(2) TEORI ANTRIAN Model Dasar dan Latihan 10 NOV 17

TEORI ANTRIAN

  



1. Model DASAR

  Waktu antar Kedatangan : Eksponensial (Laju Kedatangan Rata-Rata : Tetap) Waktu Pelayanan : Eksponensial (Kecepatan Pelayanan Rata-Rata : Tetap) Sumber Input : Tidak Terbatas Panjang Antrian : Tidak Dibatasai (Tidak Terbatas) Jenis Pelanggan : Satu (Tidak ada Perbedaan Prioritas Pelanggan)

  



a. Jumlah Server = 1 (M/M/1)

  Contoh Kasus No. 1 :

  Waktu antar kedatangan para pelanggan pada suatu sistem antrian rata-rata adalah

  4 menit dan mengikuti distribusi eksponensial. Kecepatan pelayanan rata-rata dari server pada sistem ini, yang jumlahnya hanya satu, adalah 3 menit/pelanggan dan juga mengikuti distribusi eksponensial. Dari sistem antrian ini, ingin diketahui : 1) utilisasi server 2) jumlah pelanggan rata-rata yang antri menunggu pelayanan 3) jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem antrian 4) waktu rata-rata yang harus dihabiskan setiap pelanggan untuk antri 5) waktu rata-rata yang harus dihabiskan setiap pelanggan dalam sistem antrian 6) peluang atau probabilitas adanya lebih dari 3 pelanggan dalam sistem antrian Dengan asumsi terjadinya kondisi steady state pada sistem antrian ini, maka besaran-besaran tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

  Sistem ini merupakan sistem antrian M/M/1 dengan : 1/ = 4 menit/pelanggan atau = 15 pelanggan/jam

  λ λ

  1/ = 3 menit/pelanggan atau = 20 pelanggan/jam

  µ µ

  sehingga : 1) utilisasi server = / = 15/20 = ¾ atau 75 %

  ρ λ µ

  2) jumlah pelanggan rata-rata yang antri menunggu pelayanan

  2 λ

2 L q = = (15) /20(20-15) = 15.15/20.5 = 3.3/4.1 = 9/4 = 2,25

  ( )

  µ µ − λ pelanggan.

  3) jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem antrian L (atau L) = /( - s ) = 15/(20 – 15) = 15/5 = 3 pelanggan.

  λ µ λ

  4) waktu rata-rata yang harus dihabiskan setiap pelanggan untuk antri

  W q = ) (

  30, diperoleh laju pelayanan yang harus dimiliki sistem antrian ini, yakni

  3 n n

  P

  ≥

  0,95 sedangkan pada Contoh Kasus No. 1 diatas, ∑

  =

  3 n n

  P = 0,68 sehingga laju pelayanannya,

  µ , harus lebih besar dari 20 pelanggan/jam.

  Dengan cara coba-coba untuk harga

  µ >

  µ ≅

  Contoh Kasus No. 2 : Karena jenis pelanggan pada Contoh Kasus No. 1 merupakan pelanggan yang penting, manajemen ingin memberikan jaminan bahwa dengan confidence level 95 % tidak akan ada lebih dari 3 pelanggan (di dalam sistem antrian). Berapa laju pelayanan yang harus dimiliki sistem antrian ini ? Diinginkan ∑

  32 pelanggan/jam, seperti terlihat pada tabel berikut.

  Nilai P(n) µ

   = 30 µ

   = 32

  P 0,500 0,531 P

  1

  0,250 0,249 P

  2

  0,125 0,1167 P

  

3 0,0625 0,0547

Σ

  =

  Jadi, probabilitas adanya lebih dari 3 pelanggan dalam sistem antrian adalah = 1- 0,68 = 0,32.

