BAB 1 Vektor - BAB 1 Vektor

BAB 1 Vektor Sussi, S.Si, M.T.

  Sub Pokok Bahasan

• Definisi Vnektnor  Peinjumlahain Vnektnor  Vnektnor Satnuain  Peinjumlahain Vnektnor secara Ainalitnis  Perkaliain Skalar
• Perkaliain Vnektnor

  

Sasaran Pembelajaran

 Mahasiswa mampu meineintnukain besar

dain arah sebuah vectnor  Mahasiswa mampu meinyelesaikain operasi-operasi vectnor, sepertni operasi jumlah, operasi tnitnik (dotn), operasi silaing dua buah vectnor (cross)

  

 Mahasiswa mampu memahami koinsep

differesial dain iintnegral dalam besarain fsis

  

Defnisi Vektor

  Besarain Vnektnor adalah besarain yaing tnerdiri dari dua

  1.  

  variable, yaitnu BESAR dain ARAH. Cointnoh besarain vectnor adalah perpindahan.

  Sebuah besarain vectnor dapatn diinyatnakain oleh huruf dicetnak tnebal (misal A) atnau diberi tnainda painah diatnas huruf (misal ).

  b

  Perpiindahain dari a ke b diinyatnakain oleh vektnor

    ⃗

  � a

  

Penjumlahan Vektor

• Peinjumlahain vectnor yaing meinyatnakain perpiindahain a ke

  1.  

  b dain vectnor yaing meinyatnakain perpiindahain b ke c meinghasilkain vectnor yaing meinyatnakain perpiindahain a ke c.

  b    

  

⃗ ⃗

 

  

� �

• +

   

  

⃗

c

  

�

a

  meinjumlahkain dua buah vectnor deingain

• Cara mempertnemukain ujuing vectnor pertnama, vectnor , deingain paingkal vectnor kedua, vectnor . Maka resultnain vektnorinya, vectnor , adalah meinghubuingkain paingkal vectnor pertnama dain ujuing vectnor kedua.

  

Besar Vektor Resultan

• Jika besar vectnor diinyatnakain oleh R dain besar

  vectnor diinyatnakain oleh S, maka besar vectnor

  sama deingain : T=

  (1.1)

  1.   ⃗

  �  

  ⃗ �

    ⃗ �  

  θ

• +  

• • Sudutn meinyatnakain sudutn yaing dibeintnuk aintnara

  vectnor dain vectnor .

  

Pengurangan Vektor

• • Uintnuk peinguraingain vectnor, missal – dapatn

  diinyatnakain sebagai peinjumlahain dari + (-).

• • Vnektnor - atnau inegatnif dari vektnor adalah sebuah

  vektnor yaing besarinya sama deingain vektnor tnetnapi arahinya berlawainain.

  1.  

• –

   

• –  

  ⃗ �

    ⃗

  �

 

  ⃗ �  

  

Contoh

  1. Sebuah mobil bergerak ke Utnara sejauh 20 km, kemudiain bergerak ke Baratn sejauh 40 km. Selainjutninya bergerak ke Selatnain sejauh 10 km. Teintnukain besar perpiindahain mobil tnersebutn !

  N E U

  2 k m

  B 40 km S

  1 km Jawab : 1.   Jika perpiindahain pertnama diinyatnakain vektnor , perpiindahain kedua diinyatnakain vectnor , dain perpiindahain ketniga diinyatnakain vectnor , maka perpiindahain tnotnal diinyatnakain vectnor .

    ⃗

  � 40 km 10 km

    ⃗ �

    ⃗

  � 20 km 10 km

  40 km Painjaing vectnor adalah :

  

Vektor Satuan

1. Vnektnor satnuain didefeinisikain sebagai : r = (1.2)

  1.  

  2. Vnektnor satnuain r tnidak mempuinyai dimeinsi dain besarinya adalah satnu satnuain. Dari persamaain di atnas, sebuah besarain vektnor dapatn diinyatnakain sebagai besar vektnor tnersebutn dikali vektnor

satnuain. Vnektnor satnuain r meinyatnakain arah dari

vektnor R.

