Kebebasan linear godran-minoux dan regularitas dalam aljabar mark plus AnnisaM0112010 2
KEBEBASAN LINEAR GONDRAN-MINOUX DAN
REGULARITAS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS
Annisa Rahmawati, Siswanto, Muslich
Program Studi Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sebelas Maret
Abstrak. Aljabar maks-plus merupakan suatu himpunan Rmax dimana Rmax = R ∪
{−∞} yang dilengkapi operasi maksimum ⊕ dan penjumlahan ⊗. Himpunan matriks
n×n
berukuran n × n atas aljabar maks-plus dinotasikan sebagai Rmax
. Penelitian ini bertujuan untuk membahas mengenai kebebasan linear Gondran-Minoux dan regularitas serta
menyelidiki hubungan antara matriks reguler kuat dengan matriks Gondran-Minoux ren×n
guler. Matriks A ∈ Rmax
dikatakan reguler kuat jika dan hanya jika permanen kuat.
Untuk menentukan nilai permanen pada matriks, perlu dicari permutasi matriks yang
memiliki bobot maksimum. Selanjutnya, matriks dikatakan memiliki permanen kuat apan×n
bila hanya terdapat satu permutasi yang memiliki bobot maksimum. Matriks A ∈ Rmax
+
−
dikatakan Gondran minoux reguler jika ap(A) ⊆ Pn atau ap(A) ⊆ Pn . Berdasarkan
hasil dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa setiap matriks yang reguler kuat adalah
Gondran-Minoux reguler dan himpunan vektor dikatakan bebas linear Gondran-Minoux
jika himpunan vektor tidak dapat dipartisi menjadi dua subhimpunan saling asing yang
membentuk ruang linear.
Kata Kunci: Aljabar maks-plus, matriks, permutasi, kebebasan linear Gondran-Minoux,
reguler kuat, Gondran-Minoux reguler.
1. Pendahuluan
Aljabar linear merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang banyak
digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan nyata. Adapun masalah
dalam kehidupan nyata tersebut antara lain masalah penjadwalan mesin produksi
dalam sebuah perusahaan atau pabrik, antrian dan proses jaringan. Selain digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan nyata, aljabar juga berguna
sebagai bahan riset para ilmuan, antara lain teori graf dan teori automata dimana
permasalahan riset tersebut akan lebih mudah untuk dipahami dengan menggunakan teori-teori dalam aljabar.
Menurut Konigsberg[10] aljabar maks-plus adalah himpunan Rmax dimana
Rmax = R ∪ {−∞} yang dilengkapi dua operasi penjumlahan ’⊕ = max’ dan perkalian ’⊗ = +’ dan dinotasikan dengan Rmax = (Rmax , ⊕, ⊗, ε, e). Elemen Identitas
untuk penjumlahan adalah −∞ (yang selanjutnya dinotasikan ε) dan elemen identitas untuk perkalian adalah e, dimana nilai e = 0.
Seiring dengan perkembangan aljabar maks-plus, banyak penelitian yang telah dilakukan yang membuat aljabar maks-plus semakin berkembang. Salah satu
1
Kebebasan Linear Gondran-Minoux dan Regularitas . . .
A. Rahmawati, Siswanto, Muslich
penelitian yang dilakukan adalah mengenai kebebasan linear atas maks-plus. Berawal dari Cunninghame-Green[5] yang mendefinisikan kebebasan linear secara lemah.
Himpunan vektor dikatakan bebas linear secara lemah jika himpunan tersebut tidak
memuat suatu vektor yang merupakan kombinasi linear dari vektor lain. Selanjutnya, Izhakian[9] berpendapat bahwa suatu himpunan vektor dikatakan bebas linear
secara tropical jika himpunan vektor tidak memuat kombinasi linear dari vektorvektor pada himpunan tersebut sedemikian sehingga nilai maksimum dari tiap baris
diperoleh paling tidak dua kali. Selanjutnya, Gondran-Minoux[7] mempunyai definisi yang berbeda tentang kebebasan linear. Gondran-Minoux mendefinisikan kebebasan linear dari suatu himpunan yaitu himpunan vektor dikatakan bebas linear
jika himpunan tersebut tidak dapat dipartisi menjadi dua subhimpunan saling asing
yang membangun sebuah ruang linear.
Pada tahun 2010, Tam[12] mempublikasikan tesisnya yang memuat sistem linear pada aljabar maks-plus, himpunan bayangan dan matriks reguler kuat. Selanjutnya, pada tahun yang sama Butkovic[4] dalam bukunya menyebutkan bahwa setiap
matriks reguler kuat merupakan matriks reguler Gondran-Minoux. Oleh karena itu,
dalam artikel ini dikaji ulang mengenai kebebasan linear Gondran-Minoux dalam
aljabar maks-plus, termasuk matriks regular kuat dan matriks reguler GondranMinoux yang telah dibahas oleh Butkovic[4].
2. Graf Berarah dan Matriks atas Aljabar Maks-Plus
Berikut diberikan penjelasan mengenai graf berarah yang mengacu pada Farlow[6]
Definisi 2.1. Graf berarah D merupakan pasangan (V, E) dimana V adalah himpunan vertex dari graf D dan E adalah himpunan arcs (edge berarah) yaitu pasangan
berurutan dari vertex-vertex yang berbeda dari graf D.
