BAB 7 DIFERENSIAL - BAB 7 difernsial
BAB 7
DIFERENSIAL
Diferensial membahas tentang tingkatan perubahan suatu fungsi sehubungan dengan
perubahan kecil dalam variable bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan diferensial dapat
pula disidik kedudukan-kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik
maksimum, titik belok dan titik minimunya jika ada. Berdasarkan manfaatnya konsep
diferensial menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting dalam bisnis dan ekonomi.
Sebagaimana diketahui, analisis dalam bisnis dan ekonomi sangat akrab dengan masalah
perubahan, penentuan tingkat minimum.
A.
Kaidah diferensiasi
Terdapat beberapa kaidah yang paling sering digunakan dalam pendiferensiasian, di
antaranya :
1. Diferensiasi konstanta (k = konstanta)
Jika : y = k
contoh : y
Maka :
y′ = 0
=4
turunan : y′ = 0
2. Diferensiasi pangkat ( n = konstanta)
Jika : y = xn
maka :
y′ = nxn-1
= x5
contoh :
y
turunan :
y′ = n. X n-1
y′ = 5 . x 5-1
y′ = 5x4
3. Diferensiasi perkalian
Jika : y = kv
di mana: v = h(x) , k = konstanta
maka :
y′ = k . v′
contoh :
y = 2x5
v = x5
k=2
turunan : y′ = k . v′
v′ = 5x5-1 = 5x4
maka :
y′ = 2 (5x4)
→
y′ = 10x4
4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi
dv
dx
k
− 2
v
Jika y = v dimana v = h (x) → y ‘ =
k
2
2
5(3x )
15 x
32
x6
→ y ’ = (x )
=
5
3
y= x
Θ
15
4
= x
5. Diferensiasi fungsi komposit (fungsi di dalam fungsi)
→
y = f(U) → y = f {g(x)}
3
2 →
3
y=(4x +5)
y ‘ = 2 ( 4 x + 5 ) .12 x 2
= (8 x 3 + 10).12 x 2 = 96 x 5 + 120 x 2
6. Diferensiasi fungsi pangkat
dy
dx
y = u n dimana u = g (x) →
= n u n–1 .
y = ( 4 x 3 + 5 ) 2 → y’ = 2 ( 4 x 3 + 5 ).12 x 2
= ( 8 x 3 + 10 ).12 x 2 = 96 x 3 + 120 x 2
7. Fungsi Log
y = log x →
a
y = 5 log 2
y =
1
x ln a
y’
=
→
’
y‘ =
a
y = ( a log u) n →
y‘ =
=
dy
dx
1
2ln 5
a
8. Fungsi y = a log u →
dy
dx
log e
u
log e
u
.
.
du
dx
du
dx
9. Diferensiasi penjumlahan & pengurangan fungsi
Penjumlahan fungsi
Jika :
y=u+v
maka :
y′ = u′ + v′
di mana :
u = g(x) , v = h(x)
dy
du
.
du
dx
contoh :
y = 2x5 + x2
u = 2 x5
u′ = 2.5x5-1 = 10x4
maka :
v = x2
v′ = 2x2-1 = 2x
maka :
turunan : y′ = u′ + v′
→
y′ = 10x4 + 2x
Pengurangan fungsi
Jika :
y=u-v
di mana :
u = g(x) , v = h(x)
maka :
y′ = u′ - v′
contoh :
y = 2x5 - x2
u = 2 x5
maka :
u′ = 2.5x5-1 = 10x4
v = x2
maka :
v′ = 2x2-1 = 2x
turunan : y′ = u′ - v′ →
B.
y′ = 10x4 - 2x
Turunan dari turunan
Contoh :
y = f(x) = 4x3 - 6x2 + 3x – 8
y′ = f′(x) = 12x2 - 6x + 3
y′′ = f′′(x) = 24x – 6
y′′′ = f′′′(x) = 24
yIV = fIV(x) = 0
C.
Hubungan Antara Fungsi dan Turunannya
1.
Titik Ekstrim Fungsi Parabolik
Yang digunakan adalah turunan pertama (y′ = f′(x)) dan turunan kedua (y′′ = f′′(x)). Turunan
pertama digunakan untuk menentukan letak titik ekstrim. Jika f′(x) = 0 maka y = f(x) berada
pada titik ekstrimnya.
Turunan kedua digunakan untuk menentukan jenis titik ekstrimnya. Jika f′′(x) < 0 maka titik
ekstrimnya maksimum dan kurvanya berbentuk parabola terbuka ke bawah. Jika f′′(x) > 0
maka titik ekstrimnya minimum dan kurvanya berbentuk parabola terbuka ke atas.
Contoh :
Tentukan titik ekstrim dan koordinatnya dari fungsi y = 6x2 - 8x + 1!
Penyelesaian :
Y= 6x2 -8x+1
atas)
koordinat :
→
f′(x)=12x 8
f′′(x) = 12 > 0(minimum-terbuka ke
y′ = 0
→
12x – 8 = 0
→
x = 8/12
x = 0,67
→
y = 6(0,67)2 - 8(0,67) + 1
= 0,67
= -1,66
jadi, titik minimum kurva tersebut terdapat pada koordinat (0,67; -1,66)
2.
Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik
Yang digunakan adalah turunan pertama (y′ = f′(x)) dan turunan kedua (y′′ = f′′(x)). Turunan
pertama digunakan untuk menentukan letak titik ekstrim. Jika f′(x) = 0 maka y = f(x) berada
pada titik ekstrimnya.
Turunan kedua digunakan untuk menentukan jenis titik ekstrim dan letak titik beloknya. Jika
f′′(x) < 0 pada y′ = 0, maka titik ekstrimnya maksimum. Jika f′′(x) > 0 pada y′ = 0, maka titik
ekstrimnya minimum. Jika y′′ = 0 maka y = f(x) berada pada titik beloknya.
Contoh :
Tentukan titik ekstrim dan titik belok dari fungsi y = x3 - 5x2 + 3x - 5!
