Model pergerakan harga saham menggunakan random walk dan gerak brown - USD Repository

   MODEL PERGERAKAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN RANDOM WALK DAN GERAK BROWN S K R I P S I

  Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

  Program Studi Matematika Disusun Oleh :

  GEORGE RIDHO SETYAWAN NIM : 053114010

  PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2009

  

MODEL OF STOCK PRICE MOVEMENT USING

RANDOM WALK AND BROWNIAN MOTION

T H E S I S

  Presented As a Partial Fulfillment of The Requirements to Obtain The Sarjana Sains Degree In Mathematics by :

  GEORGE RIDHO SETYAWAN Student Number : 053114010

  MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTEMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2009

  

S K R I P S I

MODEL PERGERAKAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN

RANDOM WALK DAN GERAK BROWN

  Oleh: George Ridho Setyawan

  NIM : 053114010 Telah disetujui oleh:

  Pembimbing Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si. Tanggal 25 Juni 2009

  S K R I P S I

MODEL PERGERAKAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN RANDOM WALK DAN GERAK BROWN

  Dipersiapkan dan ditulis oleh: George Ridho Setyawan

  NIM : 053114010 Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji

  Pada tanggal 15 Juli 2009 dan dinyatakan memenuhi syarat Susunan Panitia Penguji Ketua Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc.

  Sekertaris Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si. Anggota Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si.

  Yogyakarta, 15 Juli 2009 Fakultas Sains Dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Dekan Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T.

  

Pernyataan Keaslian Karya

  Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

  Yogyakarta, 25 Juni 2009 Penulis

  George Ridho Setyawan

  I asked for strength And God gave me difficulties to make me strong I asked for wisdom And God gave me problems to solve

  I asked for prosperity And God gave me a brain and brawn to work I asked for courage And God gave me dangers to overcome

  I asked for love And God gave me opportunities I received nothing I wanted I received everything I needed

  My prayer has been answered

  

ABSTRAK

  Random walk merupakan sebuah teori dalam probabilitas yang menyatakan bahwa pergerakkan sebuah partikel bersifat random. Dalam random walk, probabilitas untuk bergerak naik maupun turun adalah sama. Random walk yang simetrik merupakan random walk yang mempunyai probabilitas yang sama untuk dua nilai yang berbeda. Random walk termasuk suatu proses stokastik yang bersifat diskret.

  Gerak brown merupakan sebuah proses stokastik yang bersifat kontinu dan sering disebut sebagai Proses Wiener. Gerak brown dapat dibentuk dari sebuah random walk yang simetrik yaitu dengan mencari nilai limit dari distribusi random walk tersebut.

  Random walk dan gerak brown dapat dipakai untuk memodelkan pergerakkan harga saham. Model pergerakkan harga saham dengan kedua teori tersebut dapat memberikan gambaran yang mendekati kenyataannya.

  ABSTRACT

  The purpose of this study is to compare two models of probability theory; Random Walk and Brownian motion. According to random walk theory, a particle movement is random in nature. This movement whether up or down for two different values has an equal probability called symmetric random walk. Random walk is an example of discrete stochastic process.

  On the other hand, Brownian motion is an example of continuous stochastic process which also known as Wiener process. Brownian motion can be formed from a symmetric random walk by counting the limit of its distribution.

  Both Random Walk and Brownian motion can be used to predict the movement of stock price. The result shows that both models could predict close to actual stock price.

  KATA PENGANTAR

  Puji syukur dan terima kasih kepada Tuhan Yesus Kristus penolong dan juruselamat dalam hidupku yang oleh karena anugerah dan kemurahanNya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. Skripsi ini ditulis untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains di Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

  Skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik atas bantuan, gagasan, dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini perkenankanlah penulis menghaturkan terima kasih kepada :

  1. Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing yang telah banyak meluangkan waktu dan dengan penuh kesabaran membimbing penulis sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik.

  2. Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.

  3. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Ketua Program Studi Matematika yang telah banyak membantu.

  4. Ir. Ignatius Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku penguji yang telah banyak membantu dan memberi masukan kepada penulis.

  5. Prof. Frans Susilo, S.J., selaku dosen pembimbing akademik.

  6. Sudi Mungkasi, S.Si., M.Sc., dan Y.G. Hartono, S.Si., M.Sc., yang pernah menjadi dosen pembimbing akademik bagi penulis.

  7. Herry Pribawanto Suryawan, S.Si., M.Si., yang memberikan banyak ilmu serta keramahan yang diberikan selama kuliah.

  8. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan bekal ilmu yang sangat berguna bagi penulis.

  9. Bapak Tukijo dan Ibu Linda yang telah memberikan pelayanan administrasi selama penulis kuliah.

  10. Perpustakaan USD yang memberikan fasilitas dan kemudahan kepada penulis.

  11. Kedua orang tuaku serta adik dan kakakku yang selalu memberikan dukungan kepadaku.

  12. Eko Budi Santoso, S.E., M.Si. dan Irma Dhearni Saragih, S.E. yang sudah banyak membantu penulis serta memberikan dukungan selama penulis menyelesaikan skripsi ini.

  13. Keluarga besar Jehovah Nissi dan Full Blast yang sudah memberikan semangat kepada penulis.

  14. Teman-teman matematika angkatan 2005 : Ratna, Chris, Luis, Puput, Tyas, Nanin, Priskila,Vincent, Sisiria, Ine, Devi, Septi, Wuri, Susi, Echy, Dedy, Zetho, Yudhi, Sella, Vira.

