PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
KRITERIA DAERAH DEDEKIND
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika

Oleh:
Widiatmo Kurniadi
NIM: 083114012
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2014

i

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
CRITERION OF DEDEKIND DOMAIN
Thesis
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
To Obtain SARJANA SAINS Degree
In Mathematics

By:
Widiatmo Kurniadi
Student Number: 083114012
MATHEMATICS STUDY PROGRAM
MATHEMATICS DEPARTMENT
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2014

ii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

t. t;.1
.

..,,

'.,',

,

,,,

,

T{rgg$;fd.,April ZOt+'.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

SKRIPSI

KRITERIA DAERAH DEDEKII\D
Dipersiapkarr dan ditulis oleh:

lVidiamo Ktnrriadi
NIM:083114012

Telah

dipa6ult***

U'

t4 da1

pada,'tai

Kenia

Paf,itiaPenguji

: Priof .Dr.

Sekretaris : Dr. rer. nat.

Anggota

:

M.V. Any
?26p1t12914
Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Sanata Dharma

P.H. PrimaRosa S.Si., M.Sc.

tv

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI

TERPUJI

v

:ii jl=:E-1,1jt:.ir::*

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Pernyataan Keaslian Karya
I

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi

ini tidak memuat

karya

atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka,
sebagaimaoa layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, I 1 April 2014
Penulis

Widiatmo Kurniadi

vi

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRAK

Dibuktikan lima kriteria yang saling ekivalen supaya daerah integral
lapangan pecahan

dengan

merupakan daerah Dedekind, yaitu setiap ideal sejati dari

adalah hasil kali tunggal dari sejumlah berhingga ideal prima dari

(dengan

pengurutan kembali ideal prima tersebut) dan setiap ideal prima tersebut
mempunyai invers, setiap ideal fraksi dari
taknol dari

mempunyai invers, setiap ideal

mempunyai invers, himpunan setiap ideal fraksi dari

grup komutatif terhadap operasi perkalian, daerah integral

Noether, tertutup secara integral dan setiap ideal prima taknol dari
maksimal.

vii

membentuk
adalah daerah
adalah ideal

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRACT

Five equivalence criterions for an integral domain

with it’s field of quotient

to become Dedekind domain have been proved, namely every proper ideal is a
unique product of finite number of prime ideals (up to order of the factors) and
each is invertible, every fractional ideals of

is invertible, every nonzero ideal of

is invertible, the set of all fractional ideals of
commutative group, integral domain
and every nonzero prime ideal of

forms a multiplicative

is an integrally closed Noetherian domain

is a maximal ideal.

viii

PLAGIAT

PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

LEMBAR PERIIYATAAN PERSETUJUAN
PT]BLIKASI KARYA

ILMIAII

TJNTUK KEPENTINGAI\ AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini" saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama

: Widiatmo Kurniadi

Nomor

Mahasiswa

: 083114012

Demi pengambangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada

Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah yang berjudul:

KRITERIA DAERAH DEDEKIND
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada

Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam
bentuk media lain, mengeiolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara
terbatas, dan mempublikasikan di internet, atau media lain untuk kepentingan akademis

tanpa meminta

ijin dari saya mauptrn memberikan royalti

kepada saya, selama tetap

mencanfumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pemyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
i

Dibuat di Yogyakarta,

I

t
I

Pada tanggal:

I

1l April2014

l

Yang menyatakan

[/4
wiaia#o/rurniaai

lx

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan rahmat-Nya,
sehingga skripsi dengan judul ”Kriteria Daerah Dedekind” ini dapat diselesaikan ini dapat
diselesaikan tepat pada waktunya.
Penulis menyadari sepenuhnya bahwa skripsi ini tidak lepas dari dukungan,
dorongan, kerjasama maupun bimbingan banyak pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan
banyak terima kasih kepada:
1. Ibu M.V. Any Herawati, S.Si, M.Si. selaku dosen pembimbing dan dosen penguji
skripsi yang telah membimbing dan memberi masukan sejak awal hingga
selesainya skripsi ini.
2. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku Ketua Program Studi
Matematika yang telah memberikan nasehat dan bimbingan selama proses
penyusunan skripsi.
3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ dan Bapak Dr. rer. nat. Herry Pribawanto
Suryawan, S.Si., M.Si. selaku dosen penguji yang telah memberikan koreksi dan
masukan selama proses penyusunan skripsi ini.
4. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat yang telah
memberikan fasilitas dan kemudahan pembelajaran, serta administrasi bagi
penulis selama masa perkuliahan.
5. Semua pihak yang telah membantu penulis, tetapi tidak dapat disebutkan satu
persatu.
Yogyakarta, 11 April 2014

Penulis
x

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ………………………………………………………………….

i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ……………………………….

ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ……………………………………...

iii

HALAMAN PENGESAHAN ………………………………………………………...

iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ………………………………………………………

v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ……………………………….

vi

HALAMAN ABSTRAK ………………………………………………………………

vii

HALAMAN ABSTRACT ……………………………………………………………..

viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA
ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ………………………………….

ix

KATA PENGANTAR ………………………………………………………………...

x

DAFTAR ISI …………………………………………………………………………..

xi

BAB I PENDAHULUAN …………………………………………………………….

1

A. Latar Belakang Masalah ……………………………………………......

1

B. Rumusan Masalah ……………………………………………………...

2

C. Batasan Masalah ………………………………………………………..

2

D. Tujuan Penelitian ……………………………………………………….

2

E. Metode Penelitian ……………………………………………………...

2

F. Manfaat Penelitian ……………………………………………………..

2

G. Sistematika Penulisan ………………………………………………….

2

xi

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB II GRUP, GELANGGANG DAN MODUL .......................................................

4

A. Pemetaan dan Grup....................................................................................

4

B. Gelanggang .............................................................................................

38

C. Konstruksi Lapangan Pecahan ................................................................

68

D. Modul ......................................................................................................

77

BAB III DAERAH DEDEKIND ....................................................................................

107

A. Daerah Dedekind .....................................................................................

107

B. Kriteria Daerah Dedekind .......................................................................

126

BAB IV PENUTUP ........................................................................................................

139

A. Kesimpulan .............................................................................................

139

B. Saran .......................................................................................................

139

DAFTAR PUSTAKA .....................................................................................................

140

xii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Teorema Fermat yang terakhir, yaitu
tuk

> 2,

+

=

tidak punya solusi bilangan bulat un-

∈ ℕ.Ada yang mencoba membuktikan teorema ini, diantaranya Kummer (1858).

Kummer membuat sistem bilangan kompleks yang bisa digunakan untuk membuktikan bahwa
teorema tersebut benar untuk sejumlah tak berhingga eksponen yang habis dibagi bilanganbilangan prima beraturan. Sebagai hasilnya, Kummer berhasil membuktikan teorema fermat untuk

< 100. Usahanya untuk membuktikan teorema fermat secara umum gagal, sebab

faktorisasi tunggal dari bilangan bulat (setiap bilangan bulat

≥ 2, dapat dinyatakan secara

tunggal sebagai perkalian pangkat dari bilangan-bilangan prima tanpa memperhatikan urutan)
tidak bisa diperluas ke gelanggang lain termasuk himpunan bilangan kompleks. Kummer berusaha untuk memperbaiki ketunggalan dari faktorisasi pada bilangan kompleks tersebut dengan
memperkenalkan istilah bilangan-bilangan ideal.
Berdasar ide Kummer tentang bilangan-bilangan ideal tersebut, Dedekind membuat
konsep yang berjudul teori bilangan yang bersifat aljabar secara umum dan dipublikasikan pada
tahun 1879. Kemudian Hilbert memperluas konsep tersebut yang kemudian dikembangkan oleh
Noether. Pada akhirnya konsep tersebut mengarah pada gagasan umum tentang ketunggalan
faktorisasi ideal menjadi pangkat-pangkat ideal prima, yang kemudian disebut daerah Dedekind.
Pada skripsi ini akan dibahas tentang kriteria daerah integral menjadi daerah Dedekind.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