Penyelesaian :
y = x3 - 5x2 + 3x – 5
→
f′(x) = 3x2 – 10x + 3
f′′(x) = 6x – 10
syarat titik ekstrim : y′ = 0
0 = 3x2 – 10x + 3
→
x1 = 3
untuk x = x1 = 3
→
x2 = 0,3
y = x3 - 5x2 + 3x – 5
y = (3)3 – 5(3)2 + 3(3) – 5 = -14
y′′ = 6x – 10
y′′ = 6(3) – 10 = 8
untuk x = x2 = 0,3
→
(8>0...minimum)
y = x3 - 5x2 + 3x – 5
y = (0,3)3 – 5(0,3)2 + 3(0,3) – 5 = -4,5
y′′ = 6x – 10
y′′ = 6(0,3) – 10 = -8,2 (-8,2
syarat titik belok : y′′ = 0
→
0 = 6x – 10
x = 1,67
y = x3 - 5x2 + 3x – 5
y = (1,67)3 – 5(1,67)2 + 3(1,67) – 5
= -9,27
y′ = 3x2 – 10x + 3
y′ = 3(1,67)2 – 10(1,67) + 3 = -5,33
jadi, fungsi kubik tersebut berada pada titik minimum di koordinat ( 3,-14) dan titik
maksimum pada koordinat (0,3;-4,5) serta titik belok pada koordinat (1,67;-9,27).
D.
Turunan Fungsi Multivariabel
Prinsip dan kaidah turunannya sama dengan fungsi bervariabel bebas tunggal, hanya saja
pada turunan fungsi multivariable ini akan ditemui turunan parsial (turunan bagian demi
bagian) dan turunan total. Pada fungsi multivariable, karena variable bebasnya lebih dari satu
macam maka turunan yang akan dihasilkan juga lebih dari satu macam. Bentuk umumnya:
Jika y = f ( x,y )
maka turunannya :
1.
Turunan y terhadap x
→
∂y/∂x
2.
Turunan y terhadap z
→
∂y/∂z
Sehingga:
1.
y = f(x,z)
a.
fx (x,z)
=y′x
= x′
b.
fz (x,z)
= y′z
= z′
y′ = x′ + z′
2.
p = f(q, r, s)
a.
fq (q, r, s)
= p′q = q′
b.
fr (q, r, s)
= p′r = r′
c.
fs (q, r, s)
= p′s = s′
p′ = q′ + r′ + s′
3.
y = f(x,z)
fx (x,z)
=y′x
= x′
fz (x,z)
= y′z
= z′
y = f(x)
=y′
= x′
z′ = y′x + y′z (x′)
Notes:
v y′x, y′z, p′q, p′r, dan p′s disebut turunan parsial.
v y′ disebut turunan fungsi variabel tunggal
v z′ disebut turunan total
Contoh :
Carilah turunan parsial dan turunan total dari fungsi Z = f(X,Y) = 2X5 – 4Y + 10 dan
Y = 2X + 3
Diketahui
Z = f(X,Y) = 2X5 – 4Y + 10
:
Y = 2X + 3
Ditanya
:
Penyelesaian
:
ZX….?
v Turunan Parsial
ZX = Z′x = 10X4
ZY = Z′y = -4
y′
=2
v Turunan Total
z′
= Z′x + Z′y (y′)
= 10X4 + -4(2) = 10X4 - 8
ZY….?
z′ ….?
BAB 8
PENERAPAN DIFERENSIAL
Penerapan Konsep Turunan Parsial (1 Variabel) Dalam ekonomi
1.
Elastisitas
Bentuk umum :
η = Ey = lim
Ex
= y′ . x/y
∆x→0
Macam-macam elastisitas :
a)
Elastisitas Permintaan
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan tentang besarnya perubahan jumlah barang yang
diminta akibat adanya perubahan harga (rasio antara persentase perubahan jumlah barang
yang diminta terhadap persentase perubahan harga).
Jika Qd = f(P) maka elastisitas permintaannya adalah :
ηd = % ∆ Qd = EQd = lim
%∆ P
EP
∆P→0
= Q′d . P
Qd
jika |ηd| > 1 maka elastik, jika |ηd| < 1 maka inelastik dan jika |ηd| = 1 maka elastik-uniter.
Contoh :
Fungsi permintaan ditunjukkan dengan persamaan Qd = 75 – 5P2. tentukan elastisitas
permintaan pada harga p = 20
Penyelesaian :
Qd = 75 – 5P2
→
Q′d = - 10P
ηd = % ∆ Qd = EQd = lim
%∆ P
EP
→ P = 20
= Q′d . P
∆P→0
Qd
ηd = - 10P . P/ Qd
ηd = - 10(20) . 20/ (75 – 5(20) 2)
ηd = - 200 . 20/ - 1925
=2
(2 > 1 ...... elastik)
jadi, dari kedudukan P = 20, harga akan naik (turun) sebesar 1% sehingga jumlah barang
yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 2%.
Catatan : dalam elastisitas permintaan, untuk menentukan jenis elastisitas yang
dibandingkan adalah angka hasil perhitungan sehingga tanda yang dihasilkan (+/-) dapat
diabaikan karena tanda tersebut hanya mencerminkan hukum permintaan bahwa jumlah yang
diminta bergerak berlawanan arah dengan harga.
Fungsi permintaan juga sering dinotasikan dengan persamaan D = f(P).
b)
Elastisitas Penawaran
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan tentang besarnya perubahan jumlah barang yang
ditawarkan akibat adanya perubahan harga (rasio antara persentase perubahan jumlah barang
yang ditawarkan terhadap persentase perubahan harga).
Jika Qs = f(P) maka elastisitas penawarannya adalah :
ηs = % ∆ Qs = EQs = lim
%∆ P
EP
∆P→0
= Q′s . P
Qs
jika |ηs| > 1 maka elastik, jika |ηs| < 1 maka inelastik dan jika |ηs| = 1 maka elastik-uniter.