  15. Keluarga besar PMK Oikumene.

  16. Keluarga besar Center City on A Hill.

  17. Semua pihak yang telah ikut membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

  Walaupun penulis telah berusaha menyelesaikan skripsi ini dengan sebaik- baiknya, namun penulis menyadari bahwa dalam skripsi ini masih terdapat kekurangan dan kekeliruan. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang dapat membangun dan menyempurnakan skripsi ini.

  Akhirnya, semoga skripsi ini dapat memberikan wawasan dan pengetahuan bagi pembaca demi perkembangan ilmu pengetahuan, khususnya matematika.

  Yogyakarta, 15 Juli 2009 Penulis LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma :

  Nama : George Ridho Setyawan NIM : 053114010 Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma, Karya Ilmiah saya yang berjudul :

  MODEL PERGERAKKAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN

RANDOM WALK DAN GERAK BROWN

  beserta perangkat-perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun member royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini saya buat sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal : 15 Juli 2009 Yang menyatakan (George Ridho Setyawan)

  

Daftar Isi

HALAMAN JUDUL

  i

  

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING iii

HALAMAN PENGESAHAN

  iv

HALAMAN KEASLIAAN KARYA

  v

HALAMAN PERSEMBAHAN

  vi

  ABSTRAK

  vii

  ABSTRACT

  viii

KATA PENGANTAR

  ix

DAFTAR ISI

  xii

  DAFTAR TABEL

  xiv

  DAFTAR GAMBAR

  xv

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah

  1 B. Perumusan Masalah

  3 C. Pembatasan Masalah

  3 D. Tujuan Penulisan

  3 E. Metode Penulisan

  4 F. Manfaat Penulisan

  4 G. Sistematika Penulisan

  4 BAB II LANDASAN TEORI

  A. Probabilitas 6

  B. Variabel Random dan Distribusinya

  9 C. Distribusi Bernoulli dan Binomial

  24 D. Distribusi Normal

  31

BAB III RANDOM WALK DAN GERAK BROWN A. Random Walk

  38 B. Gerak Brown

  65 C. Konstruksi Gerak Brown Menggunakan Random Walk Simetrik

  70 D. Ito’s Lemma

  77 BAB IV MODEL PERGERAKKAN HARGA SAHAM

  A. Model Random Walk

  81 B. Model Gerak Brown

  83 C. Perbandingan Model Random walk dengan Model Gerak Brown

  88 BAB V PENUTUP

  A. Kesimpulan

  91 B. Saran 92

DAFTAR PUSTAKA

  93 LAMPIRAN

  94

  

DAFTAR TABEL

  Tabel 2.1

  14 Tabel 3.1

  61 Tabel 3.2

  65 Tabel 4.1

  86 Tabel 4.2

  86

  

DAFTAR GAMBAR

  Gambar 2.1

  32 Gambar 2.2

  37 Gambar 3.1

  39 Gambar 3.2

  46 Gambar 3.3

  71 Gambar 3.4

  73 Gambar 4.1

  82 Gambar 4.2

  83 Gambar 4.3

  87 Gambar 4.4

  88 Gambar 4.5

  90 Gambar 4.6

  90

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Dalam bidang ekonomi saham merupakan suatu hal yang sering dibahas dan

  diperbicangkan. Saham adalah surat tanda kepemilikan terhadap sebuah perusahaan. Saham ditransaksikan di sebuah bursa efek melalui proses IPO (Initial Public Offering). Dengan menerbitkan saham, yang berarti menjual sebagian kepemilikan perusahaan kepada publik, perusahaan mendapatkan dana segar yang dapat digunakan untuk tujuan ekspansi, operasional atau yang lainnya. Dengan menerbitkan saham, nilai sebuah perusahaan menjadi lebih mudah untuk diukur.

  Saham termasuk instrumen investasi yang memiliki resiko tinggi karena pergerakan harganya yang cepat. Pergerakan harga dari sebuah perusahaan dipengaruhi oleh banyak hal seperti kinerja perusahaan, laporan keuangan perusahaan, kondisi ekonomi, estimasi bisnis di masa yang akan datang, dan banyak lainnya. Hal ini membuat harga saham berfluktuasi secara acak. Pada interval diskret (misalnya pengamatan per detik), harga dari saham tersebut diasumsikan dapat berubah menjadi lebih tinggi (meningkat) ataupun lebih rendah (menurun) satu unit dari harga saham sebelumnya . Dengan kata lain jika harga saham pada detik ke n adalah , maka harga saham pada detik ke n+1 adalah 1 1 atau

  1 1. Seiring dengan perkembangan zaman, pergerakan harga saham tersebut kemudian dibawa ke dalam bentuk sebuah model matematika yang dapat menggambarkan pola pergerakan harga saham tersebut. Salah satu model yang dikembangkan adalah model random walk dan model gerak Brown.

