Contoh Makalah Penerapan Differensial Pa
Contoh Makalah Penerapan Differensial Pada
Pemrograman Komputer
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Berbagai aplikasi yang telah kita gunakan pada masa sekarang
ini adalah salah satu peranan matematika terhadap perkembangan
teknologi informasi. Tanpa dasar-dasar dari matematika, maka
penemu, penggagas serta pembuat program akan sangat kesulitan
dalam menemukan ide-ide ke arah aplikasi yang canggih dengan
dibantu dengan peralatan yang modern.
Teknologi yang berkembang saat ini menunjukkan bahwa telah
banyak penerapan dari matematika dalam pengembangan ilmu di
bidang lain.
1.2. Tujuan
Penulisan makalah ini bertujuan untuk menentukan nilai gaya
konservatif dengan metode beda sentral serta penyelesaian melalui
pemograman dengan bahasa C++ di dalam mempelajari fisika
komputasi.
1.3. Rumusan Masalah
1. Menjelaskan diferensial dengan metode beda sentral.
2. Menerapkan diferensial dalam beberapa kasus pada fisika dan
penyelesaian.
1.4. Metode Penulisan
Materi ini mencakup penjelasan seberapa jauh kita dapat
menganalisa pengertian dari diferensial numerik pada fisika
komputasi dengan mengaplikasikan setiap bidang dalam pengertian
penjelasan turunan beda sentral dengan detail dan jelas. Diferensial
numerik dengan penjelasan lebih khusus sehingga lebih dapat
dimengerti karena dijelaskan dengan rinci untuk memperoleh hasil
yang memuaskan. Metode yang dipergunakan pada pembuatan
makalah ini Studi Pustaka yaitu dengan membaca buku-buku yang
berkaitan dengan penulisan makalah ini. Selain itu, dalam
pembuatan makalah ini penulis juga mendapatkan bahan dari
internet.
BAB II
PEMBAHASAN
.
Salah satu contoh penerapan ilmu komputer yang
digunakan untuk pengembangan di berbagai bidang adalah
Persamaan Diferensial Elementer. Persamaan Diferensial
Elementer membahas mengenai bagaimana persamaan diferensial
digunakan atau dimanfaatkan dalam memecahkan suatu masalah
dalam kehidupan sehari-hari.
Contoh kasus yang sering dijumpai seperti pada gaya pegas. Gaya
pegas sangat dibutuhkan untuk kegiatan-kegiatan dalam bidang
pembangunan maupun bidang teknik. Persamaan diferensial dari
gaya pegas ini kemudian dijadikan sebuah persamaan matematika
dalam bentuk simbol dan rumus sehingga perhitungan dari gaya
pegas ini menjadi lebih mudah dan cepat. Pada bagian inilah
persamaan diferensial elementer sangat berperan dalam mengubah
suatu persamaan persamaan diferensial dan menyelesaikannya ke
dalam bentuk persamaan linear atau yang lebih dikenal adalah
persamaan tersebut menjadi sebuah rumus. Oleh karena itu,
persamaan diferensial yang termasuk dalam ilmu matematika ini
menjadi sangat penting untuk dipelajari tidak hanya dalam ilmu
matematika saja tetapi juga dalam ilmu-ilmu yang lain.
penerapan diferensial pada komputer
Awal mula komputer yang sebenarnya dibentuk oleh seorang
profesor matematika Inggris,Charles Babbage (1791-1871). Tahun
1812,Babbage memperhatikan kesesuaian alam antara mesin
mekanik dan matematika yaitu mesin mekanik sangat baik dalam
mengerjakan tugas yang sama berulangkali tanpa kesalahan,sedang
matematika membutuhkan repetisi sederhana dari suatu langkahlangkah tertentu.Masalah tersebut kemudain berkembang hingga
menempatkan mesin mekanik sebagai alat untuk menjawab
kebutuhan mekanik.Usaha Babbage yang pertama untuk menjawab
masalah ini muncul pada tahun 1822 ketika ia mengusulkan suatu
mesin untuk melakukanperhitungan persamaan
differensial.Mesin tersebut dinamakan Mesin
Differensial.Dengan menggunakan tenaga uap,mesin tersebut
dapat menyimpan program dan dapat melakukan kalkulasi serta
mencetak hasilnya secara otomatis.
