ESTIMASI BAYESIAN PADA PERAMALAN MODEL ARMA.
Lampiran 8
TEMBAR
HASIT PENILAIAN SEJAWAT SEBIDANG ATAU PEER REVIEW
KARYA ltMlAH : PROSIDING NASIONAL
Judul Makalah
"Estimasi Bayesian Pada Peramalan ModelARMA"
Penulis Makalah
ZulAmry, Adam Baharum and Mohd. Tahir
ldentitas Makalah
a. Judul Prosiding
Seminar Nasional Matematika dan Terapan 3
b. ISBN
c, Tahun Terbit
978-602-911.5-24-6
November 20L2
d. Penerbit
e. Jumlah halaman
35-49
f.
Kategori Publikasi Makalah
(beri /pada kategori yang tepat)
Hasil Penilaia n Peer Review
WEB Laman
E
{
Prosiding Forum llmiah lnternasional
Prosiding Forum llmiah Nasional
:
Komponen
Yang Dinilai
a.
Kelengkapan unsur isi artikel (10%)
b.
Ruang lingkup dan kedalaman pembahasan (30%)
c,
Kecukupan dan kemutahiran data/informasi dan
metodologi(30%)
d.
Himpunan Matika lndonesia (lndoMS)
Kelengkapan unsur dan kualitas penerbit (30%)
Total = lL00%l
Nilai Maksimal Prosiding
lnternasional
Nasaional
T
Nilai Akhir Yang
Diperoleh
./
0,6
0,f
/,8
/,
1,8
/,f
/,8
/,
t-
T
{
Nilai Pengusul
Medan, September 2015
Reviewer l-,
Medan
M.S
-
r!*
Unit KerfS,lrl
601100L
rsitas Sumatera Utara
r
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NrP. 19620901 198803 1002
Unit Kerja : Guru Besar FMIPA USU
Lampiran 8
LEMBAR
HASIL PENITAIAN SEJAWAT SEBIDANG ATAU PEER REVIEW
KARYA ltMlAH : PROSIDING NASIONAL
Judul Makalah
"Estimasi Bayesian Pada Peramalan ModelARMA"
Penulis Makalah
ZulAmry, Adam Baharum and Mohd. Tahir
ldentitas Makalah
a. Judul Prosiding
b. ISBN
c. Tahun Terbit
d. Penerbit
e. Jumlah halaman
f.
Kategori Publikasi Makalah
(beri /pada kategori yang tepat)
I-l
./
Seminar Nasional Matematika dan Terapan
978-602-91,15-24-6
November 2012
Himpunan Matika lndonesia (lndoMS)
35-49
WEB Laman
Prosiding Forum llmiah lnternasional
Prosiding Forum llmiah Nasional
Hasil Penilaian Peer Review:
Komponen
Yang Dinilai
a.
Kelengkapan unsur isi artikel (10%)
b.
Ruang lingkup dan kedalaman pernbahasan (30%)
c.
Kecukupan dan kemutahiran data/informasi dan
Nilai Maksimal Prosiding
lnternasional
Nasaional
r
1
metodologi(30%)
d.
Kelengkapan unsur dan kualitas penerbit (30%)
Total =
Nilai Akhir Yang
Diperoleh
(LOO%I
0,b
0,9
I'B
1,9
hE
t,9
lrB
l,f
b
,
Nilai Pengusul
Medan,
September 2016
Reviewer 2,
trubis, M.Pd., Ph.D
NrP. 1955102s198s031002
Unit Kerja: Univ. Muslim Nusantara
Dr. Firmansyah, M.Si
NrP. L9671110 199303 1003
Unit Kerja: Univ. Muslim Nusantara
Lampiran 8
TEMBAR
HASIL PENILAIAN SEJAWAT SEBIDANG ATAU PEER REVIEW
KARYA ILMIAH : PROSIDING NASIONAL
Judul Makalah
"Estimasi Bayesian Pada Peramalan ModelARMA"
Penulis Makalah
ZulAmry, Adam Baharum and Mohd. Tahir
ldentitas Makalah
a. Judul Prosiding
Seminar Nasional Matematika dan Terapan 3
b. rsBN
c. Tahun Terbit
978-602-9175-24-6
November 20L2
Himpunan Matika lndonesia (lndoMS)
d. Penerbit
e. Jumlah halaman
WEB Laman
35-49
f.
Kategori Publikasi Makalah
(beri /pada kategori yang tepat)
Hasil Penilaian Peer Review
I-l
./
prosiding Forum llmiah lnternasional
Prosiding Forum llmiah Nasional
:
Komponen
Yang Dinilai
a.
Kelengkapan unsur isi artikel (10%)
b.
Ruang lingkup dan kedalaman pembahasan (30%)
c.
Nilai Maksimal Prosiding
Internasional
Nasaional
T
"l
016
Kecukupan dan kemutahiran data/informasi dan
Kelengkapan unsur dan kualitas penerbit (30%)
Total =
{LOO%I
d,{
fr6
l,f
lri
[,6
tri
I
r
1,3
metodoloei(30%)
d.
Nilai Akhir Yang
Diperoleh
NilaiPengusul
Medan,
September 2015
Reviewer 3
Prof. Dr. Asmin, M.Pd
NrP. 19570804 198s03 1002
Unit Kerja: Guru Besar FMIPA Unimed
ffitor:
Hsmom NdewmgTkang
Sacb
Suudo
Tftilus
NfuranRamffi
rcslDlNe
SIMNNTAP 2
volume !I
28-29 NOVEIUBER 2012
MUSIJIU NUSAI{TARA . AIWASHI.IYAE
W
MH)Al.l
*{*nt"
tu*dB
?rf
i,i:tl*.
hinr rlrlilzacilzan
nlah
PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA
DAIT TERAPAN
( SiManTap20tZ)
Volume 2
Editor:
Herman Mawengkang
Tulus
Saib Suwilo
Marwan Ramli
Copyright @ 20L3, kepada penulis
Hak cipta dilindungi Undang-Undang
All rights reserved
Cover Designed : Muhammad Romi Syahputra
Dipublikasikan oleh
:
fffi?
