kel and persamaan bdang rata

Makalah Geometri Analitik

BIDANG RATA
D
I
S
U
S
U
N
OLEH :

KELOMPOK VII





Fitri Lambok Sinaga
Gustin Maya Sari
Irene Lasro Sitohang

Reynold Pasaribu

(4133311035)
(4133311017)
(4133311007)
(4133311030)

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2014

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat
limpahan rahmat dan karunianya penulis dapat menyusun makalah ini dengan baik. Dalam
makalah ini penulis akan membahas mengenai ” Bidang Rata ”.
Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dan keterbatasan penyajian data
dalam makalah ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun
dari semua pembaca, khususnya Dosen pembimbing demi kesempurnaan makalah ini.

Semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan pembaca dan menjadi bahan
pembelajaran selanjutnya.
Demikian makalah ini penulis susun, apabila ada kekurangan ataupun kesalahan
dalam isi makalah ini, penulis mohon maaf yang sebesar-besarnya. Akhir kata semoga
makalah ini dapat memberikan manfaat bagi kita semua.

Medan ,

Desember 2014

Penulis

DAFTAR ISI

Kata Pengantar...................................................................................................................

i

Daftar Isi............................................................................................................................

ii

BAB I

1

PENDAHULUAN...........................................................................................

1.1 Latar Belakang.......................................................................................................
1.2 Rumusan Masalah..................................................................................................
1.3 Tujuan....................................................................................................................
BAB II
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.

PEMBAHASAN.............................................................................................

Persamaan Parameter Bidang Rata.......................................................................
Persamaan Umum Bidang Rata............................................................................
Vektor Normal Suatu Bidang...............................................................................
Bentuk Normal Bidang Rata.................................................................................
Sudut Antara Dua Bidang.....................................................................................
Jarak Titik Ke Bidang Rata...................................................................................
Jarak Dua Bidang Yang Sejajar............................................................................
Jaringan Bidang Rata............................................................................................

BAB III PENUTUP.......................................................................................................
a. Kesimpulan...........................................................................................................
b. Saran.....................................................................................................................

BAB I
PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang
Kata “ geometri ” berasal dari bahasa Yunani yang berarti “ ukuran bumi “. Maksudnya

mencakup segala sesuatu yang ada di bumi. Geometri adalah ilmu yang membahas tentang
hubungan antara titik, garis, sudut, bidang dan bangun-bangun ruang. Mempelajari geometri
penting karena geometri telah menjadi alat utama untuk mengajar seni berpikir. Dengan
berjalannya waktu, geometri telah berkembang menjadi pengetahuan yang disusun secara
menarik dan logis. Geometri terutama terdiri dari serangkaian pernyataan tentang titik - titik,
garis - garis, dan bidang - bidang, dan juga planar (proyeksi bidang) dan benda – benda padat.
Geometri dimulai dari istilah - istilah yang tidak terdefinisikan, definisi - definisi, aksioma aksioma, postulat - postulat dan selanjutnya teorema - teorema. Berdasarkan sejarah,
geometri telah mempunyai banyak penerapan yang sangat penting, misalnya dalam
mensurvei tanah, pembangunan jembatan, pembangunan stasiun luar angkasa dan lain
sebagainya.
Garis dan bidang merupakan salah satu contoh dari istilah tak terdefinisikan yang
menjadi pijakan awal dari geometri, sehingga konsep garis dan bidang sering digunakan
dalam geometri. Misalnya adalah perpotongan dari dua bidang akan menghasilkan sebuah
garis yang terletak pada dua bidang yang saling berpotongan. Kubus, balok dan lain
sebagainya merupakan kumpulan dari bidang – bidang. Dari contoh di atas dapat dipahami
bahwa garis dan bidang merupakan faktor dasar geometri, tentunya dengan tidak melupakan

bahwa titik juga merupakan dasar dari geometri. Sebuah bidang dapat dianggap sebagai
kumpulan titik yang jumlahnya tak terhingga yang membentuk permukaan rata yang melebar
ke segala arah sampai tak terhingga.

1.2

Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah dalam penulisan makalah bidang rata adalah :








1.3

Bagaimanakah bentuk persamaan parameter bidang rata ?
Bagaimanakah bentuk persamaan umum bidang rata ?