Setelah bekerja dengan Mesin Differensial selama sepuluh
tahun,Babbage tiba-tiba terinspirasi untuk memulai membuat
komputer general-purpose yang pertama,yang disebut Analytical
Engine.Asisten Babbage,Augusta Ada King (1815-1842) memiliki
peran penting dalam pembuatan mesin ini.Ia membantu merevisi
rencana,mencari pendanaan dari pemerintah Inggris,dan
mengkomunikasikan spesifikasi Analytical Engine kepada
publik.Selain itu,pemahaman Augusta yang baik tentang mesin ini
memungkinkannya membuat instruksi untuk dimasukkan ke dalam
mesin dan juga membuatnya menjadi programmer wanita yang
pertama.Pada tahun 1980,Departemen Pertahanan Amerika Serikat
menamakan sebuah bahasa pemrograman dengan nama ADA
sebagai penghormatan kepadanya.
Mesin uap Babbage,walaupun tidak pernah selesai
dikerjakan,tampak sangat primitif apabila dibandingkan dengan
standar masa kini.Bagaimanapun juga,alat tersebut
menggambarkan elemen dasar dari sebuah komputer modern dan
juga mengungkapkan sebuah konsep penting.Terdiri dari sekitar
50.000 komponen,disain dasar dari Analytical Engine menggunakan
kartu-kartu perforasi (berlubang-lubang) yang berisi instruksi
operasi bagi mesin tersebut.
Pada Tahun 1889,Herman Hollerith (1860-1929) juga menerapkan
prinsip kartu perforasi untuk melakukan penghitungan.Tugas
pertamanya adalah menemukan cara yang lebih cepat untuk
melakukan perhitungan bagi Biro Sensus Amerika Serikat.Sensus
sebelumnya yang dilakukan di tahun 1880 membutuhkan waktu
tujuh tahun untuk menyelesaikan perhitungan.Dengan
berkembangnya populasi,Biro tersebut memperkirakan bahwa
dibutuhkan waktu sepuluh tahun untuk menyelesaikan perhitungan
sensus.
Hollerith menggunakan kartu perforasi untuk memasukkan data
sensus yang kemudian diolah oleh alat tersebut secara
mekanik.Sebuah kartu dapat menyimpan hingga 80
variabel.Dengan menggunakan alat tersebut,hasil sensus dapat
diselesaikan dalam waktu enam minggu.Selain memiliki keuntungan
dalam bidang kecepatan,kartu tersebut berfungsi sebagai media
penyimpan data.Tingkat kesalahan perhitungan juga dapat ditekan
secara drastis.Hollerith kemudian mengembangkan alat tersebut
dan menjualnya ke masyarakat luas.Ia mendirikan Tabulating
Machine Company pada tahun 1896 yang kemudian menjadi
International Business Machine (1924) setelah mengalami beberapa
kali merger.Perusahaan lain seperti Remington Rand and Burroghs
juga memproduksi alat pembaca kartu perforasi untuk usaha
bisnis.Kartu perforasi digunakan oleh kalangan bisnis dan
pemerintahan untuk permrosesan data hingga tahun 1960.
Pada masa berikutnya,beberapa Insinyur membuat penemuan baru
lainnya.Vannevar Bush (1890-1974) membuat sebuah kalkulator
untuk menyelesaikan persamaan differensial di tahun 1931.Mesin
tersebut dapat menyelesaikan persamaan differensial kompleks
yang selama ini dianggap rumit oleh kalangan akademisi.Mesin
tersebut sangat besar dan berat karena ratusan gerigi dan poros
yang dibutuhkan untuk melakukan perhitungan.Pada tahun
1903,John V. Atanasoff dan Clifford Berry mencoba membuat
komputer elektrik yang menerapkan aljabar Boolean pada sirkuit
elektrik.Pendekatan ini didasarkan pada hasil kerja George Boole
(1815-1864) berupa sistem biner aljabar,yang menyatakan bahwa
setiap persamaan matematik dapat dinyatakan sebagai benar atau
salah.Dengan mengaplikasikan kondisi benar-salah ke dalam sirkuit
listrik dalam bentuk terhubung-terputus,Atanasoff dan Berry
membuat komputer elektrik pertama di tahun 1940.Namun proyek
mereka terhenti karena kehilangan sumber pendanaan.
