MODUL 4 - BALOK MENGANJUR DIATAS DUA PERLETAKAN
STATIKA I MODUL 4
BALOK MENGANJUR (OVERHANG) DIATAS DUA PERLETAKAN
Dosen Pengasuh : Ir. Thamrin Nasution
Materi Pembelajaran : 1. Balok Menganjur Sebelah Memikul Muatan Terpusat.
2. Balok Menganjur Sebelah Memikul Muatan Terbagi Rata Penuh.
3. Balok Menganjur Sebelah Memikul Muatan Campuran.
4. Balok Menganjur Pada Kedua Belah Sisi Perletakan memikul Beban Terpusat.
5. Balok Menganjur Pada Kedua Belah Sisi Perletakan Memikul Beban Terbagi Rata.
WORKSHOP/PELATIHAN
Tujuan Pembelajaran :
Mahasiswa memahami dan mengetahui tentang gaya-gaya dalam dari struktur balok menganjur (overhang) terletak diatas dua perletakan dengan beban-beban terpusat, beban terbagi rata dan muatan campuran, dan mampu melakukan perhitungan gaya-gaya dalam (M,D) dan mampu menggambarkannya.
DAFTAR PUSTAKA Soemono, Ir., “STATIKA 1”, Edisi kedua, Cetakan ke-4, Penerbit ITB, Bandung, 1985.
a)
thamrinnst.wordpress.com
UCAPAN TERIMA KASIH Penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada pemilik hak cipta photo-photo, buku-buku rujukan dan artikel, yang terlampir dalam modul pembelajaran ini.
Semoga modul pembelajaran ini bermanfaat.
Wassalam Penulis
Thamrin Nasution thamrinnst.wordpress.com [email protected]
BALOK MENGANJUR
DIATAS DUA PERLETAKAN
1. Balok Menganjur Sebelah Memikul Muatan Terpusat.P1 = 10 ton P2 = 4 ton c = 1 m a = 2 m b = 4 m
C D A B R
AV
R
BV
L = 6 m Bidang gaya lintang
- D = + R
A-C AV
P2 P1 D
- BD
R
BV
D
- – BC
P1.a.b/L Bidang momen
- –
a/L . (P2 . c) P2 . c
Bidang momen
- –
superposisi P2 . c
Penyelesaian : a. Reaksi Perletakan.
M B = 0, R AV . L – P1 . b + P2 . c = 0 R = P1 . b/L – P2 . c/L
AV = 10 x 4/6 – 4 x 1/6 R AV = + 6,0 ton ( )
= 0, M A
- R . L + P2 . (c + L) + P1 . a = 0
BV R BV = P1 . a/L + P2 .(c + L)/L R BV = 10 x 2/6 + 4 x (1 + 6)/6 R BV = + 8,0 ton ( ).
Kontrol : V = 0, R AV + R BV – P1 – P2 = 0 6,0 t + 8,0 t – 10 t – 4 t = 0 14 t – 14 t = 0 …..(memenuhi)
b. Gaya lintang.
D A-C = + R AV = + 6,0 ton. D = D – P1 = 6,0 – 10 = – 4,0 ton.
C-B C-A D = D + R = – 4,0 + 8 = + 4 ton.
B-D C-B BV
D B-D = + P2 c. M o m e n . M = 0
A M = + R . a = + 6,0 t x 2 m = + 12,0 ton.m’. C AV
M B = + R AV . L – P2 . b = 6 x 6 – 10 x 4 = – 4 t.m’, atau M B = – P2 . c = – 4 x 1 = – 4 t.m’.
2. Balok Menganjur Sebelah Memikul Muatan Terbagi Rata Penuh.
q = 3 t/m’ A
C
X B R
AV
R
BV
x L - x
a = 2 m L = 6 m
Bidang gaya lintang Dx = 0 q a
R
AV
R
BV
- – 2
Mx
- 1/8 q L Bidang momen
- – Mmaks
2
- 1/2 q a Bidang momen
superposisi
2
- 1/2 q a
Penyelesaian : a. Reaksi Perletakan.
