Aproksimasi Metode Dekomposisi Adomian pada Persamaan Diferensial Hiperbolik Linear

  

APROKSIMASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN PADA PERSAMAAN

DIFERENSIAL HIPERBOLIK LINEAR

Wartono, Yuslenita Muda

  Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN SUSKA RIAU e-mail :

  

ABSTRAK

Pada kertas kerja ini, kami menyelidiki hampiran penyelesaian semi analitik persamaan diferensial

hiperbolik dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian. Pendekatan penyelesaian eksplisit diperoleh

  

dengan mengubah persamaan diferensial hiperbolik ke bentuk deret u(x, t) = u ( x , t ) . Hasil

_{n n}

   0

perhitungan menunjukkan bahwa, metode dekomposisi Adomian cukup efektif untuk menghampiri

penyelesaian eksak.

  Kata kunci : metode dekomposisi, persamaan diferensial hiperbolik, Adomian,

  

ABSTRACT

In this paper, we investigate the approximation of semi analytically solution for hyperbolic differential

equation by using Adomian Decomposition method. We obtained a approximation of explicit solution by

  

changing the hyperbolic differential equation to the series u (x, t) = u ( x , t ) . The result showed that

_{n n}

   0 Adomian decomposition metod effectively to approximate the exact solution.

  Keyword : Decomposition method, hiperbolic differential equation, Adomian

PENDAHULUAN tidak melibatkan diskritisasi, linearisasi,

Metode dekomposisi diperkenalkan transformasi atau gangguan(Adomian, 1994).

  pertama kali oleh Adomian (1989,1994) yang Perkembangan terkini pada persoalan digunakan untuk menyelesaikan persamaan- fisika matematika, seperti masalah mate- persamaan fungsional linear dan nonlinear, matika terapan, teknik dan rekayasa dan seperti persamaan diferensial aljabar, bidang-bidang lain seperti biomatematik dan persamaan diferensial biasa, persamaan astrofisika, di mana persamaan diferensial diferensial parsial, persamaan diferensial parsial dibutuhkan untuk menyelesaikan integral, yang selanjutnya disebut metode permasalahan. dekom-posisi Adomian. Metode dekom- Tujuan dari kertas kerja ini adalah posisi Adomian merupakan penyelesaian menentukan penyelesaian persamaan dife- semi analitik yang melibatkan komputasi, rensial hiperbolik berdasarkan masalah nilai akurasi dan hampiran terhadap persa-maan batas dan nilai awal. operator deterministik dan stokastik baik Dita dan Grama (2008) mengkaji tentang linear maupun non linear, dengan metode dekomposisi Adomian untuk melibatkan sedikit perhitungan komputer. menyelesaian persamaan fungsi khusus, Tidak seperti metode perhitungan konve- seperti: persamaan fungsi Hipergeometri sional lainnya, metode dekomposisi Adomian Gauss, Persamaan Hipergeometri Konfluent;

  Polinomial Bessel dan Persamaan Integral Volterra, dan diperoleh hasil-hasil penyele- saian dalam bentuk operator diferensial.

  Selanjutnya, Mustafa (2005) mem- bandingkan metode dekomposisi Adomian dengan beberapa metode penyelesaian konveksional lainnya, seperti metode Wavelet-Galerkin (WGM), metode selisih hingga (FTCS), metode Crank-Nicholson (C-N), dan menunjukkan bahwa metode dekomposisi Adomian lebih efektif dibandingan dengan metode lainya. Kaya (2002) menyelidiki penyelesaian persamaan diferensial nonlinear khusus dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian, Kaya dan Mustafa (1999) mengkaji metode dekomposisi Adomian terhadap persamaan gelombang nonlinear dan membanding- kannya dengan penyelesaian eksak.

  (x,t) = 

  2

  2 t

  2

  2 u  x

   u

  2

  2

    

    

    

   

  

  1

  2

  !

    

  1 u x

    

     

  (5) Selanjutnya, dengan memasukan syarat awal pada x diperoleh dan selanjutnya,

  u

  1

  (x,t) = 

  2

    

  2

   

  

  2

  2

  1 u x

  L _tt

  = 

  2

  L _tt

  1 L t x t x g x f t x u _tt

  6

  2

  2

  1 u x

  L _tt

  = 

  2

  6

  

  6

  !

