PENINGKATAN PEMAHAMAN DAN PENALARAN MATEMATIS MAHASISWA CALON GURU DENGAN KONSTRUKSI MENTAL APOS

LAPORAN PENELITIAN
HIBAH BERSAING

PENINGKATAN PEMAHAMAN DAN PENALARAN MATEMATIS
MAHASISWA CALON GURU DENGAN KONSTRUKSI
MENTAL APOS

Oleh:
DRA. HELMA, M.SI
DR. YERIZON, M.SI

1

M ~ L ~ KPERPUSTAKAAN

f u ~ l v .~

~ 5 p ~ ~3f l ,1~ ' r - /

Dibiayai Oleh
Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi, Kementrian Pendidikan Nasional

Sesuai dengan Surat Perjanjian Penugasan dalam Rangka Pelaksanaan Penelitian
Tahun Hibah Bersaing Anggaran 2011 Nomor:
028/SP2H/PL/E5.2/DITLITARMAS/IV/2011
Tanggal 14 April 2011

UNIVERSITAS NEGERI PADANG
NOVEMBER 201 1

!

-

Halaman Pengesahan Laporan Penelitian
1.

Judul Penelitian

: Peningkatan Pemahaman dan Penalaran Matematis

Mahasiswa Calon Guru dengan Konstruksi Mental

APOS

2.

3.
4.

Ketua Peneliti
a. Nama Lengkap
b. Jenis Kelamin
c. NIP
d. Jabatan Struktural
e. Jabatan Fungsional
f. Fakultasl Jurusan
g. Pusat Penelitian
h. Alamat
i. Telponl Faks
j. Alamat Rurnah

: Dra. Helrna, M.Si

: Perempuan
: 19680324 199603 2 001

: Lektor
: FMIPN Matematika
: Lembaga Penelitian Universitas Negeri Padang
: Jln. Prof. Dr. Harnka Air Tawar Padang
: (0751) 443450
: Jln. Bakti ABRI No. 34 B Kelurahan Batang Kabung

Kecarnatan Koto Tangah Padang
: 08 1267537391 1 helma_unp@yahoo.com
: 2 Tahun

k. Telponl Faksl E-mail
Jangka Waktu Penelitian
Pembiayaan
a. Jumlah biaya yang diajukan ke Dikti
b. Jurnlah biaya tahun ke 1
-.Biaya tahun ke 2 yang diajukan ke Dikti

-. Biaya tahun ke 2 dari institusi lain

: Rp. 100.000.000

: Rp. 37.500.000
: Rp. 50.000.000

. Padang, 2 1 November 20 11
Ketua Peneliti

NIP. 19680324 199603 2 001

'bz:;NIP. 19610722 198602 1 002
-.
.
t

PENINGKATAN PEMAHAMAN DAN PENALARAN MATEMATIS
MAHASISWA CALON GURU DENGAN
KONSTRUKSI MENTAL APOS

Helma ,Yerizon
Staf Pengajar Jurusan Matematika, FMlPA UNP

Mahasiswa calon guru hams mempunyai penalaran yang baik. Penalaran
tersebut akan dilatihkan kepada siswa dalam kegiatan pembelajaran matematika
apabila mahasiswa telah menjadi guru nantinya. Apabila seorang guru mempunyai
penalaran yang kurang baik, maka pelajaran matematika yang diberikannya
merupakan kurnpulan rumus-rumus yang sulit digunakan oleh siswa. Tentulah ha1 ini
berakibat kepada rendahnya pemahaman dan penguasaan siswa terhadap matematika.
Selain itu, akan mengakibatkan siswa menakuti pelajaran matematika. Padahal tujuan
pembelajaran matematika di sekolah adalah agar siswa mampu mempelajari dan
menguasai matematika. Lebih lanjut lagi, agar siswa mampu berpikir logis, kritis, dan
sistematis. Banyak cara untuk mencapai kecakapan tersebut. Salah satu cara untuk
mencapai kecakapan dan kemahiran tersebut adalah dengan peningkatan pemahaman
dan penalaran calon guru terhadap matematika. Untuk itu, mahasiswa calon guru
hams dilatih untuk dapat memiliki pemahaman dan penalaran matematis selarna
mengikuti perkuliahan. Mata kuliah dasar yang dapat menunjang tujuan tersebut,
salah satunya, adalah mata kuliah Kalkulus. Untuk itu, dikembangkan bahan ajar
Kalkulus yang dapat menfasilitasi sehingga tercapai tujuan tersebut. Salah satu cara
adalah mengembangkan bahan ajar Kalkulus dengan konstruksi mental APOS.