M = 0, B
R AV . L – q . L . ½ L + q . a . ½ a = 0
2
2 R AV = ½ q . {L – a }/L
2
2 R = ½ . (3) . {6 – 2 }/6 AV R = + 8 ton (
AV ) M A = 0,
- – R . L + q . L . ½ L + q . a . (½ a + L) = 0, atau
BV
- – R BV . L + q . (L + a) . ½ . (a + L) = 0
2 R BV = ½ q . (L + a) /L
2 R = ½ . (3) . (6 +2) /6 BV R BV = + 16 ton ( ) Kontrol : V = 0, R + R – q . {L + a} = 0
AV BV
8 + 16 – 3 . {6 +2} = 0 24 t – 24 t = 0 ……(memenuhi) b. Gaya lintang.
D = + R = + 8 ton.
A-B AV D B-A = + R AV – q . L = 8 – 3 x 6 = – 10 ton.
D B-C = D B-A + R BV = – 10 + 16 = + 6 ton.
c. M o m e n .
2
2 M = – ½ q . a = – ½ .(3) . (2) B = – 6 t.m’.
Tinjau tampang X, terletak sejauh x dari perletakan A, besar momen pada titik ini,
2 Mx = R . x – ½ q . x AV Momen maksimum terjadi pada titik dimana gaya lintang sama dengan nol,
2 Dx = d(Mx)/dx = d(R AV . x – ½ q . x )/dx Dx = R – q . x
AV Dx = 0 R AV – q . x = 0 x
= R AV /q = (8 t)/(3 t/m’) = 2,667 m (dari perletakan A). Maka momen maksimum,
2 M x=2,667 m = (8) . (2,667) – ½ . (3) . (2,667) = + 10.667 t.m’.
Titik dimana momen sama dengan nol,
2 Mx = R AV . x – ½ q . x = 0
R AV – ½ q . x = 0 x
= 2 . R /q = 2 . (8)/(3) AV
= 5,333 m (dari perletakan A)
3. Balok Menganjur Sebelah Memikul Muatan Campuran.
P = 6 ton q = 2 t/m’ A
C D B R
AV
R
BV
c = 1 m a = 4 m b = 2 m L = 6 m
Bidang gaya lintang P = 6 ton
- R
BV
R
AV
- – Bidang momen
- – R . a
AV
P . c
Penyelesaian : a. Reaksi Perletakan.
M B = 0, R . L – q . b . ½ b + P . c = 0 AV
2 R = ½ q b /L – P . c/L AV
2 = ½ x 2 x 2 /6 – 6 x 1/6 = 4/6 – 1 = – 2/6 R AV = – 0,333 ton ( ) .
= 0, M A
- R BV . L + q . b . (½ b + a) + P . (c + L) = 0 R BV = q . b . (½ b + a)/L + P . (c + L)/L R BV = 2 x 2 x (½ x 2 + 4)/6 + 6 x (1 + 6)/6 = 20/6 + 7 R = + 10,333 ton ( BV ).
Kontrol : V = 0, R + R – q . b – P = 0
AV BV
- – 0,333 t + 10,333 t – 2 x 2 t – 6 t = 0 10 t – 10 t = 0 …..(memenuhi) b. Gaya lintang.
D = – R = – 0,333 ton.
A-C AV D = D = – 0,333 ton. C-A A-C D C-B = D C-A = – 0,333 ton.
D B-C = D C-B – q . b = – 0,333 – 2 x 2 = – 4,333 ton.
D B-D = D B-C + R BV = – 4,333 + 10,333 = + 6 ton. D B-D = P = + 6 ton.
c. M o m e n .
M = 0 A M C = + R AV . a = – 0,333 x 4 = – 1,333 ton.m’.
M B = + R AV . L – q . b . ½ b = – 0,333 x 6 – 2 x 2 x ½ x 2 = – 6 t.m’, atau
M B = – P . c = – 6 x 1 = – 6 t.m’.4. Balok Menganjur Pada Kedua Belah Sisi Perletakan memikul Beban Terpusat.