  6

  u x t

   

    

    

  2

   

  = 

  u x t

  2

  4

  4

  4

  !

  4

   

    

    

    

  u

  3

  (x,t) = 

  2

    

  

  ) , ( ) ( ) ( ) , (

  Secara umum persamaan diferensial hiperbolik diberikan oleh,

    

  2

  2

  2

  2

  2 ) , ( x u t x t u

      

  atau,

  BAHAN DAN METODE Metode Dekomposisi Adomian

  u tt (x,t) = (x,t) + 

  2 u xx (x,t) (2)

  dengan u tt = ) , (

  2

  2 t x u  t

  

  Pertimbangkan kembali persamaan (1) yang ditulis dalam bentuk,

  (x, 0) = g(x) Metode dekomposisi Adomian akan digunakan untuk menyelesaian persamaan diferensial hiperbolik linear, dan selanjutnya akan dibandingkan dengan penyelesaikan eksaknya.

  2

    

  ) , (

  2

  2

  2

  2

  2 t x x u t u

     

   

  

  , untuk 0 t  1 (1) dengan syarat batas

  u (0, t) = 0, u(1, t) = 0

  dan syarat awal

  u

  (x,0) = f(x),

  t u

  dan u xx = ) , (

  2 t x u  x

  Oleh karena itu diperoleh,

  2 L t x u _{xx tt}    (4)

  u t (x,0) = g(x), maka persamaan (3) menjadi

  u(x,t) = f(x) + g(x)t + ) , (

  1 L t x _tt

  

   ) , (

  1

  Metode dekomposisi memuat komposing fungsi-fungsi tak diketahui u(x,t) ke dalam jumlah komponen yang didefinisikan sebagai deret dekomposisi,

  1 L t x u t x L _{xx tt tt}       (3)

  u (x,t)

       ) , ( ) , ( ) , (

  2

  1 t x u t x u t x u

    

   ) , ( _{n n}

  t x u

  Berdasarkan syarat awal u(x,0) = f(x) dan

  2

   .

  Selanjutnya, dengan menerapkan invers operator ke dalam persamaan (2) diperoleh ) , ( ) , ( ) , (

  Jika diasumsikan bahwa invers operator diferensial

  1  _tt L ada, dan merupakan integral

  ganda terhadap t dari 0 sampai t, yaitu

  L dt dt ^{t t} _tt ) ( ) ( 0 0

  1 

     

  1

  1

  2

  1

  1 L t x u t x L t x u L _{xx tt tt tt tt}   

      atau

  t x t u x u t x u

  ) , ( ) , ( ) , (  

  ) , ( ) , (

  

HASIL DAN PEMBAHASAN

  3

  2

  2  

      x u t u

   , 0 t  1 (6) berdasarkan syarat batas

     

   ) , 1 ( ) , ( t u t u

  dan syarat awal

     

     ) , ( )

  3 sin(

  1 ) sin( ) , ( x u x x x u _t

  2

    Bentuk persamaan (6) dapat diubah dalam bentuk operator diferensial, _{xx tt}

  u u

   dan dengan menerapkan invers operator diferensial

   

    

   ^{t t} _tt L dtdt

  0 0

  1

  ) ( ) ( , diperoleh _{xx tt t}

  L u t x u x u t x u

  1 ) , ( ) , ( ) , (

  2

  2

  (7) Berdasarkan syarat awal, maka persamaan (7) menjadi, _{xx tt}

  1 , u 2 , 

  ) 1 ( 2 )

  1 ( 2 ) 1 (

  2

  )! 1 (

  2

  u dx n t _n ^{n n}

    

     

    

   , n  0

  Pada saat nilai suku-suku u , u

  diketahui, maka penyelesaian eksak dapat diperoleh dengan menggunakan hampiran

  Pertimbangkan persamaan hiperbolik berikut.

  u (x, t) = _{n n}

  

   

  lim (x, t) dengan

  ) , ( ) , (

  1 t x u t x ⁿ _{k k n}

    

    Akurasi pendekatan metode Dekom- posisi Adomian yang melibatkan jumlah suku-sukunya ditunjukkan dengan nilai galat yang didefinisikan oleh

  e = | u(x, t)  (x, t)|

  a. Homogen

  Untuk menunjukkan keakurasikan metode dekomposisi Adomian, kami pertim- bangkan contoh dengan diketahui penyele- saian eksaknya.

