S1-MATEMATIKA I (MATEMATIKA EKONOMI)

  S1- MATEMATIKA I BAHAN 10

INTEGRAL CALCULUS

  Bahan 10.1. PENGERTIAN INTEGRAL CALCULUS DAN KEGUNAAN INTEGRAL

1. Integral calculus atau integration vs. differentiation

   Primitive function F(x) vs. derivative function f(x) Integral calculus atau integration adalah kebalikan dari differentiation, yaitu :  Apabila fungsi F(x) merupakan an integral (antiderivative) function dari fungsi f(x), maka :

  F(x) disebut sebagai primitive function, sedangkan f(x) merupakan derivative dari F(x) dan f(x) adalah fungsi kontinyu (a continuous function) di atas domainnya atau suatu interval independent variabel x.  Jadi integration atau integral calculus menyangkut pencarian (tracing) asal (the parentage of) dari fungsi f(x).

  Tetapi, differentiation mencari turunan (derivative atau differentiation) dari F(x).  Differentiation dari F(x) menghasilkan fungsi yang unik (a unique derivative function) f(x).

  Sebaliknya, integration dari f(x) menghasilkan banyak tak terbatas bentuk fungsi (indifinete number of possible parents) F(x).  Penjelasan :

   Notasi integration dari f(x) terhadap x dalam rangka menuju atau ditrasir ke F(x) :

  f ( x ) dx

• indefinite integral

   _b dan

  f ( x ) dx _{a --- definite integral} di atas interval [a,b]

   dimana :   tandal integral (the integral sign) 

  ) (x f

  

  

Bahan 10.2.

   A continuous variable  jadi something is happening to the variable at each point of time.  A discrete variable jadi the variable undergoes.

  Istilah dinamis dalam analisa ekonomi (the term dynamics for econoic analysis), dari sebelumnya berubah hingga akhirnya sekarang, yaitu dimaksudkan sebagai analisa dengan obyek :  Mencari atau mentrasir dan mempelajari arah dinamis menurut waktu dari variabel-variabel.  Atau, menentukan, bahwa untuk sepanjang waktu tertentu apakah variabel-variabel menuju atau tidak ke angka atau nilai tertentu atau nilai ekuilibrium.  Untuk analisa ekonomi secara dinamis, maka waktu dari variable diperlukan, sehingga variabel dapat berupa sebagai :

   Integral calculus berguna untuk analisa ekonomi secara dinamis (a dynamic analysis of economic developments).

  adalah suatu angka yang bersifat bebas atau angka apa saja (an arbitrary constant of integration) yang berfungsi sebagai indikasi banyaknya fungsi primitif yang bisa dihasilkan (the multiple parentage of the integrand).

  c

  dimana

   ) (

   ) dx x f ( c x F

   

  fungsi yang akan diintegralkan (the integrand --- the function to be integrated). 

  ) dx x f (

  

  dx d

  , jadi : _{ ) (x F}

  ) (x F

  sebagai notasi diferensiasi dari the primitive function

  ) dx x f (

  tanda untuk melakukan diferensiasi terhadap x (the operation of differentiation which is to be performed with respect to the variable x).  

  dx

2. Kegunaan integral calculus dalam ilmu ekonomi

  

INTEGRAL INDEFINITE (INDEFINITE INTEGRALS)

DAN

KETENTUAN-KETENTUAN INTEGRASI

  1. Integral indefinite vs. Integral definite

  x x n dx d _{        1}

  2). Rule 2 (the exponential rule)

  1

   ⁴

  1 d. dx x

  

  dx x  ³ c. dx

   ³ b.

  dx x

  dimana n ≠ − 1 Soal a.

  1

  1

  karena ^{n n}

  The integral 

  

(RULES OF INTEGRATION)

  1

   ¹

  c x n dx x ^{n n } _ ^{ }

  1). Rule 1 (the power rule)

  2. Aturan Integrasi (berlaku juga untuk Integral definite) dan Contoh RULE 1 s.d, RULE 3 : Aturan dasar (Basic Rules of Integration)

  disebut definite integral karena mempunyai definite numerical value misal dari angka sebesar a ke b

  ) dx x f (

  karena tidak mempunyai batasan angka tertentu (no definite numerical value). Sedangkan the integral  ^{b a}

  ) (x f

  disebut the indifinite integral of

  ) dx x f (

  1 Rule 2a :

  c e dx e ^{x x}  

  1

  ) dx x x 1 ( ³  

  Soal a.