%* *H'f
od
The Indonesian Mathematical Society
http ://www.indoms-nadsumut. org
rsBN :978-6A2-L7AA4-L_g
37&-6*;i*.i,i$*+*
j- j
(Jilid Lengkap)
iV*irune
2.i
KATAPENGAIYTAR
salah satu kegiatan
Seminar Nasional Matematika dan Terapan (SiManTap) merupakan
telah pula menjadi
dan
Aceh-Sumut
tahunan Himpunan Matematika Indonesia QndoMS)
(tiga)
kali sejak tahun
3
agenda tnootras pusat. siManTap telah dilaksanakan sebanyak
2010.
(USU), Medan' oleh
SiManTap 2010 dilaksanakan di Universitas Sumatera Utara
di Universitas AlDepartemen Matematika FMIPA, SiManTap 2011 dilal$antkan
SiManTap 2012
dan
FKIP
Matematika
Muslim, Bireuen, oleh Program Studi Pendidikan
oleh rroqram
dilaksanakan di universit; Muslim Nusantara Al-washliyah, Medan,
Studi Pendidikan Matematika FKIP. Kegiatan SManTap ini diikuti oleh berbagai
maupm peneinta
kalangan, baik dosen, mahasiswq gunr, penelit! pernerhati' pengguna
pemakalah'
jumlah
dan
peserta
*ut"riutit*yang setiap tahtmnya terjadi p*i"gkat"n
membentuk forum bagi
peneliti, ior"o, guru, penggun4 pemerhati, pencinta serta mahasiswa untuk saling
p""g"f.*L dun *u**an. Selain itra dapat pula dijadikan sebagai
terbagi'ide,
rlan lrnernuan bmtr
*udui untuk salingbef,omunftasi dm berdiskusi tentmg penelitian
dalam bidang matematika, khususnya matematika terapan'
Seminar yang dilaksanakan setiap tahun
ini bertujuan untuk
ihd
dan
Penerbitan prosiding SiManTap 2012 int diharapkan dapat meningkatkan kuantitas
kasih
terima
Ucapan
kualitas penulisan iuO" Uia*g matematika maupun terapannya.
proses penerbitan
dewan redaksi uc"pk* kepada berbagai pihak yang telah membantu
prosiding
ini dan semoga
aitingf***
pada telbitan berikutnya mutu penulisan dapat lebih
lagi sehingga dapat lebih bermanfaat'
Dewan Redaksi
Panitia Pelaksana
Ketua Panitia
Drs. Firmansya[ M.Si
Wakil Ketua
Drs. Hidayat, M.Ed
Sekretaris
AMul Mujib,
Wakil Sekretaris
kvan, S.Pd., M.Si
Bendahara
Dn. Darajat Rangkuti, M.Pd
Wakil Bendahara
Dra- Mardiningsih, M.Si
S.Pd., M.PMat
Panitia Pengarah
l.
Prof. Dr. Moehammad Nawawiy Loebis, M-Phil, Ph^D
2- Drs. H. Kondar Siregar, MA
3. hof, Dr. Herman Mawengkang
4. Prof. Dr. Syawal Gultom, M.Pd
5. Prof. Dr Tulus, M.Si
6- Prof. Dr. Opim Salim, M.Sc
7. Prof. Dr. Saib Suwilq M.Sc
8. Dr. HizirSo$an
9. Dr- Marwan Ramli, M.Si
10. Syahril Efendi, S.Si., M.IT
I l. Drs. Ahmad Sukd Nasution, M.Pd
12. Drs. Madyrrrus Salayan, M.Si
(Ulvff{A\il)
(usu)
(TJNTMED)
(usrD
(usu)
(usrD
(r.jNsYlArD-({.rNSYrArr)
(usu)
(lvII\rAw(uarNAw)
Ilalaman:
Daftar isi
I
Kata Pengantar
ii
Kepanitiaan
Daftar
Isi...............
lrr
Upaya Gum Mengembang]q
Damped exponential and/or
sine firnctions after lag (qp)
Dominated by damped expe'
Nential and/or sine function
Dominated by damped expoaential mdllor sine fimction
after lae (ra)
Sesudah identifikasi model, ada beberrya kandidat model yang layak rmnrk dipilih- Salah satu cara
yang dipakai untuk memilih satu model yang paling layak adalah dengan melihat nilai Akaike's
Information Criterion (AIC). etddidefrnisikan sebagai berikut :
AIC: nln6l +2M (wei, 1994).........................-...
rlimana n adalah banyak observasi,
6]
adalah estimasi maksimrm likelihood
.. Q2)
rmtut
ol
dan
M
bmyaknya parameter. Model yang dipilih adalah model dengan nilai AIC yang minimum.
Langkah
2: Estimasi model
Estimasi model diperoleh berdasarkan estinasi teftadap paramst€r-parameter yang terdapat dalam
model. Salah satu metode rntuk mengestimasi garameter-parameter dalam model ARMA adalah
metode maksimrm likelihod (Wei, 194)
s*es {X, , t =1,2,...,n}, model ARMA(p,q)
$ = (0r, $r,...,00), e =(0,,02, ...,00), u: E(X,)and
Perhatikan
ffiffi
model dan pmameter-parameter
":
=E("1).
SeminarNasional Matematika dan Terapan 2012 (siManTap 3)
lVotume2
Dalam persamaan :
Y. = {rY,-, +$rY,-, +...+00\-o*u, +0,a,-, +0ra,-, +"'+Ona,-o . (2'3)
X, stasionerataustasionerhasiltransformasi,tur) i-i'd-N(0,o:)
dimanaY, -Xt
-p,
Persamaan (2.3) dapat dituliskan sebagai
qP
?t =yr
-fi=l $,v,-,
-Ig,u,_.,
Fl
Karena q
- N(0,
"l
),
-.-----.-- Q-4\
maka fimgsi padat petuang bersama dari a:(at, az,"',ao)
l,(alg,p,o,ol) =
Qno'^ti
-f,t I
".t[-r*)]
:(r",1).*'[-+Ed)
Fungsi logaritma likelihood bersyarat dari parameter $
i
,t=tl
Xo: \X1-0,.