     

  L u x x t x u

  1

      

       

  u 2 =

    ) ) 3 sin(

  ) 3 ( sin( !

  4

  4

  3

  1

  4

  4 x x t

  u 3 =

  2

    ) ) 3 sin(

  ) 3 ( sin( !

  6

  6

  3

  1

  6

  6 x x t

      

  

  atau

  2 x x t

  1

  1

  1

  3

  1 ) ) 3 sin( sin( ) , (

       

  Oleh karena itu, diperoleh,

  u = sin (x) +

  3

  1

  sin (3x) dan selanjutnya

  u 1 = ) (3 sin + ) ( sin ( !

  2

  3

  2

  3

  2

  2

  1 x x x t L u L _{xx tt}  

       

     

   

  =

    ) ) 3 sin(

  ) 3 ( sin( !

  2

  2

  =

  u n+1 (x,t) = 

  2

  

  Oleh karena itu

  ) t x g x f t x u ( ) ( ) , (  

  dan

  u

  1

  (x,t) = 

  2

    

    

   

  2

  1

  2

  1 u x

  L _tt

  = 

  2

    

    

  !

  2

  2 t

  2

  2 L t x u _{xx tt}    (7)

  ) , (

    u

  2

    

    

   

   _{n tt} u x

  L

  2

  2

  1

  =

  ) 1 ( 2 )

  1 ( 2 ) 1 (

  )! 1 (

  (x,0) = g(x), maka persamaan (3) menjadi u(x,t) = f(x) + g(x)t

  2

  u dx n t _n ^{n n}

    

     

    

   , n  0

  Jika (x,t) = 0, maka persamaan (2) adalah persamaan homogen sehingga persamaan (2) menjadi

  u tt (x,t) = 

  2 u xx (x,t) (6)

  Berdasarkan syarat awal u(x,0) = f(x) dan

  u t

  2 u x

  2

  2

  6

  2

  2

  2

  1 u x

  L _tt

  = 

  2

  6

  6

  6

  !

  u x t

   

   

    

    

   u n+1

  (x,t) = 

  2

    

    

   

   _{n tt} u x

  L

  

    

  (x,t) = 

  2

  2

    

    

   

  

  1

  2

  2

  1 u x

  L _tt

  = 

  4

    

  4

  4

  !

  4

  u x t

   

    

    

  u

  (x,t) = 

  2

  2

  6

  3

  , 

  4

  , 

  2

  Hasil komputasi pendekatan metode dekomposisi Adomian dilakukan menggu- nakan Maple 7 dengan ketelitian sebesar 30 digit ditunjukkan pada Tabel 1 dan melibatkan  , 

  Untuk melihat seberapa efektif metode dekomposisi Adomian menghampiri penye- lesaian eksak, dapat dilihat dari galat yang diperoleh pada setiap suku-suku yang dilibatkan.

  Gambar 1 . Grafik penyelesaian persamaan (6) untuk 0  x  1, 0  t  1,

     (8) dan grafik u(x, t) diberikan pada Gambar 1 untuk 0  x  1, 0  t  1,

  1 x t

  ) ) 3 sin( 3 cos(

  , 

    

  Penyelesaian eksak persamaan (6) adalah ) sin( ) cos( ) , ( x t t x u

  Berdasarkan hasil yang diperoleh, menujukkan bahwa bentuk deret pangkat yang terlibat pada penyelesaian tersebut merupakan ekspansi deret terhadap fungsi cosinus.

  t t t

    

  2

  2

  4

  4

  6

  6

  8

  , dan 

  10

  pada x = 0,5. Berdasarkan Tabel 1 diperoleh bahwa ketelitian galat pada t = 0,1 dan t = 0,3 yang bergerak secara logaritmik. Hal ini menunjukkan bahwa, metode dekomposisi Adomian dianggap cukup efektif untuk menghampiri penyelesain persamaan nonlinear. Jika diberikan toleransi galat sebesar 10

•  
• … = sin(x)

  7

  , maka cukup dengan menggunakan 

• 3

  untuk t = 0,3 dan 

  5 e ^{8 0,17881485 10}

  1.00E-23 ^{1.00E-19 1.00E-15 1.00E-11 1.00E-07 1.00E-03 1.00E+01 e0 e2 e4 e6 e8 e10 t = 0,1 t = 0,3} Gambar 2 . Grafik kecepatan galat untuk t =

  Untuk memperjelas bagaimana galat bergerak, maka nilai-nilai galat pada Tabel 1 di plot pada Gambar 2.