  G x x F dx d _{    }

  G x g x f x

dx

d

F x dx d

    ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

  karena

    ^{         }   

  ) ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( c c c ditulis bisa jadi value in arbitarary adalah c dan c c ana G c x c x F atau G c x x F dx x g dx x f dx x g x f

  2 ^{1 2 1 2 1} , , dim

   

  4). Rule 4 (the integral of a sum)

   _{x f ana c x x f} ^{x f ana c x f dx} _{x f} ^{x f} RULE 4 dan RULE 5 : Aturan operasi (Rules of Operation)

  dan Rule 2 b : _{) ( dim ) ( ln ) ( dim ) ( ln ) ( ) ( '      }

  Rule ini bentuk spesial (a special form) dari the power function x ⁿ karena untuk n = 1 tidak bisa dilakukan atas dasar Rule 1 (the power rule) sebab menjadi ^{ }

   karena ^{x x}

  dimana x > 0

  1 ln 

  x x dx d

  karena

  1

  c x dx x ^{ }  ln

  3). Rule 3 (the logarithmic rule) Rule 3a :

  e e dx d _

  karena ^{) ( ) ( x f x f}

  ) (

   ^{) ( ) ( '}

  c e dx e x f ^{x f x f}  

  dan Rule 2 b :

  e e dx d _

  

  _ 2 x 2 e  dx _{ 2} b. _{ }

   _{ } 7 x 

  5

  5). Rule 5 (the integral of a multiple)

  k f ( x ) dx k f ( x ) dx 

    Soal

  f ( x ) dx dim ana k

  1   

  a.

   _{2 2}

  3 x dx 3 x dx 

  b.

   

  RULE 6 dan RULE 7 : Aturan Untuk Substitusi

(Rules Involving Substitution)

  6). Rule 6 (the substitution rule)

  du f ( u ) dx f ( u ) du _   dx

  Contoh : _{2 3}

  1

₄

₂ 2 x ( x  1 ) dx  ( 2  2 x ) dx  x  x  c

   

_{2 du du}

  2 dim ana : u f ( x ) x _{       }

  1 2 x atau dx dx 2 x ₂ du

  1 ₂ sehingga : 2 x ( x  1 ) dx  2 x u dx  u du  u 

  1    dx

  2

  1 ^{2 2}

  1 ^{4 2}

  1 ^{4 2} _{  } ( x 1 ) c ( x _{1    } 2 x 1 ) c x x c dim ana c c _{1     1 }

  1

  2

  2

  2

  2 Soal _{2 3 99} 6 x ( x  2 ) dx a.

   _{2 x  3}

  8 e dx

  b.  7). Rule 7 (integration by parts)

  u du uv u dv  

  karena :  

  d ( uv ) v du u dv di int egrate , menjadi :     

d ( uv )  v du  u dv atau uv  v du  u dv    kiri dan kanan dikurangi

      

  dengan u dv menjadi v du uv u dv     

     Soal

3. Aplikasi

  1). Perkembangan penduduk menurut waktu  Fungsi primitif H = h(t) = 2 t

  ½

  a. ^{2 / 1 2 / 1}

         

   

  b.  

         x dv jadi x v ana du v x dx x

  / ) 1 ln dim ( ln _{ dx du atau x u dan } c. dx e x ^x

  

• → merupakan fungsi untuk perkembangan penduduk menurut waktu t (independent variable)

    Integral : c dt t t

     ^

  2

²

¹

^{2 1}

  dimana c = an arbitrary constant Misal : t = 0  H(0) = 2 (0)

  ½

• c = c = 100 apabila c = 100, jadi c sudah pasti. Jadi secara umum, the time path of population developments : H(t) = 2 t

  ½

• H(0) bahwa besarnya penduduk pada setiap waktu t atau H(t) adalah jumlah penduduk pada tahun awal (t = 0 atau nol) yaitu H(0) = c, ditambah 2 t

  ½ .

  Arah waktu itu menunjukkan jadual komplit dari variabel H menurut waktu, yang merupakan solusi terhadap model dinamis (such a time path indeed charts teh complete itenary of the

  variable H over time, and thus it truly constitutes the solution to the dyanmic model).