Tujuan penelitian ini adalah untuk mengembangkan bahan ajar Kalkulus dengan
konstruksi mental APOS. Melalui kegiatan penelitian ini dihasilkan bahan ajar
Kalkulus dengan konstruksi mental APOS yang valid dari segi konten dan susunan

RINGKASAN
PENINGKATAN PEMAHAMAN DAN PENALARAN MATEMATIS
MAHASISWA CALON GURU DENGAN
KONSTRUKSI MENTAL APOS
Helma ,Yerizon
Staf Pengajar Jurusan Matematika, FMlPA UNP
Mahasiswa calon guru harus mempunyai penalaran yang baik. Penalaran
tersebut akan dilatihkan kepada siswa dalam kegiatan pembelajaran matematika
apabila mahasiswa telah menjadi guru nantinya.
Apabila seorang guru mempunyai penalaran yang kurang baik, maka pelajaran
matematika yang diberikannya merupakan kumpulan rumus-rumus yang sulit
digunakan oleh siswa. Tentulah ha1 ini berakibat kepada rendahnya pemahaman dan
penguasaan siswa terhadap matematika. Selain itu, akan mengakibatkan siswa
menakuti pelajaran matematika. Padahal tujuan pembelajaran matematika di sekolah
adalah agar siswa mampu mempelajari dan menguasai matematika. Lebih lanjut lagi,
agar siswa mampu berpikir logis, kritis, dan sistematis.

Banyak cara untuk mencapai kecakapan tersebut. Salah satu cara untuk
mencapai kecakapan dan kemahiran tersebut adalah dengan peningkatan pemahaman
dan penalaran calon guru terhadap matematika Untuk itu, mahasiswa calon guru
harus dilatih untuk dapat memiliki pemahaman dan penalaran matematis selama
mengikuti perkuliahan. Mata kuliah dasar yang dapat menunjang tujuan tersebut,
salah satunya, adalah mata kuliah Kalkulus. Untuk itu, dikembangkan bahan ajar
Kalkulus yang dapat menfasilitasi sehingga tercapai tujuan tersebut. Salah satu cara
adalah mengembangkan bahan ajar Kalkulus dengan konstruksi mental APOS

iHAN AJAR

PEMAHAMAh
N PENALARAN
ATEMATIS MAHASISWA L ~ L O NGURU
IENC

OLE'n' :
HELEMA, k
.
DR. YERIZl

-a.

41 -1

C4 P A N IPA

P E T U N J U K PELAKSANAAN K O N S T R V K S I M E N T A L APOS

Pelaksanaan pembelajaran dengan menggunakan konstruksi mental APOS, yang
bertujuan untuk meningkatkan pemahaman dan penalaran matematis, terdiri dari empat
aktivitas.
1. Aktivitas I

Pada aktivitas I, mahasiswa diberikan Lembaran Kerja Mahasiswa (LKM) yang
berisikan sejurnlah instruksi. Mahasiswa secara berkelompok bekerja dengan
menggunakan komputer. Mahasiswa mengerjakan instruksi yang diberikan..
Kemudian, mahasiswa diminta untuk membuat kesimpulan dari hasil yang tampil
pada layar komputer untuk masing-masing instruksi.
Pada aktivitas ini diharapkan akan terjadi proses dalarn pikiran mahasiswa, yaitu
memahami dan menalar instruksi di atas. Hal ini dalam teori APOS dikatakan

