TUGAS LOGIKA INFORMATIKA Terjemahan: Mark Zegarelli: “Logic For Dummies, Chapter 11. Big Assumptions with Conditional and Indirect Proofs” REVISI II Oleh: GUNGUN GUNAWAN 208 700 837 IHSAN FAUZI RAHMAN 208 700 848 IRHAMSYAH 208 700 859 JAOHAN 208 700 862 S

  

TUGAS

LOGIKA INFORMATIKA

Terjemahan:

Mark Zegarelli: “Logic For Dummies, Chapter 11. Big

  

Assumptions with Conditional and Indirect Proofs”

REVISI II

  

Oleh:

GUNGUN GUNAWAN

208 700 837

  

IHSAN FAUZI RAHMAN

208 700 848

  

IRHAMSYAH

208 700 859

JAOHAN

208 700 862

  

SAEFUL MUBIN

206 700 186

PRODI TEKNIK INFORMATIKA JURUSAN TEKNOLOGI

FSAYALTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI

BANDUNG

  

2009

Bab 11 Asumsi-asumsi Besar dengan Pembuktian Bersyarat dan Tidak Langsung Di Dalam Bab Ini :

• Memahami pembuktian bersyarat
• Mengasumsikan dan mengeluarkan Premis-premis
• Membuktikan argumentasi-argumentasi dengan pembuktian yang tidak langsung
• Mencampur pembuktian bersyarat dan tak langsung

  

Pernahkah Kamu melihat satu pariwara murahan di mana juru pengumuman terus

  bertanya, "Sekarang berapa banyak akan kamu bayar?" sambil memasukan seikat barang sebagai tambahan yang tidak kamu inginkan dengan $19.95 mu, kompor kacamata hitam-alat parutan keju, penghancur es, dan alat pengupas kentang yang mengambil dari bawah air. Bab ini sedikit akan sama seperti cuplikan tersebut, hanya didalamnya terdapat perbedaan: Saya akan menambahkan beberapa macam bahan tambahan yang kamu benar-benar inginkan. Di dalam bab ini, Saya memperkenalkan dua bentuk pembuktian yang baru -

  

pembuktian bersyarat dan pembuktian yang tidak langsung -dengan sepenuhnya

  gratis. Tidak seperti pembuktian langsung saya mendiskusikan di dalam Bab 9 dan 10, pembuktian bersyarat dan pembuktian tidak langsung melibatkan satu asumsi, yang mana adalah satu Premis tambahan bahwa kamu tidak mengetahui benar hanya kamu asumsikan benar. Juga pada tanpa lebih lanjut memberi beban kepada kamu, di dalam bab ini, saya menunjukkan kamu tidak hanya bagaimana tetapi juga kapan untuk menggunakan masing-masing metode ini. Pembuktian bersyarat hampir selalu membuat suatu pembuktian lebih mudah, tetapi kamu tidak selalu bisa gunakannya. Bagaimanapun, ketika kesimpulan itu kepada satu argumentasi adalah a  -statemen, pembuktian bersyarat biasanya cara yang boleh. Sebaliknya, pembuktian tidak langsung, juga dinamakan

  

pembuktian dengan kontradiksi adalah satu industri metoda yang kuat yang

  bekerja pada setiap pembuktian. Bagaimanapun, meskipun sering menjadi hanya metode itu akan bekerja, itu bukan selalu cara yang paling mudah, maka gunakan itu dengan hemat.