  λ − µ µ λ

  .P dengan P = (1-

  = 15/{20(20 – 15)} = 15/20.5 = 3/20 jam = 9 menit 5) waktu rata-rata yang harus dihabiskan setiap pelanggan dalam sistem antrian

  W =

  λ − µ

  1 = 1/(20 – 15) = 1/5 jam = 12 menit

  6) peluang atau probabilitas adanya lebih dari 3 pelanggan dalam sistem antrian P(n

  >

  3) = 1 - P(n

  ≤

  3) Rumus umum : P(n) =

  ρ n

  ρ

  P = ¼ + 3/16 + 9/64 + 27/256 = = {64 + (3).16 + (9).4 + 27}/256 = (64 + 48 + 36 + 27)/256 = 175/256 = 0,68

  ) = 1 – ¾ = ¼ sehingga : P(n = 1) atau P(1) = (15/20)

  1 .(¼) = (¾ ).(¼) = 3/16.

  P(2) = (¾ )

  2 .(¼) = (9/16).(¼) = 9/64.

  P(3) = (¾ )

  3 .(¼) = (27/64).(¼) = 27/256.

  P(n

  ≤

  3) = ∑

  =

  3 n n

  0,938 0,952

b. Jumlah Server 2 (M/M/c)

  ≥

  Contoh Kasus No. 3 : Pada Contoh No. 2 diatas, ternyata laju pelayanannya tidak dapat ditingkatkan dari 20 menjadi 30 pelanggan/jam. Oleh karenanya, untuk memenuhi keinginan diatas, dicari alternatif seperti berikut : 1) Menambah 1 server yang berkemampuan sama, yakni = 20 pelanggan/jam,

  µ

  dengan ongkos operasi Rp. 10.000,-/jam/server; atau 2) Mengganti server lama dengan 1 server baru dengan kemampuan = 35

  µ pelanggan/jam, tetapi ongkos operasinya Rp. 15.000,-/jam.

  Alternatif mana yang sebaiknya dipilih ? Untuk alternatif 1) :

  Sistem antriannya adalah M/M/2, dengan = 15 pelanggan/jam, 2 server

  λ

  masing-masing dengan = 20 pelanggan/jam. Nilai P(n) untuk n = 0,1,2,3

  µ

  adalah :

  1 P =

  n c c

  1 −

  / /

  1

  λ µ λ µ ( ) ( )

• ∑ n ! c !

  1 / c

  n − λ µ = ( )

  1 =

  1

  2

  15 /

  20 15 /

  20 15 /

  20

  1

  ( ) ( ) ( )

  ! 1 ! 2 !

  1 15 /

  2

  20

  − ( ( ) )

  1

  1 = = = 1/(1+3/4+9/20)

  1 3 / 4 ( 9 / 16 )

  1

  3

  9

  1

  ( )

  1 x

  1

  1

  2

  1 3 /

  8

  4

  32 5 /

  8

  − ( ) = 1/(44/20) = 20/44 = 5/11 = 0,455.

  1 /

  λ µ ( )

  P

  1 = P = (15/20). (0,455) = 0,75 (0,455) = 0,34 1 !

  2

  2 /

  15 /

  20

  λ µ ( ) ( )

  P

  2 = P = .(0,455) = 0,281 (0,455) = 0,13

  2

  2 ! n

  2 15 /

  20

  /

  λ µ ( ) ( )

  P

  3 = P = (0,455) = 0,14 (0,455) = 0,06 n c

  1 −

  c ! c 2 .

  2

  sehingga P + P

  1 + P 2 + P 3 = 0,455 + 0,34 + 0,13 + 0,06 = 0,985

  0.95

  >

  



  =

  Jika kriteria idle cost yang digunakan, maka alternatif 2) merupakan alternatif yang lebih baik.

  Untuk alternatif 2) : idle cost = (0,571) x Rp.15.000,-/jam = Rp. 8.565,-/jam

  10.000,-/jam} = Rp. 9.100,-/jam + Rp. 3.400,- /jam = Rp. 12.500,-/jam

  0.95 Jadi kedua alternatif sistem antrian ini dapat memenuhi keinginan manajemen agar dengan confidence level 95 %, tidak akan ada lebih dari 3 pelanggan di dalam sistem antrian. Oleh karena itu, plihan alternatif sistem antrian akan didasarkan pada ongkos menganggurnya, atau idle cost. Untuk alternatif 1) : idle cost = {(0,455) x 2 x Rp.10.000,-/jam} + {(0,34) x Rp.

