ANALISIS DAN KONTROL OPTIMAL PADA MODEL PENYEBARAN VIRUS HIV DALAM TUBUH MANUSIA SKRIPSI

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

ANALISIS DAN KONTROL OPTIMAL
PADA MODEL PENYEBARAN VIRUS HIV DALAM TUBUH MANUSIA

SKRIPSI

WHENI SUKOKARLINDA

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS AIRLANGGA
2012

Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

ANALISIS DAN KONTROL OPTIMAL
PADA MODEL PENYEBARAN VIRUS HIV DALAM TUBUH MANUSIA

SKRIPSI

WHENI SUKOKARLINDA

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS AIRLANGGA
2012

Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI
Judul

: Analisis dan Kontrol Optimal pada Model Penyebaran
Virus HIV dalam Tubuh Manusia
Penyusun
: Wheni Sukokarlinda
NIM
: 080810556
Pembimbing I
: Dr. Fatmawati, M.Si
Pembimbing II
: Yayuk Wahyuni, Dra., M.Si
Tanggal Seminar : 13 Agustus 2012
Disetujui Oleh :

Pembimbing I

Pembimbing II

Dr. Fatmawati, M.Si
NIP. 19730704 199802 2 001

Yayuk Wahyuni, Dra., M.Si
NIP. 19641224 199102 2 001

Mengetahui :
Ketua Program Studi S-1 Matematika,
Fakultas Sains dan Teknologi,
Universitas Airlangga

Dr. Miswanto, M.Si
NIP. 19680204 199303 1 002

iii
Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI
Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam
lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi
kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penyusun dan harus menyebutkan
sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik
Universitas Airlangga.

iv
Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirobbil’alamiin, segala puji bagi Allah Subhanahu wa
Ta’ala. Berkat rahmat, taufiq dan hidayah-Nya, penulis dapat menyelesaikan
skripsi dengan judul ”Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model Penyebaran
Virus HIV Dalam Tubuh Manusia”.
Dalam menyusun skripsi ini, penulis mengucapkan terima kasih yang
sebesar-besarnya kepada:
1. Dr. Fatmawati, M.Si selaku dosen pembimbing I yang dengan sabar telah
memberikan banyak pengarahan, masukan, perhatian, pengetahuan.
2. Yayuk Wahyuni, Dra, M.Si selaku dosen pembimbing II yang telah
memberikan banyak arahan, masukan, waktu, tenaga dan pikiran.
3. Auly Damayanti S.Si., M.Si selaku dosen wali selama menjadi mahasiswa
matematika di Universitas Airlangga yang telah banyak memberikan
pengarahan demi kesuksesan menjadi mahasiswa matematika.

4. Dr. Miswanto, M.Si selaku ketua departemen matematika yang telah
membantu melancarkan proses belajar mengajar selama di perkuliahan.
5. Kedua orang tua, Bapak Sukotjo dan Ibu Susilowati yang telah memberikan
do’a, semangat, kasih sayang, materi yang begitu besar serta pengorbanan
yang tak ternilai harganya.

v
Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

6. Kakak dan adik, Wempy Gatot Sukowaloyo dan Whendy Suko Trirega yang
telah memberikan masukan, semangat, do’a, dan juga sebagai sumber inspirasi
karena prestasi-prestasi yang telah diraihnya selama menempuh pendidikan.
7. Marisa, Ekaswari Pusparini dan Okta Permatasari sabagai teman terbaik

selama menjadi mahasiswa yang telah memberikan arahan, masukan,
motivasi, serta tempat keluh kesah panulis.
8. Yanuar Dwi Sasongko sebagai teman spesial yang telah memberikan
masukan,

arahan,

semangat,

materi,

serta

pengorbanannya

selama

penyelesaian skripsi.
9. Muhammad Jainal Abidin sabagai teman berharga yang telah memberikan
segala kebaikannya demi mensukseskan penulis.

10. Miming, Adise, Rizki Eka, Desty dan I Putu,

serta seluruh teman

seperjuangan matematika angkatan 2008 atas kekeluargaan, dan dukungannya.
Serta pihak-pihak lain yang tidak dapat disebutkan satu persatu, terima kasih atas
segala bantuan dalam penyelesaian skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih ada kekurangan-kekurangan.
Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun terus penulis harapkan agar
skripsi ini dapat lebih baik lagi. Selain itu, semoga skripsi ini dapat bermanfaat
dan menambah pengetahuan pembaca dan menjadi salah satu hal yang bisa
mendongkrak IPTEK di Indonesia.
Surabaya, Agustus 2012
Penulis
Wheni Sukokarlinda

vi
Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model

Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

Wheni Sukokarlinda, 2012, Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia. Skripsi ini di bawah bimbingan
Dr. Fatmawati, M.Si dan Yayuk Wahyuni, Dra., M.Si, Departemen Matematika,
Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya.
ABSTRAK
Virus HIV merupakan salah satu virus yang dapat menyebabkan penyakit
Acquired Immune Deficiency Syndrome (AIDS) dengan cara menyerang sistem
kekebalan tubuh. Orang yang terkena virus ini akan menjadi rentan terhadap infeksi
oportunistik. Penyakit akibat HIV sangat berbahaya dan harus dicegah
penyebarannya. Dari permasalahan tersebut, pada skripsi ini akan dibentuk model
Penyebaran virus HIV dalam tubuh manusia serta menganalisis kestabilan model dan
menentukan bentuk kontrol optimal. Dalam menentukan kestabilan sistem digunakan
kriteria kestabilan Routh-Hurwitz sedangkan untuk menentukan bentuk kontrol
optimal digunakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Berdasarkan hasil analisis model

tanpa kontrol diperoleh dua titik setimbang yaitu titik setimbang bebas penyakit =
dan titik setimbang endemik
=(
) Titik setimbang
(
akan stabil asimtotis jika nilai ambang batas
>

asimtotis jika

sedangkan

<

dan

akan stabil

bentuk kontrol optimalnya adalah

(

(
(
) )
Hasil
simulasi
menunjukkan
keefektifan
pengendalian dengan pengontrol (obat ARV) yang dapat mengurangi populasi sel
CD4 yang terinfeksi virus HIV sehingga penyebaran virus HIV dapat ditekan dan
dapat memaksimumkan sel CD4 yang sehat dengan biaya pemberian obat ARV yang
minimum.
Kata Kunci: HIV, Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz, Kontrol Optimal, Nilai
Ambang Batas, Prinsip Maksimum Pontryagin.

vii
Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

Wheni Sukokarlinda, 2012, Analysis and Optimal Control of Model Spread of
HIV Virus in Human Body. This final project is under advised by Dr. Fatmawati,
M.Si and Yayuk Wahyuni, Dra., M.Si, Matematics Departement, Science and
Technology Faculty, Airlangga University, Surabaya.