Nilai dari
e,0 U* 6 tu"*
(0, rr, 0 /
u?
.-
ol
adalah :
-W
rnq0,p,0,ol): -lu'znoj
s (0, p, e)=
, lr, 0 , d"n
(25)
X,,
X -1,, X6 )t
ao,
*a a:
""""
Q,)
X), x: (X,,x2,"'' xo )',
(u r-q
:'''
: a-,, ao )t
memaksimumkan p€rsamaan (2.5) disebut estimatrjr maksimum
likelihood Gifi.E).
Langkah 3: Checking model
oahfo langkah ini, model harus diperiksa untuk kelayakan dengan leleamati sifat-sifat residual
apakah asumsi dalam model sudah dipenuhi. Asumsi dasar adalah {a,
noise, yaitu
a,
meruyakan- barisan variabel random
} *erupatao
proses white
tidak berkorelasi dengan mean nol dan
yang diperoleh
variansi konstan. Jika residual memenuhi asumsi ini, maka model Box-Jenkins
Uji
Ljung-Box.
statistrk
tersedia
kelayakan
Q
adalah model yang baik untgk data. Untuk checking
statistik Q (Weu 1994) adalah :
e:n(n.2)i-e+
Ein-K
-
- x'(K-p-d)
.fif" Q>I'r-, (K -p-q),
rtimana n adalah ukuran sample,
pl
......'.-.. Q-7)
maka kelayakan model ditolak pada level a-
aA*&
autokorelasi dari residual pada lag
k dm K
adalah
jumlah lag yang sedang diuji.
Peramalan
Peramalm tink untuk satu priode ke depm bagi y*l berdasakan data observasi
dan didefinisikan :
(yr, yz,dinotasikan
$:
i,0)
'.-,D
9(1) = E(Y"*,
Volume2 |
lS")...........
""""""""""'
Seminar Nasional Matematika dan Terapan 2012 (SiManTap 3)
(2'8)
Kriteria ketepatan peramalan
Dalam Assis et al (2010), ada beberapa ukuran sebagai kriteria ketepatan hasil peramalan. Dalam
paper ini digrmakan Root Mean square Error (RMSE), yang didefinisikan sebagai berikut :
IESS
R1\4SE=./-
................. (2.9)
Yn
dimana
n:
th number of observations; ESS
:
the error
srn of square,
Teorema Bayes
X dan Y adalah dua variable random diskrit maka fungsi padat peluang bersama nya dapat
ditulis p(x, y) = p(x I y)p" (y) dan fimgsi padat peluang marginal X adalah :
Jika
I,d*,v) : I,n{" lv)p'(v)
px(x):
Aturan Bayes untuk peluang bersyarar
pO lx;:
p(y I x)
p(x,v) _ p(x lv)p"(v)
adalah :
: JElI)p"(v)
Pr(x) Px(x) Irn{* lv)p"(v)
Jika Y kontinrl teorema Bayes dapat dituliskan sebagai
p(y
...-..... (2-r0)
:
lx)=.=fE-l-IDrLqI-
...........
(
Dengan."o"*ou*I:*ffi*;;.....................(2.ll)
p(y
-....j..............
lx) .c p(x ly)pr(y)
...............
Q.r2)
dinana p(ylx) : distribusi posterior, p(xly) : fungsi likelihood dan
: distribusi prior.
Pr(y)
PriorJeffrey
Jeffiey @ox Tiao, 1973) menganjurkan suatu distnlbusi prior yang dikonstruksi seacara
matematika berdasarkan fimgsi lftelihood dan dikenal densan prior Jefrey. Prior Jeffey unhrk
parameter 0 pnrporsional dengan akar kuadrat dari inforrnasi Fisher, yaitu :
-
-
(0)
nJ"ff(O)
* S(e)
.......... (2.13)
adalah informasi Fisher untuk parameter 0, dimana
I(s) = u,.,,
[[*logL(o/x,,*r,...,*,
:
r)']
: - t.,r[#logL(o/ *,,*,,...,*" ))
Jika
0{gr,
02, ...,0p) adalah veklor,
Jeftey (Berger, 1985) menganjurkan prior
:
Q.t4)
dimana I(0) adalah matriks _informasi Fisher (pxp) dengan elemen
Iij e)=
-E,
la'
.l
'') I
tog
e r(x
\ I e)
#Lffi'ffii
|
(ij)
..................... (2.r5)
dan L(0lX)oc {XlO) adalah frmgsi likelihood untuk prameter 0 bsrdasarkan observasi
ffi
seminarNasional Matematika dan Terapm 2012 (Silr4anTap
3)
X
I volume 2
Teori keputusan dan estimator Bayes
Unsur-unsur dalam teori keputusan adalah fimgpi keputusan, fimgsi kerugian dan fungsi resfto
yang masing-masing didefisisikan sebagai benlkut:
Definisi 2.1
Suatu fungsi T : fr"
x (x1,x2, ...,
:
+ E disebut frmgsi keputusan
xJ disebut suatu keputusan.
dan harga T(x) dengan
Dqfinisi 2-2
dengan c) ruangparameter 0 yang didefinisftan oleh
L(T(x),o) disebut fimgsi kerugian, apabila L >0 dan L:0 jfta T(xH'
suatu fungsi L : frxft+
L:
Defnisi
E
2.j
Fungsi L(T(x),gF k(T(x!0)2, dengan k>0, disebut firngsi kerugian kuadratis.