  >

  = 0,571 + 0,245 + 0,105 + 0,045 = 0,966

  3

  2

  1

  .(0,571) = 0,045 sehingga P + P

  3

  .P = (0,429)

  3

  ρ

  3

  Untuk alternatif 2) : Sistem antriannya adalah M/M/1, dengan

  .(0,571) = 0,105 P

  2

  .P = (0,429)

  2

  2 = ρ

  .P = 0,429.(0,571) = 0,245 P

  1

  1 = ρ

  = 1 – (15/35) = 1 – 0,429 = 0,571 P

  ρ

  = 35 pelanggan/jam. Nilai P(n) untuk n = 0,1,2,3 adalah : P = 1–

  µ

  = 15 pelanggan/jam, 1 server dengan

  λ

• P
• P

2. Model DASAR dengan KAPASITAS TERBATAS

  Waktu antar Kedatangan : Eksponensial (Laju Kedatangan Rata-Rata : Tetap) Waktu Pelayanan : Eksponensial (Kecepatan Pelayanan Rata-Rata : Tetap) Sumber Input : Tidak Terbatas

Panjang Antrian : Dibatasai (Terbatas) Perbedaan dengan Model DASAR

  ⇐ Jenis Pelanggan : Satu (Tidak ada Perbedaan Prioritas Pelanggan)

  



Contoh Kasus No. 4 :

  Jika seandainya sistem antrian para Contoh Kasus No. 3 diatas hanya dapat menampung 3 pelanggan saja, termasuk yang dilayani; maka diasumsikan bahwa pelanggan yang datang pada saat sistem antrian penuh (1 pelanggan sedang dilayani dan 2 lainnya antri) akan membatalkan niatnya dan kembali pada saat lain.

  Dengan keadaan seperti ini, ingin diketahui :

  a. Jumlah pelanggan rata-rata di dalam sistem antrian

  b. Customer lost untuk kedua sistem antrian diatas (1 server dan 2 server)

  c. Berdasarkan customer lost ini, sistem antrian mana yang sebaiknya digunakan ? Solusi :

  a. Jumlah pelanggan rata-rata di dalam sistem antrian Alternatif 1) : M/M/2 (dengan = 15 dan 2 server masing-masing dengan = 20

  λ µ

  pelanggan/jam)

1 P =

  n c −

   n c  c N

    / / λ µ λ µ λ

  ( ) ( )

  1    n ! c ! c  n 1 n c

• ∑ ∑
•  

   

  1  µ  = = +

  1 =

  1

  1

  2

  2

   

    15 / 20 15 /

  20 15 /

  20

  15

  ( ) ( ) ( )

     

  1

   

  1

  2

  2 2 .

  20 

   

   = 1/[1 + ¾ + 9/32 + 9/32(3/8)] = 1/[547/256] = 256/547 = 0,468

  c

  P /

  λ µ ρ ( ) N c N c

  

− −

  L q =

  1 N c

  1

  − ρ − − ρ − ρ ( ) ( )

  [ ]

  2

  c !

  1

  − ρ ( )

  2

  1

  1

  2

  = (0.468)(3/4) .(3/8)[1 – (3/8) – (1)(3/8) (1- 3/8)]/[2{1-(3/8)} ] = (0,0987)[5/8 – (3/8)(5/8)]/(119/64) = (0,0987)(25/64)(64/50) = 0,049 c 1 c

  1 − −

    ∑  ∑ 

  L (atau = L) = nP L c

  1 P

  s n q − n + + n  n 

  = =

  maka untuk menentukan besaran L s ini, perlu dihitung P 1 sebagai berikut.

  n /

  λ µ ( )

  P

  1 = P = (3/4)(0,468) = 0,351 n !