ABSTRACT
HIV is one of the viruses which can cause a disease called Acquired Immune
Deficiency Syndrome (AIDS) by attacking the immune system. People who are
exposed to this virus will become susceptible to opportunistic infections. Diseases
caused by HIV is very dangerous and should be prevented from spreading. Of These
problems, in this thesis will be established models HV virus spread in the human
body and also analyze the stability of the model and determine the optimal control
shape.In determining the stability of the system we used Routh-Hurwitz stability
criteria, and to determine the optimal control form we used Pontryagin Maximum
Principle. Based on the analytical model without control, the results obtained two
and the
equilibrium points, they are the disease-free equilibrium point = (
endemic equilibrium point

=(

) The equilibrium point

be asymptotically stable if the threshold value
asymptotically stable if

>

<

and

will

will be

, while the optimal control form is

(

(
(
) ) The simulation result showed the effectiveness of
control by a controller (ARV drugs) which can reduce the population of CD4 cells
infected by HIV virus so that the spreading of HIV virus can be suppressed and be
able to maximize the healthy CD4 cells with the minimum cost of ARV drugs.

Keywords: HIV, Routh-Hurwitz Stability Criterion, Optimal Control, Threshold
Value, Potryagin Maximum Principle.

viii
Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

DAFTAR ISI

Halaman
HALAMAN JUDUL ..................................................................................

i

LEMBAR PERNYATAAN .......................................................................

ii

LEMBAR PENGESAHAN .......................................................................

iii

LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ..................................

iv

KATA PENGANTAR ...............................................................................

v

ABSTRAK .................................................................................................

vii

ABSTRACT ...............................................................................................

viii

DAFTAR ISI ..............................................................................................

ix

DAFTAR TABEL ......................................................................................

xi

DAFTAR GAMBAR ..................................................................................

xii

DAFTAR LAMPIRAN ..............................................................................

xiii

BAB I

BAB II

PENDAHULUAN
1.1

Latar Belakang .................................................................

1

1.2

Rumusan Masalah ............................................................

3

1.3

Tujuan ..............................................................................

3

1.4

Manfaat ............................................................................

3

1.5

Batasan Masalah ...............................................................

4

TINJAUAN PUSTAKA
2.1

Sel CD4 .............................................................................

5

2.2

HIV ...................................................................................

6

2.3

Matriks ..............................................................................

9

ix
Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

2.4

Sistem Persamaan Diferensial ..........................................

11

2.5

Kestabilan dari Sistem Linier ...........................................

14

2.6

Masalah Kontrol Optimal .................................................

17

2.7

Prinsip Maksimum Pontryagin .........................................

18

BAB III METODE PENELITIAN ..........................................................

20

BAB IV PEMBAHASAN
4.1 Model HIV ...........................................................................

22

4.2 Titik Setimbang Model ........................................................

27

4.3 Analisis Kestabilan Lokal ....................................................

30

4.3.1 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Bebas Penyakit ...

30

4.3.2 Kestabilan Lokal di Titik Setimbang Endemi ...........

34

4.4 Penyelesaian Kontrol Optimal .............................................

37

4.5 Simulasi ...............................................................................

40

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan ..........................................................................

52

5.2 Saran ....................................................................................

53

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................

54

LAMPIRAN

x
Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

DAFTAR TABEL

No

Judul

Halaman

4.1

Interaksi Model HIV

24

4.2

Parameter model HIV dan Nilainya

42

4.3

Parameter Komputasi

43

xi
Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

DAFTAR GAMBAR

No

Judul

Halaman

2.1

HIV mengikat pada reseptor sel CD4

5

2.2

Struktur virus HIV

7

4.1

Diagram blok model HIV sebelum diberi pengontrol

25

4.2

Populasi sel CD4 yang sehat sebelum diberi pengntrol

45

(obat ARV)
4.3

Populasi sel CD4 yang sehat setelah diberi pengontrol

45

(obat ARV)
4.4

Populasi sel CD4 yang terinfeksi virus HIV sebelum

46

diberi pengontrol (obat ARV)
4.5

Populasi sel CD4 yang terinfeksi virus HIV setelah

47

diberi pengontrol (obat ARV)
4.6

Populasi virus HIV sebelum diberi pengontrol (obat

48

ARV)
4.7

Populasi virus HIV setelah dieri pengontrol (obat

49

ARV)
4.8

Kondisi pengontrol (obat ARV)

50

xii
Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

DAFTAR LAMPIRAN

No.
1.

Judul Lampiran
Skrip M-File pada MATLAB untuk Model Penyebaran Virus HIV Tanpa
Pengontrol.

2.

Skrip M-File pada MATLAB untuk Model Penyebaran Virus HIV degan
Pengontrol.

3.

Output pada Command Window MATLAB untuk Model Penyebaran
Virus HIV Tanpa Pengontrol.

4.

Output pada Command Window MATLAB untuk Model Penyebaran
Virus HIV dengan Pengontrol.

xiii
Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

BAB I
PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang
Acquired Immune Deficiency Syndrome (AIDS) adalah sekumpulan gejala

dan infeksi yang timbul karena rusaknya sistem kekabalan tubuh manusia akibat
infeksi virus Human Immunodeficiency Virus (HIV). Virus HIV sendiri
merupakan virus yang memperlemah kekebalan tubuh manusia dengan cara
menyerang sel CD4. Sel CD4 adalah salah satu jenis dari sel darah putih (limfosit)
yang merupakan bagian penting dari sistem kekebalan tubuh. Orang yang terkena
virus ini akan menjadi rentan terhadap infeksi oportunistik (penyakit yang muncul
karena sistem kekebalan tubuh sudah rusak atau melemah).
Pada Januari 2006, Joint United Nations Programme on HIV and AIDS
(UNAIDS) dan World Health Organization (WHO) memperkirakan bahwa AIDS
telah menyebabkan kematian lebih dari 25 juta orang sejak pertama kali
ditemukan pada tahun 1981. Di Jakarta hingga Juni tahun 2011 penderita HIV
mencapai 1.184 orang (Wardah, 2012). Data tersebut diperoleh dari Sistem
Informasi AIDS Jakarta. Nominal tersebut diperoleh hanya dalam satu daerah,
belum di daerah-daerah lain di Indonesia. Besarnya jumlah kematian disebabkan
karena virus HIV menunjukkan bahwa penyakit tersebut sangat berbahaya dan
harus dicegah penyebarannya.
Dalam perkembangan ilmu pengetahuan bidang matematika, ilmuwan
matematika turut memberikan kontribusi dalam pencegahan penyebaran penyakit