Bagaimanakah bentuk normal bidang rata ?
Bagaimanakah hubungan sudut antara dua bilangan ?
Bagaimanakah mencari jarak titik kebidang rata ?
Bagaimanakah mencari jarak dua bidang rata yang sejajar ?
Apakah yang termasuk dalam jaringan bidang rata ?

Tujuan

Adapun tujuan dari penulisan makalah ini yaitu :
 Mengetahui bentuk persamaan parameter bidang rata.
 Mengetahui bentuk persamaan umum bidang rata.
 Mengetahui bentuk normal bidang rata.
 Mengetahui hubungan sudut antara dua bidang.
 Mengetahui dan memahami cara mencari jarak titik kebidang rata.
 Mengetahui dan memahami cara mencari jarak dua bidang rata yang sejajar.
 Mengetahui dan memahami cakupan dalam jaringan bidang rata

BAB II
PEMBAHASAN

A. Persamaan Parameter Bidang Rata
Suatu bidang rata akan tertentu bila diketahui tiga buah titik yang tak kolinier (tidak
segaris) yang terletak pada bidang rata tersebut. Misalkan diketahui tiga titik pada bidang rata
V.
V : P(x1, y1, z1), Q(x2, y2, z2), dan R(x3, y3, z3)

´ [ x 2−x 1 , y 2− y 1 , z 2−z 1 ]
PQ=
´
PR=[x
3−x 1 , y 3 − y 1 , z 3−z 1 ]
Untuk setiap titik sembarang X (x, y, z) pada bidang rata V berlaku :
PX = λPQ + µPR

(-∞ < λ < ∞, -∞ < µ < ∞)

Perhatikan gambar 1.1 tampak bahwa OX = OP + PX atau
[x, y, z] = [x1, y1, z1] + λ[x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1] + µ[x3 - x1, y3 - y1, z3-z1]…......................... (1)
Adalah persamaan bentuk vektor bidang rata yang melalui tiga buah titik. Kedua vektor
´

dan
PQ

´
PR

disebut juga vektor – vrektor arah bidang (setiap dua vector yang tidak

segaris pada bidang merupakan vector-vektor arah bidang tersebut).

Gambar 1.1
Suatu bidang yang melalui titik P(x1, y1, z1) dan diketahui vektor – vektor arahnya
á=[ x a , y a , z a ] dan b́=[ x b , y b , z b ] mempunyai persamaan dalam bentuk vektor :
[x, y, z] = [x1, y1, z1] + λ[xa, ya, za] + µ[xb, yb, zb]….............................................................. (2)
dengan (-∞ < λ < ∞, -∞ < µ < ∞). Dari persamaan (2) dapat ditulis menjadi tiga persamaan :
x = x1 + λxa + µxb ……………………………................................... (3)
y = y1 + λya + µyb…….………………...........................................… (4)
z = z1 + λza + µzb ……......................................……………………. (5)
Yang disebut sebagai persamaaan bidang rata.


Contoh 1.1

:

Tentukan persamaan bentuk vektor bidang rata yang melalui (1, 2, 2), (2, 4, 5) dan (1,
2, 6) dan tentukan persamaan parameternya.
Penyelesaian :
Persamaan bentuk vektor bidang rata :
[x, y, z] = [x1, y1, z1] + λ[x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1] + µ[x3 - x1, y3 - y1, z3-z1]
[x, y, z] = [1, 2, 2] + λ[2-1, 4-2, 5-2] + µ[1-1, 2-2, 6-2]
Atau [ x, y, z] = [1, 2, 2] + λ [1, 2, 3] + µ [0, 0, 4]
Persamaan parameternya :
[x, y, z] = [x1, y1, z1] + λ[xa, ya, za] + µ[xb, yb, zb]
[x, y, z] = [1, 2, 2] + λ [1, 2, 3] + µ [0, 0, 4]
x=1+λ
y=2+2λ
z=2+3λ+4µ