  L s = 0.(0,468) + 1.(0,351) + 0,049 + 2{1 - (0,468) – (0,351)} = 0,351 + 0,049 + 2(0,181) = 0,400 + 0,362 = 0,762 atau, dengan L = 0.P0 + 1.P1 + 2.P2 + 3.P3

  s n

  / λ µ

  2 ( )

  P

  2 = P = (3/4) (0,468)/2 = 0,1316 n ! n

  /

  λ µ

  3

  1 ( )

  P

  3 = P = (3/4) (0,468)/{(2)(2) } = 0,0494 n c

  −

  c ! c L = 0.P0 + 1.P1 + 2.P2 + 3.P3

  s

  = 0.(0,468) + 1.(0,351) + 2.(0,1316) + 3.(0,0494) = 0,762 Alternatif 2) : M/M/1 (dengan = 15 dan = 35 pelanggan/jam)

  λ µ ( ) ( )( )

  N

  1

• +

  / N 1 /

  λ µ λ µ

  L s (atau = L) =

  − N

  1

• 1 /

  1 /

  − λ µ ( )

  − λ µ ( )

  4

  4

  = (3/7)/(4/7) – (4)(3/7) /{(1-(3/7) } = 0,75 – 0,14 = 0,61 atau, dengan L s = 0.P0 + 1.P1 + 2.P2 + 3.P3

  4 P = (1-3/7)/{1-(3/7) } = 0,591

  1 P = ( / ) .P = (3/7) (0,591) = 0,253

  1 λ µ

  2

  2 P 2 = ( / ) .P = (3/7) (0,591) = 0,109 λ µ

  3

  2 P 3 = ( / ) .P = (3/7) (0,591) = 0,047 λ µ

  Ls = 0.P0 + 1.P1 + 2.P2 + 3.P3 = 0.(0,591) + 1.(0,253) + 2.(0.109) + 3.(0,047) = 0,253 + 0,218 + 0,141 = 0,612

  b. Customer lost untuk kedua sistem antrian diatas (1 server dan 2 server) Alternatif 1) : M/M/2 (dengan = 15 dan 2 server masing-masing dengan = 20

  λ µ

  pelanggan/jam) Customer lost terjadi bila sistem antrian penuh, sehingga pelanggan yang datang akan membatalkan niatnya. Saat sistem antrian penuh adalah bila terdapat 3 pelanggan di dalam sistem ini, sehingga berdasarkan hasil bagian a), diperoleh P

  3 = 0,0494. Alternatif 2) : M/M/1 (dengan = 15 dan = 35 pelanggan/jam)

  λ µ

  P 3 = 0,047.

  c. Berdasarkan besaran customer lost, maka diinginkan customer lost yang kecil, yakni sistem antrian dengan alternatif 2; dengan P

  3 = 0,047.

3. Model DASAR dengan SUMBER INPUT TERBATAS

  Waktu antar Kedatangan : Eksponensial (Laju Kedatangan Rata-Rata : Tetap) Waktu Pelayanan : Eksponensial (Kecepatan Pelayanan Rata-Rata : Tetap) Sumber Input : Terbatas Perbedaan dengan Model DASAR

  ⇐ Panjang Antrian : Tidak Dibatasai (Tidak Terbatas) Jenis Pelanggan : Satu (Tidak ada Perbedaan Prioritas Pelanggan)

  



Contoh Kasus No. 5 :

  Sebuah pusat pelayanan fotokopi memiliki 4 buah mesin fotokopi yang digunakan secara terus menerus. Dalam waktu seminggu rata-rata terjadi 1 kali kerusakan pada setiap mesin fotokopi yang ada dan kerusakan masing-masing mesin fotokopi ini berdistribusi Poisson.

  Perawatan dan perbaikan yang dilakukan oleh 1 orang montir rata-rata memerlukan waktu setengah minggu dan brdistribusi eksponensial. Laba bersih yang dihasilkan dari setiap mesin rata-rata adalah Rp. 500.000,-/minggu. Diinginkan informasi mengenai : a. Jumlah mesin fotokopi rata-rata yang beroperasi

  b. Opportunity cost dari adanya kerusakan mesin c. Apakah sebaiknya menambah montir baru, bila setiap montir dibayar Rp.

  50.000,-/minggu ? Solusi :

  a. Jumlah mesin fotokopi rata-rata yang beroperasi Sistem ini merupakan sistem antrian M/M/1 dengan sumber input terbatas, M = 4, sebanyak jumlah mesin fotokopinya.