1
Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

2

HIV, salah satunya dengan mengkonstruksikan dinamika penyebaran virus HIV
dalam bentuk model matematika. Model penyebaran virus HIV tersebut dapat
ditinjau dari sisi internal (di dalam tubuh manusia) dan eksternal (di luar tubuh
manusia atau lingkungan sekitar). Pada penelitian ini akan dibahas mengenai
model penyebaran virus HIV dalam tubuh manusia [14], karena penyebaran virus
HIV dari dalam tubuh masih sulit untuk ditangani, karena obat untuk
menyembuhkan penyakit HIV masih belum ditemukan. Di dalam model
penyebaran virus HIV dalam tubuh manusia dibagi menjadi tiga kelompok yaitu
populasi/jumlah sel CD4 yang belum terkena virus HIV, populasi Sel CD4 yang
telah terinfeksi virus HIV, dan populasi virus HIV. Secara garis besar, model
penyebaran virus HIV dalam tubuh menggambarkan alur penyebaran dari sel CD4
yang sehat menjadi terinfeksi dengan faktor–faktor penting yang mempengaruhi.
Untuk menekan penyebaran virus HIV dalam tubuh dapat digunakan suatu
pengontrol berupa obat.
Berdasarkan World Health Organization (WHO), penyebaran virus HIV
dapat ditekan dengan pemberian obat Antiretroviral (ARV). Pemberian obat ARV
masih dipercaya sebagai cara yang efektif dalam menekan penyebaran virus HIV
dalam tubuh, karena obat tersebut dapat menghambat replikasi virus HIV dalam
tubuh manusia. Meskipun penanganan yang telah ada dapat memperlambat laju
perkembangan virus HIV, namun penyakit ini belum benar – benar dapat
disembuhkan.
Berdasarkan permasalahan tersebut, dalam penelitian ini penulis akan
menganalisis model penyebaran virus HIV dalam tubuh dan mengontrol populasi

Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

3

sel CD4 serta virus HIV dengan pemberian obat ARV. Untuk mengoptimalkan
pemberian obat ARV digunakan prinsip Maksimum Pontryagin, sehingga
diharapkan perkembangan virus HIV dapat ditekan dan jumlah sel CD4 yang
sehat dapat meningkat.

1.2

Rumusan Masalah
Rumusan masalah yang akan diteliti dalam skripsi ini adalah:

1.

Bagaimana kestabilan dari titik setimbang pada model penyebaran virus HIV
dalam tubuh?

2.

Bagaimana bentuk kontrol yang optimal dari model penyebaran virus HIV
dalam tubuh dengan pemberian obat ARV?

1.3

Tujuan
Dalam penulisan skripsi ini, penulis mempunyai tujuan sebagai berikut :

1.

Mendapatkan kestabilan dari titik setimbang pada model penyebaran virus
HIV dalam tubuh.

2.

Mendapatkan bentuk kontrol yang optimal dari model penyebaran virus HIV
dalam tubuh dengan pemberian obat ARV.

1.4

Manfaat
Manfaat yang akan dicapai dari skripsi ini adalah memberikan pengetahuan

tentang perilaku kestabilan pada model penyebaran virus HIV dalam tubuh serta

Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

4

pengendalian optimalnya dengan menggunakan obat, sehingga hasil dari skripsi
ini dapat berguna untuk mengontrol penyebaran virus HIV dalam tubuh.

1.5

Batasan Masalah
Mengacu pada rumusan masalah di atas, maka ruang lingkup penyelesaian

penulisan skripsi ini dibatasi dengan:
1. Model HIV diamati dalam 1 ml darah yang jumlah sel CD4 antara 800-1200
sel.
2. Model HIV dan parameter yang digunakan dalam penelitian ini diambil dari
Shirazian dan Farahi (2010).
3. Input atau pengontrol dalam sel CD4 yaitu berupa obat antiretroviral (ARV).

Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

BAB II
TINJAUAN PUSTAKA

Dalam skripsi ini, tinjauan pustaka

yang digunakan adalah sebagai

berikut:
2.1

Sel CD4
Menurut Upaya Kesehatan dan Lintas Wilayah (UKLW) Balikpapan [5], sel

T dibagi menjadi dua jenis yaitu Sel T-4 (CD4 atau CD4+) dan sel T-8 (CD8). Sel
CD4 adalah salah satu jenis dari sel darah putih (limfosit) yang merupakan bagian
penting dari sistem kekebalan tubuh, sedangkan sel CD8 adalah sel penekan yang
mengakhiri tanggapan kekebalan. Sel CD8 juga disebut sebagai sel pembunuh,
karena sel tersebut membunuh sel kanker atau sel yang terinfeksi virus. Sel CD4
memiliki protein pada permukaannya, protein tersebut bekerja sebagai reseptor
untuk HIV. Virus HIV menempel pada reseptor CD4 itu seperti kunci dan
gembok.

Sumber : http://www.thebody.com
Gambar 2.1 HIV mengikat pada reseptor sel CD4

5
Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

6

Sel CD4 merupakan sel penting sehubungan dengan Human Immunodeficiency
Virus (HIV), karena saat HIV menulari manusia, sel yang terinfeksi adalah sel
CD4. Kode genetik HIV menjadi bagian dari sel CD4. Setelah lama orang
terinfeksi HIV, jumlah sel CD4 orang tersebut semakin menurun. Ini tanda bahwa
sistem kekebalan tubuh semakin rusak. Semakin rendah jumlah CD4, semakin
mudah untuk sakit. Ada jutaan kelompok sel CD4 dalam tubuh manusia. Setiap
kelompok sel CD4 dirancang khusus untuk melawan kuman tertentu. Saat HIV
mengurangi jumlah sel CD4, beberapa kelompok sel CD4 dapat diberantas total.
Jika hal itu terjadi, maka orang tersebut akan kehilangan kemampuan untuk
melawan kuman yang seharusnya dihadapi oleh kelompok sel CD4.