Definisi 2.4
Fungsi R : ExO-+ fr yang didefinisikan oleh R(f(x),0FEtL(T(x),0)J disebut frmpi resiko'
Funlsi ini menyatakan bahwa resfto yang dialami ala'bat suatu keputusan T(x) danmerupakan
nta-ratadari kemgian yag dialami apabila keputusan tersebut dilalokan.
Dertnisi 2.5
Misalkan Xr, Xz, ..., Isampel random dari suatu populasi berdistribusi f(x'o )
Resiko Bayes dari estimator T relative terhadap fungsi resiko R(T,o ) dan prior
r(0) adalah rata-rata frmpi resiko terhadap (0)' yakni
R' (T, n) = E[R(T, 0)J = J ng, e1-7r(0)'d0
o
Definisi 2.6
Misalkan Xr, Xr, ..., Xosampel random dari suatu populasi berdistribusi f(x,o ).
T' disebut estimator Bayes relatif tertadap resiko R(f,o ) dan prior n(0) jfta :
E[R'(T,0)] < E[R(T'O)]
Teorema
untuk setiap estimator T.
-*
2.1
Urt"k
fir"gsi kerugian kuadratik, estimator Bayesnya adalah meail posterior-
Bukti
suatu populasi berdistribusi fuO ) dan 0 sendiri berditibusi a(0). Berdasa*an
sampel random X1, X3 ..., Xo akan ditentukan estimator untuk 0'
Misalkan
X
Resiko Bayes terhadap prior z(0) adalah :
R'1r,r;
: Jn1r,e;n(0)d0 : J E1r1r,e)l.n(e)de
AO
: JJ qr, e)-fix I 0)dvc(0).d0 : JJ r1r' e;-f (x / 0)'n(g)'d0'dx
Karena d0lx)
maka
f(x/0);r(0)
f(x/0)n(0)
m(x)
densan
Jr1xlel.n1el.ae
diperolen d(r,n) : m1x;J I- (T,0).n(0 / x)-d0-dx
J
:
m;n (r,")
ry
Jr1r,e;n101
m6pJf(x /0):l(0).de
oan
x).do
khusus umtuk frmssi kuadrattk
Volume 2
|
gsminar Nasional Matematika dan Terapan 2012 (SiManTap 3)
min (r,n):
T" IUtt - 0)2.r(0/x).d0
kemudian dianrbil derivatituya terhadap T, akan diperoleh
yarng menghasilkan
r :Je."1elx)dO:
r
JZtg - 0).n(0/x)d0:
o
mean posterior
Distribusi student's- t univariat
Ddnisi 2.7
Suatu variabel random X dikatakan berdistn-busi student-t pada n derajat keb€basan dengan modus
p dan parameter skala r>0 [X - Lfu"r)], jika mempu- densitas :
(* p),
o** rftn + l)/ 2hr1, [o * - l-(n+')/2
f(n/2).(nr)"'I t
dengan mean
E{X}
I
p dan variansi Var(XF nd(n-2), jika n>2.
Be6ekal pengetahum dari definisi&eorema pada materi-materi diatasn prosedur pengerjaan
dilakukan dengan langkah-langffi berikut : (l) menyajikan fimgsi likelihood berdasarkan model
ARMA, (2) membentuk prior Jeftey berdasarkan fungsi likelihood (3) membentuk distribusi
posterior dengan teorema Bayes, yaitu mengalikan fungsi likelihood dengan distribusi prior, (4)
membentuk distrr'busi prediktif berdasarkan model ARMA, (5) membentuk disnibusi prediktif
posterior, yaitu mengalikan disEibusi prediktif dengan distrrbusi posterior, (6) membentuk
disnibusi prediktif posterior maryinal dengan pengintegralan berulang terhadap distnbusi prediktif
posterior, (7) menentukan hasil peiamalan dengan mengambil nilai ekspektasi terhadap distribusi
prediktif posterior marginal dan (8) aplikasi model peramalan pada sekumpulan dat4 seperti pada
chart berikut:
ffi
SeminmNasional Matematfta dan Terryan 2012 (SilvlanTap 3)
I Vohme 2
Pq
:DY,r *Ibr",'
rdodel ARMA(p,d , X
i{
(l)
*.
tr
Fungsi likelihood
r,(Y,r-r lS")
(3)
()
Distribusi posterior
tr$rd'ls")
Distribusi predilrif f ( y*1
$,Yr')
|
3. Analisis
=lQrf,-, +fer",-r*c,,
Berdasairkan modely,
i=l
Sod"
yz, ...
,yJ
et = yt
secara eksplisit untuk
residu erdapat dituliskan dalam bentuk
:
i=l
obser- vasi
-
pq
-10,v,_, -
n
q=l
I0.,",-,
............... (3.1)
a=l
Fungsi lihelihood
Dengm sytrat p observasi yang pertam4 misalkan %: %-r
Q maka berdasarkan
Jenkins Qn6\ suatu hampiran fimgsi likelihood dari yr*r,...Jo artalah
L.(o,@,r I sJ
* r(F(Flovz.,.o{-
I
merupakm fmgsi
G=(01,02,..,0J
Volume2
|
dri
param€ter
- ir,",-,]'l]
:[zft=n+r\
i ( r, -i4,r,-,
j=r )
i=r
\t-{Ot,Otf
dan
r, dimana
(D
......
Box&
o.,
l)
: (h,fu, --.,hf a-
SeminarNasionalMatematikadanTerapan2012
(SiManTapt
ffi
Dalam hal ini e,diestimasi oleh :
o,
dimana 0',
d*6,
.
vla p€rsamaan
masing-masing adalah
\P
yr=I{;y,_;+f
i:l
y, = YrB,-r * e,,
-f Q.,_,
- 16,
r,-,
*;*,
nua*tjJ*"cil
=y,
untuk
0re,_r+e, yang dapat
j=r
9
sehingga
Q;
dan 0; yang ditentukan
q
ait"rrtut
*
dinyatakan dalam bentuk
dengan cara meminimumkan bentuk
i"l= i
(r,
:
:
_y'a,_,I
.:p+r
dengan lmg|
TEMBAR
HASIT PENILAIAN SEJAWAT SEBIDANG ATAU PEER REVIEW
KARYA ltMlAH : PROSIDING NASIONAL
Judul Makalah
"Estimasi Bayesian Pada Peramalan ModelARMA"
Penulis Makalah
ZulAmry, Adam Baharum and Mohd. Tahir
ldentitas Makalah
a. Judul Prosiding
Seminar Nasional Matematika dan Terapan 3
b. ISBN
c, Tahun Terbit
978-602-911.5-24-6
November 20L2
d. Penerbit
e. Jumlah halaman
35-49
f.