  = rata-rata kerusakan (individu) mesin fotokopi, = 1 mesin rusak/minggu

  λ

  = kemampuan montir memperbaiki mesin fotokopi yang rusak, = 2 mesin

  µ

  rusak/minggu Maka, jumlah mesin fotokopi yang beroperasi rata-rata = 4 – L s , dimana

  1 L = M – ( / )(1- P ) dan P = s

  µ λ n

   

M

    M ! λ

   

∑

   M n !  n −  µ 

  = ( )  

  1 P =

  1

  2

  3

  4

            4 ! 1 4 !

  1 4 !

  1 4 !

  1 4 !

  1          

• + +

            4 !

  2

  4 1 !

  2

  4 2 !

  2

  4 3 !

  2

  4 4 !

  2

  − − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  = 1/[1 + 2 + 3 + 3 + 3/2] = 1/[10 ½] = 2/21 = 0,095 L s = 4 – (2/1)(1- 0,095) = 4 – 1,81 = 2,19 sehingga jumlah mesin fotokopi rata-rata yang beroperasi = 4 – 2,19 = 1,81.

  b. Opportunity cost dari adanya kerusakan mesin = 2,19 x Rp. 500.000,- = Rp.

  1.095.000,-/minggu.

  c. Perlu menambah montir baru ? Dengan menambah montor baru, maka sistem antriannya menjadi : M/M/2 sehingga besarnya P adalah :

  1 P = _{s 1 M n n}

  −

     

  M ! M ! λ λ

• ∑ ∑

    n s   _{n n s} − = =

  M n ! n ! M n ! n ! c −  µ  −  µ 

  ( ) ( )

  1

  =

  1

  2

  3

  4 4 !  1  4 !  1  4 !  1  4 !  1  4 !  1           

  1

  2 4 ! !  2  3 ! 1 !  2   2   2   2  2 !

  2 !

  2 1 ! 2 ! 2 ! 2 !

  2

  = 1/[1 + 2 + 3/2 + 3/4 + 3/16] = 1/[87/16] = 16/87 = 0,184

  1

    4 !

  1 P = P   = (0,184).2 = 0,368

  1

  3 ! 1 !  2 

  2

    4 !

  1  

  P

  2 = P = (0,184).(3/2) = 0,276

  2 ! 2 !  2 

  3

    4 !

  1 P = P   = (0,184).(3/4) = 0,138

  3

  1

   

  2 1 ! 2 !

  2

  4

    4 !

  1 P = P   = (0,184).(3/16) = 0,034

  4

  2

   2  _M ! 2 !

  2 ∑

  L = n s P

  q − _{n n = s} ( )

  = 0.P

  2 + 1.P 3 + 2.P 4 = 0.(0,276) + 1.(0,138) + 2.(0,034)

  = 0,206 _{s 1 s 1}

  − −  

  L = ∑  ∑ 

  s n . P L s _{n q − n}

  1 P _{n  n } + + = =

  = 0.P + 1.P + L + 2(1- P – P )

  1 q

  1

  = 0.(0,184) + 1.(0,368) + 0,206 + 2(1 - 0,184 - 0,368) = 0,368 + 0,206 + 0,896 = 1,47

  Opportunity cost menjadi = 1,47 x Rp. 500.000,- = Rp. 735.000,- dan terjadi pengurangan opportunity cost bila dibandingkan dengan penggunaan 1 montir sebesar (Rp. 1.095.000,- Rp. 735.000,-) = Rp. 360.000,-/minggu.

  −

  Pengurangan opportunity cost ini melebihi ongkos tambahan 1 montir sebesar Rp. 50.000,-/minggu, sehingga keputusan untuk menambah 1 montir dapat dibenarkan.