Definisi 2.2. Misalkan D = (V, E) adalah digraf, π = (v1 , . . . , vp+1 ) disebut path
jika (v1 , . . . , vp+1 ) adalah barisan vertex, sedemikian sehingga vi ∈ V, ∀i = 1, . . . , p +
1 dan (vi , vi+1 ) ∈ E, ∀i = 1, . . . , p. Sebut v1 sebagai vertex awal dan vp+1 sebagai
vertex akhir sehingga path π memiliki panjang p.
Definisi 2.3. Misalkan D = (V, E) adalah digraf, σ = (v1 , . . . , vp+1 ) disebut cycle
jika σ merupakan path dan v1 = vp+1 . Cycle dengan panjang 1 disebut loop.
Definisi 2.4. Suatu cycle disebut cycle dasar jika tidak ada vertex yang diulang,
kecuali vertex awal.
2
2016
Kebebasan Linear Gondran-Minoux dan Regularitas . . .
A. Rahmawati, Siswanto, Muslich
Definisi 2.5. Himpunan matriks berukuran m × n dengan elemen-elemen Rmaks
m×n
atas aljabar maks-plus dinotasikan dengan Rmaks
untuk m, n ∈ N . Banyaknya baris
dalam suatu matriks adalah m dan banyaknya kolom adalah n. Himpunan tersebut
dapat dinyatakan sebagai
m×n
Rmaks
a11 a12
a21 a22
=
..
..
.
.
am1 am2
···
···
..
.
a1n
a2n
..
.
···
amn
|aij ∈ Rmaks .
Elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j dinotasikan dengan aij . Matriks tersebut
dapat dituliskan sebagai A = (aij ) dengan i = 1, 2, . . . , m dan j = 1, 2, . . . , n.
n×n
Definisi 2.6. Matriks A ∈ Rmaks
disebut normal jika semua elemen diagonalnya
bernilai nol dan elemen-elemen yang lain bernilai non-positif.
n×n
Definisi 2.7. Diberikan matriks A = (aij ) ∈ Rmaks
, ZA adalah digraf nol dari
matriks A dengan verteks himpunan N yang memiliki arc (i, j) jika dan hanya jika
aij = e dengan i ̸= j.
3. Permutasi
Berikut diberikan definisi permutasi yang mengacu pada Meyer[11].
Definisi 3.1. Suatu n-permutasi yang dinotasikan dengan Pn adalah himpunan barisan bilangan yang terdiri dari bilangan-bilangan 1, 2, 3, · · · , n.
Setiap permutasi adalah hasil dari cycle sehingga Butkovic mendefinisikan sign
dari permutasi siklik (cycle) sebagai berikut.
Definisi 3.2. Sign dari permutasi siklik ( cycle) σ = (i1 i2 · · · ik ) adalah sgn(σ) =
(−1)k−1 . Bilangan integer k dikatakan panjang dari cycle σ.
Definisi 3.3. Jika π1 , . . . , πr adalah konstituen cycle dari permutasi π ∈ Pn maka
sign π adalah
sgn(π) = sgn(π1 ) · · · sgn(πk ).
Definisi 3.4. Permutasi π dikatakan ganjil jika sgn(π) = −1 dan genap untuk yang
lain.
Lema 3.1. Jika π adalah permutasi ganjil maka setidaknya satu dari konstituen
cycle π memiliki panjang genap.
3
2016
Kebebasan Linear Gondran-Minoux dan Regularitas . . .
A. Rahmawati, Siswanto, Muslich
Selanjutnya, diperkenalkan simbol Pn+ sebagai himpunan permutasi genap dan
Pn− sebagai himpunan permutasi ganjil yang akan digunakan untuk merumuskan
kriteria regularitas.
Definisi 3.5.
ap+ (A) = ap(A) ∩ Pn+
ap− (A) = ap(A) ∩ Pn− .
Selanjutnya, Farlow[6] mendefinisikan matriks permutasi sebagai berikut.
Definisi 3.6. Matriks permutasi adalah sebuah matriks persegi dengan setiap baris
dan setiap kolom memuat tepat satu elemen sama dengan 0 dan elemen yang lain
sama dengan ε. Jika π : {1, 2, · · · , n} → {1, 2, · · · , n} adalah sebuah permutasi,
Maka matriks permutasi dari π (Pπ = (pij )) didefinisikan sebagai
{
0, untuk i = π(j)
pij =
ε, untuk i ̸= π(j)
sedemikian hingga kolom ke-j dari Pπ memiliki elemen 0 pada baris π(j).
n×n
Definisi 3.7. Misalkan A ∈ Rmaks
dan π, σ ∈ Pn , A(σ, π) merupakan matriks
yang diperoleh dari matriks A dengan mempermutasi baris-baris (kolom-kolom) A
dengan σ(π). Oleh karena itu, untuk suatu matriks permutasi P dan Q berlaku
n×n
A(σ, π) = P ⊗ A ⊗ Q. Menurut Goverde[8], suatu matriks permutasi P ∈ Rmax
n×n
dan matriks B ∈ Rmax
, hasil dari P ⊗ B adalah perubahan baris dari B dan B ⊗ P
merupakan perubahan kolom dari B.
4. Permanen
Berikut diberikan penjabaran mengenai permanen yang mengacu pada Butkovic[3].
n×n
Diberikan A = (aij ) ∈ Rmaks
dan Pn adalah himpunan semua permutasi dari N .
Permanen maks-aljabar dari A dapat didefinisikan sebagai berikut.
maper(A) =
⊕⊗
ai,π(i) .
π∈Pn i∈N
Apabila dibaca dengan notasi aljabar konvensional menjadi
maper(A) = maksπ∈Pn
∑
ai,π(i) .
i∈N
4
2016
Kebebasan Linear Gondran-Minoux dan Regularitas . . .