Kategori Publikasi Makalah
(beri /pada kategori yang tepat)
Hasil Penilaia n Peer Review
WEB Laman
E
{
Prosiding Forum llmiah lnternasional
Prosiding Forum llmiah Nasional
:
Komponen
Yang Dinilai
a.
Kelengkapan unsur isi artikel (10%)
b.
Ruang lingkup dan kedalaman pembahasan (30%)
c,
Kecukupan dan kemutahiran data/informasi dan
metodologi(30%)
d.
Himpunan Matika lndonesia (lndoMS)
Kelengkapan unsur dan kualitas penerbit (30%)
Total = lL00%l
Nilai Maksimal Prosiding
lnternasional
Nasaional
T
Nilai Akhir Yang
Diperoleh
./
0,6
0,f
/,8
/,
1,8
/,f
/,8
/,
t-
T
{
Nilai Pengusul
Medan, September 2015
Reviewer l-,
Medan
M.S
-
r!*
Unit KerfS,lrl
601100L
rsitas Sumatera Utara
r
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NrP. 19620901 198803 1002
Unit Kerja : Guru Besar FMIPA USU
Lampiran 8
LEMBAR
HASIL PENITAIAN SEJAWAT SEBIDANG ATAU PEER REVIEW
KARYA ltMlAH : PROSIDING NASIONAL
Judul Makalah
"Estimasi Bayesian Pada Peramalan ModelARMA"
Penulis Makalah
ZulAmry, Adam Baharum and Mohd. Tahir
ldentitas Makalah
a. Judul Prosiding
b. ISBN
c. Tahun Terbit
d. Penerbit
e. Jumlah halaman
f.
Kategori Publikasi Makalah
(beri /pada kategori yang tepat)
I-l
./
Seminar Nasional Matematika dan Terapan
978-602-91,15-24-6
November 2012
Himpunan Matika lndonesia (lndoMS)
35-49
WEB Laman
Prosiding Forum llmiah lnternasional
Prosiding Forum llmiah Nasional
Hasil Penilaian Peer Review:
Komponen
Yang Dinilai
a.
Kelengkapan unsur isi artikel (10%)
b.
Ruang lingkup dan kedalaman pernbahasan (30%)
c.
Kecukupan dan kemutahiran data/informasi dan
Nilai Maksimal Prosiding
lnternasional
Nasaional
r
1
metodologi(30%)
d.
Kelengkapan unsur dan kualitas penerbit (30%)
Total =
Nilai Akhir Yang
Diperoleh
(LOO%I
0,b
0,9
I'B
1,9
hE
t,9
lrB
l,f
b
,
Nilai Pengusul
Medan,
September 2016
Reviewer 2,
trubis, M.Pd., Ph.D
NrP. 1955102s198s031002
Unit Kerja: Univ. Muslim Nusantara
Dr. Firmansyah, M.Si
NrP. L9671110 199303 1003
Unit Kerja: Univ. Muslim Nusantara
Lampiran 8
TEMBAR
HASIL PENILAIAN SEJAWAT SEBIDANG ATAU PEER REVIEW
KARYA ILMIAH : PROSIDING NASIONAL
Judul Makalah
"Estimasi Bayesian Pada Peramalan ModelARMA"
Penulis Makalah
ZulAmry, Adam Baharum and Mohd. Tahir
ldentitas Makalah
a. Judul Prosiding
Seminar Nasional Matematika dan Terapan 3
b. rsBN
c. Tahun Terbit
978-602-9175-24-6
November 20L2
Himpunan Matika lndonesia (lndoMS)
d. Penerbit
e. Jumlah halaman
WEB Laman
35-49
f.
Kategori Publikasi Makalah
(beri /pada kategori yang tepat)
Hasil Penilaian Peer Review
I-l
./
prosiding Forum llmiah lnternasional
Prosiding Forum llmiah Nasional
:
Komponen
Yang Dinilai
a.
Kelengkapan unsur isi artikel (10%)
b.
Ruang lingkup dan kedalaman pembahasan (30%)
c.
Nilai Maksimal Prosiding
Internasional
Nasaional
T
"l
016
Kecukupan dan kemutahiran data/informasi dan
Kelengkapan unsur dan kualitas penerbit (30%)
Total =
{LOO%I
d,{
fr6
l,f
lri
[,6
tri
I
r
1,3
metodoloei(30%)
d.
Nilai Akhir Yang
Diperoleh
NilaiPengusul
Medan,
September 2015
Reviewer 3
Prof. Dr. Asmin, M.Pd
NrP. 19570804 198s03 1002
Unit Kerja: Guru Besar FMIPA Unimed
ffitor:
Hsmom NdewmgTkang
Sacb
Suudo
Tftilus
NfuranRamffi
rcslDlNe
SIMNNTAP 2
volume !I
28-29 NOVEIUBER 2012
MUSIJIU NUSAI{TARA . AIWASHI.IYAE
W
MH)Al.l
*{*nt"
tu*dB
?rf
i,i:tl*.
hinr rlrlilzacilzan
nlah
PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA
DAIT TERAPAN
( SiManTap20tZ)
Volume 2
Editor:
Herman Mawengkang
Tulus
Saib Suwilo
Marwan Ramli
Copyright @ 20L3, kepada penulis
Hak cipta dilindungi Undang-Undang
All rights reserved
Cover Designed : Muhammad Romi Syahputra
Dipublikasikan oleh
:
fffi?