P P
2 P
1
3 C
D E A B R
AV
R
BV
a c b d
L P . a . b/L
2 Bidang momen
- –
P . a
1 P . d
3
(P . a) . b/L + (P . b) . a/L
1
3 Bidang momen
superposisi
- –
- – P . a
1 P . d
3 Bidang gaya lintang
R
- AV
P
- 3
P
R P BV
- – 1
2
- – Penyelesaian : a. Reaksi Perletakan.
M B = 0, R AV . L – P 1 . (L + c) – P 2 . (b) + P 3 . (d) = 0
R AV = P1 . {(L + c)/L} + P2 . (b/L) – P 3 . (d/L) M = 0, A
- – R BV . L – P 1 . (c) + P
2 . (a) + P 3 . (d + L) = 0 R BV = – P 1 . (c/L) + P 2 . (a/L) + P 3 . {(d + L)/L} = 0 Kontrol : V = 0, R + R – P – P – P = 0
AV BV
1
2
3 b. Gaya lintang.
D C-A = – P 1 . D = D + R = – P + R .
A-E C-A AV
1 AV
D = D – P = – P + R – P
E-B A-E
2
1 AV
2 D B-D = D E-B + R BV = P
3 c. M o m e n .
M = – P . c A
1 M = R . a – P . (c + a) E AV
1 M B = + R AV . L – P 1 . (c + L) – P 2 . b = – P 3 . d 5. Balok Menganjur Pada Kedua Belah Sisi Perletakan Memikul Beban Terbagi Rata.
q t/m’ C
X D A B R
AV
R
BV x
a L b
2
1/8 q L Bidang momen
- –
2
1/2q.a
2
1/2q.b Mmaks
Bidang momen M=0 superposisi
M=0
- –
- – 2
1/2q.a
2
1/2q.b Bidang gaya lintang q . b
R
AV
- D=0 R
BV
- –
- – q . a
Penyelesaian : a. Reaksi Perletakan.
M B = 0, R AV . L – q . (L + a) . ½(L + a) + q . (b) . ½(b) = 0
2
2 R AV = ½ q . (L + a) /L + ½ q . (b) /L
M A = 0,
- – R . L + q . (L + b) . ½(L + b) – q . (a) . ½(a) = 0
AB
2
2 R AB = ½ q . (L + b) /L – ½ q . (a) /L
Kontrol : V = 0, R + R – q . L = 0
AV BV b. Gaya lintang.
D C-A = – q . a. D = D + R = – q . a + R .
A-B C-A AV AV
D = D – q . (L + a)
B-A A-B
D B-D = D B-A + R BV c. M o m e n .
2 M = – q . (a) . ½(a) = – ½ q . (a) . A
2 M = – q . (b) . ½(b) = – ½ q . (b) . B
Momen pada tampang X,
2 Mx = R AV . (x) – q . (a + x) . ½(a + x) = R AV . (x) – ½ q . (a + x) .
Gaya lintang pada tampang X, Dx = d(Mx)/dx = R AV – q . (a + x). Momen maksimum terdapat pada titik dimana gaya lintang sama dengan nol (D = 0), yaitu, Dx = R – q . (a + x) = 0,
AV x
= (R AV – q . a)/q Maka momen maksimum,
2 Mmaks = R . (x) – ½ q . (a + x) .
AV
2 = R . {(R – q . a)/q} – ½ q . [a + {(R – q . a)/q}]
AV AV AV
WORKSHOP/PELATIHAN
P P
2
1
q t/m’
X C E D A B q.a
R
AV
R
BV x
a = 0,6 L b c
L d
Diketahui : Struktur gelagar seperti tergambar, memikul muatan terpusat dan terbagi rata dengan ukuran-ukuran sebagai berikut, P = (1 + X/4) ton ; P = (2 + X/4) ton ; q = (2 + X/4) t/m’.
1
2 L = (5 + X/4) meter ; c = 1 meter ; d = 2 meter.
Diminta : Gambarkanlah bidang momen dan gaya lintang pada seluruh bentang. Penyelesaian : a). DATA-DATA.
Misal X = -1 (tanda minus jangan ditiru).
