soal-olimpiade-matematika-tk-provinsi-2008 SMA-www.examsworld.us
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2008
TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009
Bidang Mat emat ika
Bagian Per t ama
Waktu : 90 Menit
DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH
DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS
TAHUN 2008
SELEKSI TINGKAT PROVINSI CALON
PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008
MATEMATIKA SMA
BAGIAN PERTAMA
Petunj uk untuk peserta :
1. Tes bagian pert ama ini t erdiri dari 20 soal.
2. Wakt u yang disediakan adalah 90 menit .
3. Set iap soal bernilai 1 (sat u) angka.
4. Tuliskan nama, kelas dan asal sekolah Anda di sebelah kanan at as pada lembar
j awaban.
5. Beberapa pert anyaan dapat memiliki lebih dari sat u j awaban yang benar. Anda
dimint a memberikan j awaban yang paling t epat at au persis unt uk pert anyaan sepert i
ini. Nilai hanya akan diberikan kepada pemberi j awaban paling t epat at au pal ing
persis.
6. Tuliskan hanya j awaban dari soal yang diberikan. Tuliskan j awaban t ersebut pada
kot ak di sebelah kanan set iap soal.
7. Jawaban hendaknya Anda t uliskan dengan menggunakan t int a, bukan pensil.
8. Selama t es, Anda t idak diperkenankan menggunakan buku, cat at an dan alat bant u
hit ung. Anda j uga t idak diperkenankan bekerj a sama.
9. Mulailah bekerj a hanya set elah pengawas memberi t anda dan berhent ilah bekerj a
segera set elah pengawas memberi t anda.
10. Selamat bekerj a.
SELEKSI TINGKAT PROVINSI CALON
PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008
MATEMATIKA SMA
BAGIAN PERTAMA
1. Banyaknya pembagi posit if dari 2008 adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
2. Cara menyusun huruf -huruf MATEMATIKA dengan kedua T t idak berdekat an ada sebanyak ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3. Jika 0 < b < a dan a2 + b 2 = 6ab, maka
a+b
= ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
a−b
4. Dua dari panj ang garis t inggi segit iga ABC lancip, bert urut -t urut sama dengan 4 dan 12. Jika
panj ang garis t inggi yang ket iga dari segit iga t ersebut merupakan bilangan bulat , maka panj ang
maksimum garis t inggi segit iga t ersebut adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
5. Dalam bidang XOY, banyaknya garis yang memot ong sumbu X di t it ik dengan absis bil angan
prima dan memot ong sumbu Y di t it ik dengan ordinat bilangan bulat posit if sert a melalui t it ik
(4, 3) adalah ⋅⋅⋅⋅⋅
6. Diberikan segit iga ABC, AD t egak lurus BC sedemikian rupa sehingga DC = 2 dan BD = 3. Jika
∠BAC = 45o, maka luas segit iga ABC adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
7. Jika x dan y bilangan bulat yang memenuhi y2 + 3x 2y2 = 30x 2 + 517, maka 3x 2y2 = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
8. Diberikan segit iga ABC, dengan BC = a, AC = b dan ∠C = 60o. Jika
sudut B adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅
a
= 2 + 3 , maka besarnya
b
9. Serat us siswa suat u Provinsi di Pulau Jawa mengikut i seleksi t ingkat Provinsi dan skor rat arat anya adalah 100. Banyaknya siswa kel as II yang mengikut i seleksi t ersebut 50% lebih banyak
dari siswa kelas III, dan skor rat a-rat a siswa kelas III 50% lebih t inggi dari skor rat a-rat a siswa
kelas II. Skor rat a-rat a siswa kelas III adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
10. Diberikan segit iga ABC, dengan BC = 5, AC = 12, dan AB = 13. Tit ik D dan E bert urut -t urut pada
AB dan AC sedemikian rupa sehingga DE membagi segit iga ABC menj adi dua bagian dengan l uas
yang sama. Panj ang minimum DE adalah ⋅⋅⋅⋅⋅
11. Misalkan a, b, c dan d bilangan rasional . Jika diket ahui persamaan x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0
mempunyai 4 akar real, dua di at aranya adalah
2 dan
2008 . Nilai dari a + b + c + d adalah ⋅⋅
12. Diberikan segit iga ABC dengan sisi-sisi a, b, dan c. Nilai a2 + b 2 + c 2 sama dengan 16 kali l uas
segit iga ABC. Besarnya nilai ct g A + ct g B + ct g C adalah ⋅⋅⋅⋅⋅
13. Diberikan f (x) = x 2 + 4. Misalkan x dan y adal ah bilangan-bilangan real posit if yang memenuhi
f (xy) + f (y − x) = f (y + x). Nilai minimum dari x + y adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
14. Banyak bil angan bulat posit if n kurang dari 2008 yang mempunyai t epat
n dan relat if prima t erhadap n adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