  2). Dari fungsi marjinal (marginal functions) ke fungsi total (total function) a. Dari Marginal cost (MC = C ^” (Q)) ke Total Cost (TC = C(Q)) dimana Q = tingkat produksi dalam unit

   Derivative : t dt dH ₂ ^{1 }

  ) (

4. Soal latihan 1).

  ) (

  ) (

  4

  _ 3 _{  } ^ _ ^ _  x dx x e ^x 7). dx e ^x

   ^{  ) 7 2 (}

  3 8).

  ) (

  4

  _ 3 _{  } ^ _ ^ _  x dx x e ^x 9).

  10).

  3 _  x dx x

  90 10 dim ^{' 2 . 2 . 2 .} _{     } ^{    }   

  dx x x

    5

  3 ² 11).

  ) ( ln   x dx x x 12).

    _

  ) ( dx x f k _i ⁿ _{i i 1} ) ( dx x f k _i ⁿ _{i i 1}

    _ 

Bahan 10.3.

  

INTEGRAL DEFINITE (DEFINITE INTEGRALS)

DAN

  6).

  

^{ }

^{7 2} ) )( 2 (

  4 ₂ 5). dx bx ax b ax

   1

  Q pada buktikan c TFC serta TVC e dan TFC TVC TC ana ^{Q Q Q}

  b. Dari Marginal Propensity to Save (MPS(Y)) ke fungsi Aggregate Saving (S(Y)) dimana Y = Produk Domestik Bruto (PDB)

  ) ( 2 . ) 3 . 1 . ( 3 . ) ( ^{2 1 2 1} Y S c Y Y dy Y dY Y MPS

       

    ^

  c. Dari Net Investment at time t (I(t)) =

  dt dK

  ke Capital Stock at t K(t)

     ^{  } ) ( ) ( t K dK dt dt dK dt t

  I K c ana K t c t dt t     

  

  ) ( dim ) (

  2

  2

  3 ^{2 3 2 3 2 1}

  dx x  ^3

  16 2). dx x

   ^{ )} 3 ( ⁵ 3). dx e ^x

   ^2

  2 4). dx x x

SIFATNYA (ITS PROPERTIES)

1. Pengertian definite integrals dan contoh

  Definite integral adalah integral pada suatu interval atau jarak tertentu di atas domain variabel bebas (independent variable) x, misal dari angka a ke b (a < b), dengan notasi :

  karena area itu diproxi (approximated) sebesar =

  Y y = f(x) area A 0 a = x ^{1 x i b = x 5 x}

  Area di bawah kurva di atas interval [a, b] atau [x ^{1 , x 5 ] dimana x i untuki = 1, 2, 3, 4, 5,} yaitu : =

   ^{  5 1}

  ) ( ^{x b} _{x a} dx x f

  =

      n i i n dx x f

  1 ) ( lim

  = area A →

  = 

  1 2 ( ^{2 2 3 2} ₁ 

  n i dx x f

  1

  ) (

  = area A ^* (> area A)  Penjelasan

  :  Tanda 

  n i dx x f

  1

  ) (

  menyatakan jumlah dari semua f(x i ) dari 1 hingga n (the sum of a finite number of terms from 1 to n).

  

  ) dx x x ) 6 (

  

  1

  

   ^b _a ^{b a} F x dx x f ) ( ) (

       } ) ( { } ) ( { c a F c b F ) ( ) ( a F b F 

  dimana : a = the lower limit of integration b = the upper limit of integration

   ^{b a}

  atau bisa dalam bentuk ^{b a} atau   ^{b a} ...

  = = tanda instruksi variabel x dengan angka a dan b Contoh dan soal :

  1). 

  124

  5

   4).

  3 ^{3 3 5} ₁ ^{3 2 5} ₁     

  

  c x dx x 2).

  ?

  2

  1

  1 ⁴ _{       }  dx x x

  3).