B. Persamaan Umum Bidang Rata

Persamaan bidang rata dapat ditulis dalam bentuk lain. Jika λ dan µ pada persamaan
(3) dan (4) dieliminasi, maka diperoleh :
y b ( x−x 1 )−x b ( y− y 1)
dan
λ=
c
xa ( y − y 1) − y a (x−x 1 )
, misalkan xa yb – ya xb = c
µ=
c
Kemudian λ dan µ disubstitusikan ke persamaan (5), maka diperoleh :
z = z1 + λza + µzb
( z - z1 ) =

y b ( x−x 1 ) −xb ( y− y 1 )
za +
c

x a ( y− y1 ) − y a ( x−x 1 )
c

zb

c(z - z1) = za { yb (x – x1) – xb (y – y1)} + zb { xa (y – y1) – ya (x – x1)}

(ya zb – za yb)(x – x1) + (za xb – xa zb)(y – y1) + c(z - z1) = 0 ...............................................(6)
Ambil : ya zb – za yb =

ya za
yb zb

| |

=A

za xb – xa zb =

| |

=B

xa yb – ya xb =

| |

za xa
zb xb

xa ya
xb yb

=C

Maka persamaan (6) menjadi : A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0
Jadi persamaan linier (umum) bidang rata adalah A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0........(7)


Contoh 1.2

:

Diketahui bidang rata yang melalui titik – titik (1, 2, 2) , (2, 4, 5) dan (1, 2, 6).
Tentukan persamaan liniernya.
Penyelesaian :
[x, y, z] = [1, 2, 2] + λ[2-1, 4-2, 5-2] + µ[1-1, 2-2, 6-2]
[x, y, z] = [x1, y1, z1] + λ[xa, ya, za] + µ[xb, yb, zb]
[x, y, z] = [1, 2, 2] + λ [1, 2, 3] + µ [0, 0, 4]
Vektor normal diperoleh dari [1, 2, 3] x [0, 0 , 4] = [8, -4, 0]
Jadi persamaan linier bidang rata yang melalui ketiga titik tersebut adalah :
A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0
8(x – 1) – 4(y – 2) + 0 (z – 2) = 0
8x – 8 – 4y + 8 = 0
8x – 4y = 0
2x – y = 0

C. Vektor Normal Suatu Bidang
Vektor normal adalah vektor yang tegak lurus terhadap bidang datar. Bidang ax + by +
cz + d = 0 dan bidang px + qy + rz + s = 0 dikatakan tegak lurus bila normalnya n1 = [a, b, c ]
dan n2 = [p, q, r] adalah vektor – vektor orthogonal (tegak lurus), yakni n1.n2 = 0. Maka kedua
bidang dikatakan tegak lurus.
Perkalian titik (dot product) dua buah vektor akan menghasilkan sebuah skalar. Jenis
perkalian ini bersifat komutatif.
^ a y ^j+ a z k^ ) .(b x i+b
^ y ^j+b z k^ )
Á . B́=( a x i+
Hasil suatu perkalian silang (cross product) dua buah vektor adalah juga sebuah vektor.
Perkalian silang bersifat tidak komutatif.
^ y ^j+ az k^ ) ×(bx i+
^ b y ^j+b z k^ )
Á × B́=( a x i+a
^ ( a z bx −a x b z ) ^j+ ( ax b y −a y b z ) k^
¿ ( a y b z −a z b y ) i+
Vektor normal dari suatu bidang rata V : Ax + By + Cz + D = 0 ialah :

[ A ,B,C] =

=

á x b́

|

i
xa
xb

| | | |
ya za
i
yb zb
j
ya
yb

+

za xa
j
zb xb

+

| |
xa
xb

ya
k
yb

|

k
za
zb

merupakan vektor yang tegak lurus pada bidang rata yang di bentuk oleh á dan

b́ , yaitu V : Ax + By + Cz + D = 0.
n = [A, B, C] disebut sebagai vektor normal dari bidang rata V = 0
Dari persamaan (7) diatas, suatu bidang rata yang melalui (x1, y1, z1) dengan vektor
normal [A, B, C] berbentuk :
A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0..........................................................................(8)
Hal – hal khusus yang perlu diperhatikan dari bidang rata V : Ax + By + Cz + D = 0
diantaranya :
 Jika D = 0 (gambar 1.2 (a)) maka bidang rata akan melalui titik asal O (0,0,0) dan
sebaliknya, setiap bidang rata yang melalui titik asal persamaannya akan mempunyai
harga D = 0 (gambar 1.2 (b)) .....................................................................................(9)

Gambar 1.2 (a)