Contoh :
Fungsi penawaran ditunjukkan dengan persamaan Qs = -75 + 5P2. tentukan elastisitas
penawaran pada harga p = 20
Penyelesaian :
Qs = -75 + 5P2
→
Q′s = 10P
ηs = % ∆ Qs = EQs = lim
%∆ P
EP
→ P = 20
= Q′s . P
∆P→0
Qs
ηs = 10P . P/ Qs
ηs = 10(20) . 20/ (-75 + 5(20) 2)
ηs = 200 . 20/ 1925
=2
(2 > 1 ...... elastik)
jadi, dari kedudukan P = 20, harga akan naik sebesar 1% sehingga jumlah barang yang
ditawarkan akan bertambah sebanyak 2%.
c)
Elastisitas Produksi
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan tentang besarnya perubahan jumlah keluaran
(output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan
(rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah
masukan).
Jika P = jumlah produk yang dihasilkan & X = jumlah faktor produksi yang digunakan, dan
fungsi produksi P = f(X) maka elastisitas produksinya adalah :
ηp = % ∆ P =
%∆ X
EP
EX
= lim
∆X→0
= P′ . X
P
jika |ηs| > 1 maka elastik, jika |ηs| < 1 maka inelastik dan jika |ηs| = 1 maka elastik-uniter.
Contoh :
Hitunglah elastisitas produksi dari fungsi produksi P = 5X2 – 5X3 pada tingkat faktor
produksi sebanyak 2 unit!
Penyelesaian :
P = 5X2 – 5X3
→
ηp = % ∆ P =
EP
%∆ X
EX
P′ = 10X - 15X2 → P = 2
= lim
= P′ . X
∆X→0
P
ηp = (10X - 15X2) . (X/ (5X2 – 5X3))
ηp = (10(2) – 15(2)2) . (2/ (5(2)2– 5(2)3)
ηp = -40 . -0,1 = 4
jadi, dari kedudukan X = 2, faktor produksi yang digunakan naik sebesar 1% sehingga
produk yang dihasilkan bertambah sebanyak 4%.
2.
Biaya marginal, Penerimaan marginal, Utilitas marginal, & Produk marginal
a)
Biaya marginal
Adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk.
Fungsi biaya marginal adalah turunan pertama dari fungsi biaya total. Jika fungsi biaya total
adalah C = f(Q) maka biaya marginalnya adalah
MC=C′
Notes: Pada umumnya fungsi biaya total berbentuk fungsi kubik sehingga fungsi biaya
marginal akan berbentuk fungsi kuadrat. Dalam kurvanya, kurva biaya marginal akan
mencapai titik minimum tepat pada saat kurva biaya total berada pada titik beloknya.
Contoh :
Fungsi biaya total dinyatakan dalam persamaan C = 2Q 3 – 6Q2 + 8Q + 8. tentukanlah
persamaan biaya marginal serta berapa titik minimumnya?
Penyelesaian :
C = 2Q3 – 6Q2 + 8Q + 8
→
MC = C′ = 6Q2 - 12Q + 8
MC′ = C′′ = 12Q – 12
MC minimum jika MC′ = 0
→
0 = 12Q – 12
Q=1
Untuk Q = 1
→
MC = 6Q2 - 12Q + 8
MC = 6(1)2 – 12(1) + 8 = 2
C = 2Q3 – 6Q2 + 8Q + 8
C = 2(1)3 – 6(1)2 + 8(1) + 8
= 12
Jadi, persamaan biaya marginalnya adalah MC = 6Q 2 - 12Q + 8. Fungsi biaya marginal
mencapai titik minimum pada koordinat (1,2) pada saat fungsi biaya total berada pada titik
belok di koordinat (1,12).
b)
Penerimaan marginal
Adalah penerimaan tambahan yang diperoleh akibat bertambahnya satu unit keluaran yang
diproduksi (terjual). Fungsi penerimaan marginal adalah turunan pertama dari fungsi
penerimaan total. Jika fungsi penerimaan total adalah R = f(Q) maka penerimaan
marginalnya adalah :
MR = R′
Notes: Pada umumnya fungsi penerimaan total berbentuk fungsi kuadrat sehingga fungsi
penerimaan marginal akan berbentuk fungsi linear. Dalam kurvanya, kurva penerimaan
marginal akan mencapai 0 tepat pada saat kurva penerimaan total berada pada titik
ekstrimnya.
Contoh :
Fungsi permintaan dinyatakan dalam persamaan P = 20 – 5Q. tentukanlah persamaan
penerimaan total & marginal serta berapa titik ekstrim dari fungsi penerimaan totalnya?
Penyelesaian :
P = 20 – 5Q
→
R = Q.P
R = Q (20 – 5Q)
R = 20Q – 5Q2
Jika R = 20Q – 5Q2
→
R maksimum jika MR = 0
MR = R′ = 20 – 10Q
→
0 = 20 – 10Q
Q=2
Untuk Q = 2
→
P = 20 – 5Q
P = 20 – 5(2)
= 10
R = 20Q – 5Q2
R = 20(2) – 5(2)2
= 20
Jadi, titik ekstrim fungsi penerimaan total berada pada koordinat (2,20)
c)
Utilitas marginal
Adalah utilitas tambahan yang diperoleh konsumen akibat bertambahnya satu unit barang
yang dikonsumsi. Fungsi utilitas marginal adalah turunan pertama dari fungsi utilitas total.
Jika fungsi utilitas total adalah U = f(Q) maka utilitas marginalnya adalah :
MU = U′
Notes: Pada umumnya fungsi utilitas total yang non-linear berbentuk fungsi kuadrat sehingga
fungsi utilitas marginal akan berbentuk fungsi linear. Dalam kurvanya, kurva utilitas
marginal akan mencapai 0 tepat pada saat kurva utilitas total berada pada titik ekstrimnya.
Contoh :
Fungsi utilitas dinyatakan dalam persamaan U = 15Q – 5Q 2. tentukanlah persamaan utilitas
marginal serta berapa titik ekstrim dari fungsi utilitas totalnya!. Berapa utilitas marginal jika
barang yang diproduksi ditambah dari 2 unit menjadi 3 unit?