  11

  22 0,24916471 10

  8 e _{10 0,80422671 10}

  16 0,68002622 10

  11 0,77202868 10

  6

  7 2 e _{6 0,16621117 10}

  3 0,20463781 10

  6

  Galat t = 0,1 t = 0,3 e 0,88461432 10

  Tabel 1. Galat pada setiap suku-suku yang terlibat pada deret di x = 0,5

  untuk t = 0,3 , maka hasil penyelesaian hampiran dianggap cukup dekat dengan penyelesaian eksaknya.

  2 0.23813742 10 e _{2 0,31803971 10}

  2 ) 3 (

  1

  2

  4

  4

  ) ) 3 sin( ) 3 ( sin( !

       

  2 x x t

  2

  1

  3

  2

  ) 3 ( sin( !

  1

    ) ) 3 sin(

  sin (3x) +

  1

  3

  = sin (x) +

  t x u

  ) , ( _{n n}

    0

  (x,t) =

  u

  3

  4

  !

  2

  4 ) 3 (

  !

  6 ) 3 (

       !

    

  sin (3x)   

  1

     t t t

  2

  4

  4 x x t

  4

  6

  6

  1

  2

  4 !

       ! 6 !

    

    

      

  0,1 dan t = 0,3

  

  1

b. Nonhomogen

  u 3 = L L u _{tt xx}

  2 Persamaan (6) dikatakan nonhomogen jika

  2

  4    t 

   

  1

  = L sin( x ) _{tt  } (x,t)  0. Selanjutnya pertimbangkan kem-

  2   4 !

   x      

  bali persamaan nonhomogen berikut.

  6 t

  2

  2   =  sin( x ) u u

  2     ( x , t ) (9)

  6 !

  2

  2   t x

  

  2 2 t

   e

  Jika diberikan = 1 dan (x, t) = x + 1, Oleh karena penyelesaian persamaan (7) maka persamaan (6) menjadi merupakan penjumlahan dari suku-suku deret

  2

  2

   

  u u t

  2

  4

  sehingga diperoleh    x e  1 , (10)

  2

  2

   

  t x u

  (x, t) = u + u

  1 + u 2 + u 3 + …

  untuk t  0, 0 t  1 Akurasi pendekatan Metode Dekomposisi berdasarkan Adomian bergantung kepada suku-suku yang

  u ( , t )  

  dilibatkan, syarat batas

   u ( 1 , t ) 

   = u

  

  2

  dan

  t 2 t

  

  = sin(x) + x e 

  2 !

   u ( x , ) sin( x ) syarat awal 

  = u + u 

  1

  1 u x  _t ( , )

  

  2

  2 t t

  2 t

    = sin(x) + x e sin( x ) dan dengan menerapkan invers operator _{t t}

  2 ! 2 !

  1  _t

  2 e   0 0

  diferensial L ( ) ( ) dtdt , diperoleh _tt    

  1

  1  

  

  2 = u + u 1 + u

  2 u ( x , t )  u ( x , )  u ( x , ) t  L  ( x , t )  L u _{t tt tt xx}

  2

  2 t t

   

• (11) = sin(x) x e sin( x )

  2 ! 2 !

  atau _{t t}

  4 

  1 2 t 

  1

   e x + 2 sin( )

     u ( x , t ) sin( x ) L x e L u _{tt tt xx}

  4 !

  

  3 = u + u 1 + u 2 + u

  3 Oleh karena itu, diperoleh

  2

  2 

  1 2 t t t

  

  u = sin(x) L ( x e

• 2

  1 ) ^{t tt} =  

• x e x

  sin(x)

  sin( ) 2 ! 2 ! atau _{t t t}

  4

  6

  2 e sin( x )  sin( x ) _t t

• 2 

  2 4 ! 6 ! u x e 

  = sin(x) +

  2 !

   sehingga Penyelesaian persamaan (10) adalah

  2 

  1 _{t t}

  2 u L L u

  1 = _{tt xx}    u (x, t) = sin( x ) cos( t ) ( x 2 ) e

  2

  2 2 !  

   t   

  1 2 t  

  = L sin( x )  x e  _{tt dan grafik persamaan u(x, t) diberikan pada}

  2    

  2 !  x    

  Gambar 3 untuk 0  x  1, 0  t  1,

  2 t _t

   x  e

  = sin( )

  2 2 ! 