Pada makalah ini dibahas konsep fisika komputasi sebagai bagian
diferensial sains modern, yang memadukan antara solusi analitik,
intuisi fisika dan komputasi numerik di dalam menjelaskan berbagai
fenomena fisika. Dilengkapi dengan materi – materi dasar yang
saling berkaitan sebagai pemahaman awal didalam mempelajari
fisika komputasi.
Komputasi (computation) adalah bagian integral sains modern
dengan kemampuan eksploitasi ‘kekuatan’ komputer secara efektif
di dalam aktivitas ilmuwan. Ditinjau dari aspek proses, komputasi
adalah kegiatan mendapatkan penyelesaian atau solusi atas
persoalan yang dinyatakan dalam model matematis.
Ilmu pengetahuan dan pemahaman adalah prasyarat agar
implementasi komputasi numerik efektif. Ilmu pengetahuan bisa
dipelajari dari analisa teori dan pemahaman bisa diperoleh dari
pengalaman empiris, yaitu observasi dan eksperimen.
2.1 Diferensial
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat
turunan-turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui, yang
disebut dengan f(x). Persamaan diferensial muncul dalam berbagai
bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik yang
melibatkan besaran yang berubah secara kontinu atau dimodelkan
oleh fungsi matematika dan laju perubahan dinyatakan sebagai
turunan diketahui atau dipostulatkan. Ini terlihat misalnya
pada mekanika klasik, dimana gerakan sebuah benda diperikan oleh
posisi dan kecepatannya terhadap waktu. Hukum
Newton memungkinkan untuk mengetahui hubungan
posisi, kecepatan, percepatan dan berbagai gaya yang bertindak
terhadap benda tersebut dan menyatakan sebagai persamaan
diferensial posisi sebagai fungsi waktu. Dalam banyak kasus,
persamaan diferensial ini dapat dipecahkan secara eksplisit, dan
menghasilkan hukum gerak.
Diferensial atau sering disebut turunan dapat dihitung dengan
memakai uraian deret Taylor. Jika uraian deret Taylor di sekitar x
dinyatakan dengan dan . Dimana masing-masing dinyatakan
dengan persamaan:
2.1.1. Turunan Pertama
Jika kita mengambil selisih antara kedua persamaan (2.1)
dan persamaan (2.2) maka akan didapatkan:
(2.3)
Dari persamaan (2.3) jika mengambil nilai h yang sangat kecil maka
suku-suku dengan h pangkat dua atau lebih bisa diabaikan.
Sehingga akan didapatkan persamaan Turunan Pertama dari suatu
fungi f(x) yaitu:
(2.4)
2.1.2. Turunan Kedua
Untuk mendapatkan Turunan Kedua dari fungsi f(x) maka
kita menjumlahkan kedua persamaan dan dalam persamaan (2.1)
dan persamaan (2.2). sehingga didapatkan persamaan yaitu:
(2.5)
Bila h sangat kecil maka suku dengan h pangkat dua atau lebih bisa
diabaikan. Sehingga akan didapatkan persamaan Turunan Kedua
dari f(x) yaitu:
(2.6)
Kedua metode untuk mencari turunan diatas disebut dengan
metode Beda Sentral (central difference).
2.2. Aplikasi penerapan diferensial dengan metode beda
sentral dalam fisika
Dalam satu dimensi, sebuah gaya konservatif sama dengan negatif
turunan fungsi energi potensial yang terkait:
Carilah gaya Fx yang berhubungan dengan fungsi energi potensial ,
dengan Aadalah sebuah konstanta. Dimana A bernilai 3 dan h =
0,05.
Penyelesaian:
Jika ,
Maka secara analisa diperoleh penyelesaian sebagai berikut :
Secara analisis diperoleh gaya konservatif adalah .
Jika dihitung melalui diferensial biasa maka diperoleh penyelesaian
untuk menentukan gaya konservatif adalah :
Sehingga diperoleh bahwa dalam penyelesaian secara analisa
maupun secara diferensial biasa dihasilkan nilai yang sama yaitu
gaya konservatif adalah .
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Makalah mengenai diferensial dengan metode beda sentral
mempunyai beberapa kesimpulan sebagai berikut:
1. Diferensial atau sering disebut turunan dapat dihitung dengan
memakai uraian deret Taylor.
2. Masalah diferensiasi adalah penentuan nilai pendekatan atau
hampiran untuk turunan suatu fungsi f .
3. Penyelesaian diferensial secara analisa dengan metode beda sentral
maupun secara diferensial biasa dihasilkan nilai yang sama yaitu
gaya konservatif adalah.
3.2
Saran
Berdasarkan uraian diatas, ada beberapa saran yang dapat
disampaikan seperti penyusunan makalah Fisika Komputasi I
tentang “ Diferensial dengan metode beda sentral”. Dengan
metode-metode yang telah ditentukan masih jauh dari
kesempurnaan untuk memperlengkap makalah Fisika Komputasi I
ini. Dapat disarankan agar dilakukan pengembangan program lebih
lanjut, misalnya antara lain sebagai berikut.
1. Memvisualisasikan solusi persamaan diferensial numerik dalam
pemograman.
2. Mengembangkan program ini sehingga dapat dihasilkan visualisasi
solusi persamaan diferensial numerik untuk jumlah
waktu update yang lebih besar.
Dengan demikian, penyusun sangat mengharapkan agar pembaca
dapat memahami makalah ini agar kedepannya dapat bermanfaat
dan lebih menerapkan “diferensial beda sentral” dalam kehidupan
sehari-hari.
DAFTAR PUSTAKA
Tipler. 1991. Fisika untuk Sains dan Teknik Jilid I (terjemahan).
Jakarta: Erlangga
Widagda, IGA. S.Si. MKom. 2006. Fisika Komputasi. Denpasar:
Universitas Udayana Fakultas MIPA Jurusan Fisika.
www. Google.com
Dalam kehidupan sehari-hari kita selalu lekat dengan yang namanya
perhitungan. Maka dari itu kali ini saya akan membahasa materi
mengenai matematika teknik sipil yang sebenarnya sama saja dengan
materi matematika dapa umumnya. Sebelum dapa pembahasan saya
akan membagi info bagi anda tentang bahan bacaan yang mungkin
perlu anda baca dalam sebuah buku yaitu :
> E.J Porceu 1997. Kalkulus dan Geometri Analitik Jilit 1. Erlangga.
Jakarta.
.Dalam matematika banyak sekali pembagian mengenai materi yang
ada dalam matri matematika. Pembagian atau pengelompokan materi ini
bertujuan untuk memudahkan dalam pembelajarannya dan
pengunaannya dapat di sesuwaikan dengan kebutuhan. Berikut
pembahasan mengenai materi dasar dalam matematika serta materi
yang ada didalamnya :
- Sistem bilangan Rill
- Sistem Bilangan
- Grafik Persamaan
- Limid dan Kekontinewan
- Fungsi : Nilai Limit Fungsi dan Kekontinuan Fungsi
Dalam matematika ada yang namanya turunan berikut pembagian jenis
dari turunan :
1.
Turunan fungsi trigonometri
2.
Turunan fungsi invers trigonometri
3.
Turunan fungsi hiperboliks
4.
Turunan fungsi invers hiperboliks
5.
Turunan fungsi eksponen
6.
Turunan fungsi logaritma
7.
Turunan fungsi parameter
8.
Turunan fungsi implisit
9.
Turunan fungsi berpangkat
10. Pengertian difensial
PEMBAGIAN TURUNAN TINGKAT TINGGI :
1.
Fungsi aljabar
2.
Fungsi trigonometri
3.
Fungsi invers trigonometri
4.
Fungsi hiperboliks
5.
Fungsi exsponen
6.
Fungsi logaritma
7.
Fungsi parameter
LIMIT
- Limit tak hingga
- Limit di hingga
Penggunaan / aplikasi turunan
Limit bentuk tak tentu
Maksimum dan minimum
Fungsi naik dan fungsi turun
Kecekungan grafik suatu fungsi
Membuat sket grafik fungsi
Bilangan Rill -> gabungan dari bilangan rasional dan
irasional
Bilangan rasional -> bilangan yang dapat dinyatakan
dalam bentuk a/b dengan a,b bilangan bulat positif. Contoh 1/2
-> bilangan rasional akar 2, akar 3
Pemrograman Komputer
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Berbagai aplikasi yang telah kita gunakan pada masa sekarang
ini adalah salah satu peranan matematika terhadap perkembangan
teknologi informasi. Tanpa dasar-dasar dari matematika, maka
penemu, penggagas serta pembuat program akan sangat kesulitan
dalam menemukan ide-ide ke arah aplikasi yang canggih dengan
dibantu dengan peralatan yang modern.
Teknologi yang berkembang saat ini menunjukkan bahwa telah
banyak penerapan dari matematika dalam pengembangan ilmu di
bidang lain.
1.2. Tujuan
Penulisan makalah ini bertujuan untuk menentukan nilai gaya
konservatif dengan metode beda sentral serta penyelesaian melalui
pemograman dengan bahasa C++ di dalam mempelajari fisika
komputasi.
1.3. Rumusan Masalah
1. Menjelaskan diferensial dengan metode beda sentral.
2. Menerapkan diferensial dalam beberapa kasus pada fisika dan
penyelesaian.
1.4. Metode Penulisan
Materi ini mencakup penjelasan seberapa jauh kita dapat
menganalisa pengertian dari diferensial numerik pada fisika
komputasi dengan mengaplikasikan setiap bidang dalam pengertian
penjelasan turunan beda sentral dengan detail dan jelas. Diferensial
numerik dengan penjelasan lebih khusus sehingga lebih dapat
dimengerti karena dijelaskan dengan rinci untuk memperoleh hasil
yang memuaskan. Metode yang dipergunakan pada pembuatan
makalah ini Studi Pustaka yaitu dengan membaca buku-buku yang
berkaitan dengan penulisan makalah ini. Selain itu, dalam
pembuatan makalah ini penulis juga mendapatkan bahan dari
internet.
BAB II
PEMBAHASAN
.
Salah satu contoh penerapan ilmu komputer yang
digunakan untuk pengembangan di berbagai bidang adalah
Persamaan Diferensial Elementer. Persamaan Diferensial
Elementer membahas mengenai bagaimana persamaan diferensial
digunakan atau dimanfaatkan dalam memecahkan suatu masalah
dalam kehidupan sehari-hari.
Contoh kasus yang sering dijumpai seperti pada gaya pegas. Gaya
pegas sangat dibutuhkan untuk kegiatan-kegiatan dalam bidang
pembangunan maupun bidang teknik. Persamaan diferensial dari
gaya pegas ini kemudian dijadikan sebuah persamaan matematika
dalam bentuk simbol dan rumus sehingga perhitungan dari gaya
pegas ini menjadi lebih mudah dan cepat. Pada bagian inilah
persamaan diferensial elementer sangat berperan dalam mengubah
suatu persamaan persamaan diferensial dan menyelesaikannya ke
dalam bentuk persamaan linear atau yang lebih dikenal adalah
persamaan tersebut menjadi sebuah rumus. Oleh karena itu,
persamaan diferensial yang termasuk dalam ilmu matematika ini
menjadi sangat penting untuk dipelajari tidak hanya dalam ilmu
matematika saja tetapi juga dalam ilmu-ilmu yang lain.
penerapan diferensial pada komputer
Awal mula komputer yang sebenarnya dibentuk oleh seorang
profesor matematika Inggris,Charles Babbage (1791-1871). Tahun
1812,Babbage memperhatikan kesesuaian alam antara mesin
mekanik dan matematika yaitu mesin mekanik sangat baik dalam
mengerjakan tugas yang sama berulangkali tanpa kesalahan,sedang
matematika membutuhkan repetisi sederhana dari suatu langkahlangkah tertentu.Masalah tersebut kemudain berkembang hingga
menempatkan mesin mekanik sebagai alat untuk menjawab
kebutuhan mekanik.Usaha Babbage yang pertama untuk menjawab
masalah ini muncul pada tahun 1822 ketika ia mengusulkan suatu
mesin untuk melakukanperhitungan persamaan
differensial.Mesin tersebut dinamakan Mesin
Differensial.Dengan menggunakan tenaga uap,mesin tersebut
dapat menyimpan program dan dapat melakukan kalkulasi serta
mencetak hasilnya secara otomatis.
