Konsep Dasar Distribusi Probabilitas

  

Distribusi Spesial

Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc.

  

Teknik Informatika

Fakultas Teknik

Universitas 17 Agustus 1945 Surabaya

  2016

  1

  

  2

  

  3

  

  4

  Konsep Dasar Distribusi Probabilitas

  Secara umum, distribusi probabilitas dibagi menjadi : Distribusi Probabilitas Diskrit → nilai variabel tidak diantara dua nilai.

  Distribusi Probabilitas Kontinu → nilai variabel diantara dua nilai.

  Contoh : Tinggi badan calon polisi harus diantara 165-180 cm → kontinu.

  Jumlah munculnya Gambar dalam pelemparan sebuah koin → diskrit.

  Sebutkan contoh lain menurut Saudara berkaitan dengan distribusi probabilitas diskrit maupun kontinu Konsep Dasar & Jenis-Jenis Distribusi Jika variabel random adalah variabel diskrit.

  Contoh :

  

Dalam dua kali pelemparan sebuah koin, Tentukan distribusi

probabilitasnya jika X adalah banyaknya Gambar muncul !

Coba Saudara Selesaikan !

  Beberapa Jenis Distribusi Probabilias Diskrit :

  Distribusi Binomial Distribusi Hipergeometrik Distribusi Multinomial Distribusi Negatif Binomial Distribusi Poisson Sifat-Sifat Distribusi Binomial Distribusi Binomial → percobaan statistik.

  Percobaan terdiri dari n perulangan. Setiap percobaan memiliki dua kemungkinan (Berhasil atau Gagal). Probabilitas Berhasil adalah sama untuk setiap percobaan. Setiap pecobaan bersifat independen (percobaan pertama tidak memperngaruhi percobaan kedua).

  Formula Distribusi Probabilitas Binomial

  Diberikan percobaan binomial dengan n percobaan dan menghasilkan x berhasil. Jika probabiltas berhasil dalam percobaan adalah P, maka b (x; n; P) = C ⁿ _x P ^x

  (1 − p) ^{n − x} Contoh Permasalahan

  Dilempar sebuah dadu sebanyak 5 kali, Berapa probabilitas diperolehnya tepat angka 2 dalam percobaan tersebut ? Selesaikan menggunakan

  Distribusi Probabilitas Binomial ! Probabilitas Kumulatif Binomial Terjadi ketika variabel random binomial terjadi pada kisaran tertentu.

  Contoh :

  Berapa probabilitas diperoleh 45 atau kurang munculnya Gambar pada 100 kali pelemparan sebuah koin ? Bagaimana menurut Saudara Penyelesaiannya ? Sifat-Sifat Distribusi Negatif Binomial Distribusi Negatif Binomial → percobaan statistik.

  Percobaan dilakukan x kali. Setiap percobaan dapat menghasilkan hanya dua hasil, yaitu Berhasil dan Gagal. Probabilitas Berhasil dinotasikan p, sama untuk setiap percobaan. Bersifat independen, percobaan awal tidak mempengaruhi percobaan berikutnya. Percobaan berlanjut hingga r berhasil.

  Formula Distribusi Probabilitas Negatif Binomial

Disebut juga dengan distribusi pascal, yang terdiri dari x percobaan dan hasil berhasil

dalam r . Jika probabilitas berhasil pada percobaan individu P maka probabilitas negatif

binomial: b ^∗ (x; r , P) = C ^{x −1}

_{r −1}

P ^r (1 − P) ^{x −r}

  Contoh Permasalahan

  Bambang adalah pemain basket. Dia memiliki kemampuan 70% lemparan bebas. Itu artinya probabilitas dia melakukan lemparan bebas adalah 0.70. Selama musim liga, berapa probabilitas Bambang dapat membuat lemparan bebas ketiga pada lemparan kelima ?

  

Selesaikan menggunakan Distribusi Probabilitas Negatif Binomial ! Sifat-Sifat Distribusi Hipergeometrik Distribusi Hipergeometrik → percobaan statistik.

  Sebuah ukuran sampel n secara random dipilih tanpa pengembalian dari sebuah populasi N. Dalam sebuah populasi, item k dikelompokkan sebagai Berhasil dan item N − k dikelompokkan sebagai Gagal.