Penyelesaian :
U = 15Q – 5Q2
→
MU = U′ = 15 – 10Q
U maksimum jika MU = 0
→
0 = 15 – 10Q
Untuk Q = 1,5
→
U = 15Q – 5Q2
= 1,5
U = 15(1,5) – 5(1,5)2 = 11,25
Jika Q = 2
→
MU = 15 – 10(2)
= -5
Jika Q = 3
→
MU = 15 – 10(3)
= -15
Jadi, titik ekstrim fungsi utilitas total berada pada koordinat (1,5;11,25). Pada saat konsumen
mengkonsumsi 2 unit barang utilitas tambahan sudah menurun dan akan semakin menurun
jika ditambah 1 unit lagi, sehingga konsumen harus mengurangi konsumsi terhadap produk
tersebut untuk meningkatkan kembali utilitas tambahannya.
d)
Produk marginal
Adalah produk tambahan yang dihasilkan akibat bertambahnya satu unit faktor produksi yang
digunakan. Fungsi produk marginal adalah turunan pertama dari fungsi produk total. Jika
fungsi produk total adalah P = f(X) maka produk marginalnya adalah :
MP = P′
Notes: Pada umumnya fungsi produk total yang non-linear berbentuk fungsi kubik sehingga
fungsi produk marginal akan berbentuk fungsi kuadrat. Dalam kurvanya, kurva produk
marginal akan mencapai 0 tepat pada saat kurva produk total berada pada titik ekstrimnya dan
mencapai titik ektrim tepat saat produk total berada pada titik beloknya.
Contoh :
Fungsi produk dinyatakan dalam persamaan P = 9X 2 – 3X3. tentukanlah persamaan produk
marginal serta berapa titik ekstrim dan titik belok dari fungsi produk totalnya!. berapa titik
ekstrim dari fungsi produk marginalnya serta berapa besar produk marginalnya?
Penyelesaian :
P = 9X2 – 3X3
→
MP = P′ = 18X – 9X2
MP′ = P′′ = 18 – 18X
P maksimum jika MP = 0
X=2
0 = 18X – 9X2
→
(dicari dengan rumus abc)
Untuk X = 2
→
P = 9X2 – 3X3
P = 9(2)2 – 3(2)3
P belok jika
MP′ = 0
→
X=1
Jika X = 1 →
P = 9X2 – 3X3
P = 9(1)2 – 3(1)3 = 6
Jika X = 1 →
MP = 18X – 9X2
MP = 18(1) – 9(1)2
=9
0 = 18 – 18X
= 12
Jadi, titik ekstrim fungsi produk total berada pada koordinat (2,12), titik beloknya pada titik
(1,6). Fungsi produk marginal ada pada titik ekstrim di koordinat (1,9).
F.
Aplikasi Fungsi Multivariabel dalam Ekonomi
·
Elastisitas Harga-Permintaan, Elastisitas Silang-Permintaan dan Elastisitas Penghasilan
dari Permintaan
Elastisitas harga-permintaan adalah elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan
permintaan suatu barang akibat perubahan harga barang itu sendiri. Bentuk umumnya:
εd =
Q′d . Pd
Q
Elastisitas silang-permintaan adalah elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan
permintaan suatu barang akibat perubahan harga barang lain. Bentuk umumnya:
εC = Q′s . Ps
Q
Elastisitas penghasilan dari permintaan adalah elastisitas yang mengukur kepekaan
perubahan permintaan suatu barang akibat perubahan penghasilan nasional. Bentuk
umumnya:
εY = Y′ . Py
Q
Notes: untuk elastistitas silang-permintaan berlaku:
jika ec negative (ec < 1) berarti hubungan antara barang A dan barang B adalah
komplementer (saling melengkapi), di mana penurunan harga salah satu barang akan diikuti
oleh kenaikan permintaan atas keduanya.
jika ec positif (ec > 1) berarti hubungan antara barang A dan barang B adalah
kompetitif/substitutif (saling menggantikan), di mana penurunan harga salah satu barang akan
diikuti oleh kenaikan permintaan atas barang tersebut dan penurunan permintaan atas barang
lainnya.
Contoh :
Fungsi permintaan barang A terhadap barang komplementer ditunjukkan dengan persamaan
QA = 2300 – 10PA + 5Ps + 0,4Y. Carilah elastisitas harga-permintaan, elastisitas silangpermintaan dan elastisitas penghasilan dari permintaan pada saat PA = 30, Ps = 10 dan Y =
5.000!
Diketahui:
Q = 2300 – 10PA + 5Ps + 0,4Y PA = 30 Ps = 10 Y = 5.000
Ditanya :
εd….?
εC….?
εY….?
Penyelesaian:
Q = 2300 – 10PA + 5Ps + 0,4Y
Q = 2300 – 10(30) + 5(10) + 0,4(5000) = 2300 – 300 + 50 + 2000
= 4.050
Q=2300–10PA+5Ps+0,4Y→P′A=10
εd = Q′d . PA
= -10 . 30 / 4.050
= -10 (0,007) = -0,07 (in-elastis)Q
Q = 2300 – 10PA+ 5Ps + 0,4Y→P′s=5
εC = Q′s . Ps
= 5 . 10 / 4050
Q = 2300 – 10PA + 5Ps + 0,4Y
εY = Y′ . Py
= 5 (0,002)
→
= 0,4 . 5000 / 4050
= 0,01 (in-elastis) Q
P′y = 0,4
= 0,4 (1,23)
= 0,49 (in-elastis) Q
analisis : ey = 0,49 < 1 (in-elastis); berarti setiap kenaikan (%) penghasilan nasional, maka
permintaan barang A akan naik kurang proporsional.
Ec = 0,01 < 1 (in-elastis); berarti permintaan barang A akan barang komplementer
mendapat pengaruh negative, sehingga berdampak pada kecenderungan menambah jumlah
permintaan barang A.
Hal sebaliknya akan terjadi jika terdapat permintaan barang A akan barang
substitutive. Ec terhadap barang substitutive dapat memberikan nilai ec > 0 sehingga
membawa pengaruh positif terhadap barang A, di mana jumlah permintaan barang A dapat
berkurang.