  Secara sederhana, random walk dapat digambarkan sebagai suatu percobaan dimana perpindahan posisi seseorang ditentukan dengan pelemparan sebuah koin. Bayangkan seseorang berdiri tepat pada titik asal (titik nol) pada sebuah garis bilangan real. Orang tersebut akan berpindah tempat berdasarkan hasil pelemparan sebuah koin yang akan dilemparkan sebanyak n kali pelemparan. Jika hasil pelemparan koin adalah gambar (k), maka orang tersebut akan bergerak ke arah kanan (arah positif). Demikian juga sebaliknya, jika hasil pelemparan koin adalah angka (n-k), maka orang tersebut akan bergerak ke arah kiri (arah negatif). Apabila peluang orang tersebut untuk berpindah ke arah kanan adalah p dan peluang orang tersebut berpindah ke arah kiri adalah q, maka diperoleh persamaan berikut dan

  1 Dalam percobaan tersebut, peluang seseorang bergerak ke kanan akan sama besarnya dengan peluang orang tersebut bergerak ke kiri. Hal ini menunjukkan bahwa pergerakan orang tersebut merupakan proses stokastik yang sederhana dan bersifat random.

  Gerak Brown pertama kali ditemukan oleh seorang ahli tanaman dari Skotlandia yaitu Robert Brown. Gerak Brown merupakan suatu kejadian khusus dari random walk. Gerak Brown dapat dibentuk dari sebuah random walk yang simetrik. Proses gerak Brown sering kali disebut proses Wiener, yaitu salah satu proses stokastik yang sangat berguna dalam aplikasi teori probabilitas.

  B. Rumusan Masalah

  1. Apa yang dimaksud dengan Random Walk ? 2.

  Apa yang dimaksud dengan Gerak Brown ?

  3. Bagaimana Random Walk dan Gerak Brown digunakan untuk memodelkan pergerakan harga saham ?

  C. Batasan Masalah 1.

  Random walk dan gerak Brown yang dibahas hanya yang berdimensi Satu 2. Deret Taylor dan Maclaurin tidak dibahas secara mendalam

  3. Eliminasi Gauss tidak dibahas secara mendalam 4.

  Sifat spatial homogeneity dari random walk tidak dibahas dan dibuktikan

  5. Teorema 2.4.1 tidak dibuktikan

  D. Tujuan Penulisan

  Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk memenuhi syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains dalam matemetika. Selain itu penulisan skripsi ini juga bertujuan : 1. Mempelajari dan memahami Random Walk.

  2. Mempelajari dan memahami Gerak Brown.

3. Mempelajari Ito’s Lemma.

4. Mempelajari hubungan antara random walk dan gerak Brown dalam model pergerakan harga saham.

  E. Manfaat Penulisan

  Manfaat yang diperoleh dari penulisan skripsi ini adalah dapat memahami teori Random Walk dan Gerak Brown serta penggunaanya dalam model harga saham.

  F. Metode Penulisan

  Metode penulisan yang digunakan dalam penyusunan skripsi ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal ilmiah, dan karangan ilmiah yang telah dipublikasikan. Oleh karena itu dalam karya ilmiah ini tidak disajikan hal baru dalam bidang matematika. Juga akan digunakan program Excel, Matlab dan SPSS.

  G. Sistematika Penulisan

  BAB I: PENDAHULUAN Dalam bab I dibahas tentang latar belakang, perumusan masalah,

  pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan.

  BAB II LANDASAN TEORI Dalam bab II dibahas tentang probabilitas, variabel random, fungsi

  distribusi probabilitas, nilai harapan dan variansi, fungsi pembangkit momen, distribusi Bernoulli, distribusi binomial, distribusi normal serta pendekatan normal terhadap binomial.

BAB III RANDOM WALK dan GERAK BROWN Dalam Bab III dibahas tentang random walk, gerak Brown, dan Ito’s Lemma. BAB IV MODEL PERGERAKAN HARGA SAHAM Dalam Bab IV dibahas tentang model pergerakan harga saham menggunakan random walk dan gerak Brown. BAB V PENUTUP Dalam Bab V akan diberikan kesimpulan dan saran.

BAB II LANDASAN TEORI A. Probabilitas Ruang sampel (S) adalah himpunan yang unsur-unsurnya menyatakan semua

  kemungkinan hasil suatu percobaan. Setiap unsur dari ruang sampel disebut titik sampel. Kejadian (event) adalah himpunan bagian dari ruang sampel S.

  Definisi 2.1.1

  Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk

  A, sehingga 1 , 0 , dan

  1 Definisi 2.1.2 Probabilitas klasik Jika suatu percobaan dapat menghasilkan N titik sampel yang berbeda dan masing-masing berkemungkinan sama untuk terjadi, dan jika tepat ada sebanyak n dari titik-titik sampel tersebut merupakan unsur dari kejadian A, maka probabilitas kejadian A adalah :

  P

  Teorema 2.1.1 (Aturan Penjumlahan)

  Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka probabilitas terjadinya kejadian A atau B adalah (2.1)

  Bukti :

  Pendekatan yang akan digunakan adalah mengekspresikan kejadian dan A sebagai gabungan dari kejadian yang saling lepas

  ′ ′

  dengan demikian

  ′ ′

  Sehingga

  ′

  ■ Jika A dan B adalah kejadian yang saling asing dengan

  0, maka aturan penjumlahan menjadi semakin sederhana yaitu

  Probabilitas Bersyarat

  Probabilitas terjadinya suatu kejadian B bila diketahui bahwa kejadian A telah terjadi disebut probabilitas bersyarat dan dinyatakan dengan | . Lambang

  | biasanya dibaca ‘probabilitas kejadian B terjadi bila diketahui kejadian A terjadi’ atau lebih sederhana lagi ‘probabilitas B, bila A diketahui’.

