008 ⋅ 2007 ⋅ 2006 1338
2008 C 3
6
•
Ada sat u bilangan genap dan dua lainnya ganj il
1004 ⋅ 1003
1004 ⋅
C
⋅
C
502
1004 1 1004
2
2
=
=
2008 ⋅ 2007 ⋅ 2006 1338
2008 C 3
6
167
502
+
1338 1338
1
∴ Peluang j umlah ket iga bilangan t ersebut genap =
2
Peluang j umlah ket iga bilangan t ersebut genap =
18. ⏐A ∪ B⏐ = ⏐A⏐ + ⏐B⏐ − ⏐A ∩ B⏐
10 = 4 + ⏐B⏐ − ⏐A ∩ B⏐
⏐B⏐ − ⏐A ∩ B⏐ = 6
Jelas bahwa 0 ≤ ⏐A ∩ B⏐ ≤ ⏐A⏐ sehingga 0 ≤ ⏐A ∩ B⏐ ≤ 4.
Jadi 6 ≤ ⏐B⏐ ≤ 10
Karena ⏐B⏐ bulat t ak negat if maka ⏐B⏐ = 6, 7, 8, 9 at au 10.
∴ ⏐B⏐ = 6, 7, 8, 9 at au 10 .
SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2008
Solusi
Bagian Kedua
19. Misalkan ∠DAB = ∠ACD = α
ct g α =
AD CD
=
BD AD
6 CD
9
sehingga CD =
=
8
6
2
Luas segit iga ABC = ½ ⋅ (BD + CD) ⋅ AD =
∴ Luas segit iga ABC =
75
2
75
2
20. Dengan binom Newt on didapat
4
1004
= (3 + 1)
1004
1004
∴
∑3
k =0
k
⎛1004 ⎞ 1004 1004 k ⎛1004 ⎞
⎛1004 ⎞ 0 ⎛1004 ⎞ 1 ⎛1004 ⎞ 2
⎟⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
= ∑ 3 ⎜⎜
=⎜
⎟3 + ⎜ 1 ⎟3 + ⎜ 2 ⎟3 + L + ⎜⎜1004 ⎟⎟3
0
k
k
0
=
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎛1004 ⎞
⎟⎟ = 2 2008 .
⎜⎜
⎝ k ⎠
SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST
TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009
Prestasi itu diraih bukan didapat !!!
SOLUSI SOAL
Bidang Mat emat ika
Bagian Pertama
Disusun oleh : Eddy Hermant o, ST
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2008
Solusi
Bagian Kedua
BAGIAN PERTAMA
1. 2008 = 23 ⋅ 251
Banyaknya pembagi posit if dari 2008 = (3 + 1)(1 + 1)
∴ Banyaknya pembagi posit if dari 2008 = 8 .
2. Banyaknya cara menyusun huruf -huruf MATEMATIKA adalah
10!
= 151200
3!⋅2!⋅2!
Banyaknya cara menyusun huruf -huruf MATEMATIKA dengan syarat kedua T berdekat an adalah
sama dengan banyaknya cara menyusun huruf -huruf MATEMAIKA, yait u
9!
= 30240
3!⋅2!
Banyaknya cara menyusun huruf -huruf MATEMATIKA dengan kedua T t idak berdekat an adalah =
151200 − 30240 = 120960.
∴ Banyaknya cara menyusun = 120960 .
3. Karena 0 < b < a maka
a+b
akan bernilai posit if .
a−b
2
a 2 + b 2 + 2ab 6ab + 2ab
⎛a+b⎞
=2
=
⎟ = 2
⎜
a + b 2 − 2ab 6ab − 2ab
⎝a −b⎠
a+b
∴
= 2
a −b
4. Misalkan segit iga ABC dimaksud adalah sepert i pada gambar berikut
Misalkan j uga AC = b
[ ABC] = ½ ⋅ AC ⋅ 12 = ½ ⋅ AB ⋅ 4
b ⋅ 12 = AB ⋅ 4
AB = 3b
Misalkan j uga BC = a dan panj ang garis t inggi dari A adalah x dengan x bilangan asli.
[ ABC] = ½ ⋅ a ⋅ x = ½ ⋅ 4 ⋅ 3b
a x = 12b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)
SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2008
Solusi
Bagian Kedua
Ada dua kemungkinan pemahaman t erhadap pert anyaan pada soal.
i) Yang dit anyakan adalah maks (x, 4, 12).
Akan dibukt ikan bahwa x ≤ 12 sehingga panj ang maksimum dari garis t inggi segit iga ABC
adalah 12.
Andaikan bahwa x > 12.
Dari persamaan (1) akan didapat bahwa a < b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2)
Pada segit iga siku-siku ACF j elas bahwa AC = b > AF
Karena AB = 3b maka FB > 2b
Pada segit iga siku-siku BCF berlaku bahwa BC > FB
Karena BC = a < b sedangkan FB > 2b maka ket aksamamaan t idak mungkin t erj adi.