A. Rahmawati, Siswanto, Muslich
Selanjutnya, bobot dari permutasi π untuk π ∈ Pn didefinisikan
w(A, π) =
⊗
ai,π(i) =
∑
ai,π(i) .
i∈N
i∈N
Himpunan dari semua permutasi optimal dinotasikan dengan ap(A), yaitu
ap(A) = {π ∈ Pn ; maper(A) =
∑
ai,π(i) }.
i∈N
Definisi 4.1. Matriks A dikatakan memiliki permanen kuat jika |ap(A)| = 1.
5. Pembahasan
5.1. Kebebasan Linear pada Aljabar Maks-Plus.
Berikut diberikan definisi dan Teorema mengenai kebebasan linear yang diambil
dari Tam[12].
m
. Vektor-vektor tersebut
Definisi 5.1. Diberikan vektor-vektor a1 , a2 , . . . , an ∈ Rmax
dikatakan bergantung linear jika salah satu dari vektor tersebut dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linear dari yang lain. Sebaliknya, vektor-vektor dikatakan bebas
linear apabila tidak bergantung linear.
Definisi 5.2. vektor-vektor dikatakan bebas linear kuat jika terdapat b ∈ Rn sedemim
kian sehingga b dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari a1 , a2 , . . . , an ∈ Rmax
secara tunggal.
Definisi 5.3. Matriks A = (a1 , a2 , . . . , an ) dengan vektor-vektor a1 , a2 , . . . , an yang
bebas linear kuat disebut matriks reguler kuat jika ukuran matriks m = n.
Lema 5.1. Misalkan A matriks persegi. Jika A adalah matriks reguler kuat maka
A memiliki permanen kuat.
n×n
Lema 5.2. Jika A ∈ Rmax
dan A ∼ B maka ap(A) = ap(B).
5.2. Kebebasan Linear Gondran-Minoux.
Konsep lain dari kebebasan linear pada aljabar maks-plus adalah kebebasan linear Gondran-Minoux. Pada bagian ini dibahas mengenai kebebasan linear GondranMinoux untuk matriks yang terbatas. Berikut Akian et al.,[2] memberikan definisi
mengenai kebebasan linear Gondran-Minoux.
Definisi 5.4. Vektor-vektor a1 , a2 , · · · , an ∈ Rm dikatakan bergantung linear GondranMinoux jika terdapat dua subhimpunan S, T ⊆ K := {1, . . . , k}, S ∩ T = ∅,
5
2016
Kebebasan Linear Gondran-Minoux dan Regularitas . . .
A. Rahmawati, Siswanto, Muslich
S ∪ T = K, dan α1 , . . . , αk ∈ R sedemikian hingga
⊕
⊕
α i ⊗ ai =
αj ⊗ aj .
i∈S
(1)
j∈T
Namun, jika persamaan (1) tidak terpenuhi maka vektor-vektor tersebut dikatakan bebas linear Gondran-Minoux. Matriks persegi dengan kolom-kolom yang bebas
linear Gondran-Minoux disebut Gondran-Minoux reguler.
Berikut diberikan contoh vektor yang bergantung linear Gondran-Minoux berdasarkan Definisi 5.4 yang diambil dari Akian [2].
Contoh 5.1. Diberikan vektor vi := [i, 1, −i]t dengan i = 1, 2, 3, 4. Vektor vi bergantung linear Gondran-minoux karena memenuhi
1 ⊗ v1 ⊕ 2 ⊗ v3 = 2 ⊗ v2 ⊕ 1 ⊗ v4 .
n×n
maka ap(A) ⊆ Pn+ atau ap(A) ⊆ Pn−
Teorema 5.1. Jika matriks A ∈ Rmax
Gondran-Minoux reguler.
Bukti. Setiap matriks adalah ekuivalen dengan bentuk normalnya, sehingga matriks
A ekuivalen dengan matriks normal B = P ⊗ A ⊗ Q dengan P dan Q adalah
matriks diagonal sedemikian sehingga id ∈ ap(B) dan id adalah permutasi genap
(ap(B) ⊆ Pn+ ). Matriks A reguler jika dan hanya jika matriks normal B reguler.
Oleh karena B adalah matriks normal, maka maper(B) = 0 sehingga ap(B) =
{π ∈ Pn ; bi,π(i) = 0}. Jika π ∈ ap(B) maka semua unsur cycle permutasi dari
π dapat diidentifikasi sebagai cycle pada digraf ZB . Cycle pada digraf dikatakan
ganjil (genap) jika memiliki panjang ganjil (genap). Jika terdapat cycle genap pada
ZB , misal L = (i1 , i2 , . . . , ik ) dan dilengkapi dengan loop (i, i) untuk i ∈ N − L,
maka cycle permutasi yang bersesuaian berada pada bagian ganjil.
w(π, B) =
=
≥
=
≥
∏⊗
∏⊗
bi,π(i)
i̸∈L bii ⊗
∏⊗
∏i∈L
⊗
bii ⊗ i∈L 0
∏i̸⊗∈L
i∈N bii
w(id, B)
w(π, B).
Oleh karena π ∈ Pn dan π ∈ Pn− maka π ∈ ap− (B) dimana id ∈ ap+ (B).
n×n
Akibat 5.2. Diberikan matriks A ∈ Rmax
dan matriks B merupakan bentuk normal
dari matriks A. Jika matriks A adalah reguler Gondran-Minoux maka ZB tidak
mengandung cycle genap.