n
bilangan kurang dari
2
15. Suat u polinom f (x) memenuhi persamaan f (x 2) − x 3f (x) = 2(x 3 − 1) unt uk set iap x bilangan real .
Deraj at (pangkat t ert inggi x) f (x) adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
16. Angap sat u t ahun 365 hari. Pel uang dari 20 orang yang dipilih secara acak ada dua orang yang
berulang t ahun pada hari yang sama adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
17. Tiga bilangan dipil ih secara acak dari {1, 2, 3, ⋅⋅⋅, 2008}. Peluang j umlah ket iganya genap adalah ⋅⋅⋅
18. Misalkan ⏐X⏐ menyat akan banyaknya anggot a himpunan X. Jika ⏐A ∪ B⏐ = 10 dan ⏐A⏐ = 4, maka
nilai yang mungkin unt uk ⏐B⏐ adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
19. Diket ahui AD adalah garis t inggi dari segit iga ABC, ∠DAB = ∠ACD, AD = 6, BD = 8. Luas segit iga
ABC adalah ⋅⋅⋅⋅⋅
∑3
1004
20. Nilai dari
k =0
k
⎛1004 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⎝ k ⎠
LEMBAR JAWABAN
SELEKSI TINGKAT PROVINSI CALON
PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008
MATEMATIKA SMA
BAGIAN PERTAMA
Nama
Kelas
:
:
Asal Sekolah :
Tanda Tangan :
BAGIAN PERTAMA
1.
11.
2.
12.
3.
13.
4.
14.
5.
15.
6.
16.
7.
17.
8.
18.
9.
19.
10.
20.
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2008
TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009
Bidang Mat emat ika
Bagian Kedua
Waktu : 120 Menit
DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH
DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS
TAHUN 2008
SELEKSI TINGKAT PROVINSI CALON
PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008
MATEMATIKA SMA
BAGIAN KEDUA
Petunj uk untuk peserta :
1. Tes Bagian kedua ini t erdiri dari 5 soal.
2. Wakt u yang disediakan adalah 120 menit .
3. Set iap soal bernilai 7 (t uj uh) angka.
4. Tuliskan nama, kelas, dan asal sekolah Anda di sebelah kanan at as pada set iap
halaman j awaban.
5. Anda dimint a menyelesaikan soal yang diberikan secara lengkap. Selain j awaban
akhir, Anda dimint a menuliskan semua langkah dan argument asi yang Anda gunakan
unt uk sampai kepada j awaban akhir t ersebut .
6. Jika halaman muka t idak cukup, gunakan halaman di baliknya.
7. Bekerj alah dengan cermat dan rapi.
8. Jawaban hendaknya Anda t uliskan dengan menggunakan t int a, bukan pensil. Anda
boleh menggunakan pensil unt uk gambar.
9. Selama t es, Anda t idak diperkenankan menggunakan buku, cat at an dan alat bant u
hit ung. Anda j uga t idak diperkenankan bekerj a sama.
10. Mulailah bekerj a hanya set elah pengawas memberi t anda dan berhent ilah bekerj a
segera set elah pengawas memberi t anda.
11. Selamat bekerj a.
SELEKSI TINGKAT PROVINSI CALON
PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008
MATEMATIKA SMA
BAGIAN KEDUA
1. Carilah semua pasangan bilangan asli (x, n) yang memenuhi
1 + x + x 2 + ⋅⋅⋅ + x n = 40
2. Diberikan polinom real P(x) = x 2008 + a1x 2007 + a2x 2006 + ⋅⋅⋅ + a2007x + a2008 dan Q(x) = x 2 + 2x + 2008.
Misalkan persamaan P(x) = 0 mempunyai 2008 selesaian real dan P(2008) ≤ 1. Tunj ukkan bahwa
persamaan P(Q(x)) = 0 mempunyai selesaian real.
3. Lingkaran dalam dari segit iga ABC, menyinggung sisi-sisi BC, CA, dan AB bert urut -t urut di D, E,
dan F. Melal ui D, dit arik garis t egak lurus EF yang memot ong EF di G. Bukt ikan bahwa
FG BF
=
EG CE
4. Bilangan 1, 2, 3, ⋅⋅⋅, 9 disusun melingkar secara acak. Bukt ikan bahwa ada t iga bilangan
berdekat an yang j umlahnya lebih besar dari 15.
5. Tent ukan banyaknya bilangan posit if 5-angka palindrom yang habis dibagi 3. Palindrom adal ah
bilangan/ kat a yang sama j ika dibaca dari kiri ke kanan at au sebaliknya. Sebagai cont oh 35353
adalah bilangan pal indrom, sedangkan 14242 bukan.
TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009
Bidang Mat emat ika
Bagian Per t ama
Waktu : 90 Menit
DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH
DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS
TAHUN 2008
SELEKSI TINGKAT PROVINSI CALON
PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008
MATEMATIKA SMA
BAGIAN PERTAMA
Petunj uk untuk peserta :
1. Tes bagian pert ama ini t erdiri dari 20 soal.
2. Wakt u yang disediakan adalah 90 menit .
3. Set iap soal bernilai 1 (sat u) angka.
4. Tuliskan nama, kelas dan asal sekolah Anda di sebelah kanan at as pada lembar
j awaban.
5. Beberapa pert anyaan dapat memiliki lebih dari sat u j awaban yang benar. Anda
dimint a memberikan j awaban yang paling t epat at au persis unt uk pert anyaan sepert i
ini. Nilai hanya akan diberikan kepada pemberi j awaban paling t epat at au pal ing
persis.
6. Tuliskan hanya j awaban dari soal yang diberikan. Tuliskan j awaban t ersebut pada
kot ak di sebelah kanan set iap soal.
7. Jawaban hendaknya Anda t uliskan dengan menggunakan t int a, bukan pensil.
8. Selama t es, Anda t idak diperkenankan menggunakan buku, cat at an dan alat bant u
hit ung. Anda j uga t idak diperkenankan bekerj a sama.
9. Mulailah bekerj a hanya set elah pengawas memberi t anda dan berhent ilah bekerj a
segera set elah pengawas memberi t anda.
10. Selamat bekerj a.
SELEKSI TINGKAT PROVINSI CALON
PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008
MATEMATIKA SMA
BAGIAN PERTAMA
1. Banyaknya pembagi posit if dari 2008 adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
2. Cara menyusun huruf -huruf MATEMATIKA dengan kedua T t idak berdekat an ada sebanyak ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3. Jika 0 < b < a dan a2 + b 2 = 6ab, maka
a+b
= ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
a−b
4. Dua dari panj ang garis t inggi segit iga ABC lancip, bert urut -t urut sama dengan 4 dan 12. Jika
panj ang garis t inggi yang ket iga dari segit iga t ersebut merupakan bilangan bulat , maka panj ang
maksimum garis t inggi segit iga t ersebut adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
5. Dalam bidang XOY, banyaknya garis yang memot ong sumbu X di t it ik dengan absis bil angan
prima dan memot ong sumbu Y di t it ik dengan ordinat bilangan bulat posit if sert a melalui t it ik
(4, 3) adalah ⋅⋅⋅⋅⋅
6. Diberikan segit iga ABC, AD t egak lurus BC sedemikian rupa sehingga DC = 2 dan BD = 3. Jika
∠BAC = 45o, maka luas segit iga ABC adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
7. Jika x dan y bilangan bulat yang memenuhi y2 + 3x 2y2 = 30x 2 + 517, maka 3x 2y2 = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
8. Diberikan segit iga ABC, dengan BC = a, AC = b dan ∠C = 60o. Jika
sudut B adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅
a
= 2 + 3 , maka besarnya
b
9. Serat us siswa suat u Provinsi di Pulau Jawa mengikut i seleksi t ingkat Provinsi dan skor rat arat anya adalah 100. Banyaknya siswa kel as II yang mengikut i seleksi t ersebut 50% lebih banyak
dari siswa kelas III, dan skor rat a-rat a siswa kelas III 50% lebih t inggi dari skor rat a-rat a siswa
kelas II. Skor rat a-rat a siswa kelas III adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
10. Diberikan segit iga ABC, dengan BC = 5, AC = 12, dan AB = 13. Tit ik D dan E bert urut -t urut pada
AB dan AC sedemikian rupa sehingga DE membagi segit iga ABC menj adi dua bagian dengan l uas
yang sama. Panj ang minimum DE adalah ⋅⋅⋅⋅⋅
11. Misalkan a, b, c dan d bilangan rasional . Jika diket ahui persamaan x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0
mempunyai 4 akar real, dua di at aranya adalah
2 dan
2008 . Nilai dari a + b + c + d adalah ⋅⋅
12. Diberikan segit iga ABC dengan sisi-sisi a, b, dan c. Nilai a2 + b 2 + c 2 sama dengan 16 kali l uas
segit iga ABC. Besarnya nilai ct g A + ct g B + ct g C adalah ⋅⋅⋅⋅⋅
13. Diberikan f (x) = x 2 + 4. Misalkan x dan y adal ah bilangan-bilangan real posit if yang memenuhi
f (xy) + f (y − x) = f (y + x). Nilai minimum dari x + y adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
14. Banyak bil angan bulat posit if n kurang dari 2008 yang mempunyai t epat
n dan relat if prima t erhadap n adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