2

B. Rumusan Masalah
Permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi adalah bagaimana kriteria agar suatu daerah integral merupakan daerah Dedekind ?
C. Batasan Masalah
Batasan masalah pada skripsi ini adalah tidak dibahas kriteria daerah Dedekind yang
menggunakan lokalisasi dan gelanggang valuasi diskret.
D. Tujuan Penelitian
Tujuan penulisan skripsi ini adalah memahami kriteria agar suatu daerah integral merupakan
daerah Dedekind dan pemenuhan tugas akhir dalam Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma.
E. Metode Penelitian
Metode penelitian yang digunakan yaitu metode studi pustaka dengan menggunakan buku-buku
aljabar abstrak.
F. Manfaat Penelitian
Penelitian ini untuk memahami kriteria suatu daerah integral merupakan daerah Dedekind dan
sebagai pemenuhan salah satu syarat memperoleh gelar sarjana sains program studi matematika.
G. SISTEMATIKA PENULISAN
I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penelitian

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
E. Metode Penelitian
F. Manfaat penelitian
II. GRUP, GELANGGANG DAN MODUL
A. Pemetaan dan Grup
B. Gelanggang
C. Konstruksi Lapangan Pecahan
D. Modul
III. DAERAH DEDEKIND
A. Daerah Dedekind
B. Kriteria Daerah Dedekind
IV. PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran

3

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB II
GRUP, GELANGGANG DAN MODUL
A. Pemetaan dan Grup
Definisi 2.1.1
Suatu kelas bagian
dengan

,

∈

dari

×

untuk setiap

disebut relasi pada
∈

dan

∈

dan jika

× . Selanjutnya simbol
=

maka

ekivalen

adalah relasi pada .

Contoh 2.1.1
= 1,2,3 ,

Misal himpunan
untuk setiap

∈ ,

∈

yaitu

= 2,4,6 dan
=

adalah relasi dari

ke

dengan aturan

=2

1,2 , 2,4 , 3,6 .

Definisi 2.1.2
Perkalian Cartesius dari himpunan
dimana

∈

,…,

,…,

yaitu himpunan semua -tuple terurut

. Perkalian cartesius tersebut disimbolkan dengan

=

× …×

,

.

Contoh 2.1.2
Misal

= 1,

= 1,2 maka

×

=

1,1 , 1,2 .

Definisi 2.1.3
Misal

adalah himpunan tak kosong dan adalah himpunan indeks. Suatu partisi dari

himpunan dari

, ∈ dimana

adalah himpunan bagian dari

yang memenuhi sifat

adalah

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
1. Untuk setiap ∈ berlaku
2. Untuk setiap , ∈ jika

3. Gabungan dari

,

≠

≠ ∅.
maka

, … sama dengan

∩

5

= ∅.

, dimana , + 1, … ∈ . Selanjutnya elemen dari

partisi tersebut disebut sel dari partisi A.
Contoh 2.1.3
Misal
yaitu

= 1,2,3,4,5,6 . Salah satu partisi dari
= 1,2,3,4 ,

= 5,6 .

yaitu

1,2,3,4 , 5,6

dengan sel dari partisi

Definisi 2.1.4
Suatu relasi
relasi

pada

disebut relasi ekivalensi pada A jika dan hanya jika untuk setiap , , ∈

bersifat

1. Refleksif yaitu

,

2. Simetris yaitu jika

maka

3. Transitif, yaitu jika

,

,
maka

.