mahasiswa sedang melakukan aksi.
2. Aktivitas I1

Pada aktivitas 11, mahasiswa diminta secara berkelompok menelaah program yang
diberikan. Terlebih dahulu mahasiswa menelaah berdasarkan instruksi program
yang diberikan dan menyatakan hasil dari program tersebut. Setelah itu,
mahasiswa diminta menggunakan komputer untuk memastikan apakah hasil yang
mereka peroleh sudah benar. Kemudian, mahasiswa diminta untuk membuat
kesimpulan.
Dalam kegiatan ini, mahasiswa mengulang aksi seperti pada aktivitas 1.
D i h a r a p k a n j a d a aktivitas ini akan terjadi proses penalaran dalam pikiran
mahasiswa, dimana mahasiswa menebak hasil yang akan muncul. Proses ini
dirasakan oleh mahasiswa sebagai olah pikiran yang membutuhkan penalaran.
Dalam perspektif teori APOS, mahasiswa sedang melakukanproses.
Berdasarkan penalaran yang dilakukan pada aktivitas I1 ini, mahasiswa
melakukan telaah terhadap apa yang telah dilakukan dan langkah-langkah proses

untuk

mendapatkan

suatu

konsep.

Ketika

mahasiswa

sudah

dapat

mengkonstruksi transformasi itu, maka mahasiswa tersebut meng-encapsulasi
proses sebagai objek. Dalam kasus ini dikatakan bahwa proses telah di-encapsulasi
menjadi objek.

3. Aktivitas 111
Aktivitas I11 dilaksanakan di kelas untuk mendiskusikan kesimpulan hasil kerja

kelompok di laboratorium. Setiap kelompok mempresentasikan kesimpulan yang
mereka peroleh. Dari hasil ini pengajar memberikan birnbingan dan arahan menuju
suatu kesimpulan.
Kurnpulan dari aksi, proses, objek yang terhubung secara padu dan diorganisasi
secara terstruktur dalam pikiran mahasiswa disebut skema.
4. Aktivitas IV
Pada aktivitas IV, mahasiswa diberikan seperangkat soal sebagai kegiatan latihan.
Latihan ini berguna untuk meningkatkan pemaharnan mahasiswa terhadap konsep
yang telah diperoleh. Latihan soal dikerjakan secara berkelompok. Jika latihan
tidak selesai dikerjakan di kelas, maka latihan tersebut dapat dijadikan pekerjaan
rurnah. Tujuan dari latihan-latihan ini adalah agar konsep-konsep matematika yang
telah dikonstruksi dalam pikiran mahasiswa menjadi lebih bermakna, mahasiswa
dapat menerapkan konsep-konsep yang sudah dipelajari, dan mahasiswa
termotivasi untuk mempelajari materi selanjutnya.

BAI
\BO

KTIVI'
TORIU

LEMBAR AKTIVITAS LABORATOR1
OKOK BAHAS
BPOKOK BAF

:LIMIT FUNGSI
: PENDAHULUAN L

PETUNJUK : Ikutilah langkah-langkah berikut ini:
1 . Pada lavar kom~uter.klik icon
Ink

(T~;
urggu vr;vcrapa ~ e t i k
hingga ~ a y aISETL
~
tampil).

hlislah instruksi-intruksi program ISETL
ekan tombol ENTER setiap akhir barisn!
impanlah hasil kerja anda pada drive D
A. Tulislah

ah ini dengan benar, dan

instruksi berikut dan tentukan hasil yang tampil pada layar

:guna irkstruksi tersebut.

komputer! Kennudian 1mat kesimpulan

1. Instruksi:

> f:=func(x);
>> r e t u r n x+4;
>> e n d ;

> f ( - 3 ) ;f ( 5 ) ;
Hasil I S E T L
>> f : = f u n c ( x ) ;
>> r e t u r n x+4;
>> e n d ;
> f(-3);f (5);

1;
9;

Kesimpulan:

....................................................................................................................................
2. Instruksi:

> f : = f u n c ( x );
>> r e t u r n ( x - 5 ) ;
>> e n d ;
> f(2);
> for j i n [ 2 . 0 1 , 2 . 0 2 . . 2 . 0 5 ] d o