n
bilangan kurang dari
2
15. Suat u polinom f (x) memenuhi persamaan f (x 2) − x 3f (x) = 2(x 3 − 1) unt uk set iap x bilangan real .
Deraj at (pangkat t ert inggi x) f (x) adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
16. Angap sat u t ahun 365 hari. Pel uang dari 20 orang yang dipilih secara acak ada dua orang yang
berulang t ahun pada hari yang sama adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
17. Tiga bilangan dipil ih secara acak dari {1, 2, 3, ⋅⋅⋅, 2008}. Peluang j umlah ket iganya genap adalah ⋅⋅⋅
18. Misalkan ⏐X⏐ menyat akan banyaknya anggot a himpunan X. Jika ⏐A ∪ B⏐ = 10 dan ⏐A⏐ = 4, maka
nilai yang mungkin unt uk ⏐B⏐ adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
19. Diket ahui AD adalah garis t inggi dari segit iga ABC, ∠DAB = ∠ACD, AD = 6, BD = 8. Luas segit iga
ABC adalah ⋅⋅⋅⋅⋅
∑3
1004
20. Nilai dari
k =0
k
⎛1004 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⎝ k ⎠
LEMBAR JAWABAN
SELEKSI TINGKAT PROVINSI CALON
PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008
MATEMATIKA SMA
BAGIAN PERTAMA
Nama
Kelas
:
:
Asal Sekolah :
Tanda Tangan :
BAGIAN PERTAMA
1.
11.
2.
12.
3.
13.
4.
14.
5.
15.
6.
16.
7.
17.
8.
18.
9.
19.
10.
20.
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2008
TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009
Bidang Mat emat ika
Bagian Kedua
Waktu : 120 Menit
DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH
DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS
TAHUN 2008
SELEKSI TINGKAT PROVINSI CALON
PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008
MATEMATIKA SMA
BAGIAN KEDUA
Petunj uk untuk peserta :
1. Tes Bagian kedua ini t erdiri dari 5 soal.
2. Wakt u yang disediakan adalah 120 menit .
3. Set iap soal bernilai 7 (t uj uh) angka.
4. Tuliskan nama, kelas, dan asal sekolah Anda di sebelah kanan at as pada set iap
halaman j awaban.
5. Anda dimint a menyelesaikan soal yang diberikan secara lengkap. Selain j awaban
akhir, Anda dimint a menuliskan semua langkah dan argument asi yang Anda gunakan
unt uk sampai kepada j awaban akhir t ersebut .
6. Jika halaman muka t idak cukup, gunakan halaman di baliknya.
7. Bekerj alah dengan cermat dan rapi.
8. Jawaban hendaknya Anda t uliskan dengan menggunakan t int a, bukan pensil. Anda
boleh menggunakan pensil unt uk gambar.
9. Selama t es, Anda t idak diperkenankan menggunakan buku, cat at an dan alat bant u
hit ung. Anda j uga t idak diperkenankan bekerj a sama.
10. Mulailah bekerj a hanya set elah pengawas memberi t anda dan berhent ilah bekerj a
segera set elah pengawas memberi t anda.
11. Selamat bekerj a.
SELEKSI TINGKAT PROVINSI CALON
PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008
MATEMATIKA SMA
BAGIAN KEDUA
1. Carilah semua pasangan bilangan asli (x, n) yang memenuhi
1 + x + x 2 + ⋅⋅⋅ + x n = 40
2. Diberikan polinom real P(x) = x 2008 + a1x 2007 + a2x 2006 + ⋅⋅⋅ + a2007x + a2008 dan Q(x) = x 2 + 2x + 2008.
Misalkan persamaan P(x) = 0 mempunyai 2008 selesaian real dan P(2008) ≤ 1. Tunj ukkan bahwa
persamaan P(Q(x)) = 0 mempunyai selesaian real.
3. Lingkaran dalam dari segit iga ABC, menyinggung sisi-sisi BC, CA, dan AB bert urut -t urut di D, E,
dan F. Melal ui D, dit arik garis t egak lurus EF yang memot ong EF di G. Bukt ikan bahwa
FG BF
=
EG CE
4. Bilangan 1, 2, 3, ⋅⋅⋅, 9 disusun melingkar secara acak. Bukt ikan bahwa ada t iga bilangan
berdekat an yang j umlahnya lebih besar dari 15.
5. Tent ukan banyaknya bilangan posit if 5-angka palindrom yang habis dibagi 3. Palindrom adal ah
bilangan/ kat a yang sama j ika dibaca dari kiri ke kanan at au sebaliknya. Sebagai cont oh 35353
adalah bilangan pal indrom, sedangkan 14242 bukan.