Contoh 2.1.4
Akan dibuktikan relasi

pada ℤ yang didefinisikan ! " jika dan hanya jika !" > 0 untuk se-

tiap !, " ∈ ℤ − 0 adalah suatu relasi ekivalensi pada ℤ. Jelas relasi

bersifat refleksif. Sebab

untuk setiap ! ∈ ℤ − 0 berlaku ! > 0 sehingga ! !. Misal ! " sehingga !" > 0. Karena
perkalian di ℤ komutatif sehingga !" = "! > 0 maka " !. Jadi relasi

bersifat simetris.

Misal ! ", " & sehingga !" > 0 dan "& > 0. Karena !" > 0 maka ! > 0 dan " > 0 atau

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

6

! < 0 dan " < 0, selain itu "& > 0 sehingga " > 0 dan & > 0 atau " < 0 dan & < 0. Jika

! > 0 dan " > 0 dan "& > 0 maka & > 0 sehingga !& > 0 maka ! &. Jika ! < 0 dan " < 0

dan "& > 0 maka & < 0 sehingga !& > 0 akibatnya ! &. Jika " > 0 dan & > 0 dan !" > 0

sehingga ! > 0 maka !& > 0 akibatnya ! &. Jika " < 0, & < 0 dan !" > 0 maka ! < 0 se-

hingga !& > 0 akibatnya ! &. Karena setiap kemungkinan berlaku ! & maka
yang bersifat transitif. Karena

adalah relasi

adalah relasi yang simetris, refleksif dan transitif maka

adalah

suatu relasi ekivalensi.
Definisi 2.1.5
Misal ( adalah himpunan dan

dan hanya jika ) *. Karena

adalah relasi ekivalensi. Setiap ), * ∈ ( disebut ekivalen jika

mempunyai sifat refleksif, maka jika diambil sebarang + ∈ ( ter-

dapat elemen di ( yang ekivalen dengan +. Himpunan setiap elemen di ( yang ekivalen dengan +
disebut kelas ekivalensi dengan represntasi s dan disimbolkan dengan [+] =
punan setiap kelas ekivalensi dimana
/

= [+].+ ∈ ( .

∈ (.+

. Him-

adalah relasi ekivalensi pada ( disimbolkan dengan

Contoh 2.1.5
Pada contoh 2.1.4, salah satu kelas ekivalensi dari ℤ yaitu [2] =

∈ℤ− 0 .

2.

Teorema 2.1.1
Misal

adalah himpunan tak kosong dan 0 adalah relasi ekivalensi pada (. Jika ), * ∈

1. Elemen * ∈ [)] jika dan hanya jika )0*.
2. Elemen ) ∈ [)].

maka

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

7

3. Himpunan [)] ≠ ∅.

4. Irisan [)] dengan [*] tidak sama dengan ∅ jika dan hanya jika )0*.

5. Irisan [)] dengan [*] tidak sama dengan ∅ jika dan hanya jika [)] = [*]
Bukti:
1. Misal * ∈ [)] sehingga menurut definisi 2.1.5 * ∈
menurut definisi 2.1.5, * ∈ [)].

dan )0*. Sebaliknya jika )0* maka

2. Menurut definisi 2.1.4, 0 bersifat refleksif sehingga ) ∈ [)].

3. Karena 0 bersifat refleksif maka ) ∈ [)] sehingga )1 ≠ ∅.

4. Misal [)] ∩ [*] ≠ ∅ sehingga ada elemen 2 ∈ )1 dan 2 ∈ [*]. Karena 2 ∈ [)] dan 2 ∈ [*] maka

menurut definisi 2.1.5, 20) dan 20* maka menurut definisi 2.1.4, )02 sehingga diperoleh )0*.

Sebaliknya diketahui )0* sehingga ) ∈ [*]. Karena ) ∈ [)] maka [)] ∩ [*] ≠ ∅.