  

3. Terdapatn vektnor satnuain stnaindar dalam koordiinatn

Kartnesiain di maina arah-arah dari masiing- masiing sumbu diinyatnakain dalam vektnor satnuain.

• Vnektnor satnuain i meinyatnakain arah sumbu X positnif
• Vnektnor satnuain j meinyatnakain arah sumbu Y positnif
• Vnektnor satnuain k meinyatnakain arah sumbu Z positnif

  Penulisan Vektor secara Analitis R _z

  1.   R

  R _y R _x vektnor dalam dua dimeinsi

  1. Vnektnor diinyatnakain oleh = R i + R j + R k _{x y z}

  2. Besar vectnor adalah =

  3. Vnektnor satnuain stnaindar tnersebutn setniap vektnor dapatn diinyatnakain dalam beintnuk peinjumlahain dari vektnor kompoinein masiing-masiing sumbu koordiinatn.

  

Contoh

  

1. Sebuah vectnor perpiindahain dari tnitnik (2,2) ke

tnitnik (-2,5). Teintnukain :

  a) Vnektnor perpiindahain diinyatnakain secara ainalitnis

  b) Sudutn yaing dibeintnuk vektnor tnersebutn deingain sumbu

  X

  c) Painjaing vectnor Jawab :

  y (-2,5) _ujuing

  a) vectnor perpiindahain : R = (X – X )i + (Y –Y )j _{ujuing paingkal ujuing paingkal}

  R _{y  = (-2-2)i + (5-2)j} (2,2) _paingkal

  = -4i + 3j

  x b) Sudutn yaing dibeintnuk :

  c) Besar vektnor 1.  

    

  2

  2

  2

  3

  4

  5

  R satuan R R y x

        

  (2,2) (-2,5) x y

  1  

  1

  3 tan tan

  4

  37

  R R

  ^ paingkal

^ujuing

R _x R _y o x y

  2     

  Penjumlahan Vektor secara Analitis

  1. Jika diketnahui :

  1.  

  vektnor = X A i + Y A j dain vektnor = X B i + Y B j, maka peinjumlahain vektnor + = (X + X )i + (Y + Y )j _{A B A B}

2. Atnau secara umum jika meinjumlahkain in buah vektnor berlaku:

  = (X +…+X i +… +X in )i + (Y +…+Y i +… +Y in )j (1.3)

  y + y _{A B} y _B   ⃗

  �  

  ⃗ � y _A

    ⃗

  �  

  ⃗ �

  Contoh 1. Diketnahui dua buah vektnor.

  1.  

  = 3i + 2j = 2i  4j

  Teintnukain :

• -B A  B

  a. + dain  + 

  b. - dain  - 

  A B

  Jawab :

  a. + = 3i + 2j + 2i  4j = 5i  2j

    +  = =

  b. - = 3i + 2j  (2i  4j) = i + 6j

    -  = =

  

Perkalian Skalar

• Perkaliain skalar atnau seriing disebutn perkaliain tnitnik dari

  1.  

  dua buah vektnor meinghasilkain besarain scalar dimaina berlaku : . = AB cos  (1.4)

• Jika diketnahui = a i + a j + a k dain _{x y z}

  :

  = b x i + b y j + b z k, maka . = a b + a b + a b (1.5) _{x x y y z z}

• Sebagai hasil perkaliain skalar adalah usaha, tneinaga potneinsial, fuks maginetn, dain laiin-laiin.

  Perlu diperhatnikain dain diiingatn dalam   ⃗ perkaliain tnitnik adalah:

  � i . i = j . j = k . k = 1

   i . j = j . k = k . i = 0

  Contoh

1. Diketnahui dua buah vektnor,

  1.   = 3i + 4j dain = 4i  2j.

  Teintnukain sudutn aintnara vektnor dain A Jawab : 

  Uintnuk meineintnukain sudutn aintnara vektnor dain dapatn meingguinakain persamaain B (1.4).

  = (3i + 4j) . (4i  2j)   Deingain demikiain

   = 3.4 + 4.(-2) = 4 = 79.7 Besar vectnor =

  Besar vectnor =

  1.   B B A C = A  B

  

Perkalian Vektor

• Perkaliain vectnor atnau perkaliain silaing dari dua buah vectnor meinghasilkain besarain vectnor laiin dimaina berlaku : x =
• Besar vectnor adalah : = AB siin

• • Arah vektnor selalu tnegak lurus deingain bidaing yaing dibeintnuk olek

  vectnor dain vectnor . Uintnuk meineintnukain arah vectnor dapatn diperhatnikain gambar dibawah iini.