P = 1 + (-1)/4 = 1 – 0,25 = 0,75 ton.
1 P = 2 + (-1)/4 = 2 – 0,25 = 1,75 ton.
2 q = 2 + (-1)/4 = 2 – 0,25 = 1,75 t/m’.
L = 5 + (-1)/4 = 5 – 0,25 = 4,75 m. a = 0,6 L = 0,6 . (4,75 m) = 2,85 m. b = L – a = 4,75 – 2,85 = 1,90 m. c = 1 m ; d = 2 m.
b). ANALISA STRUKTUR.
b1). Reaksi perletakan.
= 0, M B R . L – P . (c + L) – q . a . (1/2a + b) + P . d = 0
AV
1
2 R = P . (c + L)/L + q . a (1/2a + b)/L – P . (d)/L AV
1
2 = (0,75 t) . (1 + 4,75)/(4,75) + (1,75 t/m’) . (2,85) . (1/2 . 2,85 + 1,90)/(4,75) – (1,75 t) . (2/4,75) = 0,908 t + 3,491 – 0,737 R = + 3,662 t (positip ke atas).
AV = 0, M
A
- – R . L – P . (c) – q . (a) . (1/2a) + P . (d + L) = 0
BV
1
2
2 R = – P . (c)/L + 1/2 q . a /L + P . (d + L)/L BV
1
2
2 = – (0,75 t) . (1/4,75) + 0,5 . (1,75 t/m’) . (2,85 )/(4,75) +
(1,75 t) . (2 + 4,75)/(4,75)
- – 0,158 t + 1,496 t + 2,488 t
= R = + 3,825 t (positip ke atas).
BV Kontrol, V = 0, R + R = P + P + q . a
AV BV
1
2 3,662 t + 3,825 t = 0,75 t + 1,75 t + (1,75 t/m’) . (2,85 m) ` 7,488 ton = 7,488 ton (memenuhi). b2). Gaya Lintang.
D = – P = – 0,75 t.
C-A
1 D = D + R = – 0,75 t + 3,662 t = + 2,912 t AE C-A AV D = D – q . a = 2,912 – (1,75 t/m’) . (2,85 m) = – 2,075 t.
E-B AE D = D + R = – 2,075 t + 3,825 t = + 1,75 t = P (memenuhi).
B-D E-B BV
2 b3). M o m e n.
M = – P . c = – (0,75 t) . (1 m) = – 0,750 t.m’.
A
1 M = R . a – P . (c + a) – q . a . 1/2a E AV
1
2 = (3,662 t) . (2,85 m) – (0,75 t) .(1 m + 2,85 m) – (1,75 t/m’) . ½ . (2,85) = + 0,443 t.m’.
M = + R . L – P . (c + L) – q . a . 1/2a = – P . d = – (1,75 t) . (2 m) B AV
1
2 = – 3,50 t.m’.
Momen maksimum terdapat pada titik dimana gaya lintang sama dengan nol (D = 0), momen pada tampang X,
2 Mx = – P . (c + x) + R . x – ½ q x
1 AV Gaya lintang pada tampang X, Dx = d(Mx)/dx = – P + R – q x
1 AV
Dx = 0,
- – P + R – q x = 0
1 AV x = (– P + R )/q = (– 0,75 t + 3,662 t)/(1,75 t/m’) = 1,664 m (dari titik A).
1 AV Maka momen maksimum,
2 Mmaks = – (0,75 t).(1 m + 1,664 m) + (3,662 t).(1,664 m) – ½ . (1,75 t/m’).(2,85 t) Mmaks = + 1,673 t.m’.
Titik dimana momen Mx = 0, dicari sebagai berikut,
2 Mx = – P . (c + x) + R . x – ½ q x = 0
1 AV
2 ½ q x + P . (c + x) – R . x = 0
1 AV
2 x
- (P – R )/(1/2 q) . x + (P . c)/(1/2 q) = 0
1 AV
1 dimana, (P – R )/(1/2 q) = (0,75t – 3,662 t)/(1/2 . 1,75 t/m’) = – 3,328 m’.