  

Pengaruh keadaan Premis-premismu dengan Pembuktian

Bersyarat

  Maka, kamu adalah seorang siswa yang rajin -kamu sudah berlatih menulis, pembuktian sampai kamu dapat melsayakannya di dalam tidurmu. Kamu bahkan sudah menghafalkan setiap implikasi dan aturan ekuivalensi dari Bab 9 dan 10. Selamat, kamu sudah terus-terusan membuat kesalahan dalam hidup! Maka, kamu berpikir kamu semuanya adalah kumpulan ahli logika di lingkungan sekolah mu dan kemudian, pukulkan, batu argumentasi ini kedunia mu:

  P → ~Q, P v ~R : Q → ((~P & ~R) v (Q → P))

  Baik, sedikitnya kamu mengetahui bagaimana caranya mulai:

  1. P → ~Q P

  Hmmm, setelah menuliskan Premis ini, tidak ada keraguan tentang itu, ini adalah menjadi satu pembuktian yang berbulu. kuno coba? Di sini adalah beberapa dari statemen-statemen kamu capai dalam perjalannya:

  3. Q → ~P

  1 Contra 4. ~Q v ~P

  1 Impl 5. ~(Q & P)

  4 DeM 6. ~(~P & R) 2 DeM 7. ~P → ~R 2 Impl

  8. R → P

  7 Contra

  9. R → ~Q 1, 8 HS

  10. Q → R

  9 Contra 11. ~Q v R

  10 Impl Tidak satupun statemen-statemen yang benar-benar kamu dapatkan sebagaimana yang kamu butuhkan. Maka, kini adalah waktunya suatu taktik baru -satu yang mudah untuk gunakan dan benar-benar bekerja. Ya, kamu mengiranya: Taktik yang mudah digunakan. Saya mengisyaratkan pembuktian bersyarat.

  Memahami pembuktian bersyarat

  Pembuktian bersyarat membiarkan kamu untuk menggunakan bagian dari kesimpulan sebagai suatu premis itu kamu dapat terbiasa dengan mempembuktiankan sisa dari kesimpulan. Untuk mempembuktiankan kebenaran dari suatu argumentasi yang mempunyai kesimpulan dalam bentuk x  y (- ini beberapa  statemen), kamu dapat mengikuti langkah-langkah ini: 1. Lepaskan sub statemen x.

  2. Tambahkan x daftar Premis-premismu sebagai satu premis yang diasumsikan (AP).

  3. Pembuktiankan (bahwa) sub statemen y seolah-olah adalah kesimpulan. Gagasan itu sederhana, tapi brilian. Maka, dalam contoh di bagian sebelumnya, sebagai pengganti cara penyelesaian kerjamu dan berusaha untuk mempembuktiankan kesimpulan Q → ((~P & ~R) v (Q → P)) adalah sah, pembuktian bersyarat membolehkan kamu untuk:

  1. Lepaskan sub statemen Q.

  2. Tambahkan Q kepada daftar Premis-premis sabagai AP.

  3. Pembuktiankan (bahwa) sub (~statemen (~ P & ~R) v ( Q → P) seolah-olah adalah kesimpulan. Premis-premis adalah sama, namun sekarang kamu mempunyai satu premis yang diasumsikan (AP) tambahan. Di sini bagaimana itu bekerja:

  1. P → ~Q P

  2. P v ~R P

  3. Q AP Dengan pembuktian ini, kamu sedang berusaha untuk membangun statemen ((~P & ~R) v (Q → P)). Sekarang, bagaimanapun, kamu bermaksud untuk memecah premis-premismu dan mendapat potongan-potongan yang kamu perlukan. Sebagai contoh, periksa langkah-langkah ini: 5. ~R 2, 4 DS Dengan ketiga statemen-statemen tetap yang tunggal tersebut dipergunakan, kamu bisa mengerjakan: 6. ~P & ~R 4, 5 Conj 7. (~P & ~R) v (Q → P)