  1 u L L u

  2 = _{tt xx}

  1

  2

  2    t 

    1 t

  = L  sin( x )  _{tt  } 2 e

  2   2 !

   x      

  4 t

  = sin( x )

  4 !

  Gambar 3 . Grafik penyelesaian persamaan (10) untuk 0  x  1, 0  t  1,

KESIMPULAN DAN SARAN

  Untuk mengetahui efektifitas dan efesiensi pendekatan yang dilakukan oleh metode dekomposisi Adomian dapat dilihat dari ketelitian galat yang dihasilkan.

  Tabel 2 menujukkan nilai-nilai galat untuk t = 1 dan t = 2, dan berdasarkan Tabel 2, dapat dilihat bahwa galat yang dihasilkan baik pada t = 1 maupun t = 2 bergerak secara logaritmik. Hal ini menunjukkan bahwa, metode dekomposisi Adomian cukup efektif menghampiri penyelesaian eksaknya.

  Jika diberikan ketelitian pendekatan sebesar 10

  9

  , maka hanya dibutuhkan sebanyak 6 suku untuk t = 1 dan 8 suku untuk dianggap penyelesaian hampiran cukup dekat dengan penyelesaian eksaknya.

  Tabel 2. Galat pada setiap suku-suku yang terlibat pada deret di x = 1

  Berdasarkan hasil kajian diperoleh bahwa metode dekomposisi Adomian cukup efektif dan akurat untuk menyelesaian persaoalan persamaan diferensial baik yang homogen maupun nonhomogen.

  Hasil pendekatan yang dilakukan metode dekomposisi Adomian terhadap persamaan hiperbolik memberikan gambaran pergerakan nilai-nilai galat secara logaritmik, baik pada persamaan homogen maupunn nonhomogen.

  Pada kertas kerja ini, metode dekomposisi Adomian digunakan untuk menentukan aproksimasi penyelesaian persamaan diferensial hiperbolik berdasarkan syarat batas dan syarat awal.

  Gambar 4 . Grafik pergerakan kecepatan galat untuk t = 1 dan t = 2

DAFTAR PUSTAKA

  3 e ^{6 0,96122127 10}

   = 2 e 0,50497413 10 ⁺¹ 0.13586466 10 ⁺² e ^{2 0,11480700 10}

  Galat t

  , D Reidel Publishing Company, Dordrecht.

  Differential Equations: New Methods for Their Treatment and Solution

  , Kluwer Academic, Dordrecht. Bellman, R & Adomian, G., 1985, Partial

  Problems of Physics: The Decomposition Method

  Adomian, G., 1994, Solving Frontier

  = 1 t

  2 0,69685160 10

  11 0,15554165 10

  1 e ₄ 0,23013973 10

  Untuk lebih menperjelas pergerakan galat pada Tabel 2, maka nilai-nilai galat pada Tabel 2 diplot pada Gambar 4. ^{1.00E-22 1.00E-18 1.00E-14 1.00E-10 1.00E-06 1.00E-02 1.00E+02 e0 e2 e4 e6 e8 e10 t = 1 t = 2}

  14

  21 0,31174058 10

  10 e ^{10 0,74728503 10}

  6 0,23041215 10

  6 e ₈ 0,13108597 10

  15 0,34094318 10 Celik, et. al. 2006. Solution of Differential- Algebraic Equations (DAEs) by Adomian Decomposition Method, Int. Journal Pure and Applied Math.

  Sci . 3(1):93-100.

  Kaya, D. 2002. The Use of Adomian Decomposition Method for Solving a Specific Nonlinear Partial Differential Equations, Bull. Belg.

  Math. Soc . 9 : 343-349.

  Kaya, D & Mustafa., 1999. On the Solution of the Nonlinear Wave Eequation by the Decomposition Method, Bull. Of

  the Malaysian Math. Society , 22: 151-155.

  Mustafa, 2005. Decomposition Methods for Solving Parabolic Equation in Finite Domains, Journal of Ahejiang Univ.

  Sci . 6A(10):1058-1064.

  Nagle, R. K & Saff, E. B., 1993,

  Fundamentals of Differential Equations and Boundary Value Problems , Addison-Wesley Inc., New York.