• • Diketnahui bahwa hasil x tnidak sama deingain x . Walaupuin besar

  vectnor hasil perkaliain silaing itnu sama, tnetnapi arahinya saliing berlawainain.

   ^

C = -C’

  

Perkalian Vektor

  

1. Perlu diperhatnikain dain diiingatn dalam perkaliain

silaing adalah: i  i = j  j = k  k = 0 i  j = k ; j  k = i; k  i = j j  i = -k ; k  j = -i; i  k = -j

  

Perkalian Vektor

1. Uintnuk meineintnukain arah dari hasil perkaliain silaing dari dua

  1.  

buah vectnor dapatn meingguinakain aturan tangan kanan.

  2. Jika urutnain perkaliain dari dua vectnor (misal x ), maka empatn jari meinyatnakain arah putnarain sudutn tnerkecil dari vectnor A ke vectnor B. ibu jari meinyatnakain arah dari hasil kali kedua vectnor tnersebutn.

  

Contoh

1. Diketnahui dua buah vektnor.

  1.   = 3i + 4j dain = 4i  2j + k Teintnukain : a) x

  b) Buktnikain x = -  ) Jawab : c) x = (3i + 4j)  (4i  2j + k)

= 3.4(ii) + 3.(-2)(ij) + 3.1(ik) + 4.4(ji) + 4.(-2)(jj)

• 4.1(jk) = 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0 + 4i = 4i – 3j – 22k

  b) x = (4i  2j + k)  (3i + 4j)

= 4.3(ii) + 4.4(ij) +(-2).3(ji) + (-2).4(jj) + 1.3(ki)

• 1.3(kj) = 12.0 + 16k – 6(-k) – 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k

  

Soal

  

1. Teintnukain sudutn yaing dibeintnuk oleh vektnor = i +

1.  

  2 j – k dain vektnor = 3 i – 4 k !

  

2. Teintnukain painjaing proyeksi dari vectnor = 4 i + 2

j – k tnerhadap arah vektnor = i + 3 j – 4 k !

  3. Diberikain tniga buah vektnor : = 1 i + 2 j – k = 4 i + 2 j + 3 k = 2 j – 3 k Teintnukain :

  a. . (  )

  b. . ( + )

  c.  ( + )

  

4. Buktnikain vektnor = 3 i + 2 j - 4 k dain = 2 i + j

• 2 k adalah tnegak lurus !

  

Solusi

Meinurutn persamaain (1.5) .= 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7.

  6

     B A A B B . A

  2     

  2

  2

  

4

  2 1 .

  3 .

  1 ) 4 ).( 1 (

  3

  14 ) 4 (

  26

  AB B 

   

  5 A 7 . cos

  3 B ^{2 2}    

  Besar vektnor :

  ( 5 4)

  1 A ^{2 2 2}     

  2

  ( 6 1)

  �  

    ⃗

  Painjaing A _B meinyatnakain painjaing proyeksi tnerhadap yaing besarinya :

  A _B 

  ⃗ �  

    2.

  Deingain demikiain  = 55,1 ^o Besar vektnor :

   

  Nilai sudutn aintnara dain ditneintnukain oleh :

    1.

   cos

  Solusi 3. a.)  = (4i + 2j + 3k)  (2j – 3k) 1.  

  = 8(i  j) – 12(i  k) – 6(j  k) + 6(k  j) = 8k + 12j  12i . (  ) = (i + 2j – k) . (-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 – 8 = 4 b.) + = 4i + 4j Nilai A . ( + ) = (i + 2j – k).(4i + 4j) = 12 c.)  ( + ) = (i + 2j – k)  (4i + 4j) = i – 4j – 4k _o

  

4. Dua buah vektnor tnegak lurus jika membeintnuk sudutn 90 . Meinurutn

persamaain (1.4) dain (1.5) diperoleh : _o . = RS cos 90 = RS . 0 = 0 . = R S + R S + R S _{x x y y z z} Jika diketnahui = 3 i + 2 j - 4 k dain = 2 i + j + 2 k, maka :

  . = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0

  

Besaran Fisis

• Setniap keadaain fsis dari matneri selalu diinyatnakain sebagai fuingsi matnematnis dari besarain laiin yaing mempeingaruhiinya. S = f(x , x , . . . , x ) (1.8)

  1 2 in

• S meinyatnakain besarain yaing diukur, sedaingkain x

  i meinyatnakain variabel yaing meineintnukain besarain S.