6
2016
Kebebasan Linear Gondran-Minoux dan Regularitas . . .
A. Rahmawati, Siswanto, Muslich
Bukti. Matriks A reguler jika dan hanya jika matriks B juga reguler. Regularitas
dari matriks normal B = (bij ) ekuivalen dengan ketidakberadaan permutasi ganjil
σ ∈ Pn pada matriks normal B sedemikian sehingga bi,σ(i) = 0 untuk setiap i ∈
N . Berdasarkan Lema 3.1 berarti terbukti bahwa jika matriks A adalah reguler
Gondran-Minoux maka ZB tidak mengandung cycle genap.
Akibat 5.3. Setiap matriks reguler kuat adalah Gondran-Minoux reguler
Bukti. Mengacu pada Lema 5.1 bahwa setiap matriks reguler kuat pasti permanen
kuat. Artinya |ap(A)| = 1. Oleh karena permutasi yang memenuhi adalah tunggal, misalkan π, pasti π memenuhi salah satu dari permutasi ganjil atau permutasi
genap. Sehingga pasti terpenuhi salah satu dari ap(A) ⊆ Pn+ atau ap(A) ⊆ Pn− .
Dengan demikian berdasarkan Teorema 5.1 terbukti bahwa setiap matriks reguler
kuat adalah Gondran-Minoux reguler.
Teorema 5.4. Jika matriks A ∈ Rm×n memiliki kolom-kolom yang bebas linear
Gondran-Minoux maka m ≥ n.
Bukti. Andaikan A = (aij ) ∈ Rm×n dan m < n, dibuktikan bahwa A memiliki kolom-kolom bergantung linear. Dikarenakan kolom-kolom bebas linear tidak
terpengaruh oleh perkalian ⊗ kolom dengan konstanta, diasumsikan tanpa menghilangkan keumuman bahwa baris terakhir matriks A adalah nol. Misalkan B adalah
submatriks m × m dari A dengan maper(B) maksimum. Diasumsikan juga bahwa
B mencakup kolom m pertama matriks A dan id ∈ ap(B). Selanjutnya, diberikan matriks C merupakan matriks n × n yang muncul dengan penambahan n − m
baris nol pada A. Jelas bahwa maper(C) = maper(B) dan ap(C) memuat permutasi yang merupakan perpanjangan id dari ap(B) ke permutasi N . Ketika A telah
memiliki baris nol dan ditambahkan setidaknya satu lagi, maka C memiliki paling
tidak dua baris nol, dengan demikian ap(C) memuat paling tidak sepasang permutasi yang berbeda. Dengan demikian, berdasarkan Teorema 5.1 C bukan reguler
Gondran-Minoux dan jika kolom C dinotasikan dengan C1 , · · · , Cn maka didapat
⊕
∑
α j ⊗ Cj =
⊕
∑
α j ⊗ Cj
j∈T
j∈S
berlaku untuk α ∈ R, S dan T dua buah sub himpunan disjoint tidak kosong
dari himpunan N .
6. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan.
7
2016
Kebebasan Linear Gondran-Minoux dan Regularitas . . .
A. Rahmawati, Siswanto, Muslich
(1) Suatu himpunan vektor dikatakan bebas linear Gondran-Minoux jika himpunan vektor tersebut tidak dapat dipartisi menjadi dua subhimpunan yang
saling asing yang membangun sebuah ruang linear. Jika matriks A ∈ Rm×n
Gondran-Minoux reguler maka m ≥ n.
(2) Hubungan antara matriks reguler kuat dan Gondran minoux reguler tertera
pada Akibat5.3.
Pustaka
[1] Akian, M., G. Kohen, S. Gaubert, J. P. Quadrat, and M. Viot,Max-Plus Algebra and Applications to System Theory and Optimal Control, Proceeding of the Internasional Congress of
Mathematicians,(1994) 1502-1511.
[2] Akian, M., S. Gaubert, and A. Guterman,Linear Independence Over Tropical Semirings and
Beyond.
[3] Butkovic, P.,Strong Regularity of Matrices-a Survey of Result, Discrete Applied Mathematics
48 (1994) 45-68.
[4] Butkovic, P.,Max Linear System: Theory and Algoritm, Springer,London, 2010.
[5] Cunninghame-Green, R.A.,Minimax Algebra, Lecture Notes in Economics and Mathematical
System, Springer, Berlin, Vol. 166,1979.
[6] Farlow, K. G., Max-Plus Algebra, Master’s thesis, Virginia Polytechnic Institute and State
University, 2009.
[7] Gondran, M. and M. Minoux, Linear Algebra in Dioids: A Survey of Recent Result, Annal of
Discreate Mathematics, Elsevie Science publisher B.V. North Holland.Vol. 119 (1984),147164.
[8] Goverde, R. M. P., Punctuality of Railway Operations and Timeable Stability Analysis, Ph.D
thesis, Transport and Planning Department of Delft University of Technology, 2005.
[9] Izhakian,Z., Tropical Arithmetic and Tropical Matriks Algebra, 2008.
[10] Konigsberg,Z. R., A Generalized Eigenmode Algorithm for Reducible Regular Matrices Over
The Max-Plus Algebra, International Mathematichal Forum, Instituto Politecnico Nacional,
CIC, Mexico, (2009) 1157-1171.
[11] Meyer, C. D., Matriks Analysis and Applied Linear Algebra, The Macmillan Publishing Company, New York, 2000.