5. Misal [)] ∩ [*] ≠ ∅. Ambil sebarang 2 ∈ [)] maka menurut pernyataan pertama )02.

Menurut pernayaan keempat berlaku )0*. Karena 0 adalah relasi ekivalensi pada

, dan )02

maka menurut definisi 2.1.4, 20). Diperoleh 20) dan )0* sehingga menurut definisi 2.1.4, 20*

sehingga menurut pernyataan pertama 2 ∈ [*]. Akibatnya [)] ⊆ [*]. Bukti untuk [*] ⊆ [)] ana-

log dengan pembuktian [)] ⊆ [*]. Akan dibuktikan pernyataan sebaliknya. Karena [)] = [*]

maka jelas [)] ∩ [*] ≠ ∅.

∎

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

8

Teorema 2.1.2
Misal

himpunan tak kosong dan ~ adalah relasi ekivalensi pada

partisi, dimana 6 = ) ∈ .)~

jika ~ adalah relasi pada

adalah sel yang memuat

maka ~ menghasilkan

untuk semua

∈ . Konversnya,

yang menghasilkan partisi maka ~ adalah relasi ekivalensi.

Bukti:
Misal

adalah himpunan tak kosong dan ~ adalah relasi ekivalensi pada . Akan ditunjukkan

relasi ekivalensi ~ pada

menghasilkan partisi. Calon partisi dari relasi ekivalensi ~ pada

yai-

dimana 6 = ) ∈ .)~ . Akan ditunjukkan setiap sel dari ~7 adalah him-

tu ~7 = 6. ∈

punan tak kosong, saling asing, dan setiap gabungan dari sel tersebut sama dengan . Misal 6

adalah sebarang sel dari ~7 . Menurut pernyataan pertama teorema 2.1.1,

∈ 6 sehingga 6 ≠ ∅

maka terbukti setiap sel dari ~7 adalah himpunan tak kosong. Selanjutnya akan dibuktikan setiap
sel dari ~7 saling asing. Ambil sebarang ) ∈ 6 maka ) ∈

dan )~ . Karena ~ adalah relasi

ekivalensi sehingga menurut definisi 2.1.4 berlaku8 ~) sehingga )~). Jadi ) ∈ )1 maka 6 ⊆ )1 .
Ambil sebarang
teorema 2.1.1,

∈ )1 maka ~) sehingga menurut definisi 2.1.4, )~ maka ~ . Jadi menurut

∈ 6 sehingga 6 = )1 . Menurut teorema 2.1.1, 6 = )1 jika dan hanya jika

6 ∩ )1 ≠ ∅. Pernyataan tersebut ekivalen dengan 6 ≠ )1 jika dan hanya jika 6 ∩ )1 = ∅. Jadi ter-

bukti 6 ∩ )1 = ∅. Menurut teorema 2.1.1, setiap elemen dari
gabungan dari sel tersebut sama dengan

. Jadi terbukti ~7 adalah partisi dari

akan dibuktikan konversnya. Misal 9 adalah partisi dari
isikan 9 =

. ∈

dan didefinisikan relasi ~ pada

. Selanjutnya

dengan himpunan indeks . Didefin-

sebagai berikut, untuk setiap +, : ∈ ,

+~: jika dan hanya jika terdapat ∈ sedemikian sehingga + ∈
~ adalah relasi ekivalensi pada

terletak pada satu sel sehingga

dan : ∈

. Akan ditunjukkan

. Jelas ~ adalah relasi yang refleksif, sebab terdapat

∈

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
sedemikian sehingga + ∈

dan + ∈

9

untuk setiap ) ∈ . Selain itu untuk setiap +, : ∈
dan : ∈

+~: maka terdapat ∈ sedemikian sehingga + ∈
terdapat ∈ sedemikian sehingga : ∈

dan + ∈

jika

. Ekivalen dengan jika +~: maka

. Akibatnya menurut relasi yang didefinisi-

kan, :~+ sehingga menurut definisi 2.1.4, relasi ~ bersifat simetris. Selanjutnya untuk setiap
∈

:∈

jika +~: dan :~

>

2.1.3,

dan
=

=

∈

>

>.

maka terdapat • ! ) dengan

! ≠ 0 untuk suatu = 1,2, … , " dan ! ∈ ℤ untuk = 1,2, … , " dan untuk setiap ) , ) ∈ … dan
) ≠ ) jika ≠ untuk setiap , .

