Olimpiade Matematika Tk KabupatenKota 2010

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/ KOTA 2010 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2011

  Prestasi itu diraih bukan didapat !!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika

  Disusun oleh : Eddy Hermant o, ST

  2 ² 1. Misalkan n + n + 2010 = k unt uk suat u bilangan asli k. _{2 2}

  − k n + n + 2010 = 0 yang merupakan persamaan kuadrat dalam n. Karena n bilangan bul at maka diskriminan persamaan t ersebut harus merupakan bil angan kuadrat sempurna. _{2 2 2}

  − 4(1)(2010 − k 1 ) = m unt uk suat u bilangan asli m. _{2 2} 8039 = 4k − m = (2k + m)(2k − m) Karena 8039 merupakan bilangan prima maka 2k + m = 8039 dan 2k − m = 1 Maka 4k = 8040 sehingga k = 2010 dan m = 4019 _{2 2} Jadi n + n + 2010 = 2010

  (n − 2009)(n + 2010) = 0 ∴ Jadi, bilangan asli n yang memenuhi adalah n = 2009. _{4 2} ≤ 8x − 16

  2. x _{2 2} (x − 4) ≤ 0 Karena bil angan kuadrat t idak mungkin negat if maka penyelesaian ket aksamaan t ersebut adalah ₂

  − 4 = 0 x Bilangan bul at x yang memenuhi adalah x = 2 at au x = −2. ∴ Jadi, bilangan bulat x yang memenuhi ada sebanyak 2.

  3. 2x + 5y = 2010 unt uk pasangan bilangan asli (x, y) ∈ N.

  Karena 5y dan 2010 habis dibagi 5 maka x habis dibagi 5 sehingga x = 5a dengan a Karena 2x dan 2010 habis dibagi 2 maka y habis dibagi 2 sehingga y = 2b dengan b ∈ N. 10a + 10b = 2010 a + b = 201 Karena a, b ∈ N maka ada 200 pasangan (a, b) yang memenuhi sehingga ada 200 pasangan (x, y) yang memenuhi. ∴ Jadi, banyaknya pasangan bilangan asli (x, y) yang memenuhi ada sebanyak 200.

  4. α Misalkan besarnya sudut A = Karena AP = PC maka ∠ACP = α sehingga ∠BPC = 2α. _o

  ∠CBP = 2α sehingga ∠PCB = 180 − 4α Karena PC = CB maka Karena AB = AC maka ∠CBP = ∠ACB = ∠ACP + ∠PCB _o

  α = (α) + (180 − 4α)

  2 _o α = 36 _o ∴ Jadi, besarnya sudut A adalah 36 .

  5. 20102010 ... 2010 habis dibagi 99.

  Misalkan M =

  1 4 2 _{n buah 2010} 4 4 3

4 Karena M habis dibagi 99 maka M habis dibagi 9 dan 11.

  Jumlah angka-angka M = 3n yang harus habis dibagi 9 sebab M habis dibagi 9. Selisih j uml ah angka pada posisi genap dan posisi ganj il dari M sama dengan 3n yang harus habis dibagi 11 sebab M habis dibagi 11.

  Jadi, 3n habis dibagi 9 dan 11. Nilai t erkecil n yang memenuhi adal ah 33. ∴ Jadi, nilai t erkecil n yang memenuhi adalah 33.

  6. Hanya ada 5 pert andingan yang berpengaruh sehingga t ercapai hasil A bert emu G di f inal dan A menj adi j uara yait u A mengalahkan B, A mengalahkan pemenang C at au D, G mengalahkan H, G mengalahkan E at au F dan A mengal ahkan G. Pada masing-masing pert andingan, peluang sal ah sat u t im t ert ent u memenangkan pert andingan _{1 1 5} adalah . Maka peluang A mengalahkan G di f inal adal ah . _{2 1} ( ) ₂ ∴ Jadi, peluang A mengalahkan G di final adalah . _{3 2 32}

  7. − x + x − 2 mempunyai t iga pembuat nol yait u a, b dan c. Maka Polinom P(x) = x a + b + c = 1 ab + ac + bc = 1 abc = 2

  Alt ernat if 1 : _{3 3 3 3 2 2}

₂

_{2 2 2}

  (a + b + c) = a + b + c + 3a b + 3a c + 3ab + 3ac + 3b c + 3bc + 6abc _{3 3 3 3} − 3abc

  (a + b + c) = a + b + c + 3(ab + ac + bc)(a + b + c) _{3 3 3 3} 1 = a + b + c + 3(1)(1) − 3(2) _{3 3 3} a + b + c = 4