[12] Tam, K. P., Optimizing and Approximating Eigen Vectors in Max-Algebra, University of Birmingham, Birmingham, 2010.
8
2016
REGULARITAS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS
Annisa Rahmawati, Siswanto, Muslich
Program Studi Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sebelas Maret
Abstrak. Aljabar maks-plus merupakan suatu himpunan Rmax dimana Rmax = R ∪
{−∞} yang dilengkapi operasi maksimum ⊕ dan penjumlahan ⊗. Himpunan matriks
n×n
berukuran n × n atas aljabar maks-plus dinotasikan sebagai Rmax
. Penelitian ini bertujuan untuk membahas mengenai kebebasan linear Gondran-Minoux dan regularitas serta
menyelidiki hubungan antara matriks reguler kuat dengan matriks Gondran-Minoux ren×n
guler. Matriks A ∈ Rmax
dikatakan reguler kuat jika dan hanya jika permanen kuat.
Untuk menentukan nilai permanen pada matriks, perlu dicari permutasi matriks yang
memiliki bobot maksimum. Selanjutnya, matriks dikatakan memiliki permanen kuat apan×n
bila hanya terdapat satu permutasi yang memiliki bobot maksimum. Matriks A ∈ Rmax
+
−
dikatakan Gondran minoux reguler jika ap(A) ⊆ Pn atau ap(A) ⊆ Pn . Berdasarkan
hasil dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa setiap matriks yang reguler kuat adalah
Gondran-Minoux reguler dan himpunan vektor dikatakan bebas linear Gondran-Minoux
jika himpunan vektor tidak dapat dipartisi menjadi dua subhimpunan saling asing yang
membentuk ruang linear.
Kata Kunci: Aljabar maks-plus, matriks, permutasi, kebebasan linear Gondran-Minoux,
reguler kuat, Gondran-Minoux reguler.
1. Pendahuluan
Aljabar linear merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang banyak
digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan nyata. Adapun masalah
dalam kehidupan nyata tersebut antara lain masalah penjadwalan mesin produksi
dalam sebuah perusahaan atau pabrik, antrian dan proses jaringan. Selain digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan nyata, aljabar juga berguna
sebagai bahan riset para ilmuan, antara lain teori graf dan teori automata dimana
permasalahan riset tersebut akan lebih mudah untuk dipahami dengan menggunakan teori-teori dalam aljabar.
Menurut Konigsberg[10] aljabar maks-plus adalah himpunan Rmax dimana
Rmax = R ∪ {−∞} yang dilengkapi dua operasi penjumlahan ’⊕ = max’ dan perkalian ’⊗ = +’ dan dinotasikan dengan Rmax = (Rmax , ⊕, ⊗, ε, e). Elemen Identitas
untuk penjumlahan adalah −∞ (yang selanjutnya dinotasikan ε) dan elemen identitas untuk perkalian adalah e, dimana nilai e = 0.
Seiring dengan perkembangan aljabar maks-plus, banyak penelitian yang telah dilakukan yang membuat aljabar maks-plus semakin berkembang. Salah satu
1
Kebebasan Linear Gondran-Minoux dan Regularitas . . .
A. Rahmawati, Siswanto, Muslich
penelitian yang dilakukan adalah mengenai kebebasan linear atas maks-plus. Berawal dari Cunninghame-Green[5] yang mendefinisikan kebebasan linear secara lemah.
Himpunan vektor dikatakan bebas linear secara lemah jika himpunan tersebut tidak
memuat suatu vektor yang merupakan kombinasi linear dari vektor lain. Selanjutnya, Izhakian[9] berpendapat bahwa suatu himpunan vektor dikatakan bebas linear
secara tropical jika himpunan vektor tidak memuat kombinasi linear dari vektorvektor pada himpunan tersebut sedemikian sehingga nilai maksimum dari tiap baris
diperoleh paling tidak dua kali. Selanjutnya, Gondran-Minoux[7] mempunyai definisi yang berbeda tentang kebebasan linear. Gondran-Minoux mendefinisikan kebebasan linear dari suatu himpunan yaitu himpunan vektor dikatakan bebas linear
jika himpunan tersebut tidak dapat dipartisi menjadi dua subhimpunan saling asing
yang membangun sebuah ruang linear.
Pada tahun 2010, Tam[12] mempublikasikan tesisnya yang memuat sistem linear pada aljabar maks-plus, himpunan bayangan dan matriks reguler kuat. Selanjutnya, pada tahun yang sama Butkovic[4] dalam bukunya menyebutkan bahwa setiap
matriks reguler kuat merupakan matriks reguler Gondran-Minoux. Oleh karena itu,
dalam artikel ini dikaji ulang mengenai kebebasan linear Gondran-Minoux dalam
aljabar maks-plus, termasuk matriks regular kuat dan matriks reguler GondranMinoux yang telah dibahas oleh Butkovic[4].
2. Graf Berarah dan Matriks atas Aljabar Maks-Plus
Berikut diberikan penjelasan mengenai graf berarah yang mengacu pada Farlow[6]
Definisi 2.1. Graf berarah D merupakan pasangan (V, E) dimana V adalah himpunan vertex dari graf D dan E adalah himpunan arcs (edge berarah) yaitu pasangan
berurutan dari vertex-vertex yang berbeda dari graf D.
Definisi 2.2. Misalkan D = (V, E) adalah digraf, π = (v1 , . . . , vp+1 ) disebut path
jika (v1 , . . . , vp+1 ) adalah barisan vertex, sedemikian sehingga vi ∈ V, ∀i = 1, . . . , p +
1 dan (vi , vi+1 ) ∈ E, ∀i = 1, . . . , p. Sebut v1 sebagai vertex awal dan vp+1 sebagai
vertex akhir sehingga path π memiliki panjang p.