1 AV 2 (P . c)/(1/2 q) = (0,75 t . 1 m’)/(1/2 . 1,75 t/m’) = 0,857 m .
1 Maka,
2 x
- – 3,328.x + 0,857 = 0
2 3 , 328 ( 3 , 328 ) 4 . ( , 857 ) x
1 ,
2
2 x
= 0,281 m dari A
1 x
= 3,047 m dari A
2
P
c). GAMBAR BIDANG MOMEN DAN GAYA LINTANG
2
1 P
A B C
R
BV
D c L d
E q t/m’ a = 0,6 L
AV
R
q.a b
x
X
1,673 t.m
- –
- 0,75 t.m
- – Bidang momen Bidang gaya lintang
- 3,5 t.m
- 3,826 t
- D = 0 Mx = 0 Mx = 0
- – –
- P
1,75 t 3,662 t
0,75 t 2,075 t
- q R
- R
AV
BV
Kunci jawaban
NO. L a b c d P
2
q R
AV
R
BV
P
1
2
1 P
- 1
2.40
8
9
1.00 2.00 3.000 4.000 4.000 14.046 9.754 23.800 23.800
2.80
4.20
7.00
2.70
1.00 2.00 2.750 3.750 3.750 12.678 9.010 21.688 21.688
4.35
4.05
6.75
7
1.00 2.00 2.500 3.500 3.500 11.363 8.287 19.650 19.650
2.60
7.25
2.90
6.50
M
3
B x 1 x 2 STB. ton ton ton ton t.m' t.m' m t.m' t.m' m m
Mmaks M
E x
M
A
B-D
1.00 2.00 3.250 4.250 4.250 15.467 10.520 25.988 25.988 NO. D
D
E-B
D
AE
D
C-A
3.90
6
STB. m m m m m ton ton t/m ton ton ton ton
5.50
4.75
2.85
1.90
1.00 2.00 0.750 1.750 1.750 3.662 3.825 7.488 7.488
5.00
3.00
2.00
1.00 2.00 1.000 2.000 2.000 4.600 4.400 9.000 9.000
1
5.25
3.15
2.10
1.00 2.00 1.250 2.250 2.250 5.592 4.995 10.588 10.588
2
3.30
1.00 2.00 2.250 3.250 3.250 10.101 7.586 17.688 17.688
6.00
2.50
3.75
6.25
5
1.00 2.00 2.000 3.000 3.000 8.893 6.907 15.800 15.800
3.60
4
2.20
1.00 2.00 1.750 2.750 2.750 7.739 6.248 13.988 13.988
2.30
3.45
5.75
3
1.00 2.00 1.500 2.500 2.500 6.639 5.611 12.250 12.250
- 1 -0.750 2.912 -2.075 1.750 -0.750 0.443 1.664 1.673 -3.500 0.281 3.047
- 1.000 3.600 -2.400 2.000 -1.000 0.800 1.800 2.240 -4.000 0.303 3.297 1 -1.250 4.342 -2.745 2.250 -1.250 1.265 1.930 2.940 -4.500 0.313 3.546 2 -1.500 5.139 -3.111 2.500 -1.500 1.845 2.055 3.781 -5.000 0.316 3.795
- 1.750 5.989 -3.498 2.750 -1.750 2.546 2.178 4.772 -5.500 0.315 4.041 4 -2.000 6.893 -3.907 3.000 -2.000 3.376 2.298 5.920 -6.000 0.311 4.284 5 -2.250 7.851 -4.336 3.250 -2.250 4.341 2.416 7.233 -6.500 0.306 4.526 6 -2.500 8.863 -4.787 3.500 -2.500 5.447 2.532 8.721 -7.000 0.300 4.765 7 -2.750 9.928 -5.260 3.750 -2.750 6.702 2.647 10.391 -7.500 0.293 5.001 8 -3.000 11.046 -5.754 4.000 -3.000 8.112 2.761 12.251 -8.000 0.286 5.236 9 -3.250 12.217 -6.270 4.250 -3.250 9.684 2.875 14.310 -8.500 0.280 5.470