Setelah bekerja dengan Mesin Differensial selama sepuluh
tahun,Babbage tiba-tiba terinspirasi untuk memulai membuat
komputer general-purpose yang pertama,yang disebut Analytical
Engine.Asisten Babbage,Augusta Ada King (1815-1842) memiliki
peran penting dalam pembuatan mesin ini.Ia membantu merevisi
rencana,mencari pendanaan dari pemerintah Inggris,dan
mengkomunikasikan spesifikasi Analytical Engine kepada
publik.Selain itu,pemahaman Augusta yang baik tentang mesin ini
memungkinkannya membuat instruksi untuk dimasukkan ke dalam
mesin dan juga membuatnya menjadi programmer wanita yang
pertama.Pada tahun 1980,Departemen Pertahanan Amerika Serikat
menamakan sebuah bahasa pemrograman dengan nama ADA
sebagai penghormatan kepadanya.
Mesin uap Babbage,walaupun tidak pernah selesai
dikerjakan,tampak sangat primitif apabila dibandingkan dengan
standar masa kini.Bagaimanapun juga,alat tersebut
menggambarkan elemen dasar dari sebuah komputer modern dan
juga mengungkapkan sebuah konsep penting.Terdiri dari sekitar
50.000 komponen,disain dasar dari Analytical Engine menggunakan
kartu-kartu perforasi (berlubang-lubang) yang berisi instruksi
operasi bagi mesin tersebut.
Pada Tahun 1889,Herman Hollerith (1860-1929) juga menerapkan
prinsip kartu perforasi untuk melakukan penghitungan.Tugas
pertamanya adalah menemukan cara yang lebih cepat untuk
melakukan perhitungan bagi Biro Sensus Amerika Serikat.Sensus
sebelumnya yang dilakukan di tahun 1880 membutuhkan waktu
tujuh tahun untuk menyelesaikan perhitungan.Dengan
berkembangnya populasi,Biro tersebut memperkirakan bahwa
dibutuhkan waktu sepuluh tahun untuk menyelesaikan perhitungan
sensus.
Hollerith menggunakan kartu perforasi untuk memasukkan data
sensus yang kemudian diolah oleh alat tersebut secara
mekanik.Sebuah kartu dapat menyimpan hingga 80
variabel.Dengan menggunakan alat tersebut,hasil sensus dapat
diselesaikan dalam waktu enam minggu.Selain memiliki keuntungan
dalam bidang kecepatan,kartu tersebut berfungsi sebagai media
penyimpan data.Tingkat kesalahan perhitungan juga dapat ditekan
secara drastis.Hollerith kemudian mengembangkan alat tersebut
dan menjualnya ke masyarakat luas.Ia mendirikan Tabulating
Machine Company pada tahun 1896 yang kemudian menjadi
International Business Machine (1924) setelah mengalami beberapa
kali merger.Perusahaan lain seperti Remington Rand and Burroghs
juga memproduksi alat pembaca kartu perforasi untuk usaha
bisnis.Kartu perforasi digunakan oleh kalangan bisnis dan
pemerintahan untuk permrosesan data hingga tahun 1960.
Pada masa berikutnya,beberapa Insinyur membuat penemuan baru
lainnya.Vannevar Bush (1890-1974) membuat sebuah kalkulator
untuk menyelesaikan persamaan differensial di tahun 1931.Mesin
tersebut dapat menyelesaikan persamaan differensial kompleks
yang selama ini dianggap rumit oleh kalangan akademisi.Mesin
tersebut sangat besar dan berat karena ratusan gerigi dan poros
yang dibutuhkan untuk melakukan perhitungan.Pada tahun
1903,John V. Atanasoff dan Clifford Berry mencoba membuat
komputer elektrik yang menerapkan aljabar Boolean pada sirkuit
elektrik.Pendekatan ini didasarkan pada hasil kerja George Boole
(1815-1864) berupa sistem biner aljabar,yang menyatakan bahwa
setiap persamaan matematik dapat dinyatakan sebagai benar atau
salah.Dengan mengaplikasikan kondisi benar-salah ke dalam sirkuit
listrik dalam bentuk terhubung-terputus,Atanasoff dan Berry
membuat komputer elektrik pertama di tahun 1940.Namun proyek
mereka terhenti karena kehilangan sumber pendanaan.