Kont radiksi dengan pengandaian awal.
Jadi, x ≤ 12.
Maka panj ang maksimum garis t inggi segit iga ABC adalah 12 .
ii) Yang dit anyakan adalah panj ang maksimum dari garis t inggi yang ket iga dari segit iga ABC
• Andaikan 3b adalah sisi t erpanj ang
Berdasarkan ket aksamaan segit iga berlaku
3b < a + b
Maka 2b < a
Berdasarkan persamaan (1) maka
a x < 6a
Jadi, x < 6
*
Jika x = 5 maka a =
12
b
5
2
169 2
⎛ 12 ⎞
AC + BC = b + ⎜ b ⎟ =
b < AB2
25
⎝5 ⎠
2
2
2
Jadi, j ika x = 5 maka segit iga BC t umpul. Tidak memenuhi bahwa segit iga ABC lancip.
Jika x = 4 maka a = 3b
Segit iga ABC sama kaki dengan BC = AB = 3b
Karena AB adalah sisi t erpanj ang maka segit iga BC lancip.
• Andaikan a adalah sisi t erpanj ang
3b < a
xa = 12b < 4a
x 3 maka 2n > n + 3 sehingga f (x 2) − x 3f (x) akan berderaj at 2n > 6. Jadi, t anda
kesamaan t idak mungkin t erj adi.
• Jika n = 3 maka f (x 2) dan x 3f (x) akan berderaj at sama yait u 6 sehingga masih dimungkinkan
f (x 2) − x 3f (x) akan berderaj at 3.
Jika f (x) = x 3 − 2 maka f (x 2) − x 3f (x) = (x 6 − 2) − x 3(x 3 − 2) = 2(x 3 − 1) yang memenuhi.
• Jika n < 3 maka 2n < n + 3 sehingga f (x 2) − x 3f (x) akan berderaj at n + 3. Karena ruas kanan
berderaj at 3 maka n = 0.
∴ Deraj at f (x) adalah 3 .
16. Banyaknya cara memilih 2 orang dari 20 orang = 20C2 = 190.
Banyaknya kemungkinan t anggal lahir dari 20 orang = 36520.
365 ⋅ 364 ⋅ 363 ⋅ L ⋅ 347 ⋅ 1
365 20
190 ⋅ 365!
∴ Peluang dari soal =
dengan t anda “ ! ” menyat akan f akt orial.
346!⋅365 20
Peluang =
20
C2 ⋅
17. Ada dua kemungkinan j umlah ket iga bilangan t ersebut genap
• Ket iga bilangan t ersebut semuanya genap
1004 ⋅ 1003 ⋅ 1002
C
167
6
=
Peluang = 1004 3 =
2008 ⋅ 2007 ⋅ 2006 1338
2008 C 3
6
•
Ada sat u bilangan genap dan dua lainnya ganj il
1004 ⋅ 1003
1004 ⋅
C
⋅
C
502
1004 1 1004
2
2
=
=
2008 ⋅ 2007 ⋅ 2006 1338
2008 C 3
6
167
502
+
1338 1338
1
∴ Peluang j umlah ket iga bilangan t ersebut genap =
2
Peluang j umlah ket iga bilangan t ersebut genap =
18. ⏐A ∪ B⏐ = ⏐A⏐ + ⏐B⏐ − ⏐A ∩ B⏐
10 = 4 + ⏐B⏐ − ⏐A ∩ B⏐
⏐B⏐ − ⏐A ∩ B⏐ = 6
Jelas bahwa 0 ≤ ⏐A ∩ B⏐ ≤ ⏐A⏐ sehingga 0 ≤ ⏐A ∩ B⏐ ≤ 4.
Jadi 6 ≤ ⏐B⏐ ≤ 10
Karena ⏐B⏐ bulat t ak negat if maka ⏐B⏐ = 6, 7, 8, 9 at au 10.
∴ ⏐B⏐ = 6, 7, 8, 9 at au 10 .
SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2008
Solusi
Bagian Kedua
19. Misalkan ∠DAB = ∠ACD = α
ct g α =
AD CD
=
BD AD
6 CD
9
sehingga CD =
=
8
6
2
Luas segit iga ABC = ½ ⋅ (BD + CD) ⋅ AD =
∴ Luas segit iga ABC =
75
2
75
2
20. Dengan binom Newt on didapat
4
1004
= (3 + 1)
1004
1004
∴
∑3
k =0
k
⎛1004 ⎞ 1004 1004 k ⎛1004 ⎞
⎛1004 ⎞ 0 ⎛1004 ⎞ 1 ⎛1004 ⎞ 2
⎟⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
= ∑ 3 ⎜⎜
=⎜
⎟3 + ⎜ 1 ⎟3 + ⎜ 2 ⎟3 + L + ⎜⎜1004 ⎟⎟3
0
k
k
0
=
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎛1004 ⎞
⎟⎟ = 2 2008 .
⎜⎜
⎝ k ⎠
SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST