Paper jurnal PDP 2017
MODUL PEMBELAJARAN LIMIT DENGAN TEORI APOS UNTUK MENUMBUHKAN
KEMAMPUAN ADVANCED MATHEMATICAL THINKING
Retno Marsitina, Nyamik Rahayu Sesantib, Nur Faridac
a
Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Kanjuruhan Malang
Jl. S. Supriyadi 48 Malang, mars.ayuu@gmail.com & mars_retno@unikama.ac.id
b
Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Kanjuruhan Malang
Jl. S. Supriyadi 48 Malang, nyamik@unikama.ac.id
c
Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Kanjuruhan Malang
Jl. S. Supriyadi 48 Malang, nurfarida@unikama.ac.id
ABSTRACT
The limiting learning by APOS theory is the learning of limits with APOS theory which includes
action, process, object, and schema. This research is generally aimed at developing limit learning
module with APOS theory to develop Advanced Mathematical Thinking (AMT). This research is a
development research. The development research design uses Richey and Klein development design
with Dick and Carey model for material development stage. Richey and Klein's development design
includes: analysis, design, development, and evaluation. Dick and Carey model includes: identifying
learning objectives, conducting learning analysis, learner and environment analysis, formulating
specific objectives, developing assessment instruments, developing learning strategies, developing
and selecting learning materials, designing and executing formative evaluation (through tests),
revising learning materials, and designing and executing summative evaluations (through tests). The
limit learning with developed APOS theory is validated by material validators, learning validators
and module product design validators. This research was conducted in Mathematics Education Study
Program of University of Kanjuruhan Malang. The development of the study was conducted with
small group trials and limited trials on mathematics education students who took the calculus course.
The observations and tests for the ability of Advanced Mathematical Thinking (AMT) were
conducted during the experiments as student academic test. The conclusion of the study shows that
the limit learning module with APOS theory can develop mathematics education students’ ability of
Advanced Mathematical Thinking (AMT) and limit learning module with APOS theory is more
effective and feasible to be used in calculus learning.
Keywords: module, learning, limit, APOS theory, Advanced Mathematical Thinking
ABSTRAK
Pembelajaran limit dengan teori APOS adalah pembelajaran limit dengan teori APOS yang meliputi
aksi (action), proses (process), objek (object), dan skema (schema). Penelitian ini secara umum
bertujuan mengembangkan modul pembelajaran limit dengan teori APOS untuk menumbuhkan
Advanced Mathematical Thinking (AMT). Penelitian ini merupakan penelitian pengembangan.
Desain penelitian pengembangan menggunakan desain pengembangan Richey dan Klein dengan
model Dick dan Carey untuk tahap pengembangan materi. Desain pengembangan Richey dan Klein
meliputi: analisis (analysis), perencanaan (design), pengembangan (development), dan evaluasi
(evaluation). Model Dick dan Carey meliputi: mengidentifikasikan tujuan pembelajaran, melakukan
analisis pembelajaran, analisis pembelajar dan lingkungan, merumuskan tujuan khusus,
mengembangkan instrumen penilaian, mengembangkan strategi pembelajaran, mengembangkan dan
memilih materi pembelajaran, mendesain dan melaksanakan evaluasi formatif (melalui tes ),
merevisi bahan pembelajaran, dan mendesain dan melaksanakan evaluasi sumatif (melalui tes).
Pembelajaran limit dengan teori APOS yang dikembangkan divalidasi oleh validator materi,
validator pembelajaran dan validator desain produk modul. Penelitian ini dilaksanakan di Program
Studi Pendidikan Matematika Universitas Kanjuruhan Malang. Pengembangan penelitian dilakukan
dengan uji coba kelompok kecil dan uji coba terbatas pada mahasiswa pendidikan matematika yang
menempuh matakuliah kalkulus. Selama uji coba dilakukan observasi dan tes kemampuan Advanced
1
Mathematical Thinking (AMT) sebagai tes akademik mahasiswa. Kesimpulan penelitian
menunjukkan bahwa modul pembelajaran limit dengan teori APOS dapat menumbuhkan
kemampuan Advanced Mathematical Thinking (AMT) mahasiswa pendidikan matematika dan
modul pembelajaran limit dengan teori APOS lebih efektif serta layak digunakan dalam
pembelajaran kalkulus.
Kata kunci: modul, pembelajaran, limit, teori APOS, Advanced Mathematical Thinking
matematis
Pendahuluan
Pembelajaran matematika tingkat
(Sumarmo,
2009)
diklasifikasikan ke dalam dua tingkatan,
perguruan
tinggi
sangat
menuntut
yaitu kemampuan berpikir matematis
mahasiswa
bukan
hanya
menghafal
tingkat rendah dan berpikir matematis
ataupun menerapkan konsep ataupun
tingkat tinggi (Advanced Mathematical
rumus matematika yang telah diketahui
Thinking) yang disingkat dengan AMT.
Advanced Mathematical Thinking
saja, tetapi memerlukan kemampuan
berpikir
matematis
diantaranya
tingkat
tinggi
(AMT)
Advanced
kemampuan
meliputi:
representasi,
menvisualisasikan, menggeneralisasikan,
Mathematical Thinking (AMT). Advanced
mengklasifikasikan,
Mathematical Thinking (AMT) meliputi
menginduksi, menganalisa, mensintesa
proses berpikir matematika seperti proses
dan
representasi,
hubungan
memformalisasikan (Tall, 2002). Proses
representasi dan abstraksi, kreatifitas dan
Advanced Mathematical Thinking (AMT)
bukti
Sowder
yaitu proses representasi, proses abstraksi,
(Gutierrez, 2006); Sumarmo, 2011). Tall
dan hubungan antara representasi dan
(2002)
berpikir
abstraksi, sehingga lebih lanjut Tall
elementer berubah menuju ke berpikir
menegaskan bahwa selain proses di atas
matematis tingkat lanjut memerlukan
tergolong berpikir kreatif matematik
keterlibatan suatu transisi yang signifikan,
(Dreyfus (Tall, 2002); Harel & Sowder
yaitu
abstraksi,
matematis
(Harel
menyatakan
dari
&
bahwa
menghipotesa,
mengabstraksikan
atau
mendeskripsikan
ke
(Gutierrez, 2006); Sumarmo (2011)).
dari
ke
Advanced Mathematical Thinking (AMT)
membuktikan secara logika berdasarkan
merupakan kemampuan yang meliputi
pada
ini
representasi, abstraksi, menghubungkan
bagi
representasi dan abstraksi, berpikir kreatif
mahasiswa, sehingga mahasiswa dituntut
matematis, dan membuktikan matematis
memiliki kemampuan untuk berpikir
(Sumarmo,
matematika
(Gutierrez, 2006).
mendefinisikan,
suatu
merupakan
definisi.
meyakinkan
Perubahan
permasalahan
tingkat
lanjut.
Berpikir
2
2011;
Harel
&
Sowder
Advanced
Kemampuan
(Arnawa,
2009)
menyatakan
bahwa
dasarnya
adalah
Mathematical Thinking (AMT) dengan
pembuktian
indikator yang meliputi: (a) Representasi
membuat serangkaian deduksi dari asumsi
Matematis, yaitu kombinasi dari sesuatu
(premis atau aksioma) dan hasil-hasil
yang tertulis di atas kertas, sesuatu yang
matematika yang sudah ada (lemma atau
eksis dalam bentuk obyek fisik dan
teorema) untuk memperoleh hasil-hasil
susunan ide-ide yang terkonstruksi di
penting dari suatu persoalan matematika.
dalam pikiran seseorang (Hwang, 2007);
Sumarmo (2011) menyatakan bahwa
(b) Abstraksi, yaitu peralihan dari model
pembuktian
operasional konkrit ke model (abstrak)
mahasiswa memiliki dua kemampuan,
struktural (Dreyfus, Sfard & Dubinsky
yaitu: (a) kemampuan membaca bukti
(White & Mitchelmore, 2010)); (c)
yaitu kemampuan menemukan kebenaran
Berpikir
kemampuan
dan/atau kesalahan dari suatu pembuktian
kreativitas atau berpikir kreatif merupakan
serta kemampuan memberikan alasan
kemampuan
setiap
kreatif,
yaitu
seseorang
dalam
pada
matematis
langkah
menuntut
pembuktian;
(b)
menghasilkan gagasan baru yang efektif
kemampuan mengkonstruksi bukti yaitu
(Suratno, 2012). Berikir kreatif meliputi
kemampuan
menyusun
kefasihan, fleksibilitas dan kebaruan dan
pernyataan
matematik
fleksibilitas (Suratno, 2012; McGregor,
definisi, prinsip,
2007).
kreatif
menuliskannya dalam bentuk pembuktian
yaitu
lengkap (pembuktian langsung atau tak
menghasilkan banyak ide dalam berbagai
langsung), dengan kemampuan yang
kategori/bidang,
keaslian
(originality)
meliputi: mengidentifikasi premis beserta
yaitu
ide-ide
baru
untuk
implikasinya
mendukung,
Kemampuan
meliputi:
berpikir
kelancaran
memiliki
(fluency)
memecahkan
persoalan,
penguraian
(elaboration)
yaitu
kemampuan
memecahkan
masalah
(Guilford
(Herdian,
secara
2010));
matematika
detail
(d)
dan teorema serta
dan
kondisi
mengorganisasikan
yang
dan
membuat
koneksi antara fakta dengan unsur dari
konklusi yang hendak dibuktikan.
Salah
mengkomunikasikan pemahaman kepada
pembelajaran
komunitas
menumbuhkan
lainnya
berdasarkan
kebenaran suatu pernyataan,
untuk
matematika
bukti
memanipulasi fakta untuk menunjukkan
Pembuktian merupakan representasi dari
hasil
suatu
dan
satu
upaya
matematika
kemampuan
agar
dapat
Advanced
menerimanya sebagai teorema baru Hanna
Mathematical Thinking (AMT) yaitu
(Yoo,
mengembangkan
2008),
sedangkan
Schoenfeld
3
pembelajaran
matematika
Dubinsky
dengan
teori
APOS.
(2009)
yang
dalam
penelitiannya
Mc
Donald
(2001)
menyimpulkan
bahwa
pembelajaran
teori
APOS
metematika menggunakan pendekatan
&
menyatakan
bahwa
merupakan
suatu
pembelajaran
pendekatan
yang
dilaksanakan
APOS
umumnya
untuk
dengan
siklus
ACE
dapat
menumbuhkan sikap positif mahasiswa
pembelajaran
terhadap
matematika
serta
mampu
matematika di tingkat perguruan tinggi,
membiasakannya
yang
matematis dan mampu meningkatkan
mengintegrasikan
penggunaan
komputer, diskusi dalam kelompok kecil,
disposisi
dan memperhatikan konstruksi-konstruksi
mahasiswa.
mental yang dilakukan oleh mahasiswa
dalam
memahami
matematika.
suatu
dalam
berpikir
Penelitian
berpikir
kreatif
ini
matematis
secara
umum
konsep
bertujuan untuk mengembangkan modul
Konstruksi-konstruksi
pembelajaran limit dengan teori APOS
Advanced
mental tersebut adalah: aksi (action),
untuk
proses (process), objek (object), dan
Mathematical Thinking (AMT) dan secara
skema (schema) yang disingkat dengan
khusus
APOS. Teori APOS merupakan sebuah
penelitian ini
teori konstruktivisme tentang bagaimana
modul pembelajaran limit dengan teori
seseorang
APOS untuk menumbuhkan Advanced
belajar
suatu
konsep
menumbuhkan
tujuan
ingin
yaitu
dicapai
dalam
mengembangkan
matematika, sehingga membantu dalam
Mathematical
mengembangkan
berpikir
menganalisis efektivitas penerapan modul
matematika yang ada dalam dirinya
pembelajaran limit dengan teori APOS
(Arnon, 2014; Suryadi, 2012; Brijlall &
yang dikembangkan untuk menumbuhkan
Ndlovu, 2013). Pembelajaran matematika
Advanced Mathematical Thinking (AMT).
proses
Thinking
(AMT)
dan
dengan teori APOS dapat meningkat
kemampuan berpikir matematika yang
Metode Penelitian
ditunjang dengan hasil penelitian Herlina
(2015)
yang
penelitiannya
penelitian
bahwa
adanya
penelitian
kemampuan
peningkatan
Advanced
Mathematical
Thinking
menyimpulkan
dalam
Penelitian
(AMT)
ini
merupakan
pengembangan.
pengembangan
menggunakan
desain
Desain
modul
ini
pengembangan
bagi
Richey, Klein & Tracey (2011) dengan
mahasiswa dengan pembelajaran dengan
model Dick & Carey (2009) untuk tahap
pendekatan APOS. Selain itu, hasil
pengembangan materi modul. Desain
penelitian Herlina (2013) & Nurlaelah
pengembangan
4
Richey
dan
Klein
meliputi: analisis (analysis), perencanaan
mahasiswa dan angket efektifitas terhadap
(design), pengembangan (development),
modul pembelajaran yang dikembangkan;
dan evaluasi (evaluation). Model Dick dan
(b) lembar observasi dan lembar kerja
Carey
mengidentifikasikan
mahasiswa, digunakan untuk memperoleh
tujuan pembelajaran, melakukan analisis
data keterlaksanaan pembelajaran dan
pembelajaran, analisis pembelajar dan
data
lingkungan, merumuskan tujuan khusus,
pembelajaran;
mengembangkan
Advanced Mathematical Thinking (AMT)
meliputi:
instrumen
penilaian,
aktivitas
mahasiswa
(c)
tes
selama
kemampuan
mengembangkan strategi pembelajaran,
digunakan
mengembangkan dan memilih materi
penguasaan
pembelajaran,
mahasiswa melalui kemampuan Advanced
mendesain
dan
untuk
menganalisis
kemampuan
melaksanakan evaluasi formatif (tes),
Mathematical
merevisi
dan
mengerjakan soal pada modul maupun
mendesain dan melaksanakan evaluasi
soal setelah menggunakan modul hasil
sumatif (tes).
pengembangan.
bahan
pembelajaran,
Thinking
akademik
(AMT)
saat
Modul pembelajaran limit dengan
teori
APOS
yang
dikembangkan
Hasil dan Pembahasan
divalidasi oleh validator materi, validator
Penelitian ini menggunakan desain
pembelajaran dan validator desain produk
pengembangan Richey dan Klein dengan
modul.
model Dick dan Carey untuk tahap
Setelah
divalidasi
maka
dilanjutkan dengan uji coba kelompok
pengembangan
kecil dan uji coba terbatas untuk melihat
penelitian meliputi beberapa tahap yaitu
tanggapan dosen dan mahasiswa terhadap
analisis (analysis), perencanaan (design),
modul.
pengembangan
Efektivitas
penerapan
modul
evaluasi
pembelajaran dianalisis dengan kualitatif,
sedangkan
Advanced
kemampuan
pengambilan
materi
modul.
(development),
(evaluation).
data
dalam
Hasil
dan
Sebelum
penelitian,
Mathematical Thinking (AMT) dianalisis
dilakukan
secara
yang
instrument penelitian maupun validasi
digunakan untuk pengumpulan data dalam
produk modul. Hasil validasi tampak
penelitian
dalam tabel 1 dan tabel 2 berikut:
kuantitatif.
digunakan
ini
Instrumen
meliputi:
sebagai
(a)
angket,
angket
respon
validasi
baik
Tabel 1. Hasil Validasi Instrumen Penelitian
Hasil Validasi
Presentase Skor
Keterangan
Uraian
5
validasi
83.33%
83.33%
92.5%
85,71%
89.28%
85,71%
89.28%
90%
Lembar Observasi Aktivitas Dosen
Lembar Observasi Aktivitas Mahasiswa
Lembar Kerja Mahasiswa
Soal Tes Awal
Soal Tes Akhir
Angket respon mahasiswa
Angket respon dosen
Rencana Pelaksanaan Perkuliahan (RPP)
Valid
Valid
Valid
Valid
Valid
Valid
Valid
Valid
Tabel 2. Hasil Validasi Modul Pembelajaran Limit dengan Teori APOS
Uraian
Validasi Materi
Validasi Pembelajaran
Validasi Desain Produk
Hasil
validasi
penelitian
awal dan soal tes akhir dengan catatan
menunjukkan bahwa instrument yang
revisi yaitu secara bahasa soal harus
divalidasi telah dinyatakan valid. Namun
diperbaiki karena dapat menimbulkan
demikian, validator memberikan beberapa
penafsiran ganda, angket respon dosen
catatan untuk direvisi yang meliputi:
dan mahasiswa dengan catatan revisi yaitu
lembar observasi aktivitas dosen dengan
butir-butir pernyataan dalam angket perlu
catatan revisi yaitu indikator yang ingin
dicermati
dicapai dalam lembar observasi dosen
pernyataan memiliki makna yang sama.
harus sesuai dengan rencana pelaksanaan
Sesuai dengan catatan dari validator maka
perkuliahan, lembar observasi aktivitas
dilakukan
mahasiswa dengan catatan revisi yaitu
penelitian, sehingga instrument dapat
butir-butir pernyataan yang terdapat di
digunakan untuk pengambilan data dalam
dalam
penelitian.
indikator
instrumen
Hasil Validasi
Presentase Skor
Keterangan
88,46%
Valid tanpa revisi
90,38%
Valid tanpa revisi
88,46%
Valid tanpa revisi
lembar
observasi
kembali
revisi
karena
pada
beberapa
instrumen
mahasiswa seharusnya sesuai dengan
Validasi berikutnya yaitu hasil
indikator di dalam lembar observasi
validasi modul pembelajaran limit dengan
dosen, lembar kerja mahasiswa dengan
teori APOS yang meliputi validasi materi,
catatan revisi yaitu kegiatan aksi harus
validasi pembelajaran dan validasi desain
melibatkan
produk.
mahasiswa
melakukan
Hasil
validasi
modul
kegatan pencarian informasi konsep-
pembelajaran limit menunjukkan bahwa
konsep yang telah dipelajari serta langkah-
instrument
yang
langkah penyelesaian masalah, soal tes
dinyatakan
valid.
6
divalidasi
Namun
telah
demikian,
validator memberikan beberapa catatan
program studi pendidikan matematika
untuk direvisi yaitu: materi dengan contoh
yang menempuh matakuliah kalkulus
soal dan soal dalam modul perlu dicermati
pada materi limit sebanyak
agar
mudah
Sebelum dilakukan uji coba, mahasiswa
diapahami, tata penulisan dan tampilan
diberikan pengarahan dan petunjuk terkait
kurang menarik. Sesuai dengan catatan
penggunaan modul pembelajaran limit
dari validator maka dilakukan revisi pada
dengan teori APOS, manfaatnya, soal-soal
modul
dan lembar kerja mahasiswa. Selanjutnya
instruksi
soal
pembelajaran
modul
lebih
limit,
pembelajaran
sehingga
limit
dapat
dilakukan
pengambilan
mahasiswa.
data
berupa
digunakan untuk pengambilan data dalam
angket respon mahasiswa untuk menggali
penelitian.
tanggapan
Hasil
validasi
instrument
mahasiswa
terhadap
penelitian dan modul pembelajaran limit
penggunaan modul pembelajaran limit
dengan teori APOS menunjukkan bahwa
dengan teori APOS.
instrument telah dinyatakan valid tanpa
revisi,
sehingga
instrument
Hasil penelitian pengembangan
dapat
dalam modul pembelajaran limit dengan
digunakan dalam penelitian.
teori APOS meliputi:
Pengembangan penelitian dengan
1. Hasil observasi, angket respon dan tes
menggunakan modul pembelajaran limit
kemampuan Advanced Mathematical
dengan teori APOS meliputi: (a) Uji coba
Thinking (AMT) dalam Pengembangan
kelompok
Modul Pembelajaran Limit dengan
kecil
dilakukan
kepada
mahasiswa program studi pendidikan
Teori APOS.
matematika yang menempuh matakuliah
Hasil
uji
coba
terhadap
dalam
modul
kalkulus pada materi limit sebanyak
pengembangan
mahasiswa dengan rician
mahasiswa
pembelajaran limit dengan teori APOS
berkemampuan rendah,
mahasiswa
yang meliputi observasi, angket respon
berkemampuan sedang dan
mahasiswa
dan
tes
kemampuan
Advanced
berkemampuan tinggi; (b) Uji coba
Mathematical Thinking (AMT) tampak
terbatas dilakukan kepada mahasiswa
pada tabel 3 berikut:
Tabel 3. Hasil Uji Coba Pengembangan Modul Pembelajaran Limit dengan Teori APOS
No
1
2
3
4
Uraian
Observasi Aktivitas Mahasiswa
Observasi Aktivitas Dosen
Tes Kemampuan AMT (tes awal)
Tes Kemampuan AMT (tes akhir)
7
Skor dalam Uji Coba
Kel. Kecil
Terbatas
70.83%
91.67%
82.14%
92.86%
33.33%
46.67%
83.33%
86.67%
5
6
%
%
Angket Respon Mahasiswa
Angket Respon Dosen
mahasiswa
ketika waktunya sudah mendekati habis,
diperoleh data bahwa observasi aktivitas
misalnya waktu tinggal sepuluh menit,
mahasiswa pada uji coba kelompok kecil
anggota
dengan ketercapaian
% dan pada
memasukkan waktu untuk tanya jawab
%. Pada observasi aktivitas dosen,
komentar dan umpan balik ke dalam
Hasil
observasi
aktivitas
.
kelompok
mungkin
ingin
uji coba terbatas dengan ketercapaian
dan atau waktu
diperoleh hasil pada kelompok kecil
presentasinya.
dengan ketercapaian
memberikan kesempatan bagi mahasiswa
.
.
% dan pada
untuk
Diskusi
memberikan
kelompok
uji coba terbatas dengan ketercapaian
untuk berpendapat dan memperbaiki bila
aktivitas
ada kesalahan konsep yang telah dipahami
mahasiswa, tampak pada tabel skor bahwa
sebelumnya, sehingga secara bersama
kurang maksimal dalam fase diskusi dan
memahami konsep dengan benar sesuai
presentasi saat tahap objek dan skema,
permasalahannya. Hal ini sesuai dengan
karena mahasiswa masih sulit aktif dalam
pendapat Suryadi (2012) bahwa diskusi
pembelajaran dan diskusi kelompok.
kelompok dapat meningkatkan saling
Mahasiswa perlu pendampingan agar
interaksi dalam saling mendengarkan
mengalami perbuahan dengan terlibat
yang ditemukan orang lain sehingga
aktif dalam pembelajaran dan diskusi,
memperoleh pemahaman yang lebih tingi
agar mahasiswa tampak lebih siap saat
dari sebelumnya.
.
%.
Hasil
observasi
Hasil
presentasi dan memiliki kemampuan
untuk
memahami
matematis.
Hal
sendiri
ini,
sesuai
uji
coba,
diperoleh
konsep
tanggapan terhadap modul pembelajaran
dengan
limit dari angket respon mahasiswa
% terjawab dengan pernyataan
pendapat Asma (2006) bahwa untuk tahap
sebesar
presentasi maka yang dilakukan yaitu
setuju (ya) dari 15 pertanyaan angket
masing-masing
kelompok
respon. Hal ini tampak bahwa modul
kerja
pembelajaran limit dengan teori APOS
kelompoknya, dosen menunjuk seorang
memperoleh tanggapan yang baik dari
dari
sedang
mahasiswa sehingga dapat dikatakan
melakukan presentasi sebagai pengatur
bahwa modul pembelajaran limit sesuai
waktu,
dengan
mempresentasikan
kelompok
hasil
yang
tidak
yang memberikan peringatan
8
kebutuhan
mahasiswa
yaitu
mudah, menarik dan bermanfaat bagi
Advanced Mathematical Thinking (AMT)
mahasiswa. Pada hasil angket respon
pada tes awal dalam uji coba kelompok
dosen
kecil dengan 6 mahasiswa, diperoleh nilai
dengan
dua
orang
dosen
≥
matematika, diperoleh tanggapan terhadap
modul pembelajaran limit sebesar
%
dengan ketercapaian hanya
dan
tes
, %
Advanced
kemampuan
terjawab dengan pernyataan setuju (ya)
Mathematical Thinking (AMT) pada tes
dari
akhir dengan ketercapaian
pertanyaan angket respon. Hal ini
,
%. Selain
tampak bahwa modul pembelajaran limit
itu, pada hasil tes kemampuan Advanced
dengan
dengan
Mathematical Thinking (AMT) pada tes
kebutuhan mahasiswa sehingga dapat
awal dalam uji coba terbatas dengan 30
dikatakan bahwa modul pembelajaran
mahasiswa, diperoleh nilai ≥
teori
APOS
sesuai
, %
dengan
limit dengan teori APOS memberikan
ketercapaian hanya
kepraktisan, efektif dan layak dalam
kemampuan
pembelajaran. Hal ini sesuai dengan
Thinking (AMT) pada tes akhir dengan
pendapat Rusmiati, dkk (2013) bahwa
ketercapaian
modul yang dikembangkan sendiri oleh
2. Hasil Lembar Kerja Mahasiswa dalam
pendidik
dapat
disesuaikan
dengan
Advanced
,
dan tes
Mathematical
%.
Modul pembelajaran limit dengan teori
karakteristik peserta didik.
APOS
Selanjutnya juga diperoleh hasil
Hasil
uji
coba
terhadap
dalam
modul
kemampuan akademik mahasiswa yang
pengembangan
tampak dari hasil yang diperoleh dari tes
pembelajaran limit dengan teori APOS
kemampuan
Advanced
Mathematical
dalam lembar kerja mahasiswa dengan
Thinking (AMT). Hasil tes kemampuan
teori APOS tampak pada tabel 4 berikut:
Tabel 4. Hasil Lembar Kerja Mahasiswa Modul pembelajaran limit dengan teori APOS
Uraian
Lembar kerja mahasiswa-1
Lembar kerja mahasiswa-2
Lembar kerja mahasiswa-3
Lembar kerja mahasiswa-4
Lembar kerja mahasiswa-5
Jumlah
Rata-rata
Nilai Lembar Kerja Mahasiswa dengan Teori APOS
Aksi
Proses
Objek
Skema
85
85
80
80
85
80
80
80
80
80
80
80
85
85
85
85
85
80
80
75
420
410
405
400
84
82
81
80
9
Hasil lembar kerja mahasiswa dengan
Hasil penelitian meliputi beberapa
teori APOS diperoleh data bahwa pada uji
tahap
coba kelompok kecil yaitu aksi dengan
perencanaan (design), pengembangan
nilai rata-rata sebesar
, proses dengan
(development),
nilai rata-rata sebesar
, objek dengan
(evaluation). Tahap pertama adalah
dan skema
analisis (analysis), dengan analisis
nilai rata-rata sebesar
yaitu
analisis
(analysis),
dan
evaluasi
. Hasil
terhadap bahan ajar kalkulus materi
lembar kerja mahasiswa dengan teori
limit, meninjau tujuan pembelajaran
APOS pada uji coba terbatas diperoleh
kalkulus limit. Tahap Kedua adalah
bahwa aksi dengan nilai rata-rata sebesar
perencanaan
, proses dengan nilai rata-rata sebesar
menentukan
, objek dengan nilai rata-rata sebesar
menyusun instrumen dan mendesain
dan skema dengan nilai rata-rata sebesar
spesifikasi produk dan struktur isi
dengan nilai rata-rata sebesar
modul.
Hal ini dapat dikatakan mahasiswa
(design),
waktu
Tahap
dengan
pelaksanaan,
ketiga
adalah
mahasiswa masih belum maksimal dalam
pengembangan
menyimpulkan dari penyelesaian soal,
menganalisis
dan
sehingga mahasiswa masih memerlukan
komponen
pembelajaran
pendampingan, sesuai dengan pendapat
dikembangkan,
Tall (Suryadi, 2005) bahwa peran utama
pembelajaran limit dengan teori APOS
dosen dalam diskusi kelas adalah sebagai
dengan melakukan validasi materi oleh
fasilitator/intervensi
ahli materi, validasi pembelajaran dan
tidak
langsung/
(development),
mengembangkan
yang
validasi
modul
validasi desain produk oleh ahli desain
scaffolding.
dan selanjutnya melakukan uji coba
modul yang telah direvisi kepada
Kesimpulan
kelompok kecil, serta uji coba terbatas.
Penelitian pengembangan modul
pembelajaran limit dengan teori APOS
Tahap
dapat disimpulkan yaitu:
(evaluation), melakukan evaluasi dan
1. Penelitian
pengembangan
analisis
modul
keempat
adalah
keefektifan
evaluasi
modul
yang
pembelajaran limit dengan teori APOS
dikembangkan dengan melakukan tes
ini
kemampuan Advanced Mathematical
dengan
pengembangan
menggunakan
Richey
dan
desain
Thinking (AMT).
Klein
2. Hasil
dengan model Dick dan Carey untuk
tes
kemampuan
Advanced
Mathematical Thinking (AMT) pada
tahap pengembangan materi modul.
uji coba kelompok kecil diperoleh tes
10
awal
, %
dengan
ketercapaian
dan
tes
ketercapaian
akhir
sebesar
hanya
memberikan kepraktisan, efektif dan
layak dalam pembelajaran.
dengan
,
%,
4. Penelitian
pengembangan
modul
sedangkan pada uji coba terbatas
pembelajaran limit dengan teori APOS
diperoleh tes awal dengan ketercapaian
dapat
hanya
, %
sebesar
,
bahwa
modul
pembelajaran limit dengan teori APOS
dan tes akhir dengan
ketercapaian
disimpulkan
%,
dapat
menumbuhkan
kemampuan
sehingga dapat disimpulkan bahwa
Advanced
modul pembelajaran limit dengan teori
(AMT)
APOS
menumbuhkan
matematika dan modul pembelajaran
kemampuan Advanced Mathematical
limit dengan teori APOS memberikan
Thinking (AMT)
kepraktisan
3. Hasil
dapat
tanggapan
terhadap
Mathematical
mahasiswa
digunakan
dari angket respon mahasiswa sebesar
matematika.
% terjawab dengan pernyataan
(ya),
disimpulkan
sehingga
bahwa
pendidikan
pembelajaran,
sehingga sangat efektif dan layak
modul
pembelajaran limit dengan teori APOS
setuju
dalam
Thinking
dapat
Pustaka
modul
Arnawa,
M.
dalam
2009.
pembelajaran
Mengembangkan
pembelajaran limit dengan teori APOS
Kemampuan
Mahasiswa
memperoleh tanggapan yang baik dari
Memvalidasi Bukti pada Aljabar
mahasiswa sehingga dapat dikatakan
Abstrak
bahwa modul pembelajaran limit sesuai
Berdasarkan Toeri APOS. Jurnal
dengan kebutuhan mahasiswa yaitu
Matematika dan Sains. 14, (2), 76-
mudah, menarik dan bermanfaat bagi
82.
melalui
modul pembelajaran limit dengan teori
Researchand
APOS dari angket respon dosen
Developmentin
%
terjawab
Pembelajaran
Arnon, I. dkk.2014. A Framework for
mahasiswa. Hasil tanggapan terhadap
sebesar
dalam
Curriculum
Mathematics
Education. New York: Springer
dengan
Asma, Nur. 2006. Model Pembelajaran
pernyataan setuju (ya), sehingga dapat
modul
Kooperatif.
Jakarta:
pembelajaran limit dengan teori APOS
Pendidikan
Nasional
sesuai dengan kebutuhan mahasiswa
Jenderal Pendidikan tinggi Direktorat
sehingga dapat dikatakan bahwa modul
Ketenagaan
disimpulkan
bahwa
pembelajaran limit dengan teori APOS
11
Departemen
Direktorat
Siliwangi Bandung, Vol 2, No.2,
Brijlall, D & Ndlovu, Z. 2013. High chool
Learne’s Mental Contruction during
September 2013-169.
Herlina,
Solving Optimisation Problems in
Elda.
2015.
Meningkatkan
Calculus: a South African Case
Advanced Mathematical Thinking
Study. South African Journal of
Mahasiswa. Infinity. Jurnal Ilmiah
Education, 33 (2), 1-18.
Program Studi Matematika STKIP
Siliwangi Bandung, Vol 4, No.1,
Dick, W, Carey, L dan Carey, O.J. 2009.
The
Systematic
Design
of
Februari 2015, 65-83.
Instruction. USA: Pearson
Hwang,
et
al.
Multiple
2007.
Dubinsky, E. & McDonald, M. 2001.
Representation Skills and Creativity
“APOS: A Constructivist Theory of
Effect on Mathematical Problem
Learning
Solving
in
Undergraduate
Using
a
Multimedia
Mathematics Education Research”.
Whiteboard System. Educational
(Ed.).
The
Technology & society. Vol. 10 No.
Learning
of
Dalam
D.
Teaching
Holton
and
2 pp. 191-212
McGregor, D. 2007. Developing Thinking
Mathematics at University Level.
Dordrecht:
Kluwer
Developing Learning. Poland: Open
Academic
University Press.
Publishers.
2006.
Richey, C.R. dan Klein, D.J., and Tracey,
Handbook of Research on the
W. M. 2011. The Instructional
Psychology
Mathematics
Design Knowledge Base: Theory,
Education: Past, Present and Future,
Reasearch, and Practice. New
147–172. Sense Publishers. All
York: Routledge.
Gutierrez,
P.
Boero
(Eds.).
of
Sumarmo,
rights reserved.
U.
2011.
Advanced
berfikir
Mathematical Thinking dan Habit of
kreatif siswa. [Online]. Tersedia:
Mind Mahasiswa (Bahan Kuliah).
www.herdy07.wordpress.com/2010
PPS UPI Bandung: tidak diterbitkan
Herdian
2010.
Kemampuan
/05/27/kemampuan-berfikir-kreatif-
Sumarmo,
Elda.
Disposisi
Melalui
Infinity.
High
Level
Thinking:
Experiments with High School and
Meningkatkan
Kreatif
Under Graduate Students Using
Penedekatan
Various Approaches and Strategies.
Berpikir
Matematis
APOS.
2013.
2009.
Mathematical
iswa/ Diakses tanggal 1 Juli 2015.
Herlina,
U.
Jurnal
Ilmiah
Makalah yang disampaikan pada
Program Studi Matematika STKIP
Seminar di UPI. Bandung: UPI.
12
dan
White, P., & Mitchelmore, M. C. 2010.
Apa,
Teaching for Abstraction: A Model.
Bagaimana
Mathematical Thinking & Learning.
dikembangkan pada Peserta Didik.
Available from: Education Research
Makalah.Tidak Dipublikasikan.
Complete, Ipswich, MA. Accessed
Sumarmo.
U.
2010.
Berpikir
Disposisi
Matematis:
Mengapa,
dan
Suratno, Tatang. 2012. Pengembangan
Kreativitas
Siswa
March 4, 2012
Yoo, S. (2008). Effects of Traditional and
Dalam
Pembelajaran Sains Di Sekolah
Problem
Dasar.
Conceptions of Proof and Pedagogy
Artikel
Sampoerna
Based
Instruction
on
in Undergraduates and Prospective
Fondation Institut.
Suryadi, D. 2012. Membangun Budaya
Mathematics Teacher, Dissertasion
Baru dalam Berpikir Matematis.
of The University of Texas at
Bandung: Rizqi Press.
Austin: Tidak Dipublikasikan.
Tall, D. 2002. Advanced Mathematical
Thinking.
Boston:
Kluwer
Academic Publisher
13
KEMAMPUAN ADVANCED MATHEMATICAL THINKING
Retno Marsitina, Nyamik Rahayu Sesantib, Nur Faridac
a
Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Kanjuruhan Malang
Jl. S. Supriyadi 48 Malang, mars.ayuu@gmail.com & mars_retno@unikama.ac.id
b
Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Kanjuruhan Malang
Jl. S. Supriyadi 48 Malang, nyamik@unikama.ac.id
c
Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Kanjuruhan Malang
Jl. S. Supriyadi 48 Malang, nurfarida@unikama.ac.id
ABSTRACT
The limiting learning by APOS theory is the learning of limits with APOS theory which includes
action, process, object, and schema. This research is generally aimed at developing limit learning
module with APOS theory to develop Advanced Mathematical Thinking (AMT). This research is a
development research. The development research design uses Richey and Klein development design
with Dick and Carey model for material development stage. Richey and Klein's development design
includes: analysis, design, development, and evaluation. Dick and Carey model includes: identifying
learning objectives, conducting learning analysis, learner and environment analysis, formulating
specific objectives, developing assessment instruments, developing learning strategies, developing
and selecting learning materials, designing and executing formative evaluation (through tests),
revising learning materials, and designing and executing summative evaluations (through tests). The
limit learning with developed APOS theory is validated by material validators, learning validators
and module product design validators. This research was conducted in Mathematics Education Study
Program of University of Kanjuruhan Malang. The development of the study was conducted with
small group trials and limited trials on mathematics education students who took the calculus course.
The observations and tests for the ability of Advanced Mathematical Thinking (AMT) were
conducted during the experiments as student academic test. The conclusion of the study shows that
the limit learning module with APOS theory can develop mathematics education students’ ability of
Advanced Mathematical Thinking (AMT) and limit learning module with APOS theory is more
effective and feasible to be used in calculus learning.
Keywords: module, learning, limit, APOS theory, Advanced Mathematical Thinking
ABSTRAK
Pembelajaran limit dengan teori APOS adalah pembelajaran limit dengan teori APOS yang meliputi
aksi (action), proses (process), objek (object), dan skema (schema). Penelitian ini secara umum
bertujuan mengembangkan modul pembelajaran limit dengan teori APOS untuk menumbuhkan
Advanced Mathematical Thinking (AMT). Penelitian ini merupakan penelitian pengembangan.
Desain penelitian pengembangan menggunakan desain pengembangan Richey dan Klein dengan
model Dick dan Carey untuk tahap pengembangan materi. Desain pengembangan Richey dan Klein
meliputi: analisis (analysis), perencanaan (design), pengembangan (development), dan evaluasi
(evaluation). Model Dick dan Carey meliputi: mengidentifikasikan tujuan pembelajaran, melakukan
analisis pembelajaran, analisis pembelajar dan lingkungan, merumuskan tujuan khusus,
mengembangkan instrumen penilaian, mengembangkan strategi pembelajaran, mengembangkan dan
memilih materi pembelajaran, mendesain dan melaksanakan evaluasi formatif (melalui tes ),
merevisi bahan pembelajaran, dan mendesain dan melaksanakan evaluasi sumatif (melalui tes).
Pembelajaran limit dengan teori APOS yang dikembangkan divalidasi oleh validator materi,
validator pembelajaran dan validator desain produk modul. Penelitian ini dilaksanakan di Program
Studi Pendidikan Matematika Universitas Kanjuruhan Malang. Pengembangan penelitian dilakukan
dengan uji coba kelompok kecil dan uji coba terbatas pada mahasiswa pendidikan matematika yang
menempuh matakuliah kalkulus. Selama uji coba dilakukan observasi dan tes kemampuan Advanced
1
Mathematical Thinking (AMT) sebagai tes akademik mahasiswa. Kesimpulan penelitian
menunjukkan bahwa modul pembelajaran limit dengan teori APOS dapat menumbuhkan
kemampuan Advanced Mathematical Thinking (AMT) mahasiswa pendidikan matematika dan
modul pembelajaran limit dengan teori APOS lebih efektif serta layak digunakan dalam
pembelajaran kalkulus.
Kata kunci: modul, pembelajaran, limit, teori APOS, Advanced Mathematical Thinking
matematis
Pendahuluan
Pembelajaran matematika tingkat
(Sumarmo,
2009)
diklasifikasikan ke dalam dua tingkatan,
perguruan
tinggi
sangat
menuntut
yaitu kemampuan berpikir matematis
mahasiswa
bukan
hanya
menghafal
tingkat rendah dan berpikir matematis
ataupun menerapkan konsep ataupun
tingkat tinggi (Advanced Mathematical
rumus matematika yang telah diketahui
Thinking) yang disingkat dengan AMT.
Advanced Mathematical Thinking
saja, tetapi memerlukan kemampuan
berpikir
matematis
diantaranya
tingkat
tinggi
(AMT)
Advanced
kemampuan
meliputi:
representasi,
menvisualisasikan, menggeneralisasikan,
Mathematical Thinking (AMT). Advanced
mengklasifikasikan,
Mathematical Thinking (AMT) meliputi
menginduksi, menganalisa, mensintesa
proses berpikir matematika seperti proses
dan
representasi,
hubungan
memformalisasikan (Tall, 2002). Proses
representasi dan abstraksi, kreatifitas dan
Advanced Mathematical Thinking (AMT)
bukti
Sowder
yaitu proses representasi, proses abstraksi,
(Gutierrez, 2006); Sumarmo, 2011). Tall
dan hubungan antara representasi dan
(2002)
berpikir
abstraksi, sehingga lebih lanjut Tall
elementer berubah menuju ke berpikir
menegaskan bahwa selain proses di atas
matematis tingkat lanjut memerlukan
tergolong berpikir kreatif matematik
keterlibatan suatu transisi yang signifikan,
(Dreyfus (Tall, 2002); Harel & Sowder
yaitu
abstraksi,
matematis
(Harel
menyatakan
dari
&
bahwa
menghipotesa,
mengabstraksikan
atau
mendeskripsikan
ke
(Gutierrez, 2006); Sumarmo (2011)).
dari
ke
Advanced Mathematical Thinking (AMT)
membuktikan secara logika berdasarkan
merupakan kemampuan yang meliputi
pada
ini
representasi, abstraksi, menghubungkan
bagi
representasi dan abstraksi, berpikir kreatif
mahasiswa, sehingga mahasiswa dituntut
matematis, dan membuktikan matematis
memiliki kemampuan untuk berpikir
(Sumarmo,
matematika
(Gutierrez, 2006).
mendefinisikan,
suatu
merupakan
definisi.
meyakinkan
Perubahan
permasalahan
tingkat
lanjut.
Berpikir
2
2011;
Harel
&
Sowder
Advanced
Kemampuan
(Arnawa,
2009)
menyatakan
bahwa
dasarnya
adalah
Mathematical Thinking (AMT) dengan
pembuktian
indikator yang meliputi: (a) Representasi
membuat serangkaian deduksi dari asumsi
Matematis, yaitu kombinasi dari sesuatu
(premis atau aksioma) dan hasil-hasil
yang tertulis di atas kertas, sesuatu yang
matematika yang sudah ada (lemma atau
eksis dalam bentuk obyek fisik dan
teorema) untuk memperoleh hasil-hasil
susunan ide-ide yang terkonstruksi di
penting dari suatu persoalan matematika.
dalam pikiran seseorang (Hwang, 2007);
Sumarmo (2011) menyatakan bahwa
(b) Abstraksi, yaitu peralihan dari model
pembuktian
operasional konkrit ke model (abstrak)
mahasiswa memiliki dua kemampuan,
struktural (Dreyfus, Sfard & Dubinsky
yaitu: (a) kemampuan membaca bukti
(White & Mitchelmore, 2010)); (c)
yaitu kemampuan menemukan kebenaran
Berpikir
kemampuan
dan/atau kesalahan dari suatu pembuktian
kreativitas atau berpikir kreatif merupakan
serta kemampuan memberikan alasan
kemampuan
setiap
kreatif,
yaitu
seseorang
dalam
pada
matematis
langkah
menuntut
pembuktian;
(b)
menghasilkan gagasan baru yang efektif
kemampuan mengkonstruksi bukti yaitu
(Suratno, 2012). Berikir kreatif meliputi
kemampuan
menyusun
kefasihan, fleksibilitas dan kebaruan dan
pernyataan
matematik
fleksibilitas (Suratno, 2012; McGregor,
definisi, prinsip,
2007).
kreatif
menuliskannya dalam bentuk pembuktian
yaitu
lengkap (pembuktian langsung atau tak
menghasilkan banyak ide dalam berbagai
langsung), dengan kemampuan yang
kategori/bidang,
keaslian
(originality)
meliputi: mengidentifikasi premis beserta
yaitu
ide-ide
baru
untuk
implikasinya
mendukung,
Kemampuan
meliputi:
berpikir
kelancaran
memiliki
(fluency)
memecahkan
persoalan,
penguraian
(elaboration)
yaitu
kemampuan
memecahkan
masalah
(Guilford
(Herdian,
secara
2010));
matematika
detail
(d)
dan teorema serta
dan
kondisi
mengorganisasikan
yang
dan
membuat
koneksi antara fakta dengan unsur dari
konklusi yang hendak dibuktikan.
Salah
mengkomunikasikan pemahaman kepada
pembelajaran
komunitas
menumbuhkan
lainnya
berdasarkan
kebenaran suatu pernyataan,
untuk
matematika
bukti
memanipulasi fakta untuk menunjukkan
Pembuktian merupakan representasi dari
hasil
suatu
dan
satu
upaya
matematika
kemampuan
agar
dapat
Advanced
menerimanya sebagai teorema baru Hanna
Mathematical Thinking (AMT) yaitu
(Yoo,
mengembangkan
2008),
sedangkan
Schoenfeld
3
pembelajaran
matematika
Dubinsky
dengan
teori
APOS.
(2009)
yang
dalam
penelitiannya
Mc
Donald
(2001)
menyimpulkan
bahwa
pembelajaran
teori
APOS
metematika menggunakan pendekatan
&
menyatakan
bahwa
merupakan
suatu
pembelajaran
pendekatan
yang
dilaksanakan
APOS
umumnya
untuk
dengan
siklus
ACE
dapat
menumbuhkan sikap positif mahasiswa
pembelajaran
terhadap
matematika
serta
mampu
matematika di tingkat perguruan tinggi,
membiasakannya
yang
matematis dan mampu meningkatkan
mengintegrasikan
penggunaan
komputer, diskusi dalam kelompok kecil,
disposisi
dan memperhatikan konstruksi-konstruksi
mahasiswa.
mental yang dilakukan oleh mahasiswa
dalam
memahami
matematika.
suatu
dalam
berpikir
Penelitian
berpikir
kreatif
ini
matematis
secara
umum
konsep
bertujuan untuk mengembangkan modul
Konstruksi-konstruksi
pembelajaran limit dengan teori APOS
Advanced
mental tersebut adalah: aksi (action),
untuk
proses (process), objek (object), dan
Mathematical Thinking (AMT) dan secara
skema (schema) yang disingkat dengan
khusus
APOS. Teori APOS merupakan sebuah
penelitian ini
teori konstruktivisme tentang bagaimana
modul pembelajaran limit dengan teori
seseorang
APOS untuk menumbuhkan Advanced
belajar
suatu
konsep
menumbuhkan
tujuan
ingin
yaitu
dicapai
dalam
mengembangkan
matematika, sehingga membantu dalam
Mathematical
mengembangkan
berpikir
menganalisis efektivitas penerapan modul
matematika yang ada dalam dirinya
pembelajaran limit dengan teori APOS
(Arnon, 2014; Suryadi, 2012; Brijlall &
yang dikembangkan untuk menumbuhkan
Ndlovu, 2013). Pembelajaran matematika
Advanced Mathematical Thinking (AMT).
proses
Thinking
(AMT)
dan
dengan teori APOS dapat meningkat
kemampuan berpikir matematika yang
Metode Penelitian
ditunjang dengan hasil penelitian Herlina
(2015)
yang
penelitiannya
penelitian
bahwa
adanya
penelitian
kemampuan
peningkatan
Advanced
Mathematical
Thinking
menyimpulkan
dalam
Penelitian
(AMT)
ini
merupakan
pengembangan.
pengembangan
menggunakan
desain
Desain
modul
ini
pengembangan
bagi
Richey, Klein & Tracey (2011) dengan
mahasiswa dengan pembelajaran dengan
model Dick & Carey (2009) untuk tahap
pendekatan APOS. Selain itu, hasil
pengembangan materi modul. Desain
penelitian Herlina (2013) & Nurlaelah
pengembangan
4
Richey
dan
Klein
meliputi: analisis (analysis), perencanaan
mahasiswa dan angket efektifitas terhadap
(design), pengembangan (development),
modul pembelajaran yang dikembangkan;
dan evaluasi (evaluation). Model Dick dan
(b) lembar observasi dan lembar kerja
Carey
mengidentifikasikan
mahasiswa, digunakan untuk memperoleh
tujuan pembelajaran, melakukan analisis
data keterlaksanaan pembelajaran dan
pembelajaran, analisis pembelajar dan
data
lingkungan, merumuskan tujuan khusus,
pembelajaran;
mengembangkan
Advanced Mathematical Thinking (AMT)
meliputi:
instrumen
penilaian,
aktivitas
mahasiswa
(c)
tes
selama
kemampuan
mengembangkan strategi pembelajaran,
digunakan
mengembangkan dan memilih materi
penguasaan
pembelajaran,
mahasiswa melalui kemampuan Advanced
mendesain
dan
untuk
menganalisis
kemampuan
melaksanakan evaluasi formatif (tes),
Mathematical
merevisi
dan
mengerjakan soal pada modul maupun
mendesain dan melaksanakan evaluasi
soal setelah menggunakan modul hasil
sumatif (tes).
pengembangan.
bahan
pembelajaran,
Thinking
akademik
(AMT)
saat
Modul pembelajaran limit dengan
teori
APOS
yang
dikembangkan
Hasil dan Pembahasan
divalidasi oleh validator materi, validator
Penelitian ini menggunakan desain
pembelajaran dan validator desain produk
pengembangan Richey dan Klein dengan
modul.
model Dick dan Carey untuk tahap
Setelah
divalidasi
maka
dilanjutkan dengan uji coba kelompok
pengembangan
kecil dan uji coba terbatas untuk melihat
penelitian meliputi beberapa tahap yaitu
tanggapan dosen dan mahasiswa terhadap
analisis (analysis), perencanaan (design),
modul.
pengembangan
Efektivitas
penerapan
modul
evaluasi
pembelajaran dianalisis dengan kualitatif,
sedangkan
Advanced
kemampuan
pengambilan
materi
modul.
(development),
(evaluation).
data
dalam
Hasil
dan
Sebelum
penelitian,
Mathematical Thinking (AMT) dianalisis
dilakukan
secara
yang
instrument penelitian maupun validasi
digunakan untuk pengumpulan data dalam
produk modul. Hasil validasi tampak
penelitian
dalam tabel 1 dan tabel 2 berikut:
kuantitatif.
digunakan
ini
Instrumen
meliputi:
sebagai
(a)
angket,
angket
respon
validasi
baik
Tabel 1. Hasil Validasi Instrumen Penelitian
Hasil Validasi
Presentase Skor
Keterangan
Uraian
5
validasi
83.33%
83.33%
92.5%
85,71%
89.28%
85,71%
89.28%
90%
Lembar Observasi Aktivitas Dosen
Lembar Observasi Aktivitas Mahasiswa
Lembar Kerja Mahasiswa
Soal Tes Awal
Soal Tes Akhir
Angket respon mahasiswa
Angket respon dosen
Rencana Pelaksanaan Perkuliahan (RPP)
Valid
Valid
Valid
Valid
Valid
Valid
Valid
Valid
Tabel 2. Hasil Validasi Modul Pembelajaran Limit dengan Teori APOS
Uraian
Validasi Materi
Validasi Pembelajaran
Validasi Desain Produk
Hasil
validasi
penelitian
awal dan soal tes akhir dengan catatan
menunjukkan bahwa instrument yang
revisi yaitu secara bahasa soal harus
divalidasi telah dinyatakan valid. Namun
diperbaiki karena dapat menimbulkan
demikian, validator memberikan beberapa
penafsiran ganda, angket respon dosen
catatan untuk direvisi yang meliputi:
dan mahasiswa dengan catatan revisi yaitu
lembar observasi aktivitas dosen dengan
butir-butir pernyataan dalam angket perlu
catatan revisi yaitu indikator yang ingin
dicermati
dicapai dalam lembar observasi dosen
pernyataan memiliki makna yang sama.
harus sesuai dengan rencana pelaksanaan
Sesuai dengan catatan dari validator maka
perkuliahan, lembar observasi aktivitas
dilakukan
mahasiswa dengan catatan revisi yaitu
penelitian, sehingga instrument dapat
butir-butir pernyataan yang terdapat di
digunakan untuk pengambilan data dalam
dalam
penelitian.
indikator
instrumen
Hasil Validasi
Presentase Skor
Keterangan
88,46%
Valid tanpa revisi
90,38%
Valid tanpa revisi
88,46%
Valid tanpa revisi
lembar
observasi
kembali
revisi
karena
pada
beberapa
instrumen
mahasiswa seharusnya sesuai dengan
Validasi berikutnya yaitu hasil
indikator di dalam lembar observasi
validasi modul pembelajaran limit dengan
dosen, lembar kerja mahasiswa dengan
teori APOS yang meliputi validasi materi,
catatan revisi yaitu kegiatan aksi harus
validasi pembelajaran dan validasi desain
melibatkan
produk.
mahasiswa
melakukan
Hasil
validasi
modul
kegatan pencarian informasi konsep-
pembelajaran limit menunjukkan bahwa
konsep yang telah dipelajari serta langkah-
instrument
yang
langkah penyelesaian masalah, soal tes
dinyatakan
valid.
6
divalidasi
Namun
telah
demikian,
validator memberikan beberapa catatan
program studi pendidikan matematika
untuk direvisi yaitu: materi dengan contoh
yang menempuh matakuliah kalkulus
soal dan soal dalam modul perlu dicermati
pada materi limit sebanyak
agar
mudah
Sebelum dilakukan uji coba, mahasiswa
diapahami, tata penulisan dan tampilan
diberikan pengarahan dan petunjuk terkait
kurang menarik. Sesuai dengan catatan
penggunaan modul pembelajaran limit
dari validator maka dilakukan revisi pada
dengan teori APOS, manfaatnya, soal-soal
modul
dan lembar kerja mahasiswa. Selanjutnya
instruksi
soal
pembelajaran
modul
lebih
limit,
pembelajaran
sehingga
limit
dapat
dilakukan
pengambilan
mahasiswa.
data
berupa
digunakan untuk pengambilan data dalam
angket respon mahasiswa untuk menggali
penelitian.
tanggapan
Hasil
validasi
instrument
mahasiswa
terhadap
penelitian dan modul pembelajaran limit
penggunaan modul pembelajaran limit
dengan teori APOS menunjukkan bahwa
dengan teori APOS.
instrument telah dinyatakan valid tanpa
revisi,
sehingga
instrument
Hasil penelitian pengembangan
dapat
dalam modul pembelajaran limit dengan
digunakan dalam penelitian.
teori APOS meliputi:
Pengembangan penelitian dengan
1. Hasil observasi, angket respon dan tes
menggunakan modul pembelajaran limit
kemampuan Advanced Mathematical
dengan teori APOS meliputi: (a) Uji coba
Thinking (AMT) dalam Pengembangan
kelompok
Modul Pembelajaran Limit dengan
kecil
dilakukan
kepada
mahasiswa program studi pendidikan
Teori APOS.
matematika yang menempuh matakuliah
Hasil
uji
coba
terhadap
dalam
modul
kalkulus pada materi limit sebanyak
pengembangan
mahasiswa dengan rician
mahasiswa
pembelajaran limit dengan teori APOS
berkemampuan rendah,
mahasiswa
yang meliputi observasi, angket respon
berkemampuan sedang dan
mahasiswa
dan
tes
kemampuan
Advanced
berkemampuan tinggi; (b) Uji coba
Mathematical Thinking (AMT) tampak
terbatas dilakukan kepada mahasiswa
pada tabel 3 berikut:
Tabel 3. Hasil Uji Coba Pengembangan Modul Pembelajaran Limit dengan Teori APOS
No
1
2
3
4
Uraian
Observasi Aktivitas Mahasiswa
Observasi Aktivitas Dosen
Tes Kemampuan AMT (tes awal)
Tes Kemampuan AMT (tes akhir)
7
Skor dalam Uji Coba
Kel. Kecil
Terbatas
70.83%
91.67%
82.14%
92.86%
33.33%
46.67%
83.33%
86.67%
5
6
%
%
Angket Respon Mahasiswa
Angket Respon Dosen
mahasiswa
ketika waktunya sudah mendekati habis,
diperoleh data bahwa observasi aktivitas
misalnya waktu tinggal sepuluh menit,
mahasiswa pada uji coba kelompok kecil
anggota
dengan ketercapaian
% dan pada
memasukkan waktu untuk tanya jawab
%. Pada observasi aktivitas dosen,
komentar dan umpan balik ke dalam
Hasil
observasi
aktivitas
.
kelompok
mungkin
ingin
uji coba terbatas dengan ketercapaian
dan atau waktu
diperoleh hasil pada kelompok kecil
presentasinya.
dengan ketercapaian
memberikan kesempatan bagi mahasiswa
.
.
% dan pada
untuk
Diskusi
memberikan
kelompok
uji coba terbatas dengan ketercapaian
untuk berpendapat dan memperbaiki bila
aktivitas
ada kesalahan konsep yang telah dipahami
mahasiswa, tampak pada tabel skor bahwa
sebelumnya, sehingga secara bersama
kurang maksimal dalam fase diskusi dan
memahami konsep dengan benar sesuai
presentasi saat tahap objek dan skema,
permasalahannya. Hal ini sesuai dengan
karena mahasiswa masih sulit aktif dalam
pendapat Suryadi (2012) bahwa diskusi
pembelajaran dan diskusi kelompok.
kelompok dapat meningkatkan saling
Mahasiswa perlu pendampingan agar
interaksi dalam saling mendengarkan
mengalami perbuahan dengan terlibat
yang ditemukan orang lain sehingga
aktif dalam pembelajaran dan diskusi,
memperoleh pemahaman yang lebih tingi
agar mahasiswa tampak lebih siap saat
dari sebelumnya.
.
%.
Hasil
observasi
Hasil
presentasi dan memiliki kemampuan
untuk
memahami
matematis.
Hal
sendiri
ini,
sesuai
uji
coba,
diperoleh
konsep
tanggapan terhadap modul pembelajaran
dengan
limit dari angket respon mahasiswa
% terjawab dengan pernyataan
pendapat Asma (2006) bahwa untuk tahap
sebesar
presentasi maka yang dilakukan yaitu
setuju (ya) dari 15 pertanyaan angket
masing-masing
kelompok
respon. Hal ini tampak bahwa modul
kerja
pembelajaran limit dengan teori APOS
kelompoknya, dosen menunjuk seorang
memperoleh tanggapan yang baik dari
dari
sedang
mahasiswa sehingga dapat dikatakan
melakukan presentasi sebagai pengatur
bahwa modul pembelajaran limit sesuai
waktu,
dengan
mempresentasikan
kelompok
hasil
yang
tidak
yang memberikan peringatan
8
kebutuhan
mahasiswa
yaitu
mudah, menarik dan bermanfaat bagi
Advanced Mathematical Thinking (AMT)
mahasiswa. Pada hasil angket respon
pada tes awal dalam uji coba kelompok
dosen
kecil dengan 6 mahasiswa, diperoleh nilai
dengan
dua
orang
dosen
≥
matematika, diperoleh tanggapan terhadap
modul pembelajaran limit sebesar
%
dengan ketercapaian hanya
dan
tes
, %
Advanced
kemampuan
terjawab dengan pernyataan setuju (ya)
Mathematical Thinking (AMT) pada tes
dari
akhir dengan ketercapaian
pertanyaan angket respon. Hal ini
,
%. Selain
tampak bahwa modul pembelajaran limit
itu, pada hasil tes kemampuan Advanced
dengan
dengan
Mathematical Thinking (AMT) pada tes
kebutuhan mahasiswa sehingga dapat
awal dalam uji coba terbatas dengan 30
dikatakan bahwa modul pembelajaran
mahasiswa, diperoleh nilai ≥
teori
APOS
sesuai
, %
dengan
limit dengan teori APOS memberikan
ketercapaian hanya
kepraktisan, efektif dan layak dalam
kemampuan
pembelajaran. Hal ini sesuai dengan
Thinking (AMT) pada tes akhir dengan
pendapat Rusmiati, dkk (2013) bahwa
ketercapaian
modul yang dikembangkan sendiri oleh
2. Hasil Lembar Kerja Mahasiswa dalam
pendidik
dapat
disesuaikan
dengan
Advanced
,
dan tes
Mathematical
%.
Modul pembelajaran limit dengan teori
karakteristik peserta didik.
APOS
Selanjutnya juga diperoleh hasil
Hasil
uji
coba
terhadap
dalam
modul
kemampuan akademik mahasiswa yang
pengembangan
tampak dari hasil yang diperoleh dari tes
pembelajaran limit dengan teori APOS
kemampuan
Advanced
Mathematical
dalam lembar kerja mahasiswa dengan
Thinking (AMT). Hasil tes kemampuan
teori APOS tampak pada tabel 4 berikut:
Tabel 4. Hasil Lembar Kerja Mahasiswa Modul pembelajaran limit dengan teori APOS
Uraian
Lembar kerja mahasiswa-1
Lembar kerja mahasiswa-2
Lembar kerja mahasiswa-3
Lembar kerja mahasiswa-4
Lembar kerja mahasiswa-5
Jumlah
Rata-rata
Nilai Lembar Kerja Mahasiswa dengan Teori APOS
Aksi
Proses
Objek
Skema
85
85
80
80
85
80
80
80
80
80
80
80
85
85
85
85
85
80
80
75
420
410
405
400
84
82
81
80
9
Hasil lembar kerja mahasiswa dengan
Hasil penelitian meliputi beberapa
teori APOS diperoleh data bahwa pada uji
tahap
coba kelompok kecil yaitu aksi dengan
perencanaan (design), pengembangan
nilai rata-rata sebesar
, proses dengan
(development),
nilai rata-rata sebesar
, objek dengan
(evaluation). Tahap pertama adalah
dan skema
analisis (analysis), dengan analisis
nilai rata-rata sebesar
yaitu
analisis
(analysis),
dan
evaluasi
. Hasil
terhadap bahan ajar kalkulus materi
lembar kerja mahasiswa dengan teori
limit, meninjau tujuan pembelajaran
APOS pada uji coba terbatas diperoleh
kalkulus limit. Tahap Kedua adalah
bahwa aksi dengan nilai rata-rata sebesar
perencanaan
, proses dengan nilai rata-rata sebesar
menentukan
, objek dengan nilai rata-rata sebesar
menyusun instrumen dan mendesain
dan skema dengan nilai rata-rata sebesar
spesifikasi produk dan struktur isi
dengan nilai rata-rata sebesar
modul.
Hal ini dapat dikatakan mahasiswa
(design),
waktu
Tahap
dengan
pelaksanaan,
ketiga
adalah
mahasiswa masih belum maksimal dalam
pengembangan
menyimpulkan dari penyelesaian soal,
menganalisis
dan
sehingga mahasiswa masih memerlukan
komponen
pembelajaran
pendampingan, sesuai dengan pendapat
dikembangkan,
Tall (Suryadi, 2005) bahwa peran utama
pembelajaran limit dengan teori APOS
dosen dalam diskusi kelas adalah sebagai
dengan melakukan validasi materi oleh
fasilitator/intervensi
ahli materi, validasi pembelajaran dan
tidak
langsung/
(development),
mengembangkan
yang
validasi
modul
validasi desain produk oleh ahli desain
scaffolding.
dan selanjutnya melakukan uji coba
modul yang telah direvisi kepada
Kesimpulan
kelompok kecil, serta uji coba terbatas.
Penelitian pengembangan modul
pembelajaran limit dengan teori APOS
Tahap
dapat disimpulkan yaitu:
(evaluation), melakukan evaluasi dan
1. Penelitian
pengembangan
analisis
modul
keempat
adalah
keefektifan
evaluasi
modul
yang
pembelajaran limit dengan teori APOS
dikembangkan dengan melakukan tes
ini
kemampuan Advanced Mathematical
dengan
pengembangan
menggunakan
Richey
dan
desain
Thinking (AMT).
Klein
2. Hasil
dengan model Dick dan Carey untuk
tes
kemampuan
Advanced
Mathematical Thinking (AMT) pada
tahap pengembangan materi modul.
uji coba kelompok kecil diperoleh tes
10
awal
, %
dengan
ketercapaian
dan
tes
ketercapaian
akhir
sebesar
hanya
memberikan kepraktisan, efektif dan
layak dalam pembelajaran.
dengan
,
%,
4. Penelitian
pengembangan
modul
sedangkan pada uji coba terbatas
pembelajaran limit dengan teori APOS
diperoleh tes awal dengan ketercapaian
dapat
hanya
, %
sebesar
,
bahwa
modul
pembelajaran limit dengan teori APOS
dan tes akhir dengan
ketercapaian
disimpulkan
%,
dapat
menumbuhkan
kemampuan
sehingga dapat disimpulkan bahwa
Advanced
modul pembelajaran limit dengan teori
(AMT)
APOS
menumbuhkan
matematika dan modul pembelajaran
kemampuan Advanced Mathematical
limit dengan teori APOS memberikan
Thinking (AMT)
kepraktisan
3. Hasil
dapat
tanggapan
terhadap
Mathematical
mahasiswa
digunakan
dari angket respon mahasiswa sebesar
matematika.
% terjawab dengan pernyataan
(ya),
disimpulkan
sehingga
bahwa
pendidikan
pembelajaran,
sehingga sangat efektif dan layak
modul
pembelajaran limit dengan teori APOS
setuju
dalam
Thinking
dapat
Pustaka
modul
Arnawa,
M.
dalam
2009.
pembelajaran
Mengembangkan
pembelajaran limit dengan teori APOS
Kemampuan
Mahasiswa
memperoleh tanggapan yang baik dari
Memvalidasi Bukti pada Aljabar
mahasiswa sehingga dapat dikatakan
Abstrak
bahwa modul pembelajaran limit sesuai
Berdasarkan Toeri APOS. Jurnal
dengan kebutuhan mahasiswa yaitu
Matematika dan Sains. 14, (2), 76-
mudah, menarik dan bermanfaat bagi
82.
melalui
modul pembelajaran limit dengan teori
Researchand
APOS dari angket respon dosen
Developmentin
%
terjawab
Pembelajaran
Arnon, I. dkk.2014. A Framework for
mahasiswa. Hasil tanggapan terhadap
sebesar
dalam
Curriculum
Mathematics
Education. New York: Springer
dengan
Asma, Nur. 2006. Model Pembelajaran
pernyataan setuju (ya), sehingga dapat
modul
Kooperatif.
Jakarta:
pembelajaran limit dengan teori APOS
Pendidikan
Nasional
sesuai dengan kebutuhan mahasiswa
Jenderal Pendidikan tinggi Direktorat
sehingga dapat dikatakan bahwa modul
Ketenagaan
disimpulkan
bahwa
pembelajaran limit dengan teori APOS
11
Departemen
Direktorat
Siliwangi Bandung, Vol 2, No.2,
Brijlall, D & Ndlovu, Z. 2013. High chool
Learne’s Mental Contruction during
September 2013-169.
Herlina,
Solving Optimisation Problems in
Elda.
2015.
Meningkatkan
Calculus: a South African Case
Advanced Mathematical Thinking
Study. South African Journal of
Mahasiswa. Infinity. Jurnal Ilmiah
Education, 33 (2), 1-18.
Program Studi Matematika STKIP
Siliwangi Bandung, Vol 4, No.1,
Dick, W, Carey, L dan Carey, O.J. 2009.
The
Systematic
Design
of
Februari 2015, 65-83.
Instruction. USA: Pearson
Hwang,
et
al.
Multiple
2007.
Dubinsky, E. & McDonald, M. 2001.
Representation Skills and Creativity
“APOS: A Constructivist Theory of
Effect on Mathematical Problem
Learning
Solving
in
Undergraduate
Using
a
Multimedia
Mathematics Education Research”.
Whiteboard System. Educational
(Ed.).
The
Technology & society. Vol. 10 No.
Learning
of
Dalam
D.
Teaching
Holton
and
2 pp. 191-212
McGregor, D. 2007. Developing Thinking
Mathematics at University Level.
Dordrecht:
Kluwer
Developing Learning. Poland: Open
Academic
University Press.
Publishers.
2006.
Richey, C.R. dan Klein, D.J., and Tracey,
Handbook of Research on the
W. M. 2011. The Instructional
Psychology
Mathematics
Design Knowledge Base: Theory,
Education: Past, Present and Future,
Reasearch, and Practice. New
147–172. Sense Publishers. All
York: Routledge.
Gutierrez,
P.
Boero
(Eds.).
of
Sumarmo,
rights reserved.
U.
2011.
Advanced
berfikir
Mathematical Thinking dan Habit of
kreatif siswa. [Online]. Tersedia:
Mind Mahasiswa (Bahan Kuliah).
www.herdy07.wordpress.com/2010
PPS UPI Bandung: tidak diterbitkan
Herdian
2010.
Kemampuan
/05/27/kemampuan-berfikir-kreatif-
Sumarmo,
Elda.
Disposisi
Melalui
Infinity.
High
Level
Thinking:
Experiments with High School and
Meningkatkan
Kreatif
Under Graduate Students Using
Penedekatan
Various Approaches and Strategies.
Berpikir
Matematis
APOS.
2013.
2009.
Mathematical
iswa/ Diakses tanggal 1 Juli 2015.
Herlina,
U.
Jurnal
Ilmiah
Makalah yang disampaikan pada
Program Studi Matematika STKIP
Seminar di UPI. Bandung: UPI.
12
dan
White, P., & Mitchelmore, M. C. 2010.
Apa,
Teaching for Abstraction: A Model.
Bagaimana
Mathematical Thinking & Learning.
dikembangkan pada Peserta Didik.
Available from: Education Research
Makalah.Tidak Dipublikasikan.
Complete, Ipswich, MA. Accessed
Sumarmo.
U.
2010.
Berpikir
Disposisi
Matematis:
Mengapa,
dan
Suratno, Tatang. 2012. Pengembangan
Kreativitas
Siswa
March 4, 2012
Yoo, S. (2008). Effects of Traditional and
Dalam
Pembelajaran Sains Di Sekolah
Problem
Dasar.
Conceptions of Proof and Pedagogy
Artikel
Sampoerna
Based
Instruction
on
in Undergraduates and Prospective
Fondation Institut.
Suryadi, D. 2012. Membangun Budaya
Mathematics Teacher, Dissertasion
Baru dalam Berpikir Matematis.
of The University of Texas at
Bandung: Rizqi Press.
Austin: Tidak Dipublikasikan.
Tall, D. 2002. Advanced Mathematical
Thinking.
Boston:
Kluwer
Academic Publisher
13