%* *H'f
od
The Indonesian Mathematical Society
http ://www.indoms-nadsumut. org
rsBN :978-6A2-L7AA4-L_g
37&-6*;i*.i,i$*+*
j- j
(Jilid Lengkap)
iV*irune
2.i
KATAPENGAIYTAR
salah satu kegiatan
Seminar Nasional Matematika dan Terapan (SiManTap) merupakan
telah pula menjadi
dan
Aceh-Sumut
tahunan Himpunan Matematika Indonesia QndoMS)
(tiga)
kali sejak tahun
3
agenda tnootras pusat. siManTap telah dilaksanakan sebanyak
2010.
(USU), Medan' oleh
SiManTap 2010 dilaksanakan di Universitas Sumatera Utara
di Universitas AlDepartemen Matematika FMIPA, SiManTap 2011 dilal$antkan
SiManTap 2012
dan
FKIP
Matematika
Muslim, Bireuen, oleh Program Studi Pendidikan
oleh rroqram
dilaksanakan di universit; Muslim Nusantara Al-washliyah, Medan,
Studi Pendidikan Matematika FKIP. Kegiatan SManTap ini diikuti oleh berbagai
maupm peneinta
kalangan, baik dosen, mahasiswq gunr, penelit! pernerhati' pengguna
pemakalah'
jumlah
dan
peserta
*ut"riutit*yang setiap tahtmnya terjadi p*i"gkat"n
membentuk forum bagi
peneliti, ior"o, guru, penggun4 pemerhati, pencinta serta mahasiswa untuk saling
p""g"f.*L dun *u**an. Selain itra dapat pula dijadikan sebagai
terbagi'ide,
rlan lrnernuan bmtr
*udui untuk salingbef,omunftasi dm berdiskusi tentmg penelitian
dalam bidang matematika, khususnya matematika terapan'
Seminar yang dilaksanakan setiap tahun
ini bertujuan untuk
ihd
dan
Penerbitan prosiding SiManTap 2012 int diharapkan dapat meningkatkan kuantitas
kasih
terima
Ucapan
kualitas penulisan iuO" Uia*g matematika maupun terapannya.
proses penerbitan
dewan redaksi uc"pk* kepada berbagai pihak yang telah membantu
prosiding
ini dan semoga
aitingf***
pada telbitan berikutnya mutu penulisan dapat lebih
lagi sehingga dapat lebih bermanfaat'
Dewan Redaksi
Panitia Pelaksana
Ketua Panitia
Drs. Firmansya[ M.Si
Wakil Ketua
Drs. Hidayat, M.Ed
Sekretaris
AMul Mujib,
Wakil Sekretaris
kvan, S.Pd., M.Si
Bendahara
Dn. Darajat Rangkuti, M.Pd
Wakil Bendahara
Dra- Mardiningsih, M.Si
S.Pd., M.PMat
Panitia Pengarah
l.
Prof. Dr. Moehammad Nawawiy Loebis, M-Phil, Ph^D
2- Drs. H. Kondar Siregar, MA
3. hof, Dr. Herman Mawengkang
4. Prof. Dr. Syawal Gultom, M.Pd
5. Prof. Dr Tulus, M.Si
6- Prof. Dr. Opim Salim, M.Sc
7. Prof. Dr. Saib Suwilq M.Sc
8. Dr. HizirSo$an
9. Dr- Marwan Ramli, M.Si
10. Syahril Efendi, S.Si., M.IT
I l. Drs. Ahmad Sukd Nasution, M.Pd
12. Drs. Madyrrrus Salayan, M.Si
(Ulvff{A\il)
(usu)
(TJNTMED)
(usrD
(usu)
(usrD
(r.jNsYlArD-({.rNSYrArr)
(usu)
(lvII\rAw(uarNAw)
Ilalaman:
Daftar isi
I
Kata Pengantar
ii
Kepanitiaan
Daftar
Isi...............
lrr
Upaya Gum Mengembang]q
Damped exponential and/or
sine firnctions after lag (qp)
Dominated by damped expe'
Nential and/or sine function
Dominated by damped expoaential mdllor sine fimction
after lae (ra)
Sesudah identifikasi model, ada beberrya kandidat model yang layak rmnrk dipilih- Salah satu cara
yang dipakai untuk memilih satu model yang paling layak adalah dengan melihat nilai Akaike's
Information Criterion (AIC). etddidefrnisikan sebagai berikut :
AIC: nln6l +2M (wei, 1994).........................-...
rlimana n adalah banyak observasi,
6]
adalah estimasi maksimrm likelihood
.. Q2)
rmtut
ol
dan
M
bmyaknya parameter. Model yang dipilih adalah model dengan nilai AIC yang minimum.
Langkah
2: Estimasi model
Estimasi model diperoleh berdasarkan estinasi teftadap paramst€r-parameter yang terdapat dalam
model. Salah satu metode rntuk mengestimasi garameter-parameter dalam model ARMA adalah
metode maksimrm likelihod (Wei, 194)
s*es {X, , t =1,2,...,n}, model ARMA(p,q)
$ = (0r, $r,...,00), e =(0,,02, ...,00), u: E(X,)and
Perhatikan
ffiffi
model dan pmameter-parameter
":
=E("1).
SeminarNasional Matematika dan Terapan 2012 (siManTap 3)
lVotume2
Dalam persamaan :
Y. = {rY,-, +$rY,-, +...+00\-o*u, +0,a,-, +0ra,-, +"'+Ona,-o . (2'3)
X, stasionerataustasionerhasiltransformasi,tur) i-i'd-N(0,o:)
dimanaY, -Xt
-p,
Persamaan (2.3) dapat dituliskan sebagai
qP
?t =yr
-fi=l $,v,-,
-Ig,u,_.,
Fl
Karena q
- N(0,
"l
),
-.-----.-- Q-4\
maka fimgsi padat petuang bersama dari a:(at, az,"',ao)
l,(alg,p,o,ol) =
Qno'^ti
-f,t I
".t[-r*)]
:(r",1).*'[-+Ed)
Fungsi logaritma likelihood bersyarat dari parameter $
i
,t=tl
Xo: \X1-0,.