  Formula Distribusi Probabilitas Hipergeometrik

  Diberikan sebuah populasi terdiri dari N item, k adalah Berhasil. Dan sampel random diilustrasikan dari populasi yang terdiri dari n item, x adalah Berhasil. Maka probabilitas distribusi Hipergeometrik: _{k N k −}

  C C _{x n x −} h (x; N, n, k) = _N

  C _n Contoh Permasalahan

  Dipilih secara random 5 kartu tanpa pengembalian dari setumpuk kartu remi, berapa proabilitas diperoleh tepat 2 kartu berwarna merah (contoh: hati atau wajik) ? Selesaikan menggunakan Distribusi Probabilitas

  Hipergeometrik ! Probabilitas Kumulatif Hipergeometrik

  Variabel random hipergeometrik yang lebih besar atau samadengan maupun lebih kecil atau samadengan nilai-nilai tertentu. Contoh :

  Dipilih 5 kartu dari setumpuk kartu remi, berapa probabilitas diperoleh tepat 2 kartu hati atau kurangnya ? Bagaimana menurut Saudara Penyelesaiannya ?

  Sifat-Sifat Distribusi Multinomial Distribusi Multinomial → percobaan statistik.

  Percobaan terdiri dari n kali percobaan. Setiap percobaan memiliki nilai probabilitas diskrit. Dalam beberapa percobaan, probabilitas bersifat konstan. Setiap percobaan bersifat independen, tidak berpengaruh antara satu percobaan dengan percobaan lainnya.

  Formula Distribusi Probabilitas Multinomial

Terdiri dari n percobaan dan setiap percobaan menghasilkan k kemungkinan keluaran,

_k E , E , ..., E . Untuk setiap kemungkinan hasil dapat terjadi dengan probabilitas _{1 2 k} p , p , ..., p . Probabilitas P terdiri dari E terjadi dalam n kali, E terjadi dalam n _{1 2 k k 1 1 2 2} kali,..., dan E terjadi dalam n kali. _{n n n} n ! _{1 × 2 k}

P = ( ) × (p p × ... × p k )

_k

_{1 2} (n ^{1 ! × n} _k ^{2 ! × ... × n !)} dengan n = n ^{1 + n 2 + ... + n .}

  Contoh Permasalahan

  Diambil secara random sebuah kartu dari tumpukan kartu remi dan dikembalikan kembali kartu tersebut. Percobaan ini dilakukan sebanyak 5 kali. Berapa probabilitas diperoleh 1 kartu waru, 1 kartu hati, 1 kartu wajik, dan 2 kartu keriting ?

  

Selesaikan menggunakan Distribusi Probabilitas Multinomial ! Sifat-Sifat Distribusi Poisson Distribusi Poisson → percobaan statistik.

  Hasil percobaan dapat diklasifikasikan sebagai berhasil atau gagal. Nilai rata-rata berhasil (µ) yang terjadi diketahui. Probabilitas berhasil yang terjadi proporsional.

Probabilitas berhasil akan terjadi dalam ukuran kecil secara virtual adalah nol.

  Formula Distribusi Probabilitas Poisson

Diketahui nilai rata-rata dalam sebuah region adalah µ. Maka probabilitasnya adalah

P

  (x; µ) = (e ^−µ )(µ ^x ) x ! Contoh Permasalahan Nilai rata-rata rumah terjual di Ciputra adalah 2 unit rumah per hari.

  Berapa probabilitas diperoleh tepat 3 rumah terjual keesokan harinya ?

  Selesaikan menggunakan Distribusi Probabilitas Poisson! Probabilitas Kumulatif Poisson

  Variabel random poisson yang lebih besar atau samadengan maupun lebih kecil atau samadengan nilai-nilai tertentu. Contoh : Diketahui nilai rata-rata singa dapat terlihat per hari adalah 5 kali.

  Berapa probabilitas wisatawan akan melihat kurang dari 4 singa pada hari berikutnya ? Bagaimana menurut Saudara Penyelesaiannya ? Konsep Dasar & Jenis-Jenis Distribusi Jika variabel random adalah variabel kontinu.

  Contoh : Beberapa Jenis Distribusi Probabilias Kontinu :

  Distribusi Normal Distribusi T Distribusi Chi-Square Distribusi F Konsep Dasar Berkaitan erat dengan persamaan normal.

  Variabel random X dalam persamaan normal → variabel random normal. Persamaan normal → fungsi kepadatan probabilitas untuk distribusi normal.

  Persamaan Normal

  Nilai variabel random Y : Y

  = {1/[σ × √

  2π]} × exp ^{−( x −µ) 2}

  /2σ ²

  dengan X adalah variabel random normal, µ adalah rata-rata, σ adalah standar deviasi, π bernilai sekitar 3.14159, dan exp bernilai sekitar 2.71828.

  Contoh Permasalahan

  Bola lampu rata-rata diproduksi oleh Philips selama 300 hari dengan standar deviasi 50 hari. Dengan asumsi bahwa bola lampu hidup terdistribusi normal. Berapa probabilitas bola lampu Philips akan dapat bertahan paling tidak 365 hari ? Ditentukan hasil nilai tes IQ terdistribusi nomal. Jika tes memiliki rata-rata 100 dan standar deviasi 10. Berapa probabilitas seseorang yang mengikuti tes akan memperoleh nilai diantara 90 dan 110 ?