Pada makalah ini dibahas konsep fisika komputasi sebagai bagian
diferensial sains modern, yang memadukan antara solusi analitik,
intuisi fisika dan komputasi numerik di dalam menjelaskan berbagai
fenomena fisika. Dilengkapi dengan materi – materi dasar yang
saling berkaitan sebagai pemahaman awal didalam mempelajari
fisika komputasi.
Komputasi (computation) adalah bagian integral sains modern
dengan kemampuan eksploitasi ‘kekuatan’ komputer secara efektif
di dalam aktivitas ilmuwan. Ditinjau dari aspek proses, komputasi
adalah kegiatan mendapatkan penyelesaian atau solusi atas
persoalan yang dinyatakan dalam model matematis.
Ilmu pengetahuan dan pemahaman adalah prasyarat agar
implementasi komputasi numerik efektif. Ilmu pengetahuan bisa
dipelajari dari analisa teori dan pemahaman bisa diperoleh dari
pengalaman empiris, yaitu observasi dan eksperimen.
2.1 Diferensial
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat
turunan-turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui, yang
disebut dengan f(x). Persamaan diferensial muncul dalam berbagai
bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik yang
melibatkan besaran yang berubah secara kontinu atau dimodelkan
oleh fungsi matematika dan laju perubahan dinyatakan sebagai
turunan diketahui atau dipostulatkan. Ini terlihat misalnya
pada mekanika klasik, dimana gerakan sebuah benda diperikan oleh
posisi dan kecepatannya terhadap waktu. Hukum
Newton memungkinkan untuk mengetahui hubungan
posisi, kecepatan, percepatan dan berbagai gaya yang bertindak
terhadap benda tersebut dan menyatakan sebagai persamaan
diferensial posisi sebagai fungsi waktu. Dalam banyak kasus,
persamaan diferensial ini dapat dipecahkan secara eksplisit, dan
menghasilkan hukum gerak.
Diferensial atau sering disebut turunan dapat dihitung dengan
memakai uraian deret Taylor. Jika uraian deret Taylor di sekitar x
dinyatakan dengan dan . Dimana masing-masing dinyatakan
dengan persamaan:
2.1.1. Turunan Pertama
Jika kita mengambil selisih antara kedua persamaan (2.1)
dan persamaan (2.2) maka akan didapatkan:
(2.3)
Dari persamaan (2.3) jika mengambil nilai h yang sangat kecil maka
suku-suku dengan h pangkat dua atau lebih bisa diabaikan.
Sehingga akan didapatkan persamaan Turunan Pertama dari suatu
fungi f(x) yaitu:
(2.4)
2.1.2. Turunan Kedua
Untuk mendapatkan Turunan Kedua dari fungsi f(x) maka
kita menjumlahkan kedua persamaan dan dalam persamaan (2.1)
dan persamaan (2.2). sehingga didapatkan persamaan yaitu:
(2.5)
Bila h sangat kecil maka suku dengan h pangkat dua atau lebih bisa
diabaikan. Sehingga akan didapatkan persamaan Turunan Kedua
dari f(x) yaitu:
(2.6)
Kedua metode untuk mencari turunan diatas disebut dengan
metode Beda Sentral (central difference).
2.2. Aplikasi penerapan diferensial dengan metode beda
sentral dalam fisika
Dalam satu dimensi, sebuah gaya konservatif sama dengan negatif
turunan fungsi energi potensial yang terkait:
Carilah gaya Fx yang berhubungan dengan fungsi energi potensial ,
dengan Aadalah sebuah konstanta. Dimana A bernilai 3 dan h =
0,05.
Penyelesaian:
Jika ,
Maka secara analisa diperoleh penyelesaian sebagai berikut :
Secara analisis diperoleh gaya konservatif adalah .
Jika dihitung melalui diferensial biasa maka diperoleh penyelesaian
untuk menentukan gaya konservatif adalah :
Sehingga diperoleh bahwa dalam penyelesaian secara analisa
maupun secara diferensial biasa dihasilkan nilai yang sama yaitu
gaya konservatif adalah .
