06_TEORI DINAMIK STRUKTUR.pdf

  MODUL KULIAH

REKAYASA GEMPA

  Minggu ke 2 :

  

TEORI DINAMIK STRUKTUR

Oleh

Resmi Bestari Muin

  

PRODI TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK SIPIL dan PERENCANAAN

UNIVERSITAS MERCU BUANA

2010

DAFTAR ISI

  DAFTAR ISI i

  II Persamaan Gerak Dinamik Struktur

  1 II.1 Peristiwa Getaran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 II.2 Diskritisasi Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 II.2.1 Metoda Diskritisasi/Idealisasi Struktur . . . . . . . . . . . . . .

  1 II.2.2 Massa Terkelompok Balok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  2 II.2.3 Massa Terkelompok Struktur SDOF . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 II.3 Model Matematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 II.3.1 Model Matematik Problem Statik . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 II.3.2 Model Matematik Problem Dinamik . . . . . . . . . . . . . . .

  5 II.4 Persamaan Gerak Dinamik Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 II.4.1 Prinsip d’Alembert’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 II.4.2 Persamaan Diffrensial Gerak Struktur SDOF . . . . . . . . . . .

  6 II.5 Gaya Dalam Struktur Akibat Beban Dinamik . . . . . . . . . . . . . .

  8 III Karakteristik Dinamik

  9 III.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  9 III.2 Massa Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  9 III.3 Kekakuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  11 III.3.1 Kekakuan Kolom dengan Asumsi Lantai Kaku . . . . . . . . . .

  11 III.3.2 Kekakuan Dinding Geser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  12 III.3.3 Kekakuan Elemen Bracing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  13 III.4 Redaman Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  13

BAB II Persamaan Gerak Dinamik Struktur II.1 Peristiwa Getaran Ada beberapa peristiwa getaran di sekitar kita • Getaran kendaraan yang sedang berjalan. → mobil, kereta api, motor, dll.

• Getaran mesin.
• Ledakan.
• Tiupan angin.
• Pemancangan Tiang.
• Gempa.
• dll Dengan adanya peristiwa getaran, ada beban yang menyebabkan getaran tersebut. Beban tersebut disebut beban dinamik, dimana beban ini berubah menurut waktu.

  II.2 Diskritisasi Struktur

  II.2.1 Metoda Diskritisasi/Idealisasi Struktur

  Pada permasalahan dinamik, struktur dapat dianggap didiskritisasi (dibagi-bagi) menu- rut cara-cara berikut,

  1. Prosedur Massa Terkelompok (Lumped-Mass Procedure).

  Massa struktur dianggap terpusat/terkelompok pada suatu titik tertentu atau beberapa titik tertentu. Sehingga perpindahan struktur yang diperhitungkan juga yang berkenaan dengan gaya inersia yang terkait dengan massa terkelom- pok tersebut. Perpindahan tersebut selanjutnya disebut sebagai derajat kebebasan atau DOF (Degree of Freedom).

  2. Perpindahan yang digeneralisir.

  Massa struktur tetap terdistribusi sepanjang struktur. Sehingga derajat kebe- basan struktur tak terhingga, dan perpindahan pada setiap titik pada struktur dianggap mengikuti suatu persamaan yang digeneralisir.

  3. Metoda Elemen Hingga.

  Merupakan kombinasi dari metoda pertama dan metoda kedua di atas. Perkuliahan ini hanya akan membahas bentuk diskritisasi yang pertama, yakni massa terkelompok.

II.2.2 Massa Terkelompok Balok

  Gambar II.1. Massa Balok Pada contoh ini derajat kebebasan struktur (DOF) : 3.

II.2.3 Massa Terkelompok Struktur SDOF Analisa dinamis struktur menara pada gambar II.2 didealisasi menjadi 1 DOF (SDOF).

  Analisa dinamis portal 1 lantai pada gambar II.3 juga didealisasi menjadi 1 DOF, Gambar II.2. Idealisasi Struktur Menara dimana lantai dianggap sebagai satu massa yang sangat kaku.

  Gambar II.3. Idealisasi Portal 1 Lantai II.3 Model Matematik

  II.3.1 Model Matematik Problem Statik

  Gambar

  II.4. Model Fisik vs Model Matematik Problem Statik (mobil sedang berhenti) Model matematik struktur yang dikenai beban statik, dapat diilustrasikan pada gambar

  II.4, dimana balok jembatan dibebani mobil yang sedang berhenti di atas jembatan tersebut.

  II.3.2 Model Matematik Problem Dinamik

  Jika struktur diberi beban dinamik, maka agar struktur dapat dianalisis secara matem- atis, maka secara umum sistim struktur dapat dimodelkan seperti gambar II.5, dimana kolom berperilaku sebagai pegas k, sesuai dengan kekakuan kolom tersebut.

  Selain itu struktur juga mempunyai kemampuan untuk meredam beban tersebut Gambar II.5. Model Matematik Problem Dinamik menurut konstanta c.

  II.4 Persamaan Gerak Dinamik Struktur

  II.4.1 Prinsip d’Alembert’s

  d’Alembert’s mengatakan : Keseimbangan dinamik suatu massa/sistim dapat diperoleh dengan menjumlahkan gaya luar dan gaya imajiner yang ada pada massa yang bersangkutan yang disebut gaya inersia.

  Dari Gambar II.6, resultan beban dinamik : _{t 1 2 3} F = F + F + F Jika resultan gaya tidak melalui titik pusat massa, maka akan terjadi suatu rotasi massa. _{t t I} Dalam kondisi keseimbangan dinamik, F dan T akan dilawan oleh gaya inersia F dan

  Gambar II.6. Beban-Beban Dinamik pada suatu Sistim T ^{I yang dapat dihitung menurut hukum Newton,} _I F = m.a = m.¨ y _{I m a}

  T = I .θ dimana m : massa sistim, ¨ y : percepatan sistim. _{m a} I : momen inersia massa dan θ : percepatan sudut (angular acceleration). _{t I t I} Karena F = F dan T = T , maka diperoleh : _t F y = 0 _{t m a} − m.¨

  T − I .θ = 0 (II.1) artinya : pada keseimbangan dinamik suatu massa yang bergerak terdapat gaya ima- _{I I} jiner atau gaya inersia F dan T yang arahnya berlawan dengan arah gerakan, hal ini biasa dikenal sebagai Prinsip d’Alembert’s.

II.4.2 Persamaan Diffrensial Gerak Struktur SDOF

  Seperti gaya inersia, gaya pegas dan redaman struktur juga mempunyai arah yang berlawanan dengan arah gerak massa, sehingga free body dari sistim struktur SDOF yang bergerak secara dinamik diilustrasikan pada Gambar II.7. Berdasarkan keseimbangan gaya dinamik pada free body sistim tersebut (Gambar II.7), diperoleh hubungan _{I D s}

  F + F + F = P (t) (II.2) Gambar II.7. Model Matematik & Gaya-gaya Dinamik pada Freebody Struktur dimana _I F = gaya inersia = m¨ y _{D = gaya redaman =} F c ˙y

  F D = gaya pegas = ky (II.3) dan massa struktur. m = y = simpangan massa m. dy y = kecepatan massa m = ¨ . dt ₂ d y y = percepatan massa m = ¨ . ₂ dt k = kekakuan pegas sistim. Dengan mensubstitusi pers. (II.3) ke dalam pers. (II.2), dihasilkan m¨ y + c ˙y + ky = P (t) (II.4) atau ₂ d y dy m + c + ky = P (t) (II.5) ₂ dt dt ₁ Persamaan (II.4) atau pers. (II.5) merupakan persamaan gerak sistim SDOF yang memperoleh beban dinamik P (t), yang secara matematis disebut sebagai persamaan differensial ordo dua. Jika massa (m), redaman (c), kekakuan (k) struktur, serta besaran dan fungsi be- ban dinamik yang bekerja (P (t)) diketahui, maka secara matematis dari persamaan ₁ Catatan : SDOF Single Degree of Freedom = sistim dengan derajat kebebasan tunggal.

  (II.5) di atas dapat dihitung simpangan struktur setiap saat t, yaitu y t .

II.5 Gaya Dalam Struktur Akibat Beban Dinamik

  Gambar II.8. Perubahan Bentuk Struktur Akibat Perpindahan y(t) _t Akibat perpindahan struktur sebesar y pada saat detik ke t, maka struktur akan berdeformasi seperti Gambar II.8.

  Akibat adanya deformasi ini maka timbul momen pada kolom. Momen yang terjadi Gambar II.9. Momen pada Kolom ini berbanding lurus dengan perpindahan y(t).

  Jika lantai dan balok dianggap sangat kaku, maka

  6EI M = y(t) ₂ h

  Selanjutnya jika momen pada kolom diketahui, gaya geser pada kolom juga dapat dihitung.

BAB III Karakteristik Dinamik III.1 Pendahuluan Pada persamaan gerak dinamik sistim SDOF (persamaan II.4 dan II.5) yang telah

  dibahas pada Bab II di atas, terlibat 3 nilai karakterisitik utama struktur, yakni 1. massa (m).

  2. redaman (c), dan 3. kekakuan (k).

  Kekakuan merupakan nilai karakteristik yang juga digunakan pada problem statik, sedangkan massa dan redaman hanya digunakan pada problem dinamik. Agar persamaan differensial tersebut dapat diselesaikan, perlu diketahui terlebih dahulu ketiga nilai karakteristik tersebut. Agar penentuan nilai-nilai karakteristik ini dapat diformulasikan dengan sederhana perlu diambil beberapa asumsi.

III.2 Massa Struktur

  Sebagaimana telah disinggung pada modul 1, sesuai dengan metoda diskritisasi struk- tur yang digunakan, maka ada dua cara pendekatan pokok yang dilakukan untuk mendeskripsikan massa struktur : • Massa Terkelompok (Lumped-Mass ).

  Massa struktur dianggap terpusat/terkelompok pada suatu titik tertentu atau beberapa titik tertentu.

• Massa Terdistribusi (Consistent Mass, cara ini lebih mendekati kondisi sesung- guhnya.

  Pada struktur yang massanya terdistribusi sepanjang, dan mendapat beban dinamik terdistribusi pula sepanjang massa tersebut, maka penggunaan prinsip massa terdis- tribusi diperlukan, misalnya analisis cerobong.

  Pada struktur berlantai banyak, dimana massa struktur umumnya terkonsentrasi pada masing-masing lantai/tingkat, maka penggunaan prinsip massa terkelompok cukup memberikan hasil yang baik. Untuk menentukan massa terkelompok struktur, baik untuk SDOF maupun MDOF, digunakan rumus yang sudah telah dikenal pada ilmu fisika :

  W m = g dimana :

• W = berat struktur.
• g = percepatan gravitasi. Sebagai contoh, perhatikan gambar III.1.

  Untuk struktur seperti gambar III.1 yang mendapat beban dinamis arah horizontal Gambar III.1. Contoh Kasus pada lantainya, dengan berat lantai per meter panjangnya : q = 2, 6 t/m, dan per- ₂ cepatan gravitasi g = 9, 8 m/dt , maka massa struktur dapat dianggap sebagai massa terkelompok pada pusat lantai. Karena taraf/tingkat lantai hanya satu, maka massa struktur juga satu (sistim SDOF). Berat total beban pada lantai adalah : W = 2, 6 (6 + 5) = 28.600 kg

  Sehingga massa struktur SDOF adalah ₂ W 28.600 kg kg dt m = = = 29, 18 ₂ g 980 cm/dt cm

  III.3 Kekakuan

  III.3.1 Kekakuan Kolom dengan Asumsi Lantai Kaku

  Dengan asumsi balok dan lantai menyatu sangat kaku, sehingga jika ada beban hor- izontal yang bekerja pada garis sumbu balok tersebut, maka balok dan pelat akan bergoyang namum tetap horizontal.

  Gambar III.2. Lantai Kaku Pada cara ini titik kumpul diujung-ujung kolom dianggap tidak berotasi.

  Untuk kondisi jepit-jepit (Gambar a), yakni pada kolom lantai 2,3,..dst, atau pada lantai 1 jika perletakan struktur dianggap jepit, maka

  12EI k = ₃ h Khusus lantai 1 jika perletakan struktur dianggap sendi (Gambar b), maka

  3EI k = ₃ h

III.3.2 Kekakuan Dinding Geser

  Dinding geser adalah, dinding yang terbuat dari beton bertulang yang sengaja dibuat untuk memikul gaya akibat gempa.

  Menurut Blume dkk (1961), kekakuan dinding geser dengan kondisi ujung jepit-jepit Gambar III.3. Dinding Geser adalah

  12EI GA K = ^w ₃ + _w h κl dimana • κ = 1, untuk dinding geser di ujungnya ada kolom besar.

• κ = 1 - 1,5, untuk dinding geser di ujungnya ada kolom sedang.
• κ = 1,5, untuk dinding geser tanpa kolom. Untuk kondisi jepit-bebas

  3EI K w = _{3 w h i l 2} h 1 + 0, 6 (1 + υ) _{h 2} dimana : h = tinggi tingkat, dan υ adalah Poisson rasio. III.3.3 Kekakuan Elemen Bracing

  K ^b = AE L cos ² α

  III.4 Redaman Struktur

  Redaman merupakan peristiwa pelepasan energi oleh struktur akibat : • Gerakan antar molekul di dalam material.

• Gesekan alat penyambung maupun sistim dukungan.
• Gesekan dengan udara.
• Respon inelastik. Redaman akan mengurangi respon/simpangan struktur. Ada 2 macam sistim redaman • Redaman klasik (Classical Damping ).

  Redaman pada sistim struktur yang mempunyai bahan struktur yang sama.

• Redaman nonklasik (NonClassical Damping ).

  Redaman pada sistim struktur yang mempunyai bahan yang berbeda.