S MTK 1005195 Chapter3

BAB 3

PRODUK SILANG PADA ALJABAR-

C*

Pada bab ini terdapat beberapa konsep aljabar yang terkait dengan produk silang pada aljabar- ∗ dengan aksi automorfisma dan beberapa contoh dari konsep tersebut. Pada bab ini juga dijabarkan konsep produk silang penuh dan tereduksi dari suatu sistem dinamik yang diberikan.

3.1 Sistem Dinamik

Pada subbab ini akan dijelaskan konsep sistem dinamik. Sistem dinamik memuat suatu aksi, oleh karena itu sebelumnya akan dijelaskan definisi dari aksi.

Definisi 3.1.1: Aksi dari Grup pada Suatu Himpunan

Misalkan grup abelian dan � suatu himpunan. Aksi dari pada X adalah pemetaan �: × � → �, , ⟼ yang memenuhi:

(i) � _� = , ∀ ∈ � dimana � _� unsur identitas dari , (ii) = , ∀ , ∈ , ∈ �.

Jika adalah grup topologi dan � adalah ruang topologi, maka aksi tersebut dikatakan kontinu jika , ⟼ adalah kontinu.

Contoh 3.1.2:

Misal grup dan himpunan � = dengan topologi diskrit adalah semua fungsi kontinu : → . Misal ⊆ himpunan buka, perhatikan bahwa ada dua kondisi untuk − yaitu

(i) − = ∅ ∈ � ,

Misal × � → � diberikan oleh , ⟼ . Akan ditunjukkan bahwa pemetaan tersebut adalah sebuah aksi kontinu.

(i) Akan ditunjukkan = ∀ ∈ �.

Ambil sembarang ∈ dan ∈ �. Karena adalah identitas di maka

= .

(ii)Akan ditunjukkan = ∀ , ∈ dan ∈ �.

Ambil sembarang , ∈ dan ∈ �.

Karena , ∈ dan � = maka berlaku sifat asosiatif = . (iii) Akan ditunjukkan ⟼ kontinu.

Ambil sembarang himpunan buka di yaitu dimana ⊆ . Perhatikan bahwa perhatikan bahwa ada dua kondisi untuk − , yaitu − =

∅ dan − ≠ ∅. Untuk kasus − = ∅, karena ∅ ∈ � maka

− _{∈ � . Untuk} − _{≠ ∅, karena} − ₌ ′ _{⊆ maka}

− _{∈ � . Karena prapeta dari himpunan buka adalah buka maka}

⟼ kontinu.

Definisi 3.1.3: Sistem Dinamik (Rosjanuardi & Albania, 2012:101)

Misal adalah grup, adalah aljabar-C* dan didefinisikan Aut ≔

{�: → |� isomorfisma −∗}. Grup dikatakan beraksi pada bila terdapat homomorfisma grup �: → Aut . Selanjutnya sistem , , � dikatakan sebagai sistem dinamik dalam hal ini dua himpunan yang berbeda strukturnya, yaitu dan dihubungkan oleh aksi yang homomorfisma �.

Contoh 3.2.4:

Misalkan untuk setiap ∈ ℝ dan ∈ ℝ didefinisikan dengan �_� ≔

−� _{untuk setiap ∈ ℝ. Selanjutnya}

� adalah unsur di ℝ yang

didefinisikan dengan _� ≔ −� untuk setiap ∈ ℝ. (i) Akan ditunjukkan lim

→ ∞−+ � = lim→ ∞−+

Perhatikan jika → ∞ maka −� → ∞. Akibatnya lim

→∞ � = lim→∞

−� _{= 0.}

Sama halnya dengan → −∞ maka −� → −∞, akibatnya lim

→−∞ � = lim→−∞

−� _{= 0.}

Oleh karena itu lim

→ ∞−+ � = lim→ ∞−+

−� _{= 0.}

(ii)Misal ∈ ℝ akan ditunjukkan _� kontinu di .

Ambil _� barisan Cauchy di ℝ sedemikian sehingga _� → . Misal _� = _� −� karena _� → maka _� → −�.

Karena kontinu, maka _� → −� = _� .

Karena _� = _� −� = _{� �} ,

maka _{� �} → _� .

Berdasarkan (i) dan (ii) terbukti _� ≔ −� untuk setiap ∈ ℝ adalah unsur di ℝ . Selanjutnya akan ditunjukkan pemetaan �_� adalah suatu homomorfisma dari ℝ ke ℝ dan pemetaan ⟼ �_� adalah homomorfisma grup. Sehingga dapat dibentuk suatu sistem dinamik ℝ , �, ℝ . Selanjutnya akan ditunjukkan pemetaan ⟼ �_� adalah homomorfisma grup, maka diperoleh aksi

�: ℝ → Aut( ℝ ), ⟼ �� = −� ∀ ∈ ℝ

(iii) Akan ditunjukkan � pemetaan

Ambil , ∈ ℝ dengan = . Maka

= ⇔ −� ₌ −�

⇔ −� ₌ −� _{∀ ∈ ℝ}

⇔ �� = �� ∀ ∈ ℝ

∴ � pemetaan.

(iv) Akan ditunjukkan � homomorfisma grup. Ambil , ∈ ℝ dan ∈ ℝ maka

�� +� = � +�

= ( − � +� ₎

= −� −�

= −� −�

= �� �

= �� (�� )

∴ � homomorfisma grup.

(v) Akan ditunjukkan �_� homomorfisma. Ambil �_� , �_� ∈ ℝ dan ∈ ℝ

�� + = + �

= + −�

= −� ₊ −�

= �� + ��

= �� + ��

(vi) Akan ditunjukkan �_� = �_� �_� . Ambil �_� , �_� ∈ ℝ dan ∈ ℝ

�� = �

= −�

= −� −�

= �� ��

= (�� �� )

∴ �� = �� �� .

(vii) Akan ditunjukkan �_� � = ��_� . Ambil �_� ∈ ℝ , ∈ ℝ dan � ∈ ℂ

�� � = � �

= � −�

= ���

∴ �� � = ��� .

(viii)Akan ditunjukkan �_� ∗ = (�_� )∗ .

Ambil �_� ∈ ℝ dan ∈ ℝ

�� ∗ = ∗ �

= ∗ −�

= ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅−� _{(karena adjoin dapat dipandang sebagai konjugasi)}

= �̅̅̅̅̅̅̅̅̅�

∴ �� ∗ = (�� )∗ .

Berdasarkan (v), (vi), (vii) dan (viii) maka �_� adalah homomorfisma-*. (ix) Akan ditunjukkan �_� injektif.

Ambil , ∈ ℝ sedemikian sehingga �_� = �_� Maka

�� = ��

−� ₌ −� _.

Perhatikan bahwa −� ∈ ℝ maka

� −� ₌ � −�

= .

∴ �� injektif.

(x) Akan ditunjukkan �_� onto.

Ambil fungsi ∈ ℝ akan ditunjukkan untuk suatu ∈ ℝ sedemikian sehingga = �_� untuk setiap ∈ ℝ berlaku

�� = � = −� = ∀ ∈ ℝ

Pilih ∈ ℝ sedemikian sehingga

= −� _{∀ ∈ ℝ.}

Diperoleh

�� = �

= −�

= −� �

∴ �� onto.

Berdasarkan (i) sampai (x) diperoleh � adalah aksi dari = ℝ melalui automorfisma sedemikan sehingga ℝ , ℝ, � adalah sistem dinamik.

Definisi 3.2.5: Representasi Kovarian (Rosjanuardi & Albania, 2012:101)

Misalkan , , � adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar-C* , grup dan aksi � yang merupakan homomorfisma �: → Aut . Sebuah representasi kovarian dari , , � adalah pasangan �, dimana �: → adalah representasi yang unital, dan : → representasi uniter yang memenuhi:

�(� � ) = � � ∗ _{, ∀ ∈ , � ∈ .} Contoh 3.2.6:

Misal ℎ ∈ Homeo Τ dimana memenuhi

ℎ ≔ − ���

dan misal Τ , ℤ, α adalah sistem dinamik yang memenuhi

�� = ( − ��� ).

Lalu dimisalkan suatu representasi : Τ → ( Τ ) yang memenuhi

ℎ ≔ ℎ

dan suatu representasi uniter : ℤ → ( Τ ) yang memenuhi

�ℎ ≔ ℎ( − ��� ).

Akan ditunjukkan bahwa , adalah representasi kovarian

� �∗ℎ = �∗ℎ( − ��� )

= ( − ��� ₎

�∗ℎ( − ��� )

= �� ℎ

Maka terbukti , adalah representasi kovarian dari Τ , ℤ, α .

3.2 Produk Silang

Pada subbab ini akan dijelaskan perbedaan produk silang penuh dengan produk silang tereduksi.

Definisi 3.2.1: Produk Silang (Rosjanuardi & Albania, 2012:101)

Misalkan , , � adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar-C* , grup dan aksi yang homomorfisma �: → Aut . Produk silang dari , , � adalah sistem , � , �_� yang terdiri dari aljabar-C* (aljabar-C* dinotasikan dengan

⋊� ), homomorfisma unital � : → ⋊� dan homomorfisma ��: →

⋊� yang memenuhi:

(i) Pasangan � , �_� adalah kovarian,

(ii)Untuk setiap representasi kovarian �, dari , , � terdapat representasi unital � × dari sedemikian sehingga � × °� = � dan

� × °�� = ,

(iii) Aljabar-C* ⋊_� dibangun oleh {� � |� ∈ } ∪ {�_� | ∈ }.

3.2.1 Produk Silang Penuh dan Produk Silang Tereduksi (Sierakowski, 2009:6)

Diberikan suatu sistem dinamik , , � yang terdiri dari aljabar-C* , grup dan aksi yang homomorfisma �: → Aut A . Misal didefinisikan representasi kovarian �, yang terdiri dari representasi uniter : → dan representasi unital �: → sedemikian sehingga

�(� � ) = � � ∗

untuk setiap � ∈ dan ∈ . Selanjutnya didefinisikan

Himpunan fungsi _� , dilengkapi dengan konvolusi untuk setiap ∈

∗ = ∑ � ( − ₎

∈�

untuk setiap ∈ dan operasi involusi

∑

∈�

∗

= ∑ � − ∗

∈�

sehingga _� , dapat dipandang sebagai aljabar-*. Misal � × adalah representasi-* dari _� , di ruang Hilbert (Williams, 1952:49). Norm aljabar- ∗ penuh di _� , didefinisikan oleh

‖ ‖ ≔ sup{‖ � × ‖}

untuk setiap representasi � × . Lengkapan dari _� , atas norm tersebut adalah aljabar- ∗ yang disebut dengan produk silang penuh atas oleh dan dinotasikan dengan ⋊_� (Williams, 1952:52). Norm aljabar- ∗ tereduksi di

� , didefinisikan oleh

‖ ‖� = ‖ �̅ × ‖ ℋ

dimana �̅ × : _� , → ℋ adalah representasi reguler yang berasosiasi dengan representasi kovarian �̅, , yang diberikan oleh

�̅ � � ,ℎ= � ,�( − �)ℎ

� ,ℎ = � ,ℎ

untuk setiap � ∈ , , ∈ dan ℎ ∈ dimana �: → adalah representasi yang faithful dan

ℋ = � , ≔ {� ,ℎ: → , ⟼ � , ℎ|� , adalah delta kronecker}.

Produk silang tereduksi ⋊_�� adalah lengkapan dari _� , atas norm aljabar- ∗ tereduksi.

⇔ −� ₌ −� _{∀ ∈ ℝ} ⇔ �� = �� ∀ ∈ ℝ ∴ � pemetaan.

(iv) Akan ditunjukkan � homomorfisma grup. Ambil , ∈ ℝ dan ∈ ℝ maka

�� +� = � +�

= ( − � +� ₎

= −� −�

= −� −�

= �� � = �� (�� ) ∴ � homomorfisma grup.

(v) Akan ditunjukkan �_� homomorfisma. Ambil �_� , �_� ∈ ℝ dan ∈ ℝ

�� + = + �

= + −�

= −� ₊ −�

= �� + ��

= �� + ��

(vi) Akan ditunjukkan �_� = �_� �_� . Ambil �_� , �_� ∈ ℝ dan ∈ ℝ

�� = �

= −�

= −� −�

= �� ��

= (�� �� )

∴ �� = �� �� .

(vii) Akan ditunjukkan �_� � = ��_� . Ambil �_� ∈ ℝ , ∈ ℝ dan � ∈ ℂ

�� � = � �

= � −�

= ���

∴ �� � = ��� .

(viii)Akan ditunjukkan �_� ∗ = (�_� )∗ . Ambil �_� ∈ ℝ dan ∈ ℝ

�� ∗ = ∗ �

= ∗ −�

= ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅−� _{(karena adjoin dapat dipandang sebagai konjugasi)} = �̅̅̅̅̅̅̅̅̅�

∴ �� ∗ = (�� )∗ .

Berdasarkan (v), (vi), (vii) dan (viii) maka �_� adalah homomorfisma-*. (ix) Akan ditunjukkan �_� injektif.

Ambil , ∈ ℝ sedemikian sehingga �_� = �_� Maka

�� = ��

−� ₌ −� _.

Perhatikan bahwa −� ∈ ℝ maka

� −� ₌ � −�

= .

∴ �� injektif.

(x) Akan ditunjukkan �_� onto.

Ambil fungsi ∈ ℝ akan ditunjukkan untuk suatu ∈ ℝ sedemikian sehingga = �_� untuk setiap ∈ ℝ berlaku

�� = � = −� = ∀ ∈ ℝ

Pilih ∈ ℝ sedemikian sehingga

= −� _{∀ ∈ ℝ.}

Diperoleh

�� = �

= −�

= −� �

∴ �� onto.

Berdasarkan (i) sampai (x) diperoleh � adalah aksi dari = ℝ melalui automorfisma sedemikan sehingga ℝ , ℝ, � adalah sistem dinamik.

Definisi 3.2.5: Representasi Kovarian (Rosjanuardi & Albania, 2012:101)

Misalkan , , � adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar-C* , grup dan aksi � yang merupakan homomorfisma �: → Aut . Sebuah representasi kovarian dari , , � adalah pasangan �, dimana �: → adalah representasi yang unital, dan : → representasi uniter yang memenuhi:

�(� � ) = � � ∗ _{, ∀ ∈ , � ∈ .}

Contoh 3.2.6:

Misal ℎ ∈ Homeo Τ dimana memenuhi

ℎ ≔ − ���

dan misal Τ , ℤ, α adalah sistem dinamik yang memenuhi

�� = ( − ��� ).

Lalu dimisalkan suatu representasi : Τ → ( Τ ) yang memenuhi

ℎ ≔ ℎ

dan suatu representasi uniter : ℤ → ( Τ ) yang memenuhi

�ℎ ≔ ℎ( − ��� ).

Akan ditunjukkan bahwa , adalah representasi kovarian

� �∗ℎ = �∗ℎ( − ��� )

= ( − ��� ₎

�∗ℎ( − ��� )

= �� ℎ

Maka terbukti , adalah representasi kovarian dari Τ , ℤ, α .

3.2 Produk Silang

Pada subbab ini akan dijelaskan perbedaan produk silang penuh dengan produk silang tereduksi.

Definisi 3.2.1: Produk Silang (Rosjanuardi & Albania, 2012:101)

Misalkan , , � adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar-C* , grup dan aksi yang homomorfisma �: → Aut . Produk silang dari , , � adalah sistem , � , �_� yang terdiri dari aljabar-C* (aljabar-C* dinotasikan dengan

⋊� ), homomorfisma unital � : → ⋊� dan homomorfisma ��: → ⋊� yang memenuhi:

(i) Pasangan � , �_� adalah kovarian,

(ii)Untuk setiap representasi kovarian �, dari , , � terdapat representasi unital � × dari sedemikian sehingga � × °� = � dan

� × °�� = ,

(iii) Aljabar-C* ⋊_� dibangun oleh {� � |� ∈ } ∪ {�_� | ∈ }.

3.2.1 Produk Silang Penuh dan Produk Silang Tereduksi (Sierakowski, 2009:6)

Diberikan suatu sistem dinamik , , � yang terdiri dari aljabar-C* , grup dan aksi yang homomorfisma �: → Aut A . Misal didefinisikan representasi kovarian �, yang terdiri dari representasi uniter : → dan representasi unital �: → sedemikian sehingga

�(� � ) = � � ∗

untuk setiap � ∈ dan ∈ . Selanjutnya didefinisikan

Himpunan fungsi _� , dilengkapi dengan konvolusi untuk setiap ∈

∗ = ∑ � ( − ₎

∈�

untuk setiap ∈ dan operasi involusi

∑ ∈�

∗

= ∑ � − ∗

∈�

sehingga _� , dapat dipandang sebagai aljabar-*. Misal � × adalah representasi-* dari _� , di ruang Hilbert (Williams, 1952:49). Norm aljabar- ∗ penuh di _� , didefinisikan oleh

‖ ‖ ≔ sup{‖ � × ‖}

untuk setiap representasi � × . Lengkapan dari _� , atas norm tersebut adalah aljabar- ∗ yang disebut dengan produk silang penuh atas oleh dan dinotasikan dengan ⋊_� (Williams, 1952:52). Norm aljabar- ∗ tereduksi di

� , didefinisikan oleh

‖ ‖� = ‖ �̅ × ‖ ℋ

dimana �̅ × : _� , → ℋ adalah representasi reguler yang berasosiasi dengan representasi kovarian �̅, , yang diberikan oleh

�̅ � � ,ℎ= � ,�( − �)ℎ � ,ℎ = � ,ℎ

untuk setiap � ∈ , , ∈ dan ℎ ∈ dimana �: → adalah representasi yang faithful dan

ℋ = � , ≔ {� ,ℎ: → , ⟼ � , ℎ|� , adalah delta kronecker}.

Produk silang tereduksi ⋊_�� adalah lengkapan dari _� , atas norm aljabar- ∗ tereduksi.