  6 Add Untuk melengkapi tkamu pembuktian, di sini adalah formalitas yang akhir:

  8. Q → ((~P & ~R) v (Q → P)) 3–7 CP Langkah akhir ini disebut pemecatan AP, yang menjelaskan kepada pembaca tersebut, meskipun kamu sedang beroperasi seolah-olah asumsi itu benar dari statemen-statemen 3 sampai 7, kamu sudah tidak lagi membuat asumsi ini di dalam statemen 8. Dengan kata lain, kesimpulannya adalah sangat benar jika asumsi itu tidak benar! Mungkin kamu bertanya "Tetapi saya tidak bisa melsayakan itu, bisakah Saya?” Saya tidak mempembuktiankan bahwa kesimpulan nyata adalah benar. Semua yang saya pembuktiankan adalah karena bagian dari benar. Dan yang lebih buruk lagi, saya lsayakannya menggunakan suatu premis palsu bahwa saya mencuri dari kesimpulan." Kamu benar. Susunan ini kelihatannya terlalu baik untuk menjadi benar. Bagaimana pun, premis-premis adalah seperti uang di bank, dan kesimpulan adalah seperti suatu debit kartu kredit yang tidak menyenangkan yang kamu lebih suka tidak melihatnya. Tetapi, akibatnya bagaimana jika saya mengatakan kepada kamu bahwa kamu bisa potong hutangmu dengan separuh dan uangmu di bank? Ini sangat mirip dengan pembuktian bersyarat yang mengizinkankamu untuk lsayakannya -itu adalah adil, legal dan tanpa agen kredit yang akan menghubungi kamu. Sebagai contoh, ingat bahwa argumentasi asli menyerupai hal ini:

  P → ~Q, ~(~P & R) : Q → (~(P v R) v (Q → P))

  Jika kesimpulan itu bisa berbicara, ia akan berkata, "Kamu perlu untuk menunjukkan saya bahwa jika Q benar, lalu ~(P v R) v (Q → P) adalah juga benar." Menggunakan suatu pembuktian yang bersyarat, kamu membantah kepada kesimpulan, berkata "Baik lalu, saya akan menunjukkan kamu bahwa mengasumsikan Q benar ~(P v R) v (Q → P) adalah juga benar." Dan lalu kamu sungguh melsayakan seperti itu: Kamu berasumsi bahwa Q benar dan lalu kamu mempembuktiankan sisanya.

  Menarik kesimpulan

  Kamu dapat menerapkan aturan ekuivalensi (kesamaan) kepada kesimpulan dari suatu argumentasi untuk membuat pembuktian bersyarat lebih mudah digunakan.

  Melemparkan kesimpulan-kesimpulan dengan Contra

  Untuk mengambil keuntungan penuh dari bagian ini, kamu harus pertama mengingat bahwa kamu dapat menggunakan setiap -statemen di dalam dua kesimpulan itu adalah a -statemen, kamu dapat menggunakan pembuktian bersyarat untuk menyerangnya dalam dua cara yang berbeda. Sebagai contoh, periksa pembuktian ini, yang diambil pada nilai nominal:

  P → Q, R v (Q → P) : ~(P↔Q) → R

  1. P → Q P

  2. R v (Q → P) P 3. ~(P↔Q) AP Jika kamu memulai pembuktian dengan cara ini, premismu yang yang diasumsikan tidak sangat sangat menolong. Tetapi, membayangkan menggunakan

  

Contra di kesimpulan itu untuk mendapat ~R → ( P↔Q). Menggunakan Contra

  membolehkan kamu untuk mengambil langkah-langkah yang berikut:

  1. P → Q P

  2. R v (Q → P) P 3. ~R AP Dalam hal ini, kamu sedang berusaha untuk mempembuktiankan (bahwa) ( P↔Q). Solusi ini adalah jauh lebih langsung:

  4. Q → P 2, 3 DS 5. (P → Q) & (Q → P) 1, 5 Conj

  6. P↔Q

  5 Equiv Sekarang, kamu dapat membebaskan AP mu sebagai berikut: 7. ~R → (P↔Q) 3–6 CP Dan tidak melupakan untuk mengambil pembuktian tersebut di semua cara kepada kesimpulan: 8. ~(P↔Q) → R 7 Contra Setiap perubahan-perubahan kamu lsayakan pada kesimpulan itu akan muncul pada akhir tkamu pembuktian, bahkan setelah kamu membebaskan asumsi tersebut. Dalam hal ini, meskipun kamu telah berfikir dengan menggunakan Contra terlebih dulu, dan kamu menulis pembuktian dengan ini didalam pikiran, itu benar-benar nampak bertahan.