Definisi 2.3. Misalkan D = (V, E) adalah digraf, σ = (v1 , . . . , vp+1 ) disebut cycle
jika σ merupakan path dan v1 = vp+1 . Cycle dengan panjang 1 disebut loop.
Definisi 2.4. Suatu cycle disebut cycle dasar jika tidak ada vertex yang diulang,
kecuali vertex awal.
2
2016
Kebebasan Linear Gondran-Minoux dan Regularitas . . .
A. Rahmawati, Siswanto, Muslich
Definisi 2.5. Himpunan matriks berukuran m × n dengan elemen-elemen Rmaks
m×n
atas aljabar maks-plus dinotasikan dengan Rmaks
untuk m, n ∈ N . Banyaknya baris
dalam suatu matriks adalah m dan banyaknya kolom adalah n. Himpunan tersebut
dapat dinyatakan sebagai
m×n
Rmaks
a11 a12
a21 a22
=
..
..
.
.
am1 am2
···
···
..
.
a1n
a2n
..
.
···
amn
|aij ∈ Rmaks .
Elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j dinotasikan dengan aij . Matriks tersebut
dapat dituliskan sebagai A = (aij ) dengan i = 1, 2, . . . , m dan j = 1, 2, . . . , n.
n×n
Definisi 2.6. Matriks A ∈ Rmaks
disebut normal jika semua elemen diagonalnya
bernilai nol dan elemen-elemen yang lain bernilai non-positif.
n×n
Definisi 2.7. Diberikan matriks A = (aij ) ∈ Rmaks
, ZA adalah digraf nol dari
matriks A dengan verteks himpunan N yang memiliki arc (i, j) jika dan hanya jika
aij = e dengan i ̸= j.
3. Permutasi
Berikut diberikan definisi permutasi yang mengacu pada Meyer[11].
Definisi 3.1. Suatu n-permutasi yang dinotasikan dengan Pn adalah himpunan barisan bilangan yang terdiri dari bilangan-bilangan 1, 2, 3, · · · , n.
Setiap permutasi adalah hasil dari cycle sehingga Butkovic mendefinisikan sign
dari permutasi siklik (cycle) sebagai berikut.
Definisi 3.2. Sign dari permutasi siklik ( cycle) σ = (i1 i2 · · · ik ) adalah sgn(σ) =
(−1)k−1 . Bilangan integer k dikatakan panjang dari cycle σ.
Definisi 3.3. Jika π1 , . . . , πr adalah konstituen cycle dari permutasi π ∈ Pn maka
sign π adalah
sgn(π) = sgn(π1 ) · · · sgn(πk ).
Definisi 3.4. Permutasi π dikatakan ganjil jika sgn(π) = −1 dan genap untuk yang
lain.
Lema 3.1. Jika π adalah permutasi ganjil maka setidaknya satu dari konstituen
cycle π memiliki panjang genap.
3
2016
Kebebasan Linear Gondran-Minoux dan Regularitas . . .
A. Rahmawati, Siswanto, Muslich
Selanjutnya, diperkenalkan simbol Pn+ sebagai himpunan permutasi genap dan
Pn− sebagai himpunan permutasi ganjil yang akan digunakan untuk merumuskan
kriteria regularitas.
Definisi 3.5.
ap+ (A) = ap(A) ∩ Pn+
ap− (A) = ap(A) ∩ Pn− .
Selanjutnya, Farlow[6] mendefinisikan matriks permutasi sebagai berikut.
Definisi 3.6. Matriks permutasi adalah sebuah matriks persegi dengan setiap baris
dan setiap kolom memuat tepat satu elemen sama dengan 0 dan elemen yang lain
sama dengan ε. Jika π : {1, 2, · · · , n} → {1, 2, · · · , n} adalah sebuah permutasi,
Maka matriks permutasi dari π (Pπ = (pij )) didefinisikan sebagai
{
0, untuk i = π(j)
pij =
ε, untuk i ̸= π(j)
sedemikian hingga kolom ke-j dari Pπ memiliki elemen 0 pada baris π(j).
n×n
Definisi 3.7. Misalkan A ∈ Rmaks
dan π, σ ∈ Pn , A(σ, π) merupakan matriks
yang diperoleh dari matriks A dengan mempermutasi baris-baris (kolom-kolom) A
dengan σ(π). Oleh karena itu, untuk suatu matriks permutasi P dan Q berlaku
n×n
A(σ, π) = P ⊗ A ⊗ Q. Menurut Goverde[8], suatu matriks permutasi P ∈ Rmax
n×n
dan matriks B ∈ Rmax
, hasil dari P ⊗ B adalah perubahan baris dari B dan B ⊗ P
merupakan perubahan kolom dari B.
4. Permanen
Berikut diberikan penjabaran mengenai permanen yang mengacu pada Butkovic[3].
n×n
Diberikan A = (aij ) ∈ Rmaks
dan Pn adalah himpunan semua permutasi dari N .
Permanen maks-aljabar dari A dapat didefinisikan sebagai berikut.
maper(A) =
⊕⊗
ai,π(i) .
π∈Pn i∈N
Apabila dibaca dengan notasi aljabar konvensional menjadi
maper(A) = maksπ∈Pn
∑
ai,π(i) .
i∈N
4
2016
Kebebasan Linear Gondran-Minoux dan Regularitas . . .