   ) ( ^{a b b} _a ^{x x b} _a e e k ke dx e k   

2. A definite integral sebagai suatu area di bawah kurva atau fungsi

   Sedangkan jika n hingga tak terhingga (n → ∞), maka limit dari

  n  f ( x ) dx

  the sum itu adalah lim i yang sama

  1 n _{b x  5}   _{a x } f ( x ) dx

  dengan  _{b x} ¹ _{ 5}

  f ( x ) dx _{a x} dimaksud disebut the Riemann integral

   Integral   ¹ yang mempunyai suatu area connotation (an area of connotation) _{a x b x  5} serta suatu jumlah connotation (a sum connotation) sebab   ¹ adalah bagian yang kontinyu (the continuous part) sebagai pasangan (a counterpart) dari konsep diskret dari (a discrete _n concept of)

   _{i 1 }

   Theorem Suatu fungsi mempunyai integral (integralable) pada suatu interval [a, b], apabila fungsi itu kontinyu pada interval dimaksud, atau, Jika fungsi f(x) adalah dalam interval [a, b], maka syarat perlu dan cukup (necessary and sufficient and condition) untuk terdapatnya _{b b}

  f ( x ) dx F ( x ) { F ( b ) c } { F ( a ) c } F ( b ) F ( a )        _a  a

   adalah bahwa set tidak kontinyu dari f(x) mempunyai measure zero (yaitu jika jumlah dari semua jarak dalam semua interval yang menutup semua titik dapat dibuat secar bebas sedemikian kecilnya (if the sum of the lengths of intervals enclosing all points can be made arbitrary small – less than any given positive number ε).

3. Sifat-sifat (properties) definite integral

  _{b b} f ( x ) dx f ( x ) dx _{a a}  

  1).   _{a b}

  f ( x ) dx F ( a ) F ( b ) { F ( b ) F ( a )} f ( x ) dx _b        _a

  Jadi,  _a  _a f ( x ) dx  F ( a )  F ( a ) 

  2).  _{d b c d}

  f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx _{a a b c}   

  3).     _{b b a a}  f ( x ) dx   f ( x ) dx 

  4). 

  5). 

4. Definite integral ke indefinite integral

5. Soal latihan 1).

   ^ _ ^{ } _ ^ _ ^{ 6}

  dx x x  ^ _ ^{ } _ ^{  2 4 3 2}

  1

  3

  1 4).

   ^{ } _ ^{2 1}

  2 ^e x dx 5). dx x x ^e

  1

  1

    ¹ ₁ ² ) (

  1 6). dan dx b c c ^b

   ^{ dt c c}

  

  

  1 Bahan 10.4.

  Improper integrals adalah definite integrals dimana salah satu limitnya adalah tak terhingga (∞ atau − ∞), yaitu :

  3).

   ^

   ^b _a ) dx x f k (

   ^{1 2} ) 6 ( 2). dx c bx ax

   ^{b a}

  ) dx x f k ( 6).

   

   ^{b a}

  )} dx x g x f ( ) ( {

  

   ^b _a ) dx x f (

   ^{b a}

  ) dx x g (

  7). Integration by parts :   ^{     }

    ^{b x} _{a x} ^{b x} _{a x} ^{b x a x} dv u v u du v ⁵ ₁

  

F c a ana c x F a F x F dx x f

^x _a         

  

  

) ( dim ) ( ) ( ) ( ) (

⁵ ₁ Jadi, definite integral  ^{5 1} ) ( ^x _a dx x f

  di atas interval dari titik atau angka a ke setiap titik atau angka di atas variabel x, menjadi persis seperti integral definite karena hasilnya juga adalah {F(x) + c} dimana c = - F(a). Dengan demikian tanda integral

   berarti sama dengan tanda  ^{5 1 x a} dalam arti c = − F(a).

  dx x x

  

IMPROPER INTEGRALS

1. Pengertian improper integrals

   ^{   a} F a F dx x f ) ( ) ( ) (

  atau

   ^{     b} F b F dx x f ) ( ) ( ) (

  Kedua integral di atas tidak bisa dievaluasi karena ∞ bukan suatu angka.

2. Convergent atau divergent improper integrals

    ^ _{ }  _a ^b _{a b}

  

1

  1 lim lim x juga b x dx dx x b ^{b b}

  1

  1

  1

  1

      ^{1 1 2 1 2}

     

           

  Maka atas dasar konsep limit di atas, berarti :  ^ _{   } ^

  0 1 b → → ∞ x

     ^ b x dx x ^b

  1 _{1 1 2}   

  1

  ) dx x f dx x f ( ) ( lim atau

  1

  Pertama : 

  Evaluasi terhadap improper integrals di atas harus didasarkan atas dasar konsep limit, sehingga menjadi :

  1 ) ( x x f

  1 ₂

  dx x  ^{ 1 2}

  

  Juga, apabila limit diperoleh (exist), maka improper integral bersifat convergent, atau divergent jika limit tidak diperoleh.  Contoh f(x)

    ^{  } _{   } ^{ b a} _{b b} ^{) dx x f dx x f ( ) (} lim

   Jika kedua limit integral adalah tak terhingga (∞)

   Jika kedua limit itu :  Diperoleh (exist), maka dikatakan bahwa improper integral dimaksud convergent atau to converge yang akan menghasilkan suatu nilai integral.  Tidak diperoleh (do not exists), maka improper integral dimaksud divergent atau to diverge yang tidak menghasilkan nilai integral.