  Alt ernat if 2 : _{3 2} Karena a, b, dan c adalah akar-akar persamaan x − x + x − 2 = 0 maka _{3 2}

  − a − 2 = 0 a + a _{3 2} b − b + b − 2 = 0 _{3 2} − c − 2 = 0 c + c

  Jumlahkan ket iga persamaan didapat _{3 3 3 2 2 2} a + b + c − (a + b + c ) + (a + b + c) − 6 = 0 _{3 3 3 2} a + b + c = (a + b + c) − 2(ab + ac + bc) − (a + b + c) + 6 _{3 3 3 2} a + b + c = 1 − 2(1) − 1 + 6 _{3 3 3} a + b + c = 4 _{3 3 3} ∴ Jadi, nilai a + b + c = 4.

  2 2009 2009

  8. = + 1

• 2010

  Alt ernat if 1 : ₂ 2009 + 1 merupakan solusi persamaan x + ax + b = 0, maka ₂

  ( 2009 + 1) + a( 2009 + 1) + b = 0

  2010 + 2 2009 + a 2009 + a + b = 0 Karena a dan b bil angan bulat maka 2 2009 + a 2009 = 0 dan 2010 + a + b = 0

  −2 dan b = −2008 Didapat a = Maka a + b = −2010

  Alt ernat if 2 : ₂

  x + ax + b = 0 _{a a b 2}

  − ± − ⁴ x _{1 , 2} = ₂ ² +

  − − ^{a a b 4}

• 2009

1 Maka =

  _{2 2}

  a b 4 2009

  −a + − = 2 + 2 −a = 2 sehingga a = −2

  Karena a dan b bil angan bulat maka ₂ a − 4b = 4 ⋅ 2009 − b = 2009 sehingga b = −2008

  1 Maka a + b = −2 − 2008 = −2010. ∴ Jadi, a + b = −2010.

  ⋅⋅⋅, 1000} ⊆ X ⊆ {1, 2, 3, ⋅⋅⋅, 2010} 9. {1, 2, 3, _k Jika H memiliki k elemen maka banyaknya himpunan bagian dari H adalah 2 .

  ⋅⋅⋅, 1000 haruslah merupakan elemen dari X. Persoalannya sama saj a dengan Elemen 1, 2, 3, X ⊆ {1001, 1002, 1003, ⋅⋅⋅, 2010} ₁₀₁₀ Banyaknya himpunan bagian dari X t ersebut adalah 2 . ₁₀₁₀ ∴ Jadi, banyaknya himpunan X yang memenuhi adalah 2 .

  10. Jalan t erpendek dari A ke B adalah j ika j alannya hanya Kanan dan At as saj a. Ukuran grid 4 x 7.

  Banyaknya l angkah t erpendek adalah 7 sebab banyaknya langkah ke Kanan ada 5 dan ke At as ada

  2. Tidak ada j alan dengan banyaknya langkah t epat 8 sebab j ika berj alan ke Kiri at au ke Bawah sekali, maka banyaknya langkah t erpendek yang diperlukan adalah 9. Jadi cukup dihit ung banyaknya j al an dengan banyaknya langkah t epat 7.

  Alt ernat if 1 :

  Misalkan l angkah ke Kanan diberi t anda 1 dan langkah ke At as diberi t anda 2. Maka persoalannya sama dengan banyaknya susunan angka-angka 1111122, yait u melangkah ke Kanan sebanyak 5 kali dan mel angkah ke At as sebanyak 2 kali. _{7 !} Banyaknya susunan bilangan 1111122 sama dengan = 21. _{5 ! 2 !}

  ⋅ Maka banyaknya cara melangkah dari A ke B sama dengan 21.

  Alt ernat if 2 :

  Banyaknya l angkah ada 7. Dua di ant aranya adalah ke At as dan 5 ke Kanan. Maka persoalan ini adalah sama dengan menempat kan 5 obyek ident ik pada 7 t empat berbeda. Maka banyaknya cara melangkah dari A ke B sama dengan C = 21. _{7 2} ∴ Jadi, banyaknya cara melangkah dari A ke B sama dengan 21.