2.2

HIV
Menurut Jenny (2006), Human Immunodeficiency Virus (HIV) adalah suatu

virus yang dapat menyebabkan penyakit Acquired Immune Deficiency Syndrome
(AIDS). Virus ini menyerang manusia lebih khususnya

menyerang sistem

kekebalan (imunitas) tubuh, sehingga tubuh menjadi lemah dalam melawan
infeksi. Dengan kata lain, kehadiran virus HIV dalam tubuh akan menyebabkan
defisiensi (kekurangan) sistem imun.
Menurut Schoub (1999), berdasarkan strukturnya HIV memiliki diameter
100-150 nm dan berbentuk sferis (spherical) hingga oval. Selubung virus HIV
berasal dari membran sel inang yang sebagian besar tersusun dari lipida. Di dalam
selubung tersebut terdapat bagian yang disebut sebagai protein matriks. Selain itu
menurut Felissa (2009), bagian internal HIV terdiri dari dua komponen utama,

Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

7

yaitu genom dan kapsid. Genom adalah materi genetik pada bagian inti virus yang
berupa dua kopi utas tunggal RNA. Sedangkan, kapsid adalah protein yang
membungkus dan melindungi genom.

`
Sumber : http://id.wikipedia.org/wiki/HIV
Gambar 2.2 Struktur virus HIV
Seperti virus pada umumnya, HIV hanya dapat bereplikasi dengan
memanfaatkan sel inang. Siklus hidup HIV diawali dengan penempelan partikel
virus dengan reseptor pada permukaan sel inang, di antaranya adalah CD4 dan
CXCR5 yang ada pada sel darah putih. Sel-sel yang menjadi target HIV adalah sel
dendrit, sel CD4, dan makrofaga.

Sel-sel tersebut terdapat pada permukaan

lapisan kulit dalam (mukosa) penis, vagina dan oral yang biasa menjadi tempat
awal infeksi HIV. Selain itu, HIV juga dapat langsung masuk ke aliran darah serta
bereplikasi di noda limpa. Setelah menempel, selubung virus akan melebur (fusi)
dengan membran sel sehingga isi partikel virus akan terlepas di dalam sel.
Selanjutnya, enzim transkriptase yang dimiliki HIV akan mengubah genom virus
yang berupa RNA menjadi DNA. Kemudian, DNA virus akan dibawa ke inti sel

Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

8

manusia sehingga dapat menyisip atau terintegrasi dengan DNA manusia. DNA
virus yang menyisip di DNA manusia disebut sebagai provirus dan dapat bertahan
cukup lama di dalam sel. Saat sel teraktivasi, enzim-enzim tertentu yang memiliki
sel inang akan memproses provirus sama dengan DNA manusia, yaitu diubah
menjadi mRNA. Kemudian, mRNA akan dibawa keluar dari inti sel dan menjadi
cetakan untuk membuat protein dan enzim HIV. Sebagian RNA dari provirus
merupakan genom RNA virus. Bagian genom RNA tersebut akan dirakit dengan
protein dan enzim hingga menjadi virus utuh. Pada tahap perakitan inti virus,
enzim protease virus berperan penting untuk memotong protein panjang menjadi
bagian pendek yang menyusun inti virus. Apabila HIV utuh telah matang, maka
virus tersebut dapat keluar dari sel inang dan mendapatkan selubung dari
membran permukaan sel inang, sehingga menjadi virus baru hasil replikasi
terhadap sel inang (sel CD4). Virus yang baru tersebut akan terus bereplikasi
dengan sel CD4 lain yang ada pada tubuh manusia. Karena sel CD4 berada pada
sel darah putih yang mengalir keseluruh tubuh manusia, maka sel CD4 yang
terinfeksi HIV juga akan menyebar keseluruh tubuh manusia sehingga
menimbulkan penyakit salah satunya yaitu AIDS.
HIV dapat ditularkan melalui injeksi langsung ke aliran darah, serta kontak
membran mukosa atau jaringan yang terluka dengan cairan tubuh tertentu yang
berasal dari penderita HIV. Cairan tertentu itu meliputi darah, semen, sekresi,
cairan vagina, dan ASI. Beberapa jalur penularan HIV yang telah diketahui adalah
melalui hubungan seksual, pemberian ASI dari ibu ke anak, penggunaan obatobatan intravena, tranfusi dan transplantasi (http://www.cdc.gov).

Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

9

Sampai saat ini tidak ada vaksin atau obat yang benar-benar dapat
menyembuhkan penyakit HIV atau AIDS. Satu-satunya cara yang diketahui untuk
penekanan virus HIV adalah pemberian obat antiretroviral (ARV) yang pada
dasarnya hanya untuk menghambat replikasi virus HIV dalam tubuh.

2.3

Matriks
Jika

Definisi 2.1
di dalam

merupakan matriks berukuran
dinamakan vektor eigen dari

, maka vektor tak nol

jika

adalah kelipatan skalar

dari , yakni:

Skalar

dinamakan nilai eigen dari

dan

dikatakan vektor eigen yang

bersesuaian dengan .
Teorema 2.2 Jika

merupakan matriks berukuran

maka pernyataan-

pernyataan berikut ekuivalen satu sama lain:
(a)

adalah nilai eigen dari .

(b) Sistem persamaan (

(c) Ada vektor tak nol
(d)

Definisi 2.3

mempunyai solusi tak trivial.

didalam

sehingga

.

adalah solusi dari persamaan karakteristik det(

Jika

merupakan matriks berukuran

maka eksponensial matriks

Skripsi

)

)

, dan

(Anton, 1987)

adalah skalar

didefinisikan sebagai:

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

Jika

Lemma 2.4

adalah matriks yang mempunyai invers maka
(

Matriks

Definisi 2.5

10

)

yang berukuran

dapat didiagonalkan, jika terdapat

sebuah matriks invertible , sehingga berlaku:

dengan

]

[
adalah nilai eigen dari matriks , dengan

.
(Weisstein, 1999)

Berdasarkan Lemma 2.4 dan Definisi 2.5 diperoleh:
(

Dari persamaan di atas,

Contoh: Misalkan matriks
dan

Skripsi

dapat digunakan untuk mencari nilai dari

*

+. Nilai eigen dari

.

adalah

. Berdasarkan nilai eigen tersebut diperoleh vektor eigen yang

bersesuaian dengan
(

)

dan

), oleh karena itu
(

),

(

berturut-turut adalah (

) dan

(

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

) dan

).