  ) dx x f dx x f ( ) ( lim

      _{ }  ^{b b} _{a b}

   Jadi, improper integral di atas bersifat convergent, yaitu kurva f(x) menuju ke suatu titik pada interval sejak titik x = 1 _ hingga x = b → ∞ di sumbu x.

  1 dx

   f(x) ₁

   x

  1 f ( x )  _ x

  1 b dx ln x ln b ln _{  }

  1  ¹ Pertama : ₁

   x

  0 1 b →→ ∞ x

  Maka atas dasar konsep limit di atas, berarti : _{ b}

  1 dx ^ dx ln b ln 1 juga ln x

            

   ¹ ₁ lim lim ₁  

  x b x b _{   }

  Jadi, improper integral di atas bersifat divergent, yaitu kurva f(x) tidak menuju ke suatu titik pada interval sejak titik x = 1 hingga x = b → ∞ di sumbu x.

3. Infinite integrand

  Improper integrals juga timbul karena the integrand menjadi tak terhingga (infinite) pada interval [a,b], walaupun limit integralnya adalah tertentu atau tidak terhingga (finite). Untuk evaluasinya didasarkan atas konsep limit. Contoh 1 : ₁

  1 dx

  → adalah improper integral karena seperti pada terlihat pada

   x

  diagram (bagian bawah) di atas, the integrand menjadi tak terbatas atau tak terhingga pada limit bawah dari _

  1 x untuk x _{  }

  integral, yaitu the integrand Evaluasinya :

  Pertama, peroleh dulu integral : ₁

  1 _{1 a}

dx ln x ln

_{      a} 1 ln a ln a  x

• ⁺ Kemudian, evaluasi limitnya dengan a → 0 :
_{1 1}

  1

  1 dx dx ( ln a )

     lim a lim     x  x  _{a  a }

• dan karena limit ln a = −∞ ketika a → 0 , maka integral itu bersifat divergent Contoh 2 :
_{9 9}

  1 _{ 1 / 2} dx _ x dx

  

  

  x

  Integral ini adalah improper integral karena ketika x →

• ₊ 1

  maka the integrand menjadi tak terhingga atau

  x

  tak terbatas Evaluasinya :

  1 _{1 / 2} ⁹ _ dx _{      } 2 x _a

  6 2 a dan 6 ketika a _a   x Jadi, integral bersifat convergent ke angka 6.

  Contoh 3 : Ketika f(x) → ∞ dengan x → p dimana p berada di interval (a, b) dan bukan [a, b] jadi titik a dan b tidak termasuk, maka dengan the additivity property : _{b p bd}

  f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx _{a a}

 

_p 

    Integral di sisi kiri bersifat convergent hanya apabila masing-masing integral di sisi kanan mempunyai limit

  Misal : _{1 1}

  1 _{ 3} dx _{ 1 3}  x dx ₁

   

  

  x

  Evaluasinya : _{1   3 3  1 3}

  x dx x dx  x dx _{ 1}



    _{ 1}

  

  karena b = 1, maka _{b b}

  1 _{    }

  1 ²

  1

  1 ₃ dx  x       _{  2}

  lim  _{b  x     } ^{1 lim   lim} _{  b       }

  2 ^{1 }

_{b }

2 b

  2 Jadi, integral di sisi kiri itu bersifat divergent, setelah mengevaluasi

  integral pertama di sisi kanan dan tanpa meneruskan evaluasi terhadap integral bagian kedua.

4. Soal latihan Tentukan integral mana berikut ini yang improper dan alasannya.

  7).

  dt e ^rt  ^{ } 8). dx x

   ^{3 2 4} 9).

  dx x

   ^{ 1 3 / 2} 10).

  dt e ^rt  ^{ } 11). dx x

   _ ^{5 1}

  2

  1 12). dx

   ^{ 4 3}

  6