>> f o r k i n [ 1 . 9 5 , 1 . 9 6 . . 1 . 9 9 ]

do

>> w r i t e l n f ( j ) , f ( k ) ;
>> e n d ;
>> e n d ;
Hasil ISETL
>> f : = f u n c ( x ) ;
>> r e t u r n ( x - 5 ) ;
>> e n d ;
> f( 2 ) ;
-3;

>

f o r j i n [2.01,2.02..2.05]

>>

f o r k i n [ I . 9 5 , l . 96.. 1.991 d o

>>
>>

end;

do

end;

Hasil ISETL
-2.99000
-2.99000
-2.99000
-2.99000
-2.99000
-2.98000
-2.98000
-2.98000
-2.98000
-2.98000
-2.97000
-2.97000
-2.97000
-2.97000
-2.97000
-2.96000
-2.96000
-2.96000
-2.96000
-2.96000
-2.95000
-2.95000
-2.95000
-2.95000
-2.95000

Kesimpulan:

-3.05000
-3.04000
-3.03000
-3.02000
-3.01000
-3.05000
-3.04000
-3.03000
-3.02000
-3.01000
-3.05000
-3.04000
-3.03000
-3.02000
-3.01000
-3.05000
-3.04000
-3.03000
-3.02000
-3.01000
-3.05000
-3.04000
-3.03000
-3.02000
-3.01000

3. Instruksi:

> f :=func ( x );
>> r e t u r n ( l / x ;

>> e n d ;
> f (0);
> f o r m i n [O. 001,O. 0 0 2 . . 0 . 0 0 5 1 d o

>> f o r n i n [ - 0 . 0 0 5 , - 0 . 0 0 4 .

.-0.0011

do

>> w r i t e l n f ( m ) ,f ( n ) ;
>> e n d ;

>> e n d ;
Hasil ISETL
> f := f u n c ( x ) ;
>> r e t u r n ( 1/x);
>> e n d ;
> f (0);
*** r e t u r n ( l / x ) ;
! E r r o r : D i v i d e by z e r o

>

f o r m i n [ O . 001,O. 0 0 2 . . 0 . 0 0 5 1 d o

>>

f o r n i n [-0.005, -0.004. .-0.0011

>>
>>
>>

w r i t e l n f ( m ) ,f ( n ) ;

do

end;
end;

Hasil ISETL

Kesimpulan:

B. Buatlah instruksi berikut untuk soal dalam tabel. Sebelum anda menekan

ENTEF

irakan hasilny;

Bandiw

hasil

perkira:

3ih

dal~ u l u drIn tulis pada tabel.

n

konnputer,

kemudian

tulislah

- .

kesim pulannya.

Tulislab instruksi berikut:

> f : = f u n c ( x );
>> r e t u r n ...........;
>> end;
> for i i n
........... d o
>> w r i t e l n f (i);
>> end;
(STOP

ENTER! )

Gunakan instn~ksidi atas untuk me~neriksanilai fungsi dengan approksimasi x

ke suatu bilangan.
Nilai f (i) cenderung menNo

Fungsi (1

Approksimasi (x -+ ...)

dekati bilangan berapa = .?
Perkiraao

1.

(x*2-1) / (x-1)

[ l . O l , 1 . 0 2 . . 1.041
[0.94,0.96..0.99]

2.

(x*2-4) / ( x - 2 )

[ 2 . 0 1 , 2 . 0 2 . . 2.041
[1.94,1.96. .1.99]

Hasil
Komputer

Kesimpulan:

LEMBAR AKTIVTTAS LABORATORIUM TI
: LIM IT FUN1GSI
: DEF INISI L:[MIT

POKOK BAF
JElPOKOK BAH

PETUNJUK :Ikutilah langkah-langkah berikut ini:
1 . Pada layar-komputer,
klik icon

3

D IS€rLW.Il

I

I

hlislah instruksi-intruksi program ISETL
ekan tomb01 ENTER setiap akhir barisn:
- . _ impanlah hasil kerja anda pada drive D
A. Tulislah

instruksi berikut dan tentukan hasil vang tampil pada layar

ter!. Kelnudian buat kes

I

ISETL tampil).
ih ini dengan benar, dan

~ U
~ C
U U C I "~G ~
u n~ I I I I I ~ ~l a~ySi l l

g guna i~~struksitersebut!