Nilai dari
e,0 U* 6 tu"*
(0, rr, 0 /
u?
.-
ol
adalah :
-W
rnq0,p,0,ol): -lu'znoj
s (0, p, e)=
, lr, 0 , d"n
(25)
X,,
X -1,, X6 )t
ao,
*a a:
""""
Q,)
X), x: (X,,x2,"'' xo )',
(u r-q
:'''
: a-,, ao )t
memaksimumkan p€rsamaan (2.5) disebut estimatrjr maksimum
likelihood Gifi.E).
Langkah 3: Checking model
oahfo langkah ini, model harus diperiksa untuk kelayakan dengan leleamati sifat-sifat residual
apakah asumsi dalam model sudah dipenuhi. Asumsi dasar adalah {a,
noise, yaitu
a,
meruyakan- barisan variabel random
} *erupatao
proses white
tidak berkorelasi dengan mean nol dan
yang diperoleh
variansi konstan. Jika residual memenuhi asumsi ini, maka model Box-Jenkins
Uji
Ljung-Box.
statistrk
tersedia
kelayakan
Q
adalah model yang baik untgk data. Untuk checking
statistik Q (Weu 1994) adalah :
e:n(n.2)i-e+
Ein-K
-
- x'(K-p-d)
.fif" Q>I'r-, (K -p-q),
rtimana n adalah ukuran sample,
pl
......'.-.. Q-7)
maka kelayakan model ditolak pada level a-
aA*&
autokorelasi dari residual pada lag
k dm K
adalah
jumlah lag yang sedang diuji.
Peramalan
Peramalm tink untuk satu priode ke depm bagi y*l berdasakan data observasi
dan didefinisikan :
(yr, yz,dinotasikan
$:
i,0)
'.-,D
9(1) = E(Y"*,
Volume2 |
lS")...........
""""""""""'
Seminar Nasional Matematika dan Terapan 2012 (SiManTap 3)
(2'8)
Kriteria ketepatan peramalan
Dalam Assis et al (2010), ada beberapa ukuran sebagai kriteria ketepatan hasil peramalan. Dalam
paper ini digrmakan Root Mean square Error (RMSE), yang didefinisikan sebagai berikut :
IESS
R1\4SE=./-
................. (2.9)
Yn
dimana
n:
th number of observations; ESS
:
the error
srn of square,
Teorema Bayes
X dan Y adalah dua variable random diskrit maka fungsi padat peluang bersama nya dapat
ditulis p(x, y) = p(x I y)p" (y) dan fimgsi padat peluang marginal X adalah :
Jika
I,d*,v) : I,n{" lv)p'(v)
px(x):
Aturan Bayes untuk peluang bersyarar
pO lx;:
p(y I x)
p(x,v) _ p(x lv)p"(v)
adalah :
: JElI)p"(v)
Pr(x) Px(x) Irn{* lv)p"(v)
Jika Y kontinrl teorema Bayes dapat dituliskan sebagai
p(y
...-..... (2-r0)
:
lx)=.=fE-l-IDrLqI-
...........
(
Dengan."o"*ou*I:*ffi*;;.....................(2.ll)
p(y
-....j..............
lx) .c p(x ly)pr(y)
...............
Q.r2)
dinana p(ylx) : distribusi posterior, p(xly) : fungsi likelihood dan
: distribusi prior.
Pr(y)
PriorJeffrey
Jeffiey @ox Tiao, 1973) menganjurkan suatu distnlbusi prior yang dikonstruksi seacara
matematika berdasarkan fimgsi lftelihood dan dikenal densan prior Jefrey. Prior Jeffey unhrk
parameter 0 pnrporsional dengan akar kuadrat dari inforrnasi Fisher, yaitu :
-
-
(0)
nJ"ff(O)
* S(e)
.......... (2.13)
adalah informasi Fisher untuk parameter 0, dimana
I(s) = u,.,,
[[*logL(o/x,,*r,...,*,
:
r)']
: - t.,r[#logL(o/ *,,*,,...,*" ))
Jika
0{gr,
02, ...,0p) adalah veklor,
Jeftey (Berger, 1985) menganjurkan prior
:
Q.t4)
dimana I(0) adalah matriks _informasi Fisher (pxp) dengan elemen
Iij e)=
-E,
la'
.l
'') I
tog
e r(x
\ I e)
#Lffi'ffii
|
(ij)
..................... (2.r5)
dan L(0lX)oc {XlO) adalah frmgsi likelihood untuk prameter 0 bsrdasarkan observasi
ffi
seminarNasional Matematika dan Terapm 2012 (Silr4anTap
3)
X
I volume 2
Teori keputusan dan estimator Bayes
Unsur-unsur dalam teori keputusan adalah fimgpi keputusan, fimgsi kerugian dan fungsi resfto
yang masing-masing didefisisikan sebagai benlkut:
Definisi 2.1
Suatu fungsi T : fr"
x (x1,x2, ...,
:
+ E disebut frmgsi keputusan
xJ disebut suatu keputusan.
dan harga T(x) dengan
Dqfinisi 2-2
dengan c) ruangparameter 0 yang didefinisftan oleh
L(T(x),o) disebut fimgsi kerugian, apabila L >0 dan L:0 jfta T(xH'
suatu fungsi L : frxft+
L:
Defnisi
E
2.j
Fungsi L(T(x),gF k(T(x!0)2, dengan k>0, disebut firngsi kerugian kuadratis.