  

Coba Saudara selesaikan ! Konsep Dasar Standar distribusi normal → kasus khusus distribusi normal.

  Distribusi ini terjadi ketika variabel random normal memiliki nilai rata-rata 0 dan standar deviasi 1. Standar distribusi normal disebut juga skor standar atau skor-z. Bentuk umum : z

  = (X − µ)/σ

  Tabel Distribusi Normal

  Contoh Permasalahan

  Bambang memperoleh nilai ujian nasional 940. Rata-rata hasil tesnya adalah 850 dengan standar deviasi 100. Berapa proporsi siswa memiliki nilai lebih tinggi daripada Bambang ? (Diasumsikan bahwa nilai tes terdistribusi normal).

  

Coba Saudara selesaikan ! Konsep Dasar

  Digunakan untuk mengestimasi parameter populasi ketika ukuran sampel kecil dan/atau variansi populasi tidak diketahui. Disebut juga dengan statistik t atau skor-t.

  Formula Distribusi t

  √ t = [¯ x n ] − µ]/[s/ dengan x adalah rata-rata sampel, µ adalah rata-rata populasi, s adalah sampel standar deviasi, dan n adalah ukuran sampel. Contoh Permasalahan

  Perusahaan Bola Lampu Philips. CEO mengklaim rata-rata bola lampu hidup selama 300 hari. Peneliti secara random memilih 15 bola lampu untuk diujicoba. Sampel bola lampu menyala rata-rata 290 hari, dengan standar deviasi 50 hari. Jika Klaim CEO benar, berapa probabilitas bahwa terpilihnya 15 bola lampu secara random akan memiliki rata-rata hidup tidak lebih dari 290 hari ?

  

Coba Saudara selesaikan ! Konsep Dasar Termasuk eksperimen statistik.

  Pemilihan ukuran sampel random n dari populasi normal, dengan standar deviasi σ dan standar deviasi dari sampel adalah s.

  Formula Distribusi Chi-Square

  2

  2

  2 X

  ]/σ = [(n − 1) × s _{X 2}

  2 /2 (v /2−1) −

  Y = Y )

  × (X × exp

  2

  dengan Y merupakan konstanta pada nilai derajat, X adalah statistik chi-square, v = n − 1 adalah nilai derajat, dan exp adalah konstata pada sistem logaritma (sekitar 2.71828).

  Contoh Permasalahan

  Perusahaan baterai telah mengembangkan baterai hp baru. Rata-rata baterai bertahan 60 menit pada pengisian awal. Dan standar deviasinya adalah 4 menit. Kemudian bidang manufaktur melakukan tes pengendalian kualitas dengan memilih 7 baterai secara random. Standar deviasi baterai yang terpilih adalah 6 menit. Apa statistik Chi-Square direpresentasikan pada percobaan ini ?

  

Coba Saudara selesaikan ! Konsep Dasar Disebut juga dengan nilai f atau statistik f.

  Langkah-langkah : Pilih ukuran sampel random n 1 dari populasi normal, dan standar deviasinya adalah σ

  1 .

  Pilih ukuran sampel random independen n 2 dari populasi normal, dan standar deviasai adalah σ 2 .

  Statistik f memiliki rasio s

  2

  1 /σ

  

2

  

1

dan s

  2

  2 /σ

  2

  2 .

  Formula Distribusi f _f = [s ² ₁ /σ ² ₁ ]/[s ² ₂

/σ

² ₂ ] = [X ² ₁ /v ^{1 ]/[X 2} ₂ /v ^{2 ]} dengan σ ₁ dan σ ₂ adalah standar deviasi populasi 1 dan 2, s ₁ dan s ₂ adalah standar deviasi sampel yang digambarkan dari populasi 1 dan 2, ² ₁ dan ² ₂ adalah statistik chi-square untuk sampel yang digambarkan dari populasi 1 dan 2, v ₁ dan v ₂ adalah derajat ² ₁ dan ² ₂ . Catatan bahwa derajat v ^{1 = n 1 − 1, dan v 2 = n 2 − 1 .}

  Contoh Permasalahan

  Diketahui anda secara random memilih 7 wanita dari populasi wanita, dan 12 pria dari populasi pria. Untuk wanita, standar deviasi populasinya adalah 30 dan sampelnya adalah 35. Untuk pria, standar deviasi populasinya adalah 50 dan sampelnya adalah 45. Hitung statistik f !

  

Coba Saudara selesaikan ! Seluruh materi presentasi dapat didownload pada SIAKAD masing-masing atau link berikut : _.

  Apabila ada pertanyaan mengenai statistika dan probabilitas dapat mengirim ke alamat email berikut :

  

Terimakasih Atas Perhatianya