A. Rahmawati, Siswanto, Muslich
Selanjutnya, bobot dari permutasi π untuk π ∈ Pn didefinisikan
w(A, π) =
⊗
ai,π(i) =
∑
ai,π(i) .
i∈N
i∈N
Himpunan dari semua permutasi optimal dinotasikan dengan ap(A), yaitu
ap(A) = {π ∈ Pn ; maper(A) =
∑
ai,π(i) }.
i∈N
Definisi 4.1. Matriks A dikatakan memiliki permanen kuat jika |ap(A)| = 1.
5. Pembahasan
5.1. Kebebasan Linear pada Aljabar Maks-Plus.
Berikut diberikan definisi dan Teorema mengenai kebebasan linear yang diambil
dari Tam[12].
m
. Vektor-vektor tersebut
Definisi 5.1. Diberikan vektor-vektor a1 , a2 , . . . , an ∈ Rmax
dikatakan bergantung linear jika salah satu dari vektor tersebut dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linear dari yang lain. Sebaliknya, vektor-vektor dikatakan bebas
linear apabila tidak bergantung linear.
Definisi 5.2. vektor-vektor dikatakan bebas linear kuat jika terdapat b ∈ Rn sedemim
kian sehingga b dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari a1 , a2 , . . . , an ∈ Rmax
secara tunggal.
Definisi 5.3. Matriks A = (a1 , a2 , . . . , an ) dengan vektor-vektor a1 , a2 , . . . , an yang
bebas linear kuat disebut matriks reguler kuat jika ukuran matriks m = n.
Lema 5.1. Misalkan A matriks persegi. Jika A adalah matriks reguler kuat maka
A memiliki permanen kuat.
n×n
Lema 5.2. Jika A ∈ Rmax
dan A ∼ B maka ap(A) = ap(B).
5.2. Kebebasan Linear Gondran-Minoux.
Konsep lain dari kebebasan linear pada aljabar maks-plus adalah kebebasan linear Gondran-Minoux. Pada bagian ini dibahas mengenai kebebasan linear GondranMinoux untuk matriks yang terbatas. Berikut Akian et al.,[2] memberikan definisi
mengenai kebebasan linear Gondran-Minoux.
Definisi 5.4. Vektor-vektor a1 , a2 , · · · , an ∈ Rm dikatakan bergantung linear GondranMinoux jika terdapat dua subhimpunan S, T ⊆ K := {1, . . . , k}, S ∩ T = ∅,
5
2016
Kebebasan Linear Gondran-Minoux dan Regularitas . . .
A. Rahmawati, Siswanto, Muslich
S ∪ T = K, dan α1 , . . . , αk ∈ R sedemikian hingga
⊕
⊕
α i ⊗ ai =
αj ⊗ aj .
i∈S
(1)
j∈T
Namun, jika persamaan (1) tidak terpenuhi maka vektor-vektor tersebut dikatakan bebas linear Gondran-Minoux. Matriks persegi dengan kolom-kolom yang bebas
linear Gondran-Minoux disebut Gondran-Minoux reguler.
Berikut diberikan contoh vektor yang bergantung linear Gondran-Minoux berdasarkan Definisi 5.4 yang diambil dari Akian [2].
Contoh 5.1. Diberikan vektor vi := [i, 1, −i]t dengan i = 1, 2, 3, 4. Vektor vi bergantung linear Gondran-minoux karena memenuhi
1 ⊗ v1 ⊕ 2 ⊗ v3 = 2 ⊗ v2 ⊕ 1 ⊗ v4 .
n×n
maka ap(A) ⊆ Pn+ atau ap(A) ⊆ Pn−
Teorema 5.1. Jika matriks A ∈ Rmax
Gondran-Minoux reguler.
Bukti. Setiap matriks adalah ekuivalen dengan bentuk normalnya, sehingga matriks
A ekuivalen dengan matriks normal B = P ⊗ A ⊗ Q dengan P dan Q adalah
matriks diagonal sedemikian sehingga id ∈ ap(B) dan id adalah permutasi genap
(ap(B) ⊆ Pn+ ). Matriks A reguler jika dan hanya jika matriks normal B reguler.
Oleh karena B adalah matriks normal, maka maper(B) = 0 sehingga ap(B) =
{π ∈ Pn ; bi,π(i) = 0}. Jika π ∈ ap(B) maka semua unsur cycle permutasi dari
π dapat diidentifikasi sebagai cycle pada digraf ZB . Cycle pada digraf dikatakan
ganjil (genap) jika memiliki panjang ganjil (genap). Jika terdapat cycle genap pada
ZB , misal L = (i1 , i2 , . . . , ik ) dan dilengkapi dengan loop (i, i) untuk i ∈ N − L,
maka cycle permutasi yang bersesuaian berada pada bagian ganjil.
w(π, B) =
=
≥
=
≥
∏⊗
∏⊗
bi,π(i)
i̸∈L bii ⊗
∏⊗
∏i∈L
⊗
bii ⊗ i∈L 0
∏i̸⊗∈L
i∈N bii
w(id, B)
w(π, B).
Oleh karena π ∈ Pn dan π ∈ Pn− maka π ∈ ap− (B) dimana id ∈ ap+ (B).
n×n
Akibat 5.2. Diberikan matriks A ∈ Rmax
dan matriks B merupakan bentuk normal
dari matriks A. Jika matriks A adalah reguler Gondran-Minoux maka ZB tidak
mengandung cycle genap.
6
2016
Kebebasan Linear Gondran-Minoux dan Regularitas . . .