  Cat at an : Ada perbedaan ant ara kat a-kat a pada soal dan gambar pada soal. Berdasarkan kat a-

  kat a pada soal maka ukuran gridnya adalah 4 x 8 sedangkan pada gambar ukuran gridnya adal ah 4 x 7. Kunci j awaban dari pusat mengacu pada gambar. Jika yang diacu adalah kat a-kat a pada soal maka j awabannya adalah ^{8 C 2 = 28.}

  11. PC adalah garis bagi _{CB PB} ∆ABC sehingga berlaku _{4 AC PA} = _{PB 3} = _PA Maka dapat dimisal kan PB = 4k dan PA = 3k sehingga AB = k Maka PA : AB = 3k : k = 3 : 1 ∴ Jadi, perbandingan PA : AB adalah 3 : 1. _{2 2 2 2 2}

  ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 67 12. 2010 = 2 . 2010 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 67 _{2 a b c d}

  ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 67 ≤ a, b, c, d ≤ 2 dengan Fakt or-f akt or posit if dari 2010 akan berbent uk 2 dengan 0 a, b, c, d bil angan bulat . ₂ Banyaknya f akt or posit if 2010 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81 Agar f akt or t ersebut merupakan kelipat an 2010 maka 1 ≤ a ≤ 2, 1 ≤ b ≤ 2, 1 ≤ c ≤ 2, 1 ≤ d ≤ 2. ₂ Banyaknya f akt or posit if 2010 yang merupakan kelipat an 2010 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16. ₁₆

  ∴ Jadi, peluang bilangan yang t erambil habis dibagi 2010 adalah _{2 2 81} 13. + xy = 2y + 30p x

  − y)(x + 2y) = 30p (x Jika x dan y keduanya t idak memiliki sisa yang sama j ika dibagi 3 maka x − y dan x + 2y keduanya t idak ada yang habis dibagi 3. Padahal 30p habis dibagi 3. Jadi, x dan y harusl ah keduanya memiliki sisa yang sama j ika dibagi 3.

  Akibat nya x − y dan x + 2y masing-masing habis dibagi 3 sehingga 30p harus habis dibagi 9. Karena 30 habis dibagi 3 t et api t idak habis dibagi 9 maka p harus habis dibagi 3. Karena p adalah bilangan prima maka p = 3. (x − y)(x + 2y) = 90 ≥ x − y maka akan ada 2 kasus. Karena x + 2y

• x + 2y = 30 dan x − y = 3

  Didapat x = 12 dan y = 9 − y = 6

• x + 2y = 15 dan x

  Didapat x = 9 dan y = 3 Maka pasangan bil angan bulat posit if (x, y) yang memenuhi adalah (12, 9) dan (9, 3). ∴ Jadi, banyaknya pasangan bilangan bulat posit if (x, y) yang memenuhi ada sebanyak 2.

  14. Perhat ikan gambar.

  Banyaknya persegi dengan ukuran 1 x 1 ada sebanyak 25 x 20 = 500 Banyaknya persegi dengan ukuran 2 x 2 ada sebanyak 24 x 19 = 456 Banyaknya persegi dengan ukuran 3 x 3 ada sebanyak 23 x 18 = 414

  M

  Banyaknya persegi dengan ukuran 20 x 20 ada sebanyak 6 x 1 = 6 ⋅⋅⋅ + 6 = 3920. Banyaknya semua persegi yang ada = 500 + 456 + 414 + ∴ Jadi, banyaknya semua persegi yang ada = 3920.

  15. Perhat ikan gambar.

  Alt ernat if 1 : ₁

  s = (a + b + c) = 12 ₂ Dengan rumus Heron didapat

  s s a s b s c

  5

  [ ABC] = − − − = 12 ₁ ( )( )( )

  5 ₂ ⋅ AC ⋅ BD = 12 ₈

  5

  9 ⋅ BD = 24 _{2 2} 5 sehingga BD = _{2 320 121 3} AD = AB − BD = 49 − = _{11 9 9} AD = ₃ Alt ernat if 2 : _{2 2 2} − 2bc cos A a = b + c _{2 2 2} 8 = 9 + 7 − 2 ⋅ 9 ⋅ 7 cos A ₁₁ cos A = _{21 11} AD = AB cos A = 7 ⋅ _{11 21} AD = _{3 11}