1. Instruksi:

> f : = f u n c ( x ) ; r e t u r n x+3;end;

Hasil I S E T L
>> f := f u n c ( x ) ;r e t u r n x+3; end;
> f(2);
5;
> f(2+0.1);
5.1;

Kesimpulan:

2. Instruksi:

> g : = f u n c ( x ) ; r e t u r n (x**2-9)/ (x-3)
> g(3)-6;
> g ( 3 . 0 2 ) -6;
> g ( 3 . 0 1 ) -6;

; end;

Hasil ISETL
> g : = f u n c ( x ) ; r e t u r n (x**2-9) / ( x - 3 ) ; e n d ;
> g(3)-6;
* * * g : = f u n c ( x ) ; r e t u r n (x**2-9) / ( x - 3 ) ; e n d ;
! E r r o r : Divide by z e r o
> g(3.02)-6;
0.020;
> g(3.01)-6;
0.010;
> g(2.98)-6;
-0.020;
> g ( 2 . 9 9 ) -6;
-0.010;

Kesimpnlan:

3. Instruksi:

> f : = f u n c ( x ) ;r e t u r n 3*x-5; e n d ;
> e x i s t s d i n [O. 001,O. 0 0 2 . . 1 1 l a b s ( x - 4 ) < d ;
> c h o o s e d i n [O. 001,O. 0 0 2 . .1] 1 a b s ( x - 4 ) < d ;

> e x i s t s e i n [O. 001,O. 002. - 1 1 1 abs (f( x ) -3) c h o o s e e i n [O. 001,O. 0 0 2 . .1] 1 abs ( f ( x ) - 7 ) x : = 4 ; a b s ( x - 4 ) ; a b s (f( x ) - 7 ) ;
0;
0;
> e x i s t s d i n [O. 001,O. 0 0 2 . . 11 labs ( x - 4 ) c h o o s e d i n [O. 001,O. 0 0 2 . . 1 1 1 a b s ( x - 4 ) e x i s t s e i n [O. 001,O. 0 0 2 . . 1 1 1 a b s ( f ( x ) - 7 ) choose e i n [0.001,0.002. - 1 1 labs (f(x)-7) f' :=func (x); return
> for x in [ - 2 . . 2 ] do

(

(x+O.00001)- (x)) /0.00001;end;

>> writeln f' (x);end;
Hasil ISETL

> f' :=func (x);
return ((x+0.00001)-(x))/O.OOOOl;end;
> for x in [ - 2 . . 2 ] do
>> writeln f ' (x);end;
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000

Kesimpulan:

2. Instruksi:
> f' :=func (x);return (3* (x+O.00001)- (3*x)) /O. 00001;
end;

> for x in [ - 2 . . 2 ] do
>> writeln f' (x);end;

Kesimpulan:

....................................................................................................................................
3. Instruksi:

> fl:=func(x);
return ((x+0.00001)**3 - x**3)/0.00001; end;

> for x in [-2. - 2 1 do
>> writeln f' (x);end;
Kesimpulan:

.....................................................................................................................................
4. Instruksi:

> f' :=func (x); return

(

(2*x)- (2*1.9999) ) / (x-1.9999);

end;

> for x in [-2..2] do

>> writeln f' (x);end;
Kesimpulan:

.....................................................................................................................................
5. Instruksi:
> f' :=func(x);
return

(

(x**3)- (1.9999**3) ) / (x-1.9999); end;

> for x in [-2..2] do
>> writeln f' (x);end;
Kesimpulan:

.....................................................................................................................................
B. Buatlah instruksi berikut untuk soal dalam tabel. Sebelum anda menekan
irakan hasilny:3 terlelbih dal
an

,,"I.:,,.
I I ~ ~ I~IF ; IUI
I
ZI,

dan

kom11pu r c r ,

i

pada tabel.

nc~u
udian

tulislah

kesimpulannya. Apakah fungsi tersebut kontinu ? Bila tidak, tentukan nilai
f(x) agar fungsi kontinu.
Tulislah instruksi berikut:

> fl:=func(x);
>> return .......; (Gunakan approksimasi
>> end;
> ff ( . . . ) ;

=

0.00001)

(STOP ENTER ! )

Gunakanlah intruhi di atas untuk mencari nilai turunan fungsi pada titik
x berikut:
Pada ti1

No

Nilai turunan fungsi ?
Perkiraan

1.