  Definisi 2.1.3

  Probabilitas bersyarat B bila A diketahui, dinyatakan dengan | , ditentukan oleh

  P A B

  dengan (2.2) |

  P A Contoh 2.1.1

  Peluang suatu penerbangan yang telah terjadwal teratur berangkat tepat waktu 0,83 ; peluang sampai tepat waktu 0,82 dan peluang berangkat dan sampai tepat waktu

  0,78. Cari peluang bahwa a). pesawat sampai tepat waktu bila diketahui berangkat tepat waktu, dan b). Pesawat berangkat tepat waktu jika diketahui sampai tepat waktu.

  Jawab :

  a) Peluang pesawat sampai tepat waktu jika diketahui berangkat tepat waktu

  ,

  | 0,94

  ,

  b) Peluang pesawat berangkat tepat waktu bila diketahui sampai tepat waktu

  ,

  | 0,95

  , Teorema 2.1.2 (Aturan Perkalian)

  Bila kejadian A dan B dapat terjadi pada suatu percobaan, maka (2.3)

  |

  Bukti :

  Bukti teorema ini akan diturunkan dari definisi probabilitas bersyarat (2.1.3)

  P A B

  |

  P A

  | ■

  Definisi 2.1.4

  Dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika

B. Variabel Random dan Distribusinya

  Gagasan untuk mendefinisikan sebuah fungsi yang dikenal dengan variabel random timbul karena model-model matematika diekspresikan dalam bentuk nilai-nilai numeris dari pada hasil percobaan asli seperti sisi, warna, atau yang lain.

  Definisi 2.2.1

  Variabel random, misalnya X adalah fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel S, yang memetakan setiap elemen e ∈S ke bilangan real.

  Notasi :

  X ( e ) x e S

  = , ∈ x ∈ R Untuk lambang variabel random digunakan huruf-huruf kapital X, Y, Z , sedangkan untuk melambangkan nilai variabel random yang mungkin, digunakan

  Contoh 2.2.1

  Jika seseorang melempar dua buah dadu secara bersamaan maka, ruang sampel S = {(i,j)}| i,j ∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}}.

  Variabel random X menyatakan jumlah bilangan yang muncul pada kedua buah

  X(i,j) = i + j, sehingga X(3,5) = 3 + 5 = 8

  dadu maka

  X(5,2) = 5 + 2 = 7

  Konsep variabel random dapat dipahami sebagai sebuah pemetaan dari himpunan S ke himpunan bilangan real. Kemudian konsep ini dipakai untuk menghitung peluang timbulnya suatu kejadian. Dengan mengambil contoh 2.2.1, didefinisikan kejadian memperoleh jumlah bilangan maksimal adalah 3. Titik-titik sampel kejadian ini dapat dituliskan sebagai } Y ∈ { 2 , 3 atau dapat pula dinyatakan dalam interval Y = { y | y ≤ 3 } . Dengan probabilitas :

  3

  1 P ( Y ≤ 3 ) = P (( 1 , 1 ), ( 1 , 2 ), ( 2 , 1 )) = = .

  36

  12 Variabel random diskret adalah variabel random yang didefinisikan pada ruang sampel diskret dan nilainya berhingga atau tak berhingga terbilang.

  Contoh 2.2.2

  variabel random diskret : _{o o} X = Banyaknya bayi yang lahir dalam waktu satu tahun di Yogyakarta.

  S = Frekuensi denyut jantung permenit. Variabel random kontinu adalah variabel random yang didefinisikan pada ruang sampel kontinu.

  Contoh 2.2.3

  Contoh variabel random kontinu adalah M = lamanya permainan catur dalam satu babak. Meskipun dalam kenyataannya biasa diukur waktu hanya dengan satuan terdekat seperti menit atau detik, secara teoritik dapat diukur waktu dengan sembarang satuan kecil.

  Definisi 2.2.2

  Fungsi f(x) disebut sebagai fungsi probabilitas diskret X bila dan hanya bila memenuhi syarat : ( i ) f(x)

  ≥ 0 , untuk semua nilai x real ( ii )

  ∑

1 Definisi 2.2.3

  Fungsi f(x) disebut fungsi densitas bagi variabel random kontinu X bila dan hanya bila memenuhi syarat : ( i ) f(x)

  ≥ 0 untuk semua nilai x real

  ∞

  ( ii ) f ( dx x ) = 1

  ∫ − ∞

  Fungsi Distribusi Kumulatif Diskret Definisi 2.2.4

  Fungsi distribusi kumulatif suatu variabel random diskret X didefinisikan sebagai

  F(x) = P(X ≤ x) untuk semua nilai real x. Kadang-kadang fungsi F(x) disebut juga fungsi distribusi.

  Fungsi Distribusi Kumulatif Kontinu Definisi 2.2.5

  Fungsi distribusi kumulatif suatu variabel random X, dengan fungsi densitas f(x) didefinisikan sebagai : _x F(x) = f ( t ) dt

  ∫ − ∞ Fungsi densitas f(x) merupakan derivatif dari F(x).