Definisi 2.4
Fungsi R : ExO-+ fr yang didefinisikan oleh R(f(x),0FEtL(T(x),0)J disebut frmpi resiko'
Funlsi ini menyatakan bahwa resfto yang dialami ala'bat suatu keputusan T(x) danmerupakan
nta-ratadari kemgian yag dialami apabila keputusan tersebut dilalokan.
Dertnisi 2.5
Misalkan Xr, Xz, ..., Isampel random dari suatu populasi berdistribusi f(x'o )
Resiko Bayes dari estimator T relative terhadap fungsi resiko R(T,o ) dan prior
r(0) adalah rata-rata frmpi resiko terhadap (0)' yakni
R' (T, n) = E[R(T, 0)J = J ng, e1-7r(0)'d0
o
Definisi 2.6
Misalkan Xr, Xr, ..., Xosampel random dari suatu populasi berdistribusi f(x,o ).
T' disebut estimator Bayes relatif tertadap resiko R(f,o ) dan prior n(0) jfta :
E[R'(T,0)] < E[R(T'O)]
Teorema
untuk setiap estimator T.
-*
2.1
Urt"k
fir"gsi kerugian kuadratik, estimator Bayesnya adalah meail posterior-
Bukti
suatu populasi berdistribusi fuO ) dan 0 sendiri berditibusi a(0). Berdasa*an
sampel random X1, X3 ..., Xo akan ditentukan estimator untuk 0'
Misalkan
X
Resiko Bayes terhadap prior z(0) adalah :
R'1r,r;
: Jn1r,e;n(0)d0 : J E1r1r,e)l.n(e)de
AO
: JJ qr, e)-fix I 0)dvc(0).d0 : JJ r1r' e;-f (x / 0)'n(g)'d0'dx
Karena d0lx)
maka
f(x/0);r(0)
f(x/0)n(0)
m(x)
densan
Jr1xlel.n1el.ae
diperolen d(r,n) : m1x;J I- (T,0).n(0 / x)-d0-dx
J
:
m;n (r,")
ry
Jr1r,e;n101
m6pJf(x /0):l(0).de
oan
x).do
khusus umtuk frmssi kuadrattk
Volume 2
|
gsminar Nasional Matematika dan Terapan 2012 (SiManTap 3)
min (r,n):
T" IUtt - 0)2.r(0/x).d0
kemudian dianrbil derivatituya terhadap T, akan diperoleh
yarng menghasilkan
r :Je."1elx)dO:
r
JZtg - 0).n(0/x)d0:
o
mean posterior
Distribusi student's- t univariat
Ddnisi 2.7
Suatu variabel random X dikatakan berdistn-busi student-t pada n derajat keb€basan dengan modus
p dan parameter skala r>0 [X - Lfu"r)], jika mempu- densitas :
(* p),
o** rftn + l)/ 2hr1, [o * - l-(n+')/2
f(n/2).(nr)"'I t
dengan mean
E{X}
I
p dan variansi Var(XF nd(n-2), jika n>2.
Be6ekal pengetahum dari definisi&eorema pada materi-materi diatasn prosedur pengerjaan
dilakukan dengan langkah-langffi berikut : (l) menyajikan fimgsi likelihood berdasarkan model
ARMA, (2) membentuk prior Jeftey berdasarkan fungsi likelihood (3) membentuk distribusi
posterior dengan teorema Bayes, yaitu mengalikan fungsi likelihood dengan distribusi prior, (4)
membentuk distrr'busi prediktif berdasarkan model ARMA, (5) membentuk disnibusi prediktif
posterior, yaitu mengalikan disEibusi prediktif dengan distrrbusi posterior, (6) membentuk
disnibusi prediktif posterior maryinal dengan pengintegralan berulang terhadap distnbusi prediktif
posterior, (7) menentukan hasil peiamalan dengan mengambil nilai ekspektasi terhadap distribusi
prediktif posterior marginal dan (8) aplikasi model peramalan pada sekumpulan dat4 seperti pada
chart berikut:
ffi
SeminmNasional Matematfta dan Terryan 2012 (SilvlanTap 3)
I Vohme 2
Pq
:DY,r *Ibr",'
rdodel ARMA(p,d , X
i{
(l)
*.
tr
Fungsi likelihood
r,(Y,r-r lS")
(3)
()
Distribusi posterior
tr$rd'ls")
Distribusi predilrif f ( y*1
$,Yr')
|
3. Analisis
=lQrf,-, +fer",-r*c,,
Berdasairkan modely,
i=l
Sod"
yz, ...
,yJ
et = yt
secara eksplisit untuk
residu erdapat dituliskan dalam bentuk
:
i=l
obser- vasi
-
pq
-10,v,_, -
n
q=l
I0.,",-,
............... (3.1)
a=l
Fungsi lihelihood
Dengm sytrat p observasi yang pertam4 misalkan %: %-r
Q maka berdasarkan
Jenkins Qn6\ suatu hampiran fimgsi likelihood dari yr*r,...Jo artalah
L.(o,@,r I sJ
* r(F(Flovz.,.o{-
I
merupakm fmgsi
G=(01,02,..,0J
Volume2
|
dri
param€ter
- ir,",-,]'l]
:[zft=n+r\
i ( r, -i4,r,-,
j=r )
i=r
\t-{Ot,Otf
dan
r, dimana
(D
......
Box&
o.,
l)
: (h,fu, --.,hf a-
SeminarNasionalMatematikadanTerapan2012
(SiManTapt
ffi
Dalam hal ini e,diestimasi oleh :
o,
dimana 0',
d*6,
.
vla p€rsamaan
masing-masing adalah
\P
yr=I{;y,_;+f
i:l
y, = YrB,-r * e,,
-f Q.,_,
- 16,
r,-,
*;*,
nua*tjJ*"cil
=y,
untuk
0re,_r+e, yang dapat
j=r
9
sehingga
Q;
dan 0; yang ditentukan
q
ait"rrtut
*
dinyatakan dalam bentuk
dengan cara meminimumkan bentuk
i"l= i
(r,
:
:
_y'a,_,I
.:p+r
dengan lmg|