5 *x

7

2.

x**2

5

3.

6*x**3

4

Hasil Komputer

Kesimpnlan :
1.

.................................................................................................................................
2.

.................................................................................................................................
3.

.................................................................................................................................
4.

.................................................................................................................................

LEMBAR AKTMTAS LABORATORIUM V
POKC)K BAHASAN
BPOKC)K BAHASAN

: TUR1LJNAN
: ATUIRAN T t

PETUNJUK : Ikutilah langkah-langkah berikut ini:
1 P d a layar-komputer,
klik icnn
I

r

> n m r tc

,_ .11ggu vt-ut-rilpa UGLIK l~l~rggil
~ a y i liSETL
~
tampil).
2. Tulislah instruksi-intruksi program ISETL di bawah ini dengan benar, dan
tekan tomb01 ENTER setiap akhir barisnjla.
3. Simpanlah hasil kerja anda pada drive D

A. Tulislah

instruksi berikut dan tentukan hasil vang tampil pada layar

kompul:er!. Kennudian 1

impulan tentang1 guna in~strukqitersebut!

1. Instruksi:

> fl:=func(x);
return ((x+0.00001)**2 - x**2)/0.00001; end;

> gf:=func(x);
return

>
>
>
>
>

(

(4*(x+0.00001)) - (4*x)) /O. 00001; end;

h' :=func (x);return f' (x)+g' (x);end;

h' (1);
h' (2);

h' (3);
for x in [I. .3] do

>> writeln h' (x)
>> end;

=

f' (x)+gf (x);

Kesimpulan:

.............................*.................................*...................................................................-.
2. Instruksi:

> fl:=func(x);

>> return g' (x)-h' (x);
>> end;

> for x in [l..3] do

>> writeln f' (x) = g' (x)-h' (x);

>> end;
Kesimpulan:

3. Instruksi:

> f' :=func(x);return (x**3)* (5*x);end;
> gf:=func(x);return 5*xf*4;end;
> h' :=func(x);
return (5*(x+O.00001)**4

- 5*x**4)/O.00001;end;

> m' :=func (x);return g (x)*hf(x)+h (x)*gr(x);end;
> for x in [I..3] do
>> writeln f' (x) = m' (x);

>> end;
Kesimpulan:

4. Instruksi:

> p:=func (x);return (xf*3)/ (5*x);end;
> q:=func(x);return x**2/5;end;
> rl:=func(x);
return ((x+0.00001**2)/5-x**/5)/0.00001;end;

> sl:=func(x);
return (g' (x)*h (x)-g (x)*ht(x)) / h (x)**2; end;
> for x in [I.-31 do

>> writeln r' (x) =
>> end:
Kesimpulan:

sf

(x);

hBAR BISKUSI r
'-"ZRJ
A N RUN
A

KALKVLUS I

Pokok Bahasan
Sub Pokok Bahasan

: Limit Fungsi

: Pendahuluani Limit

A. MATERI

Perkataan " Limit " sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Limit sering
digunakan sebagai kata pengganti " mendekati ke suatu batas " .
Limit dapat dipahami dengan berbagai macam cara. Salah satunya adalah
sebagai berikut ini. Berdasarkan gambar I dan gambar 2 berikut, akan dijelaskan
definisi limit.

Gambar 2

Gambar 1

& Pada gambar 1 , apabila x mendekati c dari arah kiri ,ditulis x -,c-

maka grafik y =f(x) menghasilkan ketinggian grafik mendekati L,

,

.