A. Rahmawati, Siswanto, Muslich
Bukti. Matriks A reguler jika dan hanya jika matriks B juga reguler. Regularitas
dari matriks normal B = (bij ) ekuivalen dengan ketidakberadaan permutasi ganjil
σ ∈ Pn pada matriks normal B sedemikian sehingga bi,σ(i) = 0 untuk setiap i ∈
N . Berdasarkan Lema 3.1 berarti terbukti bahwa jika matriks A adalah reguler
Gondran-Minoux maka ZB tidak mengandung cycle genap.
Akibat 5.3. Setiap matriks reguler kuat adalah Gondran-Minoux reguler
Bukti. Mengacu pada Lema 5.1 bahwa setiap matriks reguler kuat pasti permanen
kuat. Artinya |ap(A)| = 1. Oleh karena permutasi yang memenuhi adalah tunggal, misalkan π, pasti π memenuhi salah satu dari permutasi ganjil atau permutasi
genap. Sehingga pasti terpenuhi salah satu dari ap(A) ⊆ Pn+ atau ap(A) ⊆ Pn− .
Dengan demikian berdasarkan Teorema 5.1 terbukti bahwa setiap matriks reguler
kuat adalah Gondran-Minoux reguler.
Teorema 5.4. Jika matriks A ∈ Rm×n memiliki kolom-kolom yang bebas linear
Gondran-Minoux maka m ≥ n.
Bukti. Andaikan A = (aij ) ∈ Rm×n dan m < n, dibuktikan bahwa A memiliki kolom-kolom bergantung linear. Dikarenakan kolom-kolom bebas linear tidak
terpengaruh oleh perkalian ⊗ kolom dengan konstanta, diasumsikan tanpa menghilangkan keumuman bahwa baris terakhir matriks A adalah nol. Misalkan B adalah
submatriks m × m dari A dengan maper(B) maksimum. Diasumsikan juga bahwa
B mencakup kolom m pertama matriks A dan id ∈ ap(B). Selanjutnya, diberikan matriks C merupakan matriks n × n yang muncul dengan penambahan n − m
baris nol pada A. Jelas bahwa maper(C) = maper(B) dan ap(C) memuat permutasi yang merupakan perpanjangan id dari ap(B) ke permutasi N . Ketika A telah
memiliki baris nol dan ditambahkan setidaknya satu lagi, maka C memiliki paling
tidak dua baris nol, dengan demikian ap(C) memuat paling tidak sepasang permutasi yang berbeda. Dengan demikian, berdasarkan Teorema 5.1 C bukan reguler
Gondran-Minoux dan jika kolom C dinotasikan dengan C1 , · · · , Cn maka didapat
⊕
∑
α j ⊗ Cj =
⊕
∑
α j ⊗ Cj
j∈T
j∈S
berlaku untuk α ∈ R, S dan T dua buah sub himpunan disjoint tidak kosong
dari himpunan N .
6. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan.
7
2016
Kebebasan Linear Gondran-Minoux dan Regularitas . . .
A. Rahmawati, Siswanto, Muslich
(1) Suatu himpunan vektor dikatakan bebas linear Gondran-Minoux jika himpunan vektor tersebut tidak dapat dipartisi menjadi dua subhimpunan yang
saling asing yang membangun sebuah ruang linear. Jika matriks A ∈ Rm×n
Gondran-Minoux reguler maka m ≥ n.
(2) Hubungan antara matriks reguler kuat dan Gondran minoux reguler tertera
pada Akibat5.3.
Pustaka
[1] Akian, M., G. Kohen, S. Gaubert, J. P. Quadrat, and M. Viot,Max-Plus Algebra and Applications to System Theory and Optimal Control, Proceeding of the Internasional Congress of
Mathematicians,(1994) 1502-1511.
[2] Akian, M., S. Gaubert, and A. Guterman,Linear Independence Over Tropical Semirings and
Beyond.
[3] Butkovic, P.,Strong Regularity of Matrices-a Survey of Result, Discrete Applied Mathematics
48 (1994) 45-68.
[4] Butkovic, P.,Max Linear System: Theory and Algoritm, Springer,London, 2010.
[5] Cunninghame-Green, R.A.,Minimax Algebra, Lecture Notes in Economics and Mathematical
System, Springer, Berlin, Vol. 166,1979.
[6] Farlow, K. G., Max-Plus Algebra, Master’s thesis, Virginia Polytechnic Institute and State
University, 2009.
[7] Gondran, M. and M. Minoux, Linear Algebra in Dioids: A Survey of Recent Result, Annal of
Discreate Mathematics, Elsevie Science publisher B.V. North Holland.Vol. 119 (1984),147164.
[8] Goverde, R. M. P., Punctuality of Railway Operations and Timeable Stability Analysis, Ph.D
thesis, Transport and Planning Department of Delft University of Technology, 2005.
[9] Izhakian,Z., Tropical Arithmetic and Tropical Matriks Algebra, 2008.
[10] Konigsberg,Z. R., A Generalized Eigenmode Algorithm for Reducible Regular Matrices Over
The Max-Plus Algebra, International Mathematichal Forum, Instituto Politecnico Nacional,
CIC, Mexico, (2009) 1157-1171.
[11] Meyer, C. D., Matriks Analysis and Applied Linear Algebra, The Macmillan Publishing Company, New York, 2000.
[12] Tam, K. P., Optimizing and Approximating Eigen Vectors in Max-Algebra, University of Birmingham, Birmingham, 2010.
8
2016