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

11

Dari hasil tersebut didapatkan

sehingga

(

),

(

)(

(
Definisi 2.6

)(

)

)

Matriks Jacobian dari sistem persamaan
(

),

(

),

(

adalah

(

),

)

(Vandermeer, 1981)

2.4 Sistem Persamaan Diferensial
Definisi 2.7 Misalkan
vektor,

Skripsi

dengan

adalah sebuah skalar, maka diferensial

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

adalah sebuah
adalah

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

[
dan turunan

],

terhadap (dapat berupa waktu) adalah

[
Jika

12

].

adalah fungsi dari , maka turunan dari

[

terhadap

adalah

]
(Lewis, 1995)

Definisi 2.8 Misalkan ( )
matriks ( ) adalah

( )

∫ ( )

( ) , maka turunan dan integral dari
̇( )

∫

* (

( )

)+, dan

dengan setiap elemen dari matriks diturunkan atau diintegralkan terhadap .
(Graham, 1980)

Definisi 2.9

Sistem persamaan diferensial orde satu dalam tiga persamaan

disebut sebagai sistem autonomous jika dapat ditulis ke dalam bentuk :
(

Skripsi

)

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

dengan fungsi

dan

(

)

(

)

13

tidak tergantung pada waktu atau dengan kata

lain variabel tidak muncul secara eksplisit.
(Jones, 2003)

Contoh: Sistem

( )

( )

( )

( ) ( )

merupakan sistem autonomous, sedangkan sistem
( )

( )

( )

( )

bukan merupakan sistem autonomouus.

Definisi 2.10 Diberikan persamaan diferensial automous
dikatakan titik setimbang jika memenuhi ( ̅ )

Definisi 2.11 Sebuah
( )

Skripsi

( )

( )

persamaan

diferensial

.

( )

̅

(Olsder, 1992 )

linear

( ) dapat dinyatakan sebagai:
̇( )

( ). Titik

( )

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

dalam

variabel

( )

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

dengan

14

adalah konstanta.

Sedangkan sistem persamaan diferensial linear dengan

persamaan dan

variabel, dinyatakan sebagai:
̇ ( )

( )

( )

( )

̇ ( )

( )

( )

( )

̇ ( )

dengan

( )

( )

adalah skalar dengan

( )

sehingga dapat dinyatakan

dalam bentuk:

Dengan
sistem (2.1) adalah

dimana ( )

dan ( )

̇( )

( )

(

)

dinamakan vektor keadaan (state). Solusi dari

( )

dinamakan nilai awal dari system
(Bronson, 2007)

2.5 Kestabilan dari Sistem Linier
Definisi 2.12 Sistem linier ̇ ( )

( ) dikatakan stabil asimtotis jika
( )

dengan ( ) adalah solusi dari sistem tersebut.

Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

(Sontag, 2001)

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

Teorema 2.13 Sistem ̇ ( )

( ) adalah stabil asimtotis jika dan hanya jika

semua nilai eigen dari , yakni

dinotasikan sebagai

15

( ) mempunyai bagian real negatif dan
.

( ( ))

(Zhou, 1996)

Pada permasalahan tertentu kestabilan dari titik setimbang tidak dapat
diamati karena tanda bagian real dari nilai eigen tidak mudah ditentukan, oleh
karena itu perlu digunakan metode lain untuk menentukan tanda bagian real dari
nilai eigen . Kriteria Routh-Hurwitz adalah suatu metode untuk menunjukkan
kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik
tanpa menghitung akar-akar karakteristik secara langsung.

Teorema 2.14 (Kriteria Routh-Hurwitz) Diberikan persamaan karakteristik:
(2.2)
dengan

,

dinotasikan

, adalah bilangan real. Diberikan
, yang berisi koefisien

matriks Hurwitz

dari persamaan karakteristik (2.2)

sebagai berikut :

( ),
(

Skripsi

(
,,

*,

+,

(
, ,

(

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

)

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

dengan

(

saat

16

)

.

Akar-akar persamaan karakteristik (2.2) akan negatif atau mempunyai
bagian real negatif jika dan hanya jika

Untuk

(

)

.
(Merkin, 1997)

, bentuk persamaan karakteristik dari (2.2) adalah
(2.3)

dan matriks Hurwitznya adalah
( )

* dan

(

(

+.

Menurut Kriteria Routh-Hurwitz, akar-akar persamaan karakteristik (2.3) bernilai
negatif atau mempunyai bagian real negatif jika dan hanya jika det (

det (

, dan det (

)

dan



det



det

sebagai berikut:
| |
,

Skripsi

|

)

. Tiga syarat ini dapat dinyatakan dengan

didapatkan
|

)

sehingga

,
Karena

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

maka didapatkan

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga



det

sehingga

|

|

(

i.

dan

ii.

dan

17

akibatnya

maka didapatkan dua kondisi, yaitu

)

Untuk kondisi (ii) tidak mungkin terjadi, karena jika
terpenuhi

maka tidak akan

. Sehingga dapat disimpulkan bahwa akar-akar

persamaan karakteristik (2.3) bernilai negatif atau mempunyai bagian real negatif
jika dan hanya jika
dan

2.6

Masalah Kontrol Optimal
Pada umumnya masalah kontrol optimal adalah suatu masalah dengan

tujuan mencari kontrol

( ) yang dapat mengoptimalkan (memaksimumkan atau

meminimumkan) indeks performansi. Indeks performansi diformulasikan sebagai
berikut:

dengan kendala

dengan

dan

( ( )
̇

)

∫

(2.4)

( ( ) ( ) )

( ( ) ( ) )

( )

masing-masing adalah waktu awal dan akhir,

(2.5)
dan

adalah

fungsi skalar.

Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

Kontrol

18

( ) merupakan kontrol optimal, jika disubstitusikan ke dalam

sistem (2.5) akan memperoleh keadaan yang optimal

( ) dan pada saat yang

sama juga dapat mengoptimalkan indeks performansi (2.4).