DIFERENSIAL
Diferensial membahas tentang tingkatan perubahan suatu fungsi sehubungan dengan
perubahan kecil dalam variable bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan diferensial dapat
pula disidik kedudukan-kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik
maksimum, titik belok dan titik minimunya jika ada. Berdasarkan manfaatnya konsep
diferensial menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting dalam bisnis dan ekonomi.
Sebagaimana diketahui, analisis dalam bisnis dan ekonomi sangat akrab dengan masalah
perubahan, penentuan tingkat minimum.
A.
Kaidah diferensiasi
Terdapat beberapa kaidah yang paling sering digunakan dalam pendiferensiasian, di
antaranya :
1. Diferensiasi konstanta (k = konstanta)
Jika : y = k
contoh : y
Maka :
y′ = 0
=4
turunan : y′ = 0
2. Diferensiasi pangkat ( n = konstanta)
Jika : y = xn
maka :
y′ = nxn-1
= x5
contoh :
y
turunan :
y′ = n. X n-1
y′ = 5 . x 5-1
y′ = 5x4
3. Diferensiasi perkalian
Jika : y = kv
di mana: v = h(x) , k = konstanta
maka :
y′ = k . v′
contoh :
y = 2x5
v = x5
k=2
turunan : y′ = k . v′
v′ = 5x5-1 = 5x4
maka :
y′ = 2 (5x4)
→
y′ = 10x4
4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi
dv
dx
k
− 2
v
Jika y = v dimana v = h (x) → y ‘ =
k
2
2
5(3x )
15 x
32
x6
→ y ’ = (x )
=
5
3
y= x
Θ
15
4
= x
5. Diferensiasi fungsi komposit (fungsi di dalam fungsi)
→
y = f(U) → y = f {g(x)}
3
2 →
3
y=(4x +5)
y ‘ = 2 ( 4 x + 5 ) .12 x 2
= (8 x 3 + 10).12 x 2 = 96 x 5 + 120 x 2
6. Diferensiasi fungsi pangkat
dy
dx
y = u n dimana u = g (x) →
= n u n–1 .
y = ( 4 x 3 + 5 ) 2 → y’ = 2 ( 4 x 3 + 5 ).12 x 2
= ( 8 x 3 + 10 ).12 x 2 = 96 x 3 + 120 x 2
7. Fungsi Log
y = log x →
a
y = 5 log 2
y =
1
x ln a
y’
=
→
’
y‘ =
a
y = ( a log u) n →
y‘ =
=
dy
dx
1
2ln 5
a
8. Fungsi y = a log u →
dy
dx
log e
u
log e
u
.
.
du
dx
du
dx
9. Diferensiasi penjumlahan & pengurangan fungsi
Penjumlahan fungsi
Jika :
y=u+v
maka :
y′ = u′ + v′
di mana :
u = g(x) , v = h(x)
dy
du
.
du
dx
contoh :
y = 2x5 + x2
u = 2 x5
u′ = 2.5x5-1 = 10x4
maka :
v = x2
v′ = 2x2-1 = 2x
maka :
turunan : y′ = u′ + v′
→
y′ = 10x4 + 2x
Pengurangan fungsi
Jika :
y=u-v
di mana :
u = g(x) , v = h(x)
maka :
y′ = u′ - v′
contoh :
y = 2x5 - x2
u = 2 x5
maka :
u′ = 2.5x5-1 = 10x4
v = x2
maka :
v′ = 2x2-1 = 2x
turunan : y′ = u′ - v′ →
B.
y′ = 10x4 - 2x
Turunan dari turunan
Contoh :
y = f(x) = 4x3 - 6x2 + 3x – 8
y′ = f′(x) = 12x2 - 6x + 3
y′′ = f′′(x) = 24x – 6
y′′′ = f′′′(x) = 24
yIV = fIV(x) = 0
C.
Hubungan Antara Fungsi dan Turunannya
1.
Titik Ekstrim Fungsi Parabolik
Yang digunakan adalah turunan pertama (y′ = f′(x)) dan turunan kedua (y′′ = f′′(x)). Turunan
pertama digunakan untuk menentukan letak titik ekstrim. Jika f′(x) = 0 maka y = f(x) berada
pada titik ekstrimnya.
Turunan kedua digunakan untuk menentukan jenis titik ekstrimnya. Jika f′′(x) < 0 maka titik
ekstrimnya maksimum dan kurvanya berbentuk parabola terbuka ke bawah. Jika f′′(x) > 0
maka titik ekstrimnya minimum dan kurvanya berbentuk parabola terbuka ke atas.
Contoh :
Tentukan titik ekstrim dan koordinatnya dari fungsi y = 6x2 - 8x + 1!
Penyelesaian :
Y= 6x2 -8x+1
atas)
koordinat :
→
f′(x)=12x 8
f′′(x) = 12 > 0(minimum-terbuka ke
y′ = 0
→
12x – 8 = 0
→
x = 8/12
x = 0,67
→
y = 6(0,67)2 - 8(0,67) + 1
= 0,67
= -1,66
jadi, titik minimum kurva tersebut terdapat pada koordinat (0,67; -1,66)
2.
Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik
Yang digunakan adalah turunan pertama (y′ = f′(x)) dan turunan kedua (y′′ = f′′(x)). Turunan
pertama digunakan untuk menentukan letak titik ekstrim. Jika f′(x) = 0 maka y = f(x) berada
pada titik ekstrimnya.
Turunan kedua digunakan untuk menentukan jenis titik ekstrim dan letak titik beloknya. Jika
f′′(x) < 0 pada y′ = 0, maka titik ekstrimnya maksimum. Jika f′′(x) > 0 pada y′ = 0, maka titik
ekstrimnya minimum. Jika y′′ = 0 maka y = f(x) berada pada titik beloknya.
Contoh :
Tentukan titik ekstrim dan titik belok dari fungsi y = x3 - 5x2 + 3x - 5!