  Fungsi Distribusi Kumulatif Diskret Bersama Definisi 2.2.6

  Jika X dan Y adalah variabel random diskret yang didefinisikan pada ruang probabilitas maka fungsi distribusi bersama X dan Y didefinisikan sebagai F x, y P X x, Y y

  XY Fungsi Distribusi Probabilitas Kontinu Bersama Definisi 2.2.7

  Vektor variabel random berdimensi k,

  X X , X , … , X dikatakan kontinu jika ada fungsi f X , X , … , X , yang disebut fungsi densitas bersama dari X sedemikian rupa sehingga fungsi distribusi kumulatifnya dapat dinyatakan dengan X

  x , x , … , x … f t , … , t d t , … , dt Untuk semua x x , x , … , x

  Definisi 2.2.8 Variabel-variabel random saling bebas

  Variabel-variabel random X , X , … , X dikatakan saling bebas bila untuk setiap berlaku

  P a X b , … , a X b P a X b

  Nilai Harapan dan Variansi

  Konsep nilai harapan memegang peranan yang sangat penting dalam statistika. Contoh yang paling mudah adalah mean dan variansi suatu variabel random. Keduanya adalah parameter-parameter yang hampir selalu muncul dalam teknik-teknik analisis statistika elementer maupun lanjut. Nilai harapan dinyatakan dalam definisi berikut

  Definisi 2.2.9

  , jika x diskret dengan fungsi probabilitas

  ∞

  , jika x kontinu dengan fungsi densitas

  ∞ Ditinjau dari segi variabel random yang diskret, maka nilai harapan E(X) merupakan suatu nilai fungsi linear dari semua unsur di dalam domain fungsi dengan peluang yang bersesuaian sebagai faktor pembobot.

  Contoh 2.2.4

  Dalam pelemparan sebuah mata dadu setimbang sebanyak satu kali, kita akan menerima uang sebanyak titik pada sisi yang tampak. Untuk bermain satu kali lemparan kita harus membayar c rupiah. Pertama-tama kita perhatikan bahwa hadiah yang kita terima tiap permainan adalah variabel random dengan distribusi probabilitas sebagai berikut :

Tabel 2.1 Tabel distribusi probabilitas

  Hadiah X 1 2 3 4 5 6

  P(X=x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

  E(X) = 1.1/6 + 2. 1/6 + 3. 1/6 + 4. 1/6 +5. 1/6 + 6. 1/6 = 3,5 rupiah Berapa rupiah yang harus kita bayar agar permainan tersebut adil ? Permainan disebut adil jika

  3,5 rupiah. Dengan demikian rata-rata hadiah yang kita terima sama dengan banyaknya uang yang kita bayarkan untuk bermain.

  Nilai harapan 3,5 dapat diinterprestasikan sebagai berikut : “ jika permainan itu dapat diulang sebanyak-banyaknya, maka perbandingan antara jumlah hadiah dengan banyaknya kali permainan adalah 3, 5”.

  Sifat-sifat Nilai Harapan Definisi 2.2.10

  Jika X adalah variabel random dan g(x) adalah fungsi dari variabel random X maka,

  n g ( x ) p ( x ), jika X diskret dengan fungsi probabilit as p ( x ) i i

  ⎧∑ ⎪ i =

  1 ∞ ⎨

  E[g(X)] =

  g ( x ) f ( x ) dx , jika X kontinu dengan fungsi densitas f ( x ) ∫

  − ∞ ⎪⎩

  Teorema 2.2.1

  Jika X adalah variabel random dengan fungsi densitas f(x), a dan b konstanta, g(x) dan h(x) fungsi-fungsi variabel random berharga real, maka E[ag(x) + bh(x)] = a E[(g(x)] + b E[h(x)]

  Bukti

  Jika X adalah variabel random kontinu maka menurut definisi nilai harapan

  ∞

• E[ag(x)+bh(x)] = [ ag ( x ) bh ( x )] f ( x ) dx

  ∫ − ∞ ∞ ∞

• = a g ( x ) f ( x ) dx b h ( x ) f ( x ) dx

  ∫ ∫ − ∞ − ∞

  = aE[g(x)] + bE[h(x)] ▄

  Sifat-sifat lain nilai harapan

  Untuk a dan b bilangan konstan maka berlaku

  1. E(a) = a 2.

  E(bX) = b E(X)

3. E(X + a) = E(X) + a

  4. E(bX + a) = b E(X) + a

  Bukti:

  1. E(a) = a Misalkan , maka

  2. E(bX) = b E(X)

  3. E(X + a) = E(X) + a

  4. E(bX + a) = b E(X) + a

  Teorema 2.2.2

  Apabila , , … , merupakan variabel random yang saling bebas maka

  E X X … X E X E X … E X Bukti: Teorema di atas akan dibuktikan menggunakan induksi matematika.

  1. Rumus benar untuk

  1 Akan ditunjukkan benar untuk 2, dan merupakan variabel random yang saling bebas dengan dengan fungsi distribusi gabungan

  P X , X . Karena variabel random tersebut saling bebas maka dapat ditulis , sehingga P X , X P P

  P X , X

  X ,X

  P P P P

  2. Diandaikan bahwa rumus benar untuk dimana

  2

  3. Akan ditunjukkan bahwa rumus benar untuk … …

  ■ …

  Definisi 2.2.11

  Variansi variabel random X adalah : (2.4)

  Var X E X E X

  Teorema 2.2.3

  Apabila X merupakan sebuah variabel random maka variansi dari X adalah Var X E X E X

  Bukti : Berdasarkan definisi

  2

  2

  2 ■

  Sifat-sifat lain variansi

  Untuk a dan b bilangan konstan maka berlaku 1.