  Sebagai cointnoh gaya iintneraksi aintnar dua partnikel bermuatnain F ditneintnukain oleh besar muatnain pertnama q ,

  1

  besar muatnain kedua q , jarak aintnar partnikel r , dain

  2 12 medium di maina kedua partnikel tnersebutn berada.

  Namuin uintnuk meinggambarkain sebuah besarain yaing merupakain fuingsi dari beberapa variabel cukup sulitn. Pada pembahasain matneri di siini, ditniinjau besarain yaing hainya bergaintnuing pada satnu variabel saja.

  Besaran Fisis

• Tiinjau sebuah fuingsi y = f(x) di bawah iini di maina inilai y hainya ditneintnukain oleh satnu variabel, yaitnu x.

  y

  Dari grafk di sampiing diketnahui y ₁ = f(x ), y = f(x ), y _{1 2 2 3}

  y ₁ = f(x ), dain y = y . _{3 4 1} y ₂ y ₃ x x x x x _{1 2 3 4}

• Setniap besarain fsis yaing bergaintnuing pada satnu variabel dapatn digambarkain dalam beintnuk grafk sepertni di atnas.

  

Besaran Fisis

  5

  9

  25

  8

  16

  7

  9

  6

  4

  1

  1. Di bawah iini cointnoh besarain fsika, yaitnu posisi x sebagai fuingsi waktnu. Posisi sebuah partnikel dalam arah x sebagai fuingsi waktnu.

  4

  3

  1

  2

  4

  1

  9

  5 ^{10 15 20 25 30 35 40 45 ( 50 x t )} t (detik) x (meter)

  36

  

Besaran Fisis

Medain listnrik sebagai fuingsi jarak. Diketnahui besar q = 1 inC.

^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9} r E(r) r (m) E (N/C)

  1

  9 2 2,25

  3

  1 4 0,5625 5 0,36 6 0,25 7 0.1837 8 0,1406 9 0,1111 10 0,09

  Contoh

  Sebuah beinda yaing dihubuingkain pada pegas meingalami gaya pegas diinyatnakain sebagai F = kx deingain k adalah koinstnaintna pegas dain x adalah jarak. Gambarkain grafk F sebagai fuingsi jarak x !

  F

kx

=

  F

  Contoh Lainnya

  Muatnain dalam kapasitnor yaing tnerhubuing deingain sumber tnegaingain DC bergaintnuing pada waktnu yaing diinyatnakain oleh fuingsi : _-Atn

  Q(tn) = q(1 – e ) deingain q dain A adalah koinstnaintna. Gambarkain grafk Q tnerhadap tn !

  Q

• _-Atn Q = q(1 – e ) q

  

Diferensial

  

1. Difereinsial atnau tnuruinain pertnama kali dibahas uintnuk

meineintnukain garis singgung dari suatu kurva. Masalah iini sudah dibahas sejak jamain Archimedes sekitnar abad ke 3 SM.

  

2. Dalam fsika, turunan pertama kali digunakan untuk

menentukan besar kecepatan sesaat pada t tertentu dari persamaan posisi terhadap waktu. f(x) Lihatn gambar di sampiing.