Penyelesaian :
y = x3 - 5x2 + 3x – 5
→
f′(x) = 3x2 – 10x + 3
f′′(x) = 6x – 10
syarat titik ekstrim : y′ = 0
0 = 3x2 – 10x + 3
→
x1 = 3
untuk x = x1 = 3
→
x2 = 0,3
y = x3 - 5x2 + 3x – 5
y = (3)3 – 5(3)2 + 3(3) – 5 = -14
y′′ = 6x – 10
y′′ = 6(3) – 10 = 8
untuk x = x2 = 0,3
→
(8>0...minimum)
y = x3 - 5x2 + 3x – 5
y = (0,3)3 – 5(0,3)2 + 3(0,3) – 5 = -4,5
y′′ = 6x – 10
y′′ = 6(0,3) – 10 = -8,2 (-8,2
syarat titik belok : y′′ = 0
→
0 = 6x – 10
x = 1,67
y = x3 - 5x2 + 3x – 5
y = (1,67)3 – 5(1,67)2 + 3(1,67) – 5
= -9,27
y′ = 3x2 – 10x + 3
y′ = 3(1,67)2 – 10(1,67) + 3 = -5,33
jadi, fungsi kubik tersebut berada pada titik minimum di koordinat ( 3,-14) dan titik
maksimum pada koordinat (0,3;-4,5) serta titik belok pada koordinat (1,67;-9,27).
D.
Turunan Fungsi Multivariabel
Prinsip dan kaidah turunannya sama dengan fungsi bervariabel bebas tunggal, hanya saja
pada turunan fungsi multivariable ini akan ditemui turunan parsial (turunan bagian demi
bagian) dan turunan total. Pada fungsi multivariable, karena variable bebasnya lebih dari satu
macam maka turunan yang akan dihasilkan juga lebih dari satu macam. Bentuk umumnya:
Jika y = f ( x,y )
maka turunannya :
1.
Turunan y terhadap x
→
∂y/∂x
2.
Turunan y terhadap z
→
∂y/∂z
Sehingga:
1.
y = f(x,z)
a.
fx (x,z)
=y′x
= x′
b.
fz (x,z)
= y′z
= z′
y′ = x′ + z′
2.
p = f(q, r, s)
a.
fq (q, r, s)
= p′q = q′
b.
fr (q, r, s)
= p′r = r′
c.
fs (q, r, s)
= p′s = s′
p′ = q′ + r′ + s′
3.
y = f(x,z)
fx (x,z)
=y′x
= x′
fz (x,z)
= y′z
= z′
y = f(x)
=y′
= x′
z′ = y′x + y′z (x′)
Notes:
v y′x, y′z, p′q, p′r, dan p′s disebut turunan parsial.
v y′ disebut turunan fungsi variabel tunggal
v z′ disebut turunan total
Contoh :
Carilah turunan parsial dan turunan total dari fungsi Z = f(X,Y) = 2X5 – 4Y + 10 dan
Y = 2X + 3
Diketahui
Z = f(X,Y) = 2X5 – 4Y + 10
:
Y = 2X + 3
Ditanya
:
Penyelesaian
:
ZX….?
v Turunan Parsial
ZX = Z′x = 10X4
ZY = Z′y = -4
y′
=2
v Turunan Total
z′
= Z′x + Z′y (y′)
= 10X4 + -4(2) = 10X4 - 8
ZY….?
z′ ….?
BAB 8
PENERAPAN DIFERENSIAL
Penerapan Konsep Turunan Parsial (1 Variabel) Dalam ekonomi
1.
Elastisitas
Bentuk umum :
η = Ey = lim
Ex
= y′ . x/y
∆x→0
Macam-macam elastisitas :
a)
Elastisitas Permintaan
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan tentang besarnya perubahan jumlah barang yang
diminta akibat adanya perubahan harga (rasio antara persentase perubahan jumlah barang
yang diminta terhadap persentase perubahan harga).
Jika Qd = f(P) maka elastisitas permintaannya adalah :
ηd = % ∆ Qd = EQd = lim
%∆ P
EP
∆P→0
= Q′d . P
Qd
jika |ηd| > 1 maka elastik, jika |ηd| < 1 maka inelastik dan jika |ηd| = 1 maka elastik-uniter.
Contoh :
Fungsi permintaan ditunjukkan dengan persamaan Qd = 75 – 5P2. tentukan elastisitas
permintaan pada harga p = 20
Penyelesaian :
Qd = 75 – 5P2
→
Q′d = - 10P
ηd = % ∆ Qd = EQd = lim
%∆ P
EP
→ P = 20
= Q′d . P
∆P→0
Qd
ηd = - 10P . P/ Qd
ηd = - 10(20) . 20/ (75 – 5(20) 2)
ηd = - 200 . 20/ - 1925
=2
(2 > 1 ...... elastik)
jadi, dari kedudukan P = 20, harga akan naik (turun) sebesar 1% sehingga jumlah barang
yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 2%.
Catatan : dalam elastisitas permintaan, untuk menentukan jenis elastisitas yang
dibandingkan adalah angka hasil perhitungan sehingga tanda yang dihasilkan (+/-) dapat
diabaikan karena tanda tersebut hanya mencerminkan hukum permintaan bahwa jumlah yang
diminta bergerak berlawanan arah dengan harga.
Fungsi permintaan juga sering dinotasikan dengan persamaan D = f(P).
b)
Elastisitas Penawaran
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan tentang besarnya perubahan jumlah barang yang
ditawarkan akibat adanya perubahan harga (rasio antara persentase perubahan jumlah barang
yang ditawarkan terhadap persentase perubahan harga).
Jika Qs = f(P) maka elastisitas penawarannya adalah :
ηs = % ∆ Qs = EQs = lim
%∆ P
EP
∆P→0
= Q′s . P
Qs
jika |ηs| > 1 maka elastik, jika |ηs| < 1 maka inelastik dan jika |ηs| = 1 maka elastik-uniter.