  Memenangkan melalui Implikasi

  Kamu dapat juga merubah setiap v-statement ke dalam a -statemen dengan menggunakan Impl (lihat Bab 10). Menggunakan Impl membuat setiap v- statement suatu kandidat yang berpotensial untuk pembuktian bersyarat. Sebagai contoh, mempertimbangkan argumen ini:

  P : ~R v (Q → (P & R))

  Tanpa pembuktian bersyarat, kamu tidak memiliki banyak harapan. Tetapi, banyak masalah menjadi lebih sederhana setelah kamu mengenali bahwa kamu dapat menggunakan Impl untuk menulis kembali kesimpulan seperti

  R → (Q → (P & R))

  Dan tetap lebih baik, kamu menggunakan Exp untuk menuliskan ulang ini:

  Jadi, sekarang kamu siap untuk melsayakannya dengan pembuktianmu:

  1. P P Sekarang kamu ingin mengambil P & R. Langkah tersebut pada kenyataannya menuliskan mereka sendiri:

  3. R 2 Simp

  4. P & R 1, 3 Conj Dengan hampir tanpa usaha, kamu siap melepaskan AP mu: 5. (R & Q) → (P & R) 2–4 CP Setelah kamu melepas AP mu, sisanya hanya menelusuri kembali ke bentuk asli kesimpulan:

  6. R → (Q → (P & R))

  5 Exp 7. ~R v (Q → (P & R))

  6 Impl

  Menyusun Asumsi-asumsi

  Setelah kamu mengasumsikan suatu premis, jika kesimpulan yang baru adalah a -statemen (atau dapat diubah menjadi sesuatu), kamu dapat mengasumsikan premis lain. Ini adalah cara bagus untuk mendapat dua (atau lebih!) asumsi- asumsi untuk harga nya. Ini adalah satu contoh:

  ~Q v R : (P v R) → ((Q & S) → (R & S))

  Mulai tugas, seperti biasanya, dengan premis mu dan AP: 1. ~Q v R P

  2. P v R AP Sayangnya, kamu masih mempunyai suatu cara yang panjang untuk mempembuktiankan (bahwa) ( Q & S) → (R &S). Tetapi, karena kesimpulan yang baru adalah a -statemen, kamu dapat mencabut AP lain, seperti ini:

  3. Q & S AP Sekarang, tujuan yang baru pembuktian R & S.Di sini langkah-langkah terlihat seperti:

  4. Q

  3 Simp

  5. S

  3 Simp

  6. R 1, 4 DS

  7. R & S 5, 6 Conj Dalam posisi ini, kamu dapat melepas AP yang kamu asumsikan: 8. (Q & S) → (R & S) 3–7 CP Dan sekarang, kamu dapat melepaskan AP yang pertama: 9. (P v R) → ((Q & S) → (R & S)) 2–8 CP Ketika kamu mengasumsikan premis lebih dari satu, kamu harus melepaskan mereka dalam susunan yang terbalik: Lepaskan premi yang terakhir erlebih dahulu kemudian kerjakan caramu kembali ke premis pertama.

  

Berpikir Secara tidak langsung: Mempembuktiankan Argumen-

argumen dengan Pembuktian Yang Tidak Langsung

  Hanya ketika kamu memikirkan segalanya berjalan dengan caramu, kamu bertemu dengan kebetulan suatu argumen yang tidak bisa dibayangkan oleh mu.