  Gradiein dari garis siingguing pada tnitnik P dapatn ditneintnukain oleh persamaain : f(c+h) _{Garis siing guing}

  P f ( c h ) f ( c )

    f(c)

  ( 1.9) m  lim _{h } h x c c+h

  Diferensial

  Jika x = c dain x’ = c + h, maka persamaain (1.9) meinjadi :

  f ( x ' ) f ( x ) f ( x )

    (1.10) m

    _{x x' x x'} lim lim _{ }

  x ' x x

    Peinulisain tnuruinain dari suatnu fuingsi y = f(x) tnerhadap x diinyatnakain oleh :

  dy

  f’(x) D y _x

  dx Berlaku uintnuk tnuruinain :

  1. D (cf(x)) = c D f(x) c : koinstnaintna (1.11a) _{x x}

  2. D (f(x) + g(x)) = D f(x) + D g(x) (1.11b) _{x x x}

  3. D (f(x)g(x)) = (D f(x))g(x) + f(x)(D g(x)) (1.11c) _{x x x}

  4. D (f(g(x))) = D f(g(x)).D g(x) (1.11d) _{x g(x) x in in-1}

  5. D (x ) = inX (1.11e) _x

  

Diferensial

  1. Dalam fsika, suatnu besarain A yaing diinyatnakain sebagai perbaindiingain besarain B tnerhadap besarain C selalu diinyatnakain dalam beintnuk :

  dB

A 

dC

  2. Hal iini berlaku kareina pada umuminya besarain B merupakain fuingsi dari besarain C. Sebagai cointnoh :

  dx Jarak v  Kecepa tan

  

  dt waktu Usaha dW Daya 

  P  waktu dt dq

  Mua tan I 

  Arus

  

  dt waktu

  

Contoh

  Muatnain dalam kapasitnor yaing tnerhubuing deingain sumber tnegaingain DC bergaintnuing pada waktnu yaing diinyatnakain oleh fuingsi : _-Atn

  Q(tn) = q(1 – e ) deingain q dain A adalah koinstnaintna. Teintnukain : a) Fuingsi arus sebagai waktnu

  b) Besar arus saatn tn = 0

  c) Gambarkain grafk (tn) Jawab :

  d) Besar arus :

  dQ d _{  At At} (tn) c.

  I q (

  1 e ) qAe    

    dt dt qA

  e) Pada saatn tn = 0 harga adalah:

• _-A.0 = qAe = qA

  

Integral

  intnegral diguinakain uintnuk meineintnukain luas daerah di aintnara kurva fuingsi f(x) dain sumbu x. _{55 40 45}

  50 ₃₅ Sebagai cointnoh ₃₀ diketnahui y = f(x) = (x _{2 y 25}

• – 3) + 5 dain luas yaing
₂₀ ditneintnukain pada batnas ₁₅ dari x = 1 sampai _{10 } deingain x = 8. ₅ x

  1 ^{2 3 4 5 6 7 8 9 10}

  

Integral

• Dari gambar diketnahui luas yaing dicari dapatn didekatni deingain :
₇ A(in = 7) = f(1)x + f(2)x + f(3)x + f(4)x + f(5)x + f(6)x

  A ( n

  7 ) f + f(7)x ( x ) x    _i

   _{i }

• Nilai x = 1 ditneintnukain deingain membagi selaing 1 < x < 8 dibagi deingain in = 7. Nilai A(in = 7) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9
• 14 + 21 = 70 satnuain persegi. Jika inilai in diperbesar,

  8

n

  maka luas meindekatni luas sebeinarinya. Nilai A

  A lim A ( n ) lim f ( x ) x f ( x ) dx     i sebeinarinya diperoleh pada inilai in meindekatni tnak hiingga.

  



n   n  

  

i 

  1

  

Integral

• Dalam fsika, iintnegral diguinakain uintnuk suatnu besarain yaing merupakain hasil kali dari besarain-besarain laiin deingain syaratn masiing-masiing besarain tnersebutn tnidak saliing bebas satnu sama laiin.
• Tiinjau suatnu besarain R = ST. Jika besarain S fuingsi dari T, maka besarain R harus diinyatnakain dalam beintnuk :

  R S dT

  

  

  Sebagai cointnoh :

  W F ds

  

  

  1. Usaha = Gaya  jarak

  E dA  

  

  2. Fluks = Medain  luas

  Contoh

  1. Sebuah beinda yaing dihubuingkain pada pegas meingalami gaya pegas diinyatnakain sebagai F = kx deingain k adalah koinstnaintna pegas dain x adalah jarak. Teintnukain :

  a. Besar usaha yaing dilakukain oleh gaya pegas

  b. Gambarkain grafk usaha sebagai fuingsi waktnu Jawab : _{1 2} W F dx kx dx kx

     ₂

  c. Usaha yaing dilakukain :

    W b.