Contoh :
Fungsi penawaran ditunjukkan dengan persamaan Qs = -75 + 5P2. tentukan elastisitas
penawaran pada harga p = 20
Penyelesaian :
Qs = -75 + 5P2
→
Q′s = 10P
ηs = % ∆ Qs = EQs = lim
%∆ P
EP
→ P = 20
= Q′s . P
∆P→0
Qs
ηs = 10P . P/ Qs
ηs = 10(20) . 20/ (-75 + 5(20) 2)
ηs = 200 . 20/ 1925
=2
(2 > 1 ...... elastik)
jadi, dari kedudukan P = 20, harga akan naik sebesar 1% sehingga jumlah barang yang
ditawarkan akan bertambah sebanyak 2%.
c)
Elastisitas Produksi
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan tentang besarnya perubahan jumlah keluaran
(output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan
(rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah
masukan).
Jika P = jumlah produk yang dihasilkan & X = jumlah faktor produksi yang digunakan, dan
fungsi produksi P = f(X) maka elastisitas produksinya adalah :
ηp = % ∆ P =
%∆ X
EP
EX
= lim
∆X→0
= P′ . X
P
jika |ηs| > 1 maka elastik, jika |ηs| < 1 maka inelastik dan jika |ηs| = 1 maka elastik-uniter.
Contoh :
Hitunglah elastisitas produksi dari fungsi produksi P = 5X2 – 5X3 pada tingkat faktor
produksi sebanyak 2 unit!
Penyelesaian :
P = 5X2 – 5X3
→
ηp = % ∆ P =
EP
%∆ X
EX
P′ = 10X - 15X2 → P = 2
= lim
= P′ . X
∆X→0
P
ηp = (10X - 15X2) . (X/ (5X2 – 5X3))
ηp = (10(2) – 15(2)2) . (2/ (5(2)2– 5(2)3)
ηp = -40 . -0,1 = 4
jadi, dari kedudukan X = 2, faktor produksi yang digunakan naik sebesar 1% sehingga
produk yang dihasilkan bertambah sebanyak 4%.
2.
Biaya marginal, Penerimaan marginal, Utilitas marginal, & Produk marginal
a)
Biaya marginal
Adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk.
Fungsi biaya marginal adalah turunan pertama dari fungsi biaya total. Jika fungsi biaya total
adalah C = f(Q) maka biaya marginalnya adalah
MC=C′
Notes: Pada umumnya fungsi biaya total berbentuk fungsi kubik sehingga fungsi biaya
marginal akan berbentuk fungsi kuadrat. Dalam kurvanya, kurva biaya marginal akan
mencapai titik minimum tepat pada saat kurva biaya total berada pada titik beloknya.
Contoh :
Fungsi biaya total dinyatakan dalam persamaan C = 2Q 3 – 6Q2 + 8Q + 8. tentukanlah
persamaan biaya marginal serta berapa titik minimumnya?
Penyelesaian :
C = 2Q3 – 6Q2 + 8Q + 8
→
MC = C′ = 6Q2 - 12Q + 8
MC′ = C′′ = 12Q – 12
MC minimum jika MC′ = 0
→
0 = 12Q – 12
Q=1
Untuk Q = 1
→
MC = 6Q2 - 12Q + 8
MC = 6(1)2 – 12(1) + 8 = 2
C = 2Q3 – 6Q2 + 8Q + 8
C = 2(1)3 – 6(1)2 + 8(1) + 8
= 12
Jadi, persamaan biaya marginalnya adalah MC = 6Q 2 - 12Q + 8. Fungsi biaya marginal
mencapai titik minimum pada koordinat (1,2) pada saat fungsi biaya total berada pada titik
belok di koordinat (1,12).
b)
Penerimaan marginal
Adalah penerimaan tambahan yang diperoleh akibat bertambahnya satu unit keluaran yang
diproduksi (terjual). Fungsi penerimaan marginal adalah turunan pertama dari fungsi
penerimaan total. Jika fungsi penerimaan total adalah R = f(Q) maka penerimaan
marginalnya adalah :
MR = R′
Notes: Pada umumnya fungsi penerimaan total berbentuk fungsi kuadrat sehingga fungsi
penerimaan marginal akan berbentuk fungsi linear. Dalam kurvanya, kurva penerimaan
marginal akan mencapai 0 tepat pada saat kurva penerimaan total berada pada titik
ekstrimnya.
Contoh :
Fungsi permintaan dinyatakan dalam persamaan P = 20 – 5Q. tentukanlah persamaan
penerimaan total & marginal serta berapa titik ekstrim dari fungsi penerimaan totalnya?
Penyelesaian :
P = 20 – 5Q
→
R = Q.P
R = Q (20 – 5Q)
R = 20Q – 5Q2
Jika R = 20Q – 5Q2
→
R maksimum jika MR = 0
MR = R′ = 20 – 10Q
→
0 = 20 – 10Q
Q=2
Untuk Q = 2
→
P = 20 – 5Q
P = 20 – 5(2)
= 10
R = 20Q – 5Q2
R = 20(2) – 5(2)2
= 20
Jadi, titik ekstrim fungsi penerimaan total berada pada koordinat (2,20)
c)
Utilitas marginal
Adalah utilitas tambahan yang diperoleh konsumen akibat bertambahnya satu unit barang
yang dikonsumsi. Fungsi utilitas marginal adalah turunan pertama dari fungsi utilitas total.
Jika fungsi utilitas total adalah U = f(Q) maka utilitas marginalnya adalah :
MU = U′
Notes: Pada umumnya fungsi utilitas total yang non-linear berbentuk fungsi kuadrat sehingga
fungsi utilitas marginal akan berbentuk fungsi linear. Dalam kurvanya, kurva utilitas
marginal akan mencapai 0 tepat pada saat kurva utilitas total berada pada titik ekstrimnya.
Contoh :
Fungsi utilitas dinyatakan dalam persamaan U = 15Q – 5Q 2. tentukanlah persamaan utilitas
marginal serta berapa titik ekstrim dari fungsi utilitas totalnya!. Berapa utilitas marginal jika
barang yang diproduksi ditambah dari 2 unit menjadi 3 unit?