  Var(X + a) = Var(X)

  2

  2. Var(bX) = b Var(X)

  2

  3. Var(bX + a) = b Var(X)

  Bukti : 1.

  Var(X + a) = Var(X)

  2

  2

  2

  2

  2

  2

2 Var(X)

  2. Var(bX) = b

2 Var(X)

  3. Var(bX + a) = b

  2

  2

  2

  2

  2

  2 Teorema 2.2.4 Apabila

  , , … , merupakan variabel random yang saling bebas maka Var X

  X X Var X Var X Var X

  Bukti :

  Persamaan di atas benar untuk

  1. Selanjutnya akan dibahas untuk 2, berdasarkan definisi maka diperoleh

  2 Var (X + X ) = E [((X + X ) - E [X + X ]) ]

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  = E [ ( (X

  1 + X 2 ) – E[X 1 ] - E [X 2 ] ) ]

  2

  = E [((X - E [X ]) + (X - E [X ])) ]

  1

  1

  2

  2

  2

  = E [(X

  1 - E [X 1 ]) + (X

2 - E [X

2 ]) +2(X 1 -E[X 1 ])( X 2 -E[X 2 ] )]

  2

  2

  = E [(X

  1 - E [X 1 ]) ] + E [(X 2 - E [X 2 ]) ] +

  2E[(X -E[X ])( X -E[X ] )]

  1

  1

  2

  

2

  = Var (X

  1 ) + Var (X 2 ) + 2E [(X 1 - E [X 1 ])( X 2 - E [X 2 ])]

  Karena dan merupakan variabel random yang saling bebas maka berdasarkan Definisi 2.2.8 diperoleh E [(X - E [X ])( X - E [X ])] = E [X - E [X ]] E [X - E [X ]]

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2

  = (E[X

  

1 ]-E[X

1 ])(E[X 2 ]-E[X 2 ])

  = 0 Sehingga,

  Var (X + X2) = Var (X ) + Var (X2)

  1

  1 Diasumsikan bahwa rumus benar untuk k. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa

  rumus benar untuk 1. Var (X

  1 + … + X k-1 + X k ) = Var (X 1 + … + X k-1 ) + Var (Xk)

  = Var (X ) + … + Var (X )+ Var (X )

  1 k-1 k

  ■

  Kovariansi Definisi 2.2.12

  Kovariansi antara dua variabel random adalah ukuran sifat asosiasi (hubungan) antara keduanya. Jika X dan Y merupakan dua variabel random maka kovariansi dari X dan Y didefinisikan sebagai

  Cov X, Y E X E X Y E Y

  Sifat-sifat kovariansi 1.

  Cov X, X Var X 2. Cov X, Y Cov Y, X 3. Cov X Y, Z Cov X, Z Cov Y, Z

  Bukti : 1.

  Cov X, X Var X Cov X, X E X E X X E X

  E X E X Var X 2. Cov X, Y Cov Y, X

  Cov X, Y E X E X Y E Y E XY XE Y YE X E X E Y E YX YE X

  XE Y E Y E X E Y E Y X E X Cov Y, X 3.

  Cov X Y, Z Cov X, Z Cov Y, Z Cov X Y, Z E X Y Z E X Y E Z

  E XZ E YZ E X E Z E Y E Z E XZ E X E Z E YZ E Y E Z Cov X, Z Cov Y, Z

  Definisi 2.2.13

  Korelasi dari dua variabel random X dan Y ditulis , dan didefinisikan sebagai

  Cov X, Y ,

  Var X Var Y

  Fungsi Pembangkit Momen

  Salah satu nilai harapan khusus yang sangat berguna dalam teori probabilitas dan statistika adalah konsep fungsi pembangkit momen.

  Definisi 2.2.14

  Jika X adalah variabel random, maka nilai harapan disebut fungsi pembangkit momen dari X jika nilai harapan tersebut ada untuk semua t dalam interval –h < t < h, untuk h > 0.

  Teorema 2.2.5

  Andaikan Y

  1 ,Y 2 ,...,Y n adalah variabel random yang saling bebas dengan fungsi

  pembangkit momen berturut M Y1 (t), M Y2 (t),...,M Yn (t). Bila maka fungsi pembangkit momen dari U adalah …

  (2.5) ∏

  Bukti :

  karena Y i saling bebas maka …

  … …

  ∏ ▄

C. Distribusi Bernoulli dan Distribusi Binomial

  Distribusi Bernoulli didasarkan atas ruang sampel yang dibangkitkan dari percobaan Bernoulli. Ruang sampel percobaan ini terdiri atas dua unsur yang biasanya disimbolkan dengan sukses dan gagal masing-masing dengan peluang timbulnya p dan . Bila sukses disimbolkan dengan 1 dan gagal dengan

  1 0, maka fungsi probabilitas Bernoulli dapat didefinisikan sebagai berikut :

  Definisi 2.3.1

  Bila X adalah variabel random Bernoulli maka distribusi probabilitas X adalah x = 0,1 (2.6) Dari fungsi probabilitas di atas dapat ditentukan nilai harapan dan variansi serta fungsi pembangkit momen variabel random yang berdistribusi Bernoulli.

  Nilai harapan dari distribusi Bernoulli dapat dicari dengan menggunakan Definisi 2.2.6 untuk variabel random yang diskret karena distribusi Bernoulli merupakan distribusi probabilitas yang diskret.

  ∑ ∑

  1

  1

  1

  1 Jadi nilai harapan dari distribusi Bernoulli adalah p. Selanjutnya dengan menggunakan Definisi 2.2.8 akan dicari variansi dari distribusi Bernoulli yaitu .

  1

  2

  2 Var (X) = E[x ] – (E[x])

  ∑ ∑

  1

  1

  1

  1

  2

  2 Var (X) = E[x ] – (E[x])

  1 Selanjutnya untuk mencari Fungsi Pembangkit Momen (FPM) maka akan digunakan Definisi 2.2.9.

  tx

  M x (t) = E[e ] ∑ ∑

  1

  1

  1

  1

  1

1 Jadi FPM dari distribusi Bernoulli adalah 1 1 .

  Distribusi Binomial

  Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa usaha, tiap usaha dengan dua kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses atau gagal. Hal ini dapat terjadi, misalnya pada pengujian barang hasil produksi, dengan tiap pengujian atau usaha dapat menunjukkan apakah suatu barang cacat atau tidak cacat. Dapat ditentukan atau dipilih salah satu hasil sebagai sukses. Hal ini juga benar bila kartu ditarik secara berturutan dari sekotak kartu bridge dan tiap penarikan disebut sukses atau gagal tergantung pada apakah kartu merah atau hitam yang terambil. Proses seperti ini disebut proses Bernoulli.

  Percobaan binomial merupakan percobaan yang terdiri atas ulangan- ulangan percobaan Bernoulli. Percobaan binomial adalah percobaan yang memiliki ciri-ciri berikut: 1. Percobaan terdiri atas n ulangan.

  2. Dalam setiap ulangan, hasilnya dapat digolongkan sebagai sukses atau gagal.

  3. Peluang sukses, yang dilambangkan dengan p, untuk setiap ulangan adalah sama, tidak berubah-ubah.

  4. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas satu sama lain. Banyaknya X yang sukses dalam n usaha bernoulli disebut peubah acak binomial. Distribusi peluang peubah acak diskret ini disebut distribusi binomial dan akan dinyatakan dengan

  ; , , karena nilainya tergantung pada banyaknya usaha (n) dan peluang sukses dalam suatu usaha (p). Akan dicari rumus yang akan memberikan peluang x sukses dalam n usaha suatu prcobaan binomial. Pertama, pandang peluang sukses x dan gagal n-x dalam suatu urutan tertentu. Karena usaha semuanya bebas maka peluang tiap hasil yang berbeda dapat diperkalikan. Tiap sukses terjadi dengan peluang p dan tiap kegagalan dengan peluang . Jadi peluang untuk urutan tersebut adalah .

  1 Sekarang harus ditentukan banyaknya semua titik sampel dalam percobaan tersebut yang menghasilkan x yang sukses dan n-x yang gagal. Banyaknya ini sama dengan banyaknya cara memisahkan n hasil menjadi dua kelompok sehingga x hasil berada pada kelompok pertama dan sisanya n-x hasil pada kelompok kedua. Jumlah ini dapat dinyatakan dengan .

  Definisi 2.3.2

  Apabila X

  1 ,...,X n masing-masing merupakan variabel random yang saling bebas

  dan berdistribusi Bernoulli, maka merupakan variabel random yang ∑ berdistribusi Binomial yaitu :

  , x = 0,1,2,...,n (2.7) ; ,

  Contoh 2.3.1 Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan peluang ¾.

  Hitunglah peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak.

  Jawab:

  Misalkan tiap pengujian bebas, jadi pengujian yang satu tidak mempengaruhi atau

  3 dipengaruhi yang berikutnya. Jadi, 4 untuk tiap keempat pengujian, sehingga

  2; 4,

  ! ! !

  Dari fungsi probabilitas di atas dapat ditentukan nilai harapan dan variansi serta fungsi pembangkit momen variabel random yang berdistribusi Binomial.

  Nilai harapan dari distribusi binomial dapat dicari dengan menggunakan Definisi 2.2.6 untuk variabel random yang diskret karena distribusi binomial merupakan distribusi probabilitas yang diskret.

  E x ∑ p x

  !

  x

  ! ! ! ! !

  n

  1 Jadi nilai harapan dari distribusi binomial adalah np.

  Selanjutnya untuk mencari variansi dari distribusi binomial akan digunakan definisi 2.2.8 E x x 1 1 p x

  1

  !

  x x 1

  ! ! !

! !

  1

  2

  1

  1

  2

  2 Var (x) = E[x ] – (E[x])

  1 Variansi dari distribusi binomial adalah .

  Selanjutnya untuk mencari Fungsi Pembangkit Momen (FPM) maka akan digunakan Definisi 2.2.9.

  tx

  M (t) = E[e ]

  x

  ∑ ∑ ∑

  1

1 FPM dari distribusi binomial adalah 1 1 .

  Contoh 2.3.2

  Buktikan jika 1,2, … , merupakan variabel-variabel random yang saling bebas dan berdistribusi Bernoulli, maka merupakan variabel random yang berdistribusi binomial!

  Jawab :

  Untuk membuktikan bahwa Y berdistribusi binomial maka akan diguakan sebuah metode dalam menentukan fungsi distribusi variabel random yaitu metode fungsi pembangkit momen. Jika berdistribusi bernoulli maka fungsi pembangkit momenya adalah

  1

  1 , maka fungsi pembangkit momenya adalah

  … … 1 1 1 1 … 1

  1

  1

  1 Jika diperhatikan, persamaan terakhir yang diperoleh merupakan fungsi pembangkit momen bagi variabel random Binomial. Jadi terbukti bahwa jika 1,2, … , merupakan variabel-variabel random yang saling bebas dan berdistribusi Bernoulli, maka merupakan variabel random yang berdistribusi binomial.

  Definisi 2.3.3

  Fungsi Gamma ditulis Γ (k ) , untuk semua k>0 didefinisikan sebagai

  ∞ _{k 1 t} − − Γ ( k ) = t e dt (2.8)

  ∫

  Fungsi Gamma memenuhi sifat-sifat : Γ ( k ) = ( k − 1 ) Γ ( k − 1 ) Γ ( n ) = ( n − 1 )! k>1, dan n = 1, 2, .. (2.9)

  ( 1 / 2 ) Γ = π

D. Distribusi Normal

  Distribusi normal sangat penting baik dalam statistika teori maupun terapan. Distribusi ini pertama kali dipelajari pada abad kedelapan belas, ketika orang mengamati galat pengukuran berdistribusi simetrik dan berbentuk bel. De Moivre mengembangkan bentuk matematik distribusi ini pada tahun 1733, sebagai bentuk limit distribusi binomial. Laplace juga telah mengenal distribusi ini sebelum tahun 1775. Gauss menurunkan persamaan distribusi ini dari suatu studi tentang galat dalam pengukuran yang berulang-ulang dari kuantitas yang sama, dan mempublikasikannya pada tahun 1809. Untuk menghormatinya distribusi normal juga dikenal sebagai distribusi Gauss. Pada abad kedelapan belas dan sembilan belas, berbagai usaha telah dilakukan untuk membuat distribusi ini sebagai hukum probabilitas yang mendasari semua variabel kontinu, maka digunakan nama distribusi normal.

  Definisi 2.4.1

  Suatu variabel random kontinu X dikatakan berdistribusi normal dengan mean µ

  2

  dan variansi , apabila variabel itu mempunyai fungsi probabilitas yang

  σ

  berbentuk _{1 2}

  − ( x − μ ) ₂

  1 _{2 σ}

  f(x) = e (2.10)

  2 σ π dengan

  − ∞ <

  X < ∞ σ >

  − ∞ < μ < ∞ 718 π = 3 , 14 dan e = 2 , . Jika fungsi probabilitas itu digambar, maka kita peroleh grafik seperti dalam gambar dibawah ini dan dinamakan kurva normal.

  

µ

  2 Gambar 2.1 : kurva normal dengan mean µ dan variansi σ

  Berikut ini akan ditunjukkan bahwa distribusi normal memenuhi siat-sifat fungsi densitas.

  Pertama, harus ditunjukkan bahwa integral dari fungsi densitas normal adalah 1.

  2 Kedua, harus ditunjukkan bahwa µ dan adalah mean dan variansi dari X.

  σ x − μ

  Dengan mensubstitusikan z = dan dx =

  σdz, didapat :

  σ

  ∞ ∞ ∞ _{2 2} 1 z / ² 1 z / ²

  − −

  I = f ( x ; , ) dx = e dz =

  2 e dz

  μ σ

  ∫ ∫ ∫

  2

  2

  π π

  − ∞ − ∞ 2 -1/2

  Bila dimisalkan w = z /2, maka z = 2 dan dz = (w w /

  2 )dw, sehingga ∞ ^{1 / 2} − w w

  −

  I = e dw

  ∫

  π Dengan menggunakan fungsi Gamma didapat,

  Γ ( 1 / 2 ) I = =

  1 π

  x − μ

  Integran yang diperoleh dengan mensubstitusikan z memegang peranan =

  σ yang sangat penting dalam menentukan probabilitas variabel random normal.

  Perhitungan menjadi lebih sederhana karena nilai probabilitas telah ditabelkan. Fungsi densitas hasil transformasi dari X ke Z disebut Distribusi normal standar yang fungsinya, ₂

  1

  − z z e , z (2.11)

  φ ( ) = − ∞ < < ∞

  2 π

  Berikut ini dengan menggunakan Definisi 2.4.1 akan dicari nilai harapan dan variansi dari variabel random X yang berdistribusi normal. ₂

  ∞

  ⎡ ⎤

  1 1 x ⎛ − μ ⎞

  E( X) = x exp dx −

  ⎢ ⎜ ⎟ ⎥

  ∫

  2 2 σ σ π ⎝ ⎠

  − ∞ ⎢ ⎥

  ⎣ ⎦

  x − μ

  Misal maka x =

  σz + µ dan dx = σdz sehingga diperoleh z = σ ∞ ¹ _{z 2} −

  1 ₂ E( X) = x e σ dz

  ∫

  σ 2 π

  − ∞ ₁ ∞ _{z 2} −

  1 ₂ = x e dz

  ∫

  2 π

  − ∞ ₁ ∞ ₂ − z

  1 σ μ +

  = ( z ) e dz ²

  ∫

  2 π

  − ∞ _{1 1} ∞ ∞ _{z z 2 2} − −

  1

• = z e dz e dz
^{2 2} σ μ