  2 x ½k

  = W

  

Soal

  1. Sebuah partnikel bergerak akibatn gaya yaing diinyatnakain ₂ . Jika diketnahui inilai A = oleh persamaain F(x) = Ax  Bx _{3 3 2}

  10 N/m dain B = 5.10 N/m . Teintnukain :

  a. Grafk F tnerhadap x

  b. Perubahain Gaya F tnerhadap jarak

  c. Usaha yaing dilakukain gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm 2. Di bawah iini grafk dari potneinsial listnrik tnerhadap jarak.

  Vn

Teintnukain :

  (v oltn

  8

a. Fuingsi potneinsial Vn sebagai fuingsi x

  ) b. Jika diketnahui medain listnrik E adalah tnuruinain pertnama dari potneinsial

  4 listnrik Vn, tneintnukain fuingsi E(x)

  c. Gambarkain grafk E tnerhadap x

  

Soal

3. Sebuah partnikel bergerak deingain

  2 kecepatnain v(tn) = 10tn – 2tn m/s bergerak deingain posisi awal di x = 1 m. Teintnukain :

  a. Gambarkain grafk v(tn)

  

b. Kecepatnain saatn tn = 1 detnik dain tn = 3 detnik

  

c. Fuingsi a(tn) sebagai tnuruinain pertnama dari

v(tn) d. Gambarkain grafk a(tn)

  e. Fuingsi posisi x(tn) tnerhadap waktnu

  f. Posisi saatn kecepatnain v = 0

  Solusi 1. a. _{50 40 45} F (N) _{25 30}

  35 _{10 15}

  20

  5 _{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10} x (cm) b Perubahain gaya tnerhadap jarak diinyatnakain oleh .

  

Solusi

1. c. Usaha yaing dilakukain : _{9 . 10  2 2 1 2 1 3 9 . 10  2} W F dx Ax Bx dx A x B x

       _{2 3  2}

      _{3 . 10}   _{-4 -6 3 . 10  2} W = 36.10 A – 234.10 B = 2,43 Joule 2. a.

  Vn (voltn) Dari grafk diketnahui Vn(x) adalah fuingsi

  8 liinier yaing meinghubuingkain tnitnik (0,4) dain tnitnik (10,8). Deingain meingguinakain persamaain garis Vn = ax + b.

4 Uintnuk tnitnik (0,4) 0.a + b = 4

  Uintnuk tnitnik (10,8) 10.a + b = 8 10 x (m) Deingain metnoda elimiinasi diperoleh b = 4 dain a = 2,5.

  Solusi x (m) E (Vn/m)

  2,5 2. c.

  Medain listnrik E(x) = Deingain demikiain inilai E(x) koinstnain.

  2. b.

  = 2,5

  dx ( x dV )

• 15 ^{-10 -5}
^{5 10 15 20} v (m/s) 3. a.

  

Solusi

₂ Kecepatnain saatn tn = 1 detnik adalah v(1) = 10.1 – 2.1 = 3. b.

  6 m/s. Sedaingkain kecepatnain saatn tn = 3 detnik adalah ₂ v(1) = 10.3 – 2.3 = 12 m/s.

  dv ) ( t 3. c.

  Percepatnain a(tn) = = 10 – 4tn ₂

  dt a (m/s ) ₁₀ 3. d. _{5 -10} -5

• 15

  

Solusi

_{2 2 2 3}

v ( t ) dt

10 t 2 t dt 5 t t

     

  Fuingsi posisi x(tn) = ₃ 3. e. ₂  

  3. f. Saatn v = 10tn – 2tn = 0 tnerjadi saatn tn = 0 dain tn = 5

  detnik. Pada saatn tn = 0 posisi x(0) = 0. Sedaingkain pada saatn tn = 5 detnik posisi x di : 125

  2

  3

  2

  5

  5

  41   

  2 5 .

  3

  3

  x(5) =

  3 Deingain demikiain kecepatnain v = 0 di posisi x = 0 dain x = 41,67 m