LATIHAN INDIVIDUAL

  



1. ANTRIAN DENGAN PRIORITAS PELANGGAN

  Suatu work center pada sebuah job shop dapat dianggap sebagai sistem antrian dengan laju kedatangan rata-rata 8 unit/hari dan berdistribusi Poisson. Pekerjaan yang datang pada work center ini dapat dikategorikan kedalam 3 kelompok, masing- masing dengan laju 2 unit/hari (kelompok 1), 4 unit/hari (kelompok 2), dan 2 unit/hari (kelompok 3). Walaupun terdapat tiga kelompok pekerjaan, namun waktu yang dibutuhkan untuk mengerjakannya adalah sama, yakni rata-rata 0,10 hari untuk setiap pekerjaan dan berdistribusi eksponensial. Karena waktu tunggu rata-rata setiap pekerjaan dinilai terlalu besar, manajemen menginginkan adanya prioritas dari pekerjaan yang ada; yakni kelompok 1 dengan prioritas 1, kelompok 2 dengan prioritas 2, dan kelompok 3 dengan prioritas 3. Bandingkan waktu yang diperlukan di dalam work center rata-rata untuk setiap kelompok pekerjaan yang datang, dengan : a) Menganggap ketiga kelompok pekerjaan tersebut sebagai 1 kelompok saja (tidak dibedakan prioritasnya); b) Memperlakukan setiap kelompok pekerjaan dengan prioritas seperti diatas, dengan non-preemptive priority; c) Sama dengan butir b), namun perlakuannya adalah preemptive priority.

  



LATIHAN INDIVIDUAL

  



2. PANJANG ANTRIAN TIDAK DIBATASI - LUAS AREA W.I.P.

  Work-in process (WIP) suatu produk yang akan diproses pada suatu mesin datang 2

  kali sehari dengan waktu antar kedatangan berdistribusi eksponensial; sama dengan distribusi waktu pengerjaannya (di mesin tersebut) yang memerlukan waktu rata-rata ¼ hari. Luas area yang disediakan untuk WIP ini cukup untuk 3 unit, diluar 1 unit yang sedang dikerjakan. Berapa proporsi waktu yang menunjukkan bahwa area yang tersedia ini mencukupi ? Catatan : Bila area yang tersedia tidak mencukupi, WIP akan ditaruh ditempat lain yang relatif dekat.

  



LATIHAN INDIVIDUAL

  



3. PANJANG ANTRIAN DIBATASI – TEMPAT PARKIR BENGKEL

  Seorang pengusaha sedang merencanakan pembuatan bengkel mobil dan ingin mengetahui “potential lost” dari para pelanggan berdasarkan tempat parkir mobil yang disediakan (diluar mobil yang sedang diperbaiki). Pelanggan diperkirakan datang secara acak (berdistribusi Poisson) dengan waktu kedatangan rata-rata 40 menit. Bila pelanggan yang datang menjumpai tempat parkir yang tersedia penuh, maka pelanggan yang datang ini akan membatalkan niatnya untuk ke bengkel tersebut. Waktu perbaikan setiap mobil diperkirakan rata-rata 30 menit dan berdistribusi eksponensial.

  Berapa proporsi waktu dimana akan terjadi potential lost pelanggan bila tempat parkir yang disediakan adalah : a) 0 (tanpa tempat parkir sama sekali)

  b) 2 mobil

  c) 4 mobil

  



LATIHAN INDIVIDUAL

  



4. ANTRIAN DENGAN SUMBER INPUT TERBATAS

  Seorang mekanik bertanggung jawab atas berfungsinya 3 mesin yang ada. Setiap mesin memiliki waktu operasi yang berdistribusi eksponensial (sebelum rusak kembali) dengan rata-rata 9 jam. Waktu perbaikan setiap mesin yang diperlukan oleh mekanik tersebut juga berdistribusi eksponensial dengan mean 2 jam.

  a) Tentukan distribusi probabilitas steady state dari mesin-mesin yang rusak.

  b) Tentukan ekspektasi jumlah mesin yang rusak.

  c) Bila seorang mekanik tambahan diperbantukan pada saat terdapat kerusakan 2 mesin atau lebih, tentukan jawaban pertanyaan butir a) dan b) diatas.

  



LATIHAN INDIVIDUAL

  



5. ANTRIAN DENGAN LAJU PELAYANAN YANG BERUBAH-UBAH

  Pada sistem antrian dengan laju pelayanan yang dependen terhadap status sistem, bandingkan besaran L-nya dengan sistem antrian yang laju pelayanannya tetap, untuk

  λ

  /

  µ

  1

  = 0,5 dengan nilai c = 0,2 dan c = 0,4 serta s = 1. (Gunakan gambar pada buku teks).

  