  P → (Q & ~R), R : ~(P v ~R)

  1. P → (Q & ~R) P

  2. R P Kelihatannya tidak banyak yang bisa kamu lsayakan dengan argumentasi ini, huh? Dan karena kesimpulan itu dalam satu bentuk maka kamu tidak bisa mengubahnya menjadi a →-statemen, pembuktian bersyarat berada diluar gambaran, supaya kamu boleh berpikir kamu benar-benar cocok. Kabar baiknya adalah bahwa kamu tidak cocok di semuanya. Sebenarnya, suatu dunia baru yang utuh akan membuka terserah kamu. Dan itu suatu dunia yang indah! Bagian ini menunjukkan kamu bagaimana caranya menggunakan pembuktian yang tidak langsung, yang mana tidak seperti pembuktian bersyarat, selalu satu pilihan seperti apa kesimpulannya.

  Memperkenalkan Pembuktian yang tidak langsung

  Pembuktian yang tidak langsung (juga disebut pembuktian dengan kontradiksi) adalah suatu jenis dari judo logis. Gagasan di sini untuk mengasumsikan bahwa kesimpulan itu adalah tidak benar dan menunjukkan mengapa asumsi ini salah. Sukses berarti bahwa kesimpulanmu benar selamanya. Untuk mempembuktiankan bahwa semua argumentasi adalah valid, kamu dapat mengikuti langkah-langkah ini:

  1. Tiadakan kesimpulan.

  2. Tambahkan peniadaan itu kepada daftar premis-premismu sebagai satu asumsi.

  3. Pembuktiankan (bahwa) setiap statemen yang berlawanan (setiap statemen dari bentuk x & ~x). Ketika bekerja dari contoh sebelumnya di dalam bagian ini, daripada berusaha untuk mempembuktiankan kesimpulan, ~(P v ~R), gunakan pembuktian yang tidak langsung, yang membolehkan kamu untuk menggunakan negasi nya, P v ~R, sebagai satu premis yang diasumsikan (AP). Ingat saja bahwa sekarang kamu mengkamulkan untuk mempembuktiankan bahwa asumsi ini memimpin ke arah satu statemen yang berlawanan. Di sini adalah pembuktian seperti apa yang akan kelihatan:

  P → (Q & ~R), R : ~(P v ~R)

  1. P → (Q & ~R) P

  2. R P

  3. P 0 ~R AP Tujuan mu sekarang untuk mempembuktiankan suatu statemen dan negasinya, lalu membiasakan mereka membangun suatu kontradiktori &-statemen, seperti ini: Dengan AP boleh kamu gunakan, pilihan-pilihan membuka tiba-tiba:

  4. P 2, 3 DS

  5. Q & ~R 1, 4 MP 6. ~R Simp

  Dalam poin ini, kamu sudah memperoleh kedua-duanya R dan ~R, supaya kamu membangun mereka ke dalam suatu statemen yang berlawanan sebagai berikut: Asumsi sudah memimpin kepada satu situasi yang mustahil, supaya kamu mengetahui bahwa AP harus salah. Jika P v ~R adalah salah, lalu ~(P v ~R) harus benar: 8. ~(P 0 ~R) 3–7 IP Seperti halnya pembuktian bersyarat, kamu perlu untuk melepaskan AP, yang menjelaskan itu, meskipun kamu sedang beroperasi seolah-olah asumsi itu benar dari statemen-statemen 3 sampai 7, kamu sudah tidak lagi membuat asumsi ini di dalam statemen 8.Sebenarnya, ini kamu sudah mempembuktiankan bahwa asumsi itu tidak benar!

  Mempembuktiankan kesimpulan-kesimpulan pendek

  Ketika saya sebutkan di Bab 9, argumentasi di mana kesimpulan itu adalah lebih pendek dibanding premis-premis cenderung untuk menjadi lebih sulit untuk mempembuktiankannya dibanding itu dimana kesimpulan itu lebih panjang, karena mematahkan premis-premis yang panjang bisa jadi rumit. Bagaimanapun, pembuktian yang tidak langsung bekerja terutama ketika kesimpulan itu lebih pendek dibanding premis karena kesimpulan yang ditiadakan menjadi satu premis pendek yang bagus untuk kamu gunakan. Sebagai contoh, mempertimbangkan argumentasi ini:

  ~((~P v Q) & R) → S, P v ~R : S 1. ~((~P v Q) & R) → S P

  2. P v ~R P 3. ~Q v S P

  Dengan cara apapun, kamu akan harus memecah premis yang pertama, tetapi akan jadi lebih mudah dengan beberapa bantuan:

  4. ~S AP

  Dengan segera, berbagai hal terbuka dan kamu dapat mengambil langkah-langkah berikut:

  5. (~P v Q) & R 1, 4 MT 6. ~P v Q 5 Simp

  7. R 5 Simp Ingat, kamu sedang berusaha untuk memperoleh dua statemen yang berlawanan.

  Namun sekarang, peluang itu lebih berlimpahan:

  8. P 2, 7 DS

  9. Q 6, 8 DS

  10. S 3, 9 DS

  Ketika kamu sedang lsayakan satu pembuktian yang tidak langsung, jangan dikelabuhi ke dalam pikiranmu dilaksanakan setelah kamu mempembuktiankan kesimpulannya. Ingat bahwa kamu juga perlu untuk membangun suatu statemen yang berlawanan.

  Dalam hal ini, AP memimpin ke arah negasi sendiri, yang membiarkan kamu untuk melengkapi pembuktiani:

  11. S & ~S 4, 10 Conj

  12. S 4–11 CP

  Dengan spesifik, baris 12 kelihatan seperti baris 10, namun sekarang kamu sudah memecat AP, sehingga pembuktian telah lengkap.

  

Mengkombinasikan Pembuktian Tidak Langsung Dan bersyarat

  Di sini adalah suatu pertanyaan yang umum dari para siswa: Jika saya telah menggunakan satu AP untuk suatu pembuktian yang bersyarat, Apakah saya harus memulai kembali jika saya ingin menambahkan satu AP untuk satu pembuktian yang tidak langsung? Kabar baiknya adalah kamu tidak harus memulai kembali, seperti penjelasan contoh berikut:

  ~P & Q → (~R & S), Q : R → P 1. ~P & Q → (~R & S) P

  2. Q P

  Pada pengabaian pembuktian pertamamu, kamu hanya dapat mengatur untuk mendapat ini:

  3. ~(~P & Q) 0 (~R & S)

1 Impl

  Barangkali langkah yang berikutnya ada di sana, hanya setidak-tidaknya, kamu tidak melihat nya. Maka, kamu harus melanjutkan. Dan karena pembuktian bersyarat adalah satu opsi, kamu mencobanya terlebih dulu:

  4. R AP (untuk pembuktian bersyarat)

  Sekarang kamu sedang berusaha untuk mempembuktiankan P, tetapi kamu masih tidak yakin bagaimana caranya lsayakan hal ini secara langsung. Sekarang, kamu dapat melanjutkan kepada pembuktian yang tidak langsung dengan menegasikan apa yang Kamu kini coba untuk mempembuktiankan dan menambahkannya sebagai suatu premis:

  5. ~P AP ( untuk pembuktian tak langsung )

  Sekarang, tujuannya adalah untuk mencari satu kontradiksi. Tiba-tiba, potongan- potongan jatuh masuk ke tempat:

  6. ~P & Q 2, 5 Conj 7. ~R & S 1, 6 MP 8. ~R 7 Simp

  Sekarang kamu siap untuk melepaskan AP tersebut untuk pembuktian tak langsung:

  9. R & ~R 4, 8 Conj

  10. P 5–9 IP

  Tentu saja, pembuktian P adalah tujuan dari pembuktian bersyarat asli, maka di sini adalah apa yang kamu dapatkan:

  11. R → P 4–10 CP

  Ingat:

  Ketika menggunakan metoda-metoda pembuktian tidak langsung dan bersyarat bersama-sama, melepaskan beberapa AP mu mulai dengan yang terakhir kamu