Gambar 1.2 (b)
 Apabila D ≠ 0 persamaan Ax + By + Cz + D = 0 dapat ditulis menjadi Ax/
-D + By/ -D + Cz/ -D = 1 dan sebut berturut-turut A/ -D = 1/p, B/ -D=1/
q, C/-D =1/ r, didapat persamaan :

x/p + y/q + z/r = 1 yang mana memotong sumbu X di (p, 0, 0 ) sumbu Y di ( 0, q ,0 )
sumbu Z di ( 0, 0, r )..................................................................................................(10)
 Jika A = 0 (gambar 1.3 (a)) maka bidang rata sejajar sumbu X, jika B = 0 (gambar 1.3
(b)) maka bidang rata sejajar sumbu Y, dan jika C = 0 (gambar 1.3 (c)) maka bidang
rata sejajar sumbu Z...................................................................................................(11)

Gambar 1.3 (a)

Gambar 1.3 (b)

Gambar 1.3 (c)
 Jika A = B = 0 (gambar 1.4(a)) maka bidang rata sejajar bidang XOY, jika B = C = 0
(gambar 1.4(b)) maka bidang rata sejajar bidang YOZ, jika A = C = 0 (gambar 1.4(c))
maka bidang rata sejajar bidang XOZ.......................................................................(12)

Gambar 1.4 (a)

Gambar 1.4 (b)



Gambar 1.4 (c)
Contoh 1.3
:
Tentukan titik – titik bidang rata 3x – 4y + 2z + 8 = 0 dengan ketiga sumbu.

Penyelesaian :
Titik potong dengan sumbu-X, y = 0, z = 0

3x – 0 + 0 + 8 = 0 ↔ x = -2

2
3

Titik potong dengan sumbu-Y, x = 0, z = 0
0 – 4y + 0 + 8 = 0 ↔ y = 2
Titik potong dengan sumbu-Z, y = 0, x = 0
0 – 0 + 2z + 8 = 0 ↔ z = -4
Jadi titik potong bidang rata dengan ketiga sumbu adalah
A(-2

2
, 0, 0), B(0, 2, 0), dan C(0, 0, -4)
3

D. Bentuk Normal Bidang Rata
Misalkan vektor normal bidang V : Ax + By + Cz +D = 0 adalah n = [A, B, C], dan
α, β ,γ

berturut – turut sudut antara n dengan sumbu koordinat (yang arahnya ditentukan

oleh vektor i, j, k).

Gambar 1.5
Ternyata bahwa :
cos α =

ń í
A
=
|ń||í| |ń|

cos β=

ń ´j
B
=
...............................................................................................................
´
|
|ń|| j| ń|

(13)
cos γ=

ń ḱ
C
=
|ń||ḱ| |ń|

Atau [ cos α , cos β , cos γ

]=

[ A , B , C] n
=
|ń|
|ń|

yaitu vektor satuan yang searah dengan n, juga berarti :
2
2
2
cos α +cos β+ cos γ =1 ..............................................................................................(14)

ń=¿ [ cos α , cos β , cos γ

] dinamakan vektor cosinus dari bidang V atau dikatakan juga

vektor normal yang panjangnya satu.
Misalkan p adalah jarak dai O(0, 0, 0) ke bidang V = 0, dimana p ≥ 0 dan X(x, y, z)
´ = [x, y, z] pada ń yaitu :
titik sebarang pada bidang, maka p adalah proyeksi OX
γ
cos α , cos β , cos ¿
´ .n=[ x , y , z ] .¿
ṕ=OX

atau

x cos α + y cos β + z cos γ ........(15) yang disebut

persamaan normal Hesse dari bidang V = 0.
Untuk mengubah bentuk V : Ax + By + Cz +D = 0 ke bentuk normal maka dari
persamaan (13) diperoleh :

|ń| = ( x cos α + y cos β + z cos γ ¿ = - D................................................................
(16).
Dimana selalu menghendaki

−D
|ń|

ruas persamaan (16) dibagi +|ń| =

= p positif. Jadi, jika D negatif maka masing – masing

√ A 2+ B 2+C 2

masing ruas dibagi dengan −|ń| .


Contoh 1.4
:
Tentukan bentuk normal 6x + 3y -2z -6 = 0.

Penyelesaian :

dan jika D positif maka masing –

Bentuk bidang rata V: Ax + By + Cz +D = 0
6x + 3y -2z -6 = 0

√ 62 +32 +(−2)2

D = - 6 adalah negatif, sedangkan |ń| =

=7

6
3
2
x + y− z −6=0
7
7
7

Jadi persamaan normalnya adalah

E. Sudut Antara Dua Bidang
Sudut antara dua bidang rata sama dengan sudut antara vektor – vektor normalnya.
Misalkan V 1 : A 1 x +B 1 y +C 1 z + D1=0 dan
V 2 : A 2 x +B 2 y +C 2 z + D2=0
Maka sudut antara bidang V1 dan bidang V2 adalah sudut antara normal- normalnya. Jika

|ń1|=[ A 1 , B1 ,C 1 ]
cos α =

ń1 ń2
=
|ń1||n´2|

dan

|ń2|=[ A 2 , B2 ,C 2 ]

A 1 . A2 + B1 . B2 +C1 . C2

√ ( A + B +C )( A + B + C )
2
1

2
1

2
1

2
2

2
2

2
2

maka
........................................................................

(17)
Dua bidang V1 dan bidang V2 sejajar, bila ń1 dan ń2 sama atau saling
berkelipatan, yakni [ A 1 , B1 ,C 1 ] =λ [ A 2 , B2 , C 2 ] dimana λ ≠ 0 dan λ ∈ R.
Dua bidang H1 dan bidang H2 dikatakan saling tegak lurus, berarti ń1 tegak lurus ń2
A 1 . A 2+ B1 . B2 +C 1 . C2=0
atau ń1 . n´2 = 0 ↔
 Contoh 1.5
:
Tentukanlah besar sudut antara bidang 2x + y + z + 4 = 0 dan 3x + 4y + z – 10 = 0.
Penyelesaian :
Diketahui ń1=¿
cos α =

[2, 1, 1] dan ń2 = [3, 4, 1] maka :

ń1 ń2
[ 2, 1,1 ] .[3, 4,1]
=
|ń1||n´2| √ ( 22 +12 +12 )( 32+ 4 2+12 )

=

6 +4 +1
11
=
√ 6 √ 26 √156

Jadi α

= cos-1

11
√156

F. Jarak Titik Ke Bidang Rata
Perhatikanlah bidang V 1 : x cos α + y cos β+ z cos γ= p , jarak dari P (x1, y1, z1) ke
bidang V 1 ditentukan dengan cara berikut :
Buat bidang V 2 melalui P dan sejajar V 1 (Gambar 1.6), yang berarti vektor normal
V 1 dan V 2 sama. Sedangkan jarak dari titik asal 0 (0, 0, 0) ke V 2 adalah

p± d

(d

= jarak antara V 1 dan V 2 , ± d , tergantung letak V 1 dan V 2 terhadap titik 0).
α + y cos β+ z cos γ= p=¿ ± d
V 2 :V 1 : x cos ¿

, dan karena P (x1, y1, z1) pada V 2 berarti

α + y cos β+ z cos γ = p=¿ ± d ,
atau d=| x cos α + y cos β+ z cos γ −p| , adalah jarak P (x1,
x cos ¿
y1, z1) ke bidang V 1 : x cos α + y cos β+z cos γ= p
Jika V 1 berbentuk Ax + By + Cz + D = 0, maka :
A x 1+B y 1 +C z 1+ D
d=
............................................................................................
√ A 2 +B 2+C 2

|

|

..(18)

Gambar 1.6
Contoh 1.6
:
Tentukan jarak titik (4,7,3) ke bidang 2x + 6y – 3z = 13 .



Penyelesaian :

|

d=

A x 1+ B y 1 +C z 1+ D

√A

2

2

+B +C

2

||
=

2.4+6.7+ (−3 ) .3+(−13)

√ 22+ 62 +(−3)2

|

=

28 28
= =¿ 4
√ 49 7

G. Jarak Dua Bidang Yang Sejajar
Untuk mencari jarak dua bidang sejajar V2, ambil sembarang titik pada V2, lalu
menghitung jarak titik tersebut V1.
 Contoh 1.7
:
Diketahui V1 = x + y + z – 2 = 0 dan V2 = x + y + z – 5 = 0. Jika R pada V2, hitunglah
jarak tersebut ke V1.
Penyelesaian :
Misal ambil R pada V2 : x = 0, y = 0, dan z = 5 didapat R(0, 0, 5) . Maka jarak titik R ke V 1 adalah

|

d=

1.0+1.0+1.5−2

√ 1 +1 +1
2

2

2

|

=

3
√3

=

√3

H. Jaringan Bidang Rata
Jika persamaan bidang rata A1x + B1y + C1z + D1 = 0 dinyatakan secara lambang
sebagai V1 = 0 dan A2x + B2y + C2z + D2 = 0 sebagai V2 = 0 ,maka V1 + ƛV2 = 0. Jika V1dan
V2 sejajar ,maka berkas bidang V1 + ƛV2 = 0 merupakan himpunan bidang-bidang yang
sejajar V1 = 0 dan V2 = 0 (gambar 1.7), dapat ditulis menjadi :
A1x + B1y + C1z = k1

k = parameter

Gambar 1.7


Contoh 1.8
:
Tentukan persamaan bidang rata V yang melalui titik (1,2,3) serta melalui garis

potong bidang V1 : 2x + 3y + z + 12 = 0 dan V2 : x – 4y + z – 10 = 0

Penyelesaian :
V dapat dinyatakan sebagai V1 + ƛV2 = 0 atau
2x + 3y + z + 12 + ƛ(x – 4y + z – 10 ) = 0 yang melalui titik (1,2,3)
23
 2.1 + 3.2 + 3 + 12 + ƛ(1 – 4.2 + 3 – 10 ) = 0 => ƛ =
14
Jadi bidang persamaan V adalah :
2x + 3y + z + 12 +

23
14

(x – 4y + z – 10 ) = 0 atau

51x – 50y + 37z – 62 = 0

BAB III
PENUTUP
a.

Kesimpulan

Dari hasil pembahasan tentang bidang rata, maka dapat ditarik beberapa
kesimpulan diantaranya :
 Bentuk umum (linier) persamaan bidang rata yaitu A(x – x1) + B(y – y1) + C(z
– z1) = 0
 Bentuk dari persamaan jarak titik ke bidang rata yaitu

|

d=

A x 1+ B y 1 +C z 1+ D

√ A 2 +B 2+C 2

|

.

 Sebuah bidang dapat dikontruksikan dengan cara:


Melalui tiga buah titik yang tidak segaris.



Melalui sebuah garis dan sebuah titik diluar garis.



Melalui dua buah garis yang sebidang atau dua buah garis yang
berpotongan dan dua buah garis yang sejajar

 Perbedaan perkalian titik (dot product) dengan perkalian silang ( cross
product) yaitu kalau perkalian titik (dot product), dua buah vektor akan
menghasilkan sebuah skalar. Jenis perkalian ini bersifat komutatif. Sedangkan
perkalian silang (cross product), dua buah vektor adalah juga sebuah vektor.
Perkalian silang bersifat tidak komutatif.
 Bentuk persamaan dari sudut yang dibentuk antara dua bidang rata yaitu
cos α =

b.

ń1 ń2
=
|ń1||n´2|

A 1 . A2 + B1 . B2 +C1 . C2

√ ( A + B +C )( A + B + C )
2
1

2
1

2
1

2
2

2
2

2
2

Saran
Seharusnya dalam menggambarkan bentuk bidang rata dapat dilakukan
dengan memanfaatkan secara maksimal aplikasi autograph.

DAFTAR PUSTAKA

Athma Putri Rosyadi, alfiani. 2012. Analytic Geometry. Malang : Ikip Budi Utomo
Sriwasito, putut. 2007. Bidang dan Garis. Semarang : Universitas Diponegoro
Tim dosen matematika. 2014. Geometri Analitik. Medan : Universitas Negeri Medan
http://lms.unhas.ac.id/claroline/backends/download diakses pada 17 oktober 2014
http://elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/matematika_lanjut/bab1-vektor di r3 dan ilmu
ukur analitik_ruang.pdf diakses pada 17 oktober 2014
http://toermoedy.files.wordpress.com/2010/11/bab-viii-bidang-rata-dan-garis-lurus.pdf
diakses pada 19 oktober 2014
http://intanramadhanisa.blogspot.com/2012/12/persamaan-bidang-datar.html diakses pada 19
oktober 2014
http://sharetogetherbyreynold.blogspot.com/2012/10/persamaan-parameter-bidang-rata.html
diakses pada 01 november 2014
http://ediskm.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/36140/vektor+dan+bidang+rata.ppt
diakses pada 07 november 2014
http://yusrizal24.wordpress.com/tag/makalah-bidang-rata-dan-garis-lurus/ diakses pada 12
november 2014