Hal ini disebut limit kiri dari fungsi f pada c adalah LI ,dan ditulis

f(x)

-+ L,

untuk x

+ c- .

Notasi : lim f ( x ) = L,
x+c-

+ c+ ,
menghasilkan ketinggian grafik mendekati LZ .

4 Pada gambar 2 , apabila x mendekati c dari arah kanan ,ditulis x
maka grafik y =f(x)

Hal ini disebut limit kanan dari fungsi f pada c adalah L I , dan ditulis

f(x)

-+

L2 untuk x

+ c' .

Notasi : lim f ( x ) = L,
x+c+

4 Jika lirn flx) = L dan lim flx)
x+cf

x-tc-

=L

, maka dikatakan lirn
f(x)
X+C

=L

4 Jika lirn f ( x ) = L, , lirn f ( x ) = L, , dan Ll # Lz maka lirn f ( x ) tidak
X-+c-

x-tc*

X+C

ada pada c

Secara grafik, beberapa kemungkinan tentang limit dapat dilihat pada gambar 3 berikut
ini.

Gam bar 3

Berdasarkan gambar di atas,

4 lim f(x)
x-+a

= L1

, tetapi f(a)

4 lim f(x) = + oo , lim f(x)
x-tb-

)=

= LL2

-

.

x-tb'

Kesimpulan : lirn f(x) tidak ada
x+b

A lirn f(x)
x-+c-

= L3

f(x) tidak ada .
, lh+
X+C

Kesimpulan : lirn f(x) tidak ada
x-tc

4 lirn f(x) = L4 , lirn f(x) = L5
x+d-

x+dt

Kesimpulan : lim f(x) tidak ada
x-td

+

lirn f(x) = - oo , lirn f(x)
x-te-

)=

-

x+e+

Kesimpulan : lirn f(x)
x-te

= - oo

.

Dalam ha1 ini dikatakan tidak ada di R

Jika limit suatu fungsi pada suatu titik ada, maka dikatakan fungsi tersebut konvergen.
Jika tidak, maka dikatakan divergen.
Berdasarkan grafik di atas, terlihat bahwa jika suatu fungsi tidak konvergen maka
terdapat beberapa kemungkinan yang menyebabkan limitnya tidak a d a

Soal-soal berikut berguna sebagai bahan iatihan untuk menentukan limit suatu

f ungsi.
-X-1

1. Sketsakan grafik dari g ( x ) =

x -1
5-x2

,

X 0 , x > 0 maka tentukanlah f '(x)
Jawab :

f '(x) = lim f ( x + h ) - f ( x )
h-tO

=

lim

=

li-1

h-0

h+O

h

J&X)-&
h

a ( x + h ) - (ax)

hi. a ( x + h )

+a

Berdasarkan penjelasan di atas dan dari rumus turunan pada satu titik, dapat pula
dijelaskan bahwa
1 . Nilai turunan pada suatu titik sama dengan gradien garis singgung grafik di
titik tersebut. Akibatnya, jika garis singgung pada titik tersebut tegak, maka

turunan di titik tersebut tidak ada

2. Jika f tak kontinu di c ,maka f '(c) tidak ada. Dengan kata lain. jika f '(c)
ada ,maka f kontinu di c .

B. LATIHAN
Soal-soal berikut berguna sebagai bahan latihan untuk menentukan turunan suatu

f ungsi.
1. Tentukanlah turunan fungsi berikut pada .u = 3.

2. Tentukan turunan f '(x) dari fungsi berikut ini.

3. Tentukanlah a dan b agar f terdifferensialkan pada ( 0 , 'm)

Untuk keterarnpilan lebih lanjut dalarn menentukan turunan suatu fungsi, anda dapat
menyelesaikan soal-soal yang ada pada buku referensi.