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Makalah mengenai diferensial dengan metode beda sentral
mempunyai beberapa kesimpulan sebagai berikut:
1. Diferensial atau sering disebut turunan dapat dihitung dengan
memakai uraian deret Taylor.
2. Masalah diferensiasi adalah penentuan nilai pendekatan atau
hampiran untuk turunan suatu fungsi f .
3. Penyelesaian diferensial secara analisa dengan metode beda sentral
maupun secara diferensial biasa dihasilkan nilai yang sama yaitu
gaya konservatif adalah.
3.2
Saran
Berdasarkan uraian diatas, ada beberapa saran yang dapat
disampaikan seperti penyusunan makalah Fisika Komputasi I
tentang “ Diferensial dengan metode beda sentral”. Dengan
metode-metode yang telah ditentukan masih jauh dari
kesempurnaan untuk memperlengkap makalah Fisika Komputasi I
ini. Dapat disarankan agar dilakukan pengembangan program lebih
lanjut, misalnya antara lain sebagai berikut.
1. Memvisualisasikan solusi persamaan diferensial numerik dalam
pemograman.
2. Mengembangkan program ini sehingga dapat dihasilkan visualisasi
solusi persamaan diferensial numerik untuk jumlah
waktu update yang lebih besar.
Dengan demikian, penyusun sangat mengharapkan agar pembaca
dapat memahami makalah ini agar kedepannya dapat bermanfaat
dan lebih menerapkan “diferensial beda sentral” dalam kehidupan
sehari-hari.
DAFTAR PUSTAKA
Tipler. 1991. Fisika untuk Sains dan Teknik Jilid I (terjemahan).
Jakarta: Erlangga
Widagda, IGA. S.Si. MKom. 2006. Fisika Komputasi. Denpasar:
Universitas Udayana Fakultas MIPA Jurusan Fisika.
www. Google.com
Dalam kehidupan sehari-hari kita selalu lekat dengan yang namanya
perhitungan. Maka dari itu kali ini saya akan membahasa materi
mengenai matematika teknik sipil yang sebenarnya sama saja dengan
materi matematika dapa umumnya. Sebelum dapa pembahasan saya
akan membagi info bagi anda tentang bahan bacaan yang mungkin
perlu anda baca dalam sebuah buku yaitu :
> E.J Porceu 1997. Kalkulus dan Geometri Analitik Jilit 1. Erlangga.
Jakarta.
.Dalam matematika banyak sekali pembagian mengenai materi yang
ada dalam matri matematika. Pembagian atau pengelompokan materi ini
bertujuan untuk memudahkan dalam pembelajarannya dan
pengunaannya dapat di sesuwaikan dengan kebutuhan. Berikut
pembahasan mengenai materi dasar dalam matematika serta materi
yang ada didalamnya :
- Sistem bilangan Rill
- Sistem Bilangan
- Grafik Persamaan
- Limid dan Kekontinewan
- Fungsi : Nilai Limit Fungsi dan Kekontinuan Fungsi
Dalam matematika ada yang namanya turunan berikut pembagian jenis
dari turunan :
1.
Turunan fungsi trigonometri
2.
Turunan fungsi invers trigonometri
3.
Turunan fungsi hiperboliks
4.
Turunan fungsi invers hiperboliks
5.
Turunan fungsi eksponen
6.
Turunan fungsi logaritma
7.
Turunan fungsi parameter
8.
Turunan fungsi implisit
9.
Turunan fungsi berpangkat
10. Pengertian difensial
PEMBAGIAN TURUNAN TINGKAT TINGGI :
1.
Fungsi aljabar
2.
Fungsi trigonometri
3.
Fungsi invers trigonometri
4.
Fungsi hiperboliks
5.
Fungsi exsponen
6.
Fungsi logaritma
7.
Fungsi parameter
LIMIT
- Limit tak hingga
- Limit di hingga
Penggunaan / aplikasi turunan
Limit bentuk tak tentu
Maksimum dan minimum
Fungsi naik dan fungsi turun
Kecekungan grafik suatu fungsi
Membuat sket grafik fungsi
Bilangan Rill -> gabungan dari bilangan rasional dan
irasional
Bilangan rasional -> bilangan yang dapat dinyatakan
dalam bentuk a/b dengan a,b bilangan bulat positif. Contoh 1/2
-> bilangan rasional akar 2, akar 3