  ∴ Jadi, panj ang AD = ₃

  ⋅ (x + 2)(x − 1) − 5x + 2000

  16. P(x) = Q(x) P( −2) = 0 − 5(−2) + 2000 = 2010 −2) menyat akan sisa j ika P(x) dibagi x + 2. P( ∴ Jadi, sisa j ika P(x) dibagi x + 2 adalah 2010. ₂ Cat at an : Soal aslinya adalah P(x) dibagi x − x − 2 bersisa −5x + 2000, t et api Penulis ₂ berkeyakinan seharusnya adal ah P(x) dibagi x + x − 2 bersisa −5x + 2000. _{n x x 2 n 2 5}

  x x

  ⏐0 < x ≤ 216 17. Penyelesaian ≤ dipenuhi oleh {x } unt uk suat u bilangan asli n. _{x n 2 x n 2}

  x x ≤

• Jika x ≥ 1 maka _{x n}
_{2 2}

  x _n ≤ _{2 n n − 2} n

  x ≤

• Jika 0 < x < 1 maka _{x n}
_{2 2}

  x _n ≥ _{2 n n − 2} n

  x ≥ _{2 n n − 2}

  Karena n bil angan asli maka _{x n 2 2}

  n ≥ 1.

  x

• Jika x < 0 maka karena _n

  dan t idak dapat dipast ikan merupakan bil angan rasional maka t idak ada def inisi j ika x < 0. _{2 − n n 2}

  n Maka penyel esaian ket aksamaan t ersebut adal ah 1 ≤ x ≤ . _{5 5 3}

  ≤ 216

  6 Karena penyelesaian ket aksamaan t ersebut adalah 0 < x = maka _{k n 3} n = 6 dan = unt uk suat u bilangan asl i k. _{2 n k 2 5 k k} −

  6 ⋅ 5k = 6 ⋅ 6 − 6 _1-k − 5k 6 = 6

  Jika k > 1 maka ruas kiri merupakan pecahan sedangkan ruas kanan merupakan bilangan bulat sehingga t idak akan t ercapai kesamaan. Jika k = 1 maka 1 = 6 − 5(1) yang memenuhi persamaan. ₁ Jadi, n = 6 = 6 ∴ Jadi, nilai bilangan asli n yang memenuhi adalah n = 6.

  Cat at an : Terbukt i bahwa dalam bat as 0 < x < 1 t idak memenuhi ket aksamaan. Maka pada soal, ₅

  ⏐1 ≤ x ≤ 216 himpunan penyelesaian ket aksamaan t ersebut seharusnya {x } _{o o o} 18.

  , 180 dan 270 sehingga j ika sebuah pet ak Perhat ikan gambar. Rot asi yang dimaksud adalah 90 berwarna hit am dirot asi akan t imbul 3 pet ak lain yang berbeda dengan pet ak semul a. Jadi, j ika

  3 pet ak berwarna hit am dirot asikan maka t idak akan ada hasilnya yang menempat i ket iga pet ak semula.

  Persoal an ini sama saj a dengan banyaknya memilih 3 pet ak dari 16 pet ak yang ada = ^{16 C 3 lal u} hasilnya dapat dibagi ke dalam ^{16 C 4 : 4 kelompok dengan masing-masing kel ompok merupakan} rot asi dari pet ak-pet ak l ainnya. _{16 C 3} Maka banyaknya cara pewarnaan = = 140. ₄ ∴ Jadi, banyaknya cara pewarnaan = 140. ₁ 19. sin α cos α = sin 2 α ₂

  1 _{2010 x x x}

  2 2 cos cos cos L 2010 _x = ( ) ( ) ( ) _{2 4 2} sin 2010 ( ) _{2 2010 x x x x}

  2

  1 = 2 ⋅ cos cos ⋅⋅⋅ cos 2010 sin 2010

  ( ) ( ) _{2009 x x x 2 4} ( ) ( ) ₂

₂

  1 = 2

  2 ⋅ cos cos ⋅⋅⋅ sin 2009 ( ) ( ) _{2008 2 x x x 4} ( ) ₂

  2 ⋅ cos ⋅⋅⋅ sin

  1 = 2 ( ) cos ( ) 2008 _{2 4 ( ) 2} Sehingga didapat

  2

  1 = sin x

  π

  sin x = sin _{4 3}

  π π

  Maka x = at au x = _{4 4 3}

  π π

  ∴ Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = ₄ at au x = ₄ 20.

  Perhat ikan gambar. ₁

  2

  πc Luas set engah lingkaran AB = = 396. _{1 8 2} πb Luas set engah lingkaran AC = = 1100. _{8 1 2 1 2 2}

  πa π(b Luas set engah lingkaran BC = = + c ) = 1100 + 396 = 1496. _{8 8} ∴ Jadi, luas set engah lingkaran pada sisi BC sama dengan 1496.

  Cat at an : Kunci dari pusat t erhadap persoalan ini adalah 704 yang menurut Penulis, kesalahannya ada pada segit iga ABC siku-siku di A yang mungkin seharusnya di B at au C.