Penyelesaian :
U = 15Q – 5Q2
→
MU = U′ = 15 – 10Q
U maksimum jika MU = 0
→
0 = 15 – 10Q
Untuk Q = 1,5
→
U = 15Q – 5Q2
= 1,5
U = 15(1,5) – 5(1,5)2 = 11,25
Jika Q = 2
→
MU = 15 – 10(2)
= -5
Jika Q = 3
→
MU = 15 – 10(3)
= -15
Jadi, titik ekstrim fungsi utilitas total berada pada koordinat (1,5;11,25). Pada saat konsumen
mengkonsumsi 2 unit barang utilitas tambahan sudah menurun dan akan semakin menurun
jika ditambah 1 unit lagi, sehingga konsumen harus mengurangi konsumsi terhadap produk
tersebut untuk meningkatkan kembali utilitas tambahannya.
d)
Produk marginal
Adalah produk tambahan yang dihasilkan akibat bertambahnya satu unit faktor produksi yang
digunakan. Fungsi produk marginal adalah turunan pertama dari fungsi produk total. Jika
fungsi produk total adalah P = f(X) maka produk marginalnya adalah :
MP = P′
Notes: Pada umumnya fungsi produk total yang non-linear berbentuk fungsi kubik sehingga
fungsi produk marginal akan berbentuk fungsi kuadrat. Dalam kurvanya, kurva produk
marginal akan mencapai 0 tepat pada saat kurva produk total berada pada titik ekstrimnya dan
mencapai titik ektrim tepat saat produk total berada pada titik beloknya.
Contoh :
Fungsi produk dinyatakan dalam persamaan P = 9X 2 – 3X3. tentukanlah persamaan produk
marginal serta berapa titik ekstrim dan titik belok dari fungsi produk totalnya!. berapa titik
ekstrim dari fungsi produk marginalnya serta berapa besar produk marginalnya?
Penyelesaian :
P = 9X2 – 3X3
→
MP = P′ = 18X – 9X2
MP′ = P′′ = 18 – 18X
P maksimum jika MP = 0
X=2
0 = 18X – 9X2
→
(dicari dengan rumus abc)
Untuk X = 2
→
P = 9X2 – 3X3
P = 9(2)2 – 3(2)3
P belok jika
MP′ = 0
→
X=1
Jika X = 1 →
P = 9X2 – 3X3
P = 9(1)2 – 3(1)3 = 6
Jika X = 1 →
MP = 18X – 9X2
MP = 18(1) – 9(1)2
=9
0 = 18 – 18X
= 12
Jadi, titik ekstrim fungsi produk total berada pada koordinat (2,12), titik beloknya pada titik
(1,6). Fungsi produk marginal ada pada titik ekstrim di koordinat (1,9).
F.
Aplikasi Fungsi Multivariabel dalam Ekonomi
·
Elastisitas Harga-Permintaan, Elastisitas Silang-Permintaan dan Elastisitas Penghasilan
dari Permintaan
Elastisitas harga-permintaan adalah elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan
permintaan suatu barang akibat perubahan harga barang itu sendiri. Bentuk umumnya:
εd =
Q′d . Pd
Q
Elastisitas silang-permintaan adalah elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan
permintaan suatu barang akibat perubahan harga barang lain. Bentuk umumnya:
εC = Q′s . Ps
Q
Elastisitas penghasilan dari permintaan adalah elastisitas yang mengukur kepekaan
perubahan permintaan suatu barang akibat perubahan penghasilan nasional. Bentuk
umumnya:
εY = Y′ . Py
Q
Notes: untuk elastistitas silang-permintaan berlaku:
jika ec negative (ec < 1) berarti hubungan antara barang A dan barang B adalah
komplementer (saling melengkapi), di mana penurunan harga salah satu barang akan diikuti
oleh kenaikan permintaan atas keduanya.
jika ec positif (ec > 1) berarti hubungan antara barang A dan barang B adalah
kompetitif/substitutif (saling menggantikan), di mana penurunan harga salah satu barang akan
diikuti oleh kenaikan permintaan atas barang tersebut dan penurunan permintaan atas barang
lainnya.
Contoh :
Fungsi permintaan barang A terhadap barang komplementer ditunjukkan dengan persamaan
QA = 2300 – 10PA + 5Ps + 0,4Y. Carilah elastisitas harga-permintaan, elastisitas silangpermintaan dan elastisitas penghasilan dari permintaan pada saat PA = 30, Ps = 10 dan Y =
5.000!
Diketahui:
Q = 2300 – 10PA + 5Ps + 0,4Y PA = 30 Ps = 10 Y = 5.000
Ditanya :
εd….?
εC….?
εY….?
Penyelesaian:
Q = 2300 – 10PA + 5Ps + 0,4Y
Q = 2300 – 10(30) + 5(10) + 0,4(5000) = 2300 – 300 + 50 + 2000
= 4.050
Q=2300–10PA+5Ps+0,4Y→P′A=10
εd = Q′d . PA
= -10 . 30 / 4.050
= -10 (0,007) = -0,07 (in-elastis)Q
Q = 2300 – 10PA+ 5Ps + 0,4Y→P′s=5
εC = Q′s . Ps
= 5 . 10 / 4050
Q = 2300 – 10PA + 5Ps + 0,4Y
εY = Y′ . Py
= 5 (0,002)
→
= 0,4 . 5000 / 4050
= 0,01 (in-elastis) Q
P′y = 0,4
= 0,4 (1,23)
= 0,49 (in-elastis) Q
analisis : ey = 0,49 < 1 (in-elastis); berarti setiap kenaikan (%) penghasilan nasional, maka
permintaan barang A akan naik kurang proporsional.
Ec = 0,01 < 1 (in-elastis); berarti permintaan barang A akan barang komplementer
mendapat pengaruh negative, sehingga berdampak pada kecenderungan menambah jumlah
permintaan barang A.
Hal sebaliknya akan terjadi jika terdapat permintaan barang A akan barang
substitutive. Ec terhadap barang substitutive dapat memberikan nilai ec > 0 sehingga
membawa pengaruh positif terhadap barang A, di mana jumlah permintaan barang A dapat
berkurang.