REFERENSI
1. Purcell, Edwin J., & Varberg, Dale, & Rigdon, Steven E., 2003 ,Kalkulus, Edisi
Kedelapan, Erlangga : Jakarta
2. Ayres, Frank Jr., 1985 , Teori dan Soal-Soal Diferensial dan Integral Kalkulus,
Edisi Kedua, Erlangga : Jakarta

3. Koko Martono ,1999 ,Kalkulus ,Erlangga : Jakarta

KALKVLVS I

Pokok Bahasan
Sub Pokok Bahasan

: Turunan Fungsi
: Aturan Pencarian Turunan

A. MATERI

Aturan pencarian turunan berguna dalarn memudahkan untuk menentukan turunan
fungsi. Untuk itu, berdasarkan definisi turunan akan dicari beberapa aturan tersebut.
1. Misalkan Ax) = k ,k

Maka, f '(x) = lim f

E

R

(4- f (4
x-C

x+c

lim-k - k = O
x+c x - C

-

0
Jika .fl.i)

=k

,k

E

R

maka f '(x)

=0

2. Misalkan Ax) = x
Maka, f '(x) = lim f ( x )- f (4
x-tc
x-C
=

X-C
lim =1
x+c

x
X

-C

Jika f(x)

:

aka J"(

3. Misalkan Ax) = 9 , n bilangan bulat positif.
Karena ( a + b In

=

a" + nd"'b +

n(n + 1)
a"-'b2
2

+ ... + nabn-' +

bn

f( x + h ) -f ( x )

Maka, f '(x) = lim

h

h+O

=

lim
h-+O

=

=

( x + h)" - xn
h
2

lim

n(n - 1)
~ " -+~...h+ n ~ h " +- ~hn-I
2

lim

bilanga:n bulat

Jika j,x)

naka .f'

4. Misalkan g(x)= kJTx), k E R dan f ' ( x ) ada.

Maka, g ' ( x ) = lim g ( x + h ) - g ( x )
h+O
h
=

lim k f ( x + h ) - k f ( 4
h+O
h

=

limk. f ( x + h ) - f ( x )
h+O
h

=

k . lim f ( x + h ) - f ( x )

=

k . f '(x)

~ E dR

Jika

5. Misalkan h(x) = A x ) + g(x) , clan f '(x) , g '(x) ada .
Maka, h ' ( x ) = lim
h+O

h(x + h ) - h ( x )
h

I

=

lim I / ( x + h) + g(x + h)] - I / ( x ) + g(x)]
h+O
h

=

lim

I f @ + h) - f ( X I ]

=

lim

If(.

=

lim I f ( x + h) - f

h-0

h+O

Jil

+ h) -

h

f

().I
(XI]

+ [g(x+ h) - g(x)]

h

+

+

lan f ' ( ~

[g(x+ h) - g(x)]
h

lim [g(x+ h) -

&)I

maka

6. MisaIkan h(x) = Ax) - g(x) , dan f '(x), g '(x) ada .

Maka, h '(x)

=

lirn
h+O

h(x + h) - h(x)
h

=

lim [ f ( x + h ) - g ( x + h ) ] - I f ( ~ ) - ~ ( x ) ]
h+O
h

=

lim

=

lim I f ( x + h) - f ( x ) ] - [g(x+ h) - g(x)]
h+O
h
h

=

lim I f ( x + h) - f

h+O

V(X+ h)- f (41-h
(41 -

[g(x+ h) - g(x)]

lim [g(x+ h) - g(x)I

:) ada ,

7. Misalkan h(x) = fix) .g(x) , dan f '(x), g '(x) ada .

Maka, h '(x) = lirn
h+O

h(x + h) - h(x)
h

Tentukanlah turunan f ungsi berikut .

Untuk keterampilan lebih lanjut dalam menentukan turunan suatu fungsi, anda dapat
menyelesaikan soal-soal yang ada pada buku referensi.

REFERENSI
1. Purcell, Edwin J., & Varberg, Dale, & Rigdon, Steven E., 2003 ,Kalkulus, Edisi
Kedelapan, Erlangga : Jakarta
2. Ayres, Frank Jr., 1985 , Teori dan Soal-Soul Diferensial dan Integral Kalkulus,
Edisi Kedua, Erlangga : Jakarta
3. Koko Martono , 1 999 ,Kalkulus ,Erlangga : Jakarta