(Lewis, 1995)

2.7

Prinsip Maksimum Pontryagin
Dalam menyelesaikan permasalahan kontrol optimal, salah satu metode

yang dapat digunakan adalah prinsip maksimum Pontryagin. Prinsip maksimum
pontryagin merupakan suatu kondisi sehingga dapat diperoleh penyelesaian
kontrol

optimal

yang

sesuai

dengann

tujuan

(memaksimalkan

indeks

performansi).
Prosedur menyelesaikan masalah kontrol optimal dengan menggunakan
prinsip maksimum Pontryagin adalah sebagai berikut:
Diberikan persamaan state:

dengan ( )

dan

( )

, dan indeks performansi:

( ( )

dimana nilai kondisi batas ( )
Syarat

cukup

untuk

(2.6)

( ( ) ( ) )
̇

)

∫

dan

( ( ) ( ) )

diberikan, dan

memaksimalkan

indeks

(2.7)
( )

performansi

bebas.
adalah

mengkonversi persamaan (2.6) dan (2.7) ke dalam masalah memaksimalkan
fungsi Hamiltonian. Untuk mendapatkan syarat tersebut dilakukan langkahlangkah sebagai berikut:

Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

19

1. Bentuk fungsi Hamiltonian yaitu kombinasi fungsi dari suatu masalah
( ( ( ) ( ) )) dan perkalian fungsi subyek berbentuk persamaan
diferensial ( ( ( )

( ) )) dengan suatu faktor pengali yang dinamakan

pengali Lagrange ( ). Berikut bentuk fungsi Hamiltonian:

( ( ) ( ) ( ) )

2. Maksimumkan
(

)

( ) ( ( ) ( ) )

( ( ) ( ) )

terhadap semua vektor kontrol ( ) yaitu
sehingga diperoleh

( )

( ( )

( ) )

3. Gunakan hasil dari Langkah 2 ke dalam Langkah 1 dan tentukan

yang

optimal, yaitu
( ( )

4. Selesaikan sekumpulan

( )

( ) )

( ( )

persamaan:

( ) )

1. Persamaan state yaitu persamaan kendala pada model

dengan diberikan nilai ( )

̇ ( )

.

(

*

2. Persamaan co-state atau persamaan adjoint ( ) yang terkait dengan
kendala akumulasi dari variabel keadaan.
̇ ( )

dengan diberikan nilai ( )

( )

(

*

5. Untuk memperoleh kontrol yang optimal, substitusikan solusi
( ) dari Langkah 4 ke dalam kendali optimal

Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

( ) dan

( ) pada Langkah 2.

(Naidu, 2002)

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

BAB III
METODE PENELITIAN

Langkah-langkah yang digunakan dalam menyelesaikan skripsi ini adalah
sebagai berikut :
1.

Mengkaji model dasar penyebaran virus HIV dalam tubuh.

2.

Menentukan titik setimbang pada Langkah 1.

3.

Melinierisasi sistem pada Langkah 1 dengan menggunakan matriks Jacobian.

4.

Menguji kestabilan dari titik setimbang yang diperoleh pada Langkah 2
dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz.

5.

Mengkonstruksi input kontrol pada model HIV.

6.

Mendefinisikan

indeks

performansi

berdasarkan

Prinsip

Maksimum

Pontryagin.
7.

Menentukan input kontrol yang optimal pada Langkah 5, dengan tahap-tahap
sebagai berikut:
1. Membentuk fungsi hamiltonian.
2. Memaksimumkan fungsi hamiltonian sehingga diperoleh fungsi kontrol
optimal.
3. Menentukan bentuk fungsi hamiltonian yang optimal.
4. Menyelesaikan persamaan state dan co-state.
5. Mensubstitusi solusi dari tahap 4 ke dalam fungsi kontrol optimal pada
tahap 2.

20
Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

8.

21

Mensubstitusikan input kontrol yang telah didapat pada Langkah 7 ke dalam
sistem sehingga diperoleh bentuk sistem umpan balik keadaan (State
Feedback) yang optimal.

9.

Mensimulasikan hasil model HIV tanpa input dan dengan input kontrol dalam
bentuk numerik menggunakan software MATLAB.

10. Menginterprestasikan hasil model HIV yang telah didapat pada Langkah 9.

Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

BAB IV
PEMBAHASAN

Pada bab ini akan dibahas mengenai kestabilan model HIV dan kontrol
optimal. Dari model HIV akan dicari titik setimbang yang kemudian dianalisis
kestabilan dari setiap titik tersebut. Berikutnya akan dicari bentuk kontrol optimal
dari model HIV menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin dan disimulasikan
menggunakan toolbox DOTcvp pada software MATLAB.

4.1 Model HIV
Pada umumnya, ada banyak faktor yang menyebabkan terjadinya infeksi
HIV pada manusia, baik secara internal (dalam tubuh manusia) maupun eksternal
(keadaan atau lingkungan sekitar). Namun pada penulisan ini, dibentuk asumsiasumsi yang membatasi kasus infeksi HIV dan struktur populasi sebagai berikut:
1. Infeksi HIV terjadi secara internal yaitu didalam tubuh manusia.
2. Tidak ada virus lain yang menyerang tubuh selain virus HIV.
3. Populasi terdiri atas tiga subpopulasi, yaitu:


( ) adalah populasi sel CD4 yang sehat (belum terkena virus HIV) pada

saat .



( ) adalah populasi sel CD4 yang telah terinfeksi virus HIV pada saat .
( ) adalah populasi virus HIV saat .

4. Laju pertumbuhan sel CD4 dalam tubuh konstan.
5. Input kontrol berupa obat Antiretroviral (ARV).

22
Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

23

Berikut adalah notasi dan definisi dari masing-masing variabel yang
digunakan dalam pembahasan ini:



̇ ( ) adalah laju perubahan populasi sel CD4 yang sehat pada saat

(̇ ) adalah laju perubahan populasi sel CD4 yang terinfeksi virus HIV

saat




̇ ( ) adalah laju perubahan populasi virus HIV saat
( ) adalah populasi sel CD4 yang sehat pada saat

( ) adalah populasi sel CD4 yang terinfeksi virus HIV saat



( ) adalah populasi virus HIV saat



adalah laju kematian sel CD4 yang sehat secara alami



adalah laju sel CD4 yang terinfeksi virus HIV



adalah laju kematian sel CD4 yang terifeksi virus HIV



adalah laju replikasi virus HIV di dalam sel CD4



adalah laju kematian virus HIV secara alami



adalah bobot dari pengontrol (obat ARV)




( ) adalah presentase input kontrol berupa dosis obat ARV saat



adalah batas bawah pengontrol



adalah waktu awal pengamatan saat sel CD4 yang terinfeksi virus HIV



adalah laju pertumbuhan sel CD4 yang sehat

adalah batas atas pengontrol

diberikan pengontrol (obar ARV)

Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga



24

adalah waktu akhir pengamatan saat sel CD4 yang terinfeksi virus HIV
diberikan pengontrol (obar ARV)

Untuk mempermudah penulisan maka notasi
( )

( ) berturut-turut ditulis dengan

( )

( )

( )

( )

( )

. Oleh

karena dalam ilmu biologi tidak mungkin jumlah sebuah spesies dalam sebuah
populasi bernilai negatif, maka diasumsikan:
(4.1)
Selain itu, dalam ilmu fisika kelajuan merupakan salah satu besaran turunan yang
tidak bergantung pada arah, sehingga kelajuan termasuk skalar. Seperti jarak,
kelajuan termasuk besaran skalar yang nilainya selalu positif, sehingga dalam
model HIV, diasumsikan:
(4.2)
Berdasarkan asumsi-asumsi dan notasi yang telah dijelaskan, maka dapat
dibentuk suatu interaksi model penyebaran virus HIV dalam tubuh, yang
disajikan dalam Tabel 4.1.

Tabel 4.1 Interaksi model HIV

Diskripsi

Laju
reaksi

Produksi sel CD4
Sel CD4 yang mati secara alami
Sel CD4 yang terinfeksi virus HIV

Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Ditranslasiakan
ke dalam persamaan
deferensial
̇
̇

̇

̇

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

25

Sel CD4 yang terinfeksi virus HIV
̇

mengalami kematian

̇

Replikasi virus HIV di dalam sel CD4

̇

Virus HIV yang mati secara alami

Dari Tabel 4.1 maka dapat dibentuk ke dalam diagram blok sebagai berikut

𝒄𝑽

𝒔
Keterangan:
:

𝒌𝑰
𝜷𝑻𝑽

𝜸𝑻

𝝁𝑰

akan mengalami penambahan populasi, namun tidak mengurangi
populasi .

:

menyerang

namun tidak mempengaruhi jumlah

dan .

Gambar 4.1 Diagram blok model HIV sebelum diberi pengontrol

Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

Dari gambar 4.1, panah masuk mengartikan bahwa pada

26

, , dan

meningkatkan/ menambah jumlah populasi di setiap populasi , , dan
panah keluar dari

, , dan

mengartikan bahwa pada

Sedangkan untuk garis putus.putus dari

ke

. Untuk

, , dan

menurunkan/ mengurangi jumlah populasi di setiap populasi

,

akan

akan

, dan

menunjukkan bahwa pada

.

akan

mengalami penambahan populasi, namun tidak mengurangi populasi , karena
dalam kasus ini replikasi virus HIV terjadi pada sel CD4 yang terinfeksi, namun
pada saat menghasilkan virus HIV, jumlah sel CD4 tidak berkurang.
Berdasarkan Tabel 4.1 dan Gambar 4.1 di atas, maka dapat dibentuk suatu
model penyebaran virus HIV dalam tubuh manusia sebagai berikut:
̇
̇
̇

(

)

(

)

(

)

Pada Persamaan (4.3) laju perubahan sel CD4 yang sehat akan meningkat
karena dipengaruhi oleh laju pertumbuhan sel CD4 dan akan menurun karena
adanya sel CD4 yang mati secara alami serta interaksi antara sel CD4 yang sehat
dengan virus HIV. Pada Persamaan (4.4) laju perubahan sel CD4 yang terinfeksi
virus HIV akan meningkat karena penambahan jumlah sel CD4 yang terinfeksi
virus yang diakibatkan adanya kontak atau interaksi antara sel CD4 yang sehat
dengan virus HIV dan menurun karena adanya sel CD4 yang terinfeksi virus HIV
yang mati secara alami. Sedangkan pada Persamaan (4.5) laju perubahan virus

Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

27

HIV akan terus bertambah karena virus mengalami replikasi didalam sel CD4 dan
akan menurun ketika virus HIV mengalami mati secara alami.
Untuk menganalisis kestabilan sistem dari model HIV di atas,

maka

langkah pertama yang dilakukan adalah menentukan titik setimbang dari model
tersebut. Sebelum itu, karena model berbentuk nonliner maka perlu dilakukan
pelinieran terlebih dahulu dengan menggunakan matriks Jacobian. Selanjutnya
Titik setimbang tersebut disubstitusikan pada persamaan model HIV yang telah
dilinierkan sehingga dapat dibentuk persamaan karakteristik untuk mendapatkan
nilai karakteristik, dimana nilai karakteristik tersebut akan digunakan untuk
menentukan kestabilan dari sistem tersebut. Untuk lebih jelasnya akan dijelaskan
pada subab berikut.

4.2 Titik Setimbang Model
Berdasarkan Definisi 2.10, model penyebaran virus HIV dalam tubuh
akan memiliki titik setimbang jika memenuhi
terdapat dua

. Pada model ini

titik setimbang yaitu titik setimbang bebas penyakit dan titik

setimbang endemi.
Titik setimbang bebas penyakit adalah suatu kondisi dimana tidak terjadi
penyebaran virus HIV dalam tubuh manusia. Titik tersebut didapatkan pada saat
yakni suatu keadaan dimana tidak terjadi infeksi virus HIV pada sel CD4
dan

yakni keadaan dimana tidak ada virus HIV dalam tubuh manusia. Titik

setimbang bebas penyakit ini dapat dinyatakan dalam
sehingga diperoleh:

Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

(

)

(

)

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

28

̇



(4.6)




̇

(4.7)
̇

(4.8)

Berdasarkan Persamaan (4.6), (4.7), dan (4.8) maka didapatkan titik
setimbang bebas penyakit

= (

).

Titik setimbang endemik yaitu suatu kondisi dimana terjadi penyebaran
virus HIV dalam tubuh manusia yang menyerang sel CD4. Titik setimbang
endemik dinyatakan dalam
dan


diperoleh:

(

), dengan mengasumsikan

̇
(4.9)



̇
(4.10)

Substitusi Persamaan (4.9) dan (4.10) ke dalam persamaan ̇

diperoleh

Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

(

)

29

( )

(4.11)
Substitusi Persamaan (4.11) ke dalam Persamaan (4.10), diperoleh:
(

)

(4.12)

Kemudian substitusi Persamaan (4.11) ke dalam Persamaan (4.9), diperoleh

(

(

))

(4.13)

Berdasarkan persamaan (4.11), (4.12), dan (4.13) didapatkan titik
setimbang

endemik

= (

setimbang bebas penyakit

dan endemik

). Setelah didapatkan titik
selanjutnya akan dianalisis

kestabilan lokal dari masing-masing titik setimbang.

Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

30

4.3 Analisis Kestabilan Lokal
Pada sistem Persamaan (4.3), (4.4), dan (4.5) dalam model HIV terlihat
bahwa sistem tersebut merupakan sistem autonomous yang tak linier, maka untuk
mendapatkan kestabilan dari sistem model HIV di titik-titik kesetimbangan
dan

perlu dilakukan pelinieran terlebih dahulu menggunakan matriks Jacobian.
Misalkan persamaan-persamaan dari model HIV didefinisakan sebagai:

̇

̇

(

̇

(

= (

(4.14)

)

)

(4.15)
(4.16)

)

Dengan menggunakan Definisi 2.6, maka matriks Jacobian dari sistem Persamaan
(4.14), (4.15) dan (4.16) adalah

(

)

(

(4.17)

)

Berdasarkan Teorema 2.4 mengenai kestabilan, maka dengan menggunakan nilai
eigen dari matriks dapat ditentukan kestabilan dari sistem. Karena pada kasus ini
diperoleh dua titik setimbang yaitu titik setimbang bebas penyakit

dan endemik

, maka perlu dilakukan analisis kestabilan disetiap titik tersebut.

4.3.1 Kestabilan Lokal di Titik Setimbang Bebas Penyakit
Matriks Jacobian dari titik setimbang bebas penyakit
(

Skripsi

) adalah

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

(

)

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

31

(4.18)
(

)

Selanjutnya berdasarkan matriks Jacobian (4.18) dapat dibentuk persamaan
karakteristik dari matriks (4.18) dengan menggunakan

(

)(

((

(

)

(

)(

))

(

)

(

(

)(

((
)

)(

(

(

)

, yaitu

))

)

)(

(

))

)

)

(

)

(4.19)

Berdasarkan Teorema 2.14, maka dari persamaan karakteristik (4.19) diperoleh:

Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

32

Berdasarkan Persamaan (4.19), syarat agar titik setimbang bebas penyakit stabil
asimtotis, adalah
dan
Pertama akan ditunjukkan bahwa

. Karena laju kematian virus HIV

( ) laju kematian sel CD4 yang terinfeksi virus HIV ( ), dan laju kematian sel
CD4 secara alami ( ) bernilai positif, maka jelas bahwa:
Agar

(4.20)

maka

(4.21)

(4.22)
Dari uraian di atas, jika
sebagai bilangan reproduksi dasar

maka

. Selanjutnya

didefinisikan

yang menyatakan banyaknya kasus baru dari

sel terinfeksi yang muncul akibat masuknya sel terinfeksi dalam suatu populasi
virgin. Dalam kasus ini, bilangan reproduksi dasar

didefinisikan sebagai rasio

pertumbuhan dan kematian dari populasi sel CD4 yang sehat, sel CD4 yang
terinfeksi dan virus HIV. Dari sini bilangan reproduksi dasar dapat digunakan
sebagai tolok ukur terjadi atau tidaknya suatu penyakit. Sehingga
disebut sebagai nilai ambang batas bebas penyakit.

Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

33

di atas akan ditunjukkan bahwa

Dengan syarat
Perhatikan kembali bahwa

, sehingga berlaku

.

atau

, akibatnya
(4.23)
Terakhir akan dibuktikan bahwa
(

, atau

)(

)

,
(

)

)

, sehingga

Perhatikan kembali bahwa
yang berarti

diperoleh

Selain itu karena

yang berarti
(

. Karena

diperoleh

sehingga

)
(

)

(

)

(4.24)

Jadi, berdasarkan uraian di atas diperoleh teorema berikut:

Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

34

Teorema 4.1 Titik setimbang bebas penyakit pada model HIV akan stabil
asimtotis pada

), jika memenuhi nilai ambang batas bebas

(

penyakit

=

4.3.2 Kestabilan Lokal di Titik Setimbang Endemik
Matriks Jacobian dari titik setimbang endemik
(

(

(

(

) adalah
)

)

(

( )

( )

)

)

(4.25)
(

)

Selanjutnya dapat dibentuk persamaan karakteristik dari matriks (4.25) dengan
menggunakan

(

, yaitu

)

(
(

)

(

Skripsi

(

))

)

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

)(

((

)(

((
(

(

)

))

)(

)(

)(

)

(

)

((

35

)(

)(

))

))
(

(

)

)

(4.26)

Berdasarkan Teorema 2.14, maka dari persamaan karakteristik (4.26) diperoleh:

Berdasarkan Persamaan (4.26), syarat agar titik setimbang endemik stabil
asimtotis adalah
dan
Pembuktian pertama yaitu

.

, berdasarkan asumsi (4.2) maka jelas

terpenuhi bahwa:
(4.27)
serta untuk pembuktian

terlihat jelas bahwa:
(4.28)

Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

36

Berdasarkan (4.26), dengan proses yang sama pada saat mencari syarat kestabilan
pada titik setimbang bebas penyakit, untuk titik setimbang endemik jika dipenuhi
maka

. Sehingga didapatkan bilangan reproduksi

dasar endemik

=

atau disebut sebagai nilai ambang batas endemik.

Selanjutnya akan dibuktikan

atau
)(

(

)

Berdasarkan asumsi (4.2) maka
(4.30)
Berdasarkan uraian di atas diperoleh teorema berikut:

Teorema 4.2 Titik setimbang endemik pada model HIV akan stabil asimtotis
pada
penyakit

(

) jika memenuhi nilai ambang batas bebas
=

.

Selanjutnya untuk mendapatkan jumlah sel CD4 sehat yang maksimum
dengan biaya pengobatan yang minimal, maka perlu dicari bentuk kontrol optimal
(obat ARV) dengan menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin.

Skripsi

Analisis dan Kontrol Optimal Pada Model
Penyebaran Virus HIV Dalam Tubuh Manusia.

Sukokarlinda, Wheni

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

37

4.4 Penyelesaian Kontrol Optimal
Pada masalah kontrol optimal ini, tujuan yang aka