2. Himpunan … membangun i dan ž¢• ! ) = 0 untuk ! ∈ ℤ dengan ) , ) ∈ … dan ) ≠ )

jika dan hanya jika ! = 0 untuk = 1,2, … , £.

Selanjutnya himpunan bagian … dari i pada teorema 2.1.18 disebut

+ +8A £ 8a£¤¥8i.

Bukti:
B1 → 2C

Mula-mula akan dibuktikan 0 ∉ …. Andaikan 0 ∈ …, dan

= ž>• ! ) + ℎ0 = 8 ž>• ! ) + ℎ 0 dimana ℎ tidak perlu sama dengan ℎ . Kontradiksi

dengan

dapat dinyatakan secara tunggal sebagai

≠ 0 maka

dapat dinyatakan secara tunggal sebagai

= ž>• ! ) . Diketahui jika

∈ i dan

= ž>• ! ) dengan ! ≠ 0 untuk sua-

tu = 1,2, … , " dimana ! ∈ ℤ untuk = 1,2, … , " dan ) , ) ∈ … dan ) ≠ ) dimana ≠ un-

tuk = 1,2, … , " dan = 1,2, … , " maka menurut definisi 2.1.19 berlaku … membangun i.

B←C

Diketahui ! = 0 untuk = 1,2, … , £ maka jelas ž¢• ! ) = 0.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

33

B→C

Sebaliknya diketahui ž¢• ! ) = 0 untuk ! ∈ ℤ dengan ) , ) ∈ … dan ) ≠ ) . Andaikan ada
¦ dan 1 ≤ ¦ ≤ £ dan !§ ≠ 0 maka ) + ž¢• ! ) = ) = B! + 1C) + ž¢• ! ) sehingga
terdapat dua cara penulisan ) . Kontradiksi dengan penulisan setiap elemen di i adalah tunggal.

B2 → 1C

Diketahui … membangun i maka menurut definisi 2.1.19, setiap a ∈ i dapat dinyatakan sebagai

ž>• ¦ ) dan ¦ ∈ ℤ untuk setiap . Andaikan ada
ž>•

ž>• _
≠

)

≠

dimana

untuk setiap

− ` ) = 0 sehingga _

. Jadi

= ž>•

∈ i dan

= 1,2, … , " maka ž>•

− ` = 0 untuk setiap

) dengan

≠ 0 dan

maka

≠ 0 untuk suatu

=

= ž>•

) − _ž>•

) =

)`=

. Kontradiksi dengan

= 1,2, … , " dimana

∈ ℤ untuk

= 1,2, … , " dan ) , ) ∈ … dan ) ≠ ) dimana ≠ untuk = 1,2, … , " dan = 1,2, … , ".

∎

Definisi 2.1.28
Grup komutatif i ≠ 0 terhadap operasi penjumlahan disebut bebas jika dan hanya jika i

mempunyai basis dari grup i.
Contoh 2.1.29

Menurut contoh 2.1.28, ℤ dibangun secara berhingga oleh B1,0C, B0,1C . Jelas ℤ adalah grup
komutatif sebab untuk setiap B , C, B , AC ∈ ℤ

berlaku B , C + B , AC = B + , + AC =

B + , A + C = B , AC + B , C. Selanjutnya akan dibuktikan B1,0C, B0,1C adalah basis dari

ℤ . Misal B0,0C =

B1,0C +

B0,1C untuk suatu

,

∈ ℤ sehingga B0,0C = B